CN110188427B - 一种基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充方法，从道路上的交通探测器中得到的交通数据，将其处理成m列的数据快照矩阵的形式，然后分成两个具有m‑1列的数据快照矩阵来分别代表原始数据的前m‑1列和后m‑1列。然后考虑矩阵填充中的映射算子，并考虑到交通数据的非负性，得到交通数据的填充模型，最后通过该方法提出的模型进行交通数据的填充修复。此方法能够不仅能够直接处理从交通探测器得到的交通数据所形成的数据快照矩阵，还能够处理有缺失的交通数据并进行填充。与一些传统的交通数据矩阵填充方法相比，本发明考虑到了交通数据会出现局部丢失的问题，提升交通数据的填充修复能力，证明该方法的有效性以及实用性。

Description

一种基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充方法
技术领域
本发明涉及流体动力学系统中的动态模式分解方法以及交通数据的非负性质，并将上述技术应用在交通领域中的交通数据填充问题研究中。
背景技术
广泛应用在流体动力学系统中可以提取动态系统本质特性的方法——动态模式分解(Dynamic Mode Decomposition，DMD)，可以得到流体系统关于时间特征上的变化关系。后来又被应用在视频处理中进行交通场景中的处理。
利用动态模式分解方法所需要的原始数据具体形式如下：提取出原始数据中的隐含动态特征，要求原始数据的形式如下：
所以若将DMD方法应用在交通领域内，所需要作用的交通数据形式如下：
Y＝[y0 y1 … ym-1 ym] (2)
其中，y0-ym分别代表的是0-m时刻某时刻不同路段的交通数据所构成的向量。
在交通领域内使用动态模式分解方法，并不是作用在式(2)的整体交通数据上，而是作用在数据快照矩阵上，所以将式(2)分解为两个相邻时间段的快照矩阵：
Y0：m-1＝[y0 … ym-1] (3)
Y1:m＝[y1 … ym] (4)
其中，Y0:m-1表示的是时间从第0帧到第m-1帧的交通数据；则Y1:m代表时间从第1帧到第m帧的交通数据。
在两个相邻的数据快照矩阵之间存在着如下的线性关系：
Y1:m＝KY0:m-1+γ (5)
其中，γ是残留误差；K表示Koopman算符，用来表示两个相邻矩阵的线性关系。所以式(3)和(4)的关系可以写作：
Y1:m≈KY0:m-1 (6)
发明内容
本发明提出了一种基于非负低秩的动态模式分解方法的交通数据填充方法。此模型能够不仅能够直接处理从交通探测器得到的交通数据所形成的数据快照矩阵，还能够处理有缺失的交通数据并进行填充。与一些传统的交通数据矩阵填充方法相比，本模型考虑到了交通数据会出现局部丢失的问题，提升了交通数据的填充修复能力，证明了该发明方法的有效性以及实用性。
S1基于非负的低秩动态模式分解的交通数据填充模型
考虑到在交通数据获取以及数据的传输阶段会产生不同的外部因素从而影响交通数据，进而导致交通数据有所变化，所以接下来将从不同的外部影响因素考虑，逐步形成对交通数据进行填充的模型。本模型的思想就是考虑到外界噪声以及数据缺失将映射算子引入结合动态模式分解，并对交通数据进行非负约束，从而进行有缺失的交通数据的填充修复，具体的步骤如下所示：
1)考虑外部噪声影响：
由于外部极端天气(如：暴雨、暴雪、冰雹等)等因素影响，得到的交通数据会由于外部噪声的影响而出现部分的偏差，所以为了保证后续实验结果能够更加准确，交通数据填充修复模型引入了高斯噪声矩阵E并作用在观测矩阵Z上。所以对于数据矩阵Y和观测矩阵Z之间存在如下关系：
Y＝Z+E (7)
所以对应与数据快照矩阵式(3)和(4)会存在如下关系：
Z1:m+E1:m＝K(Z0:m-1+E0:m-1) (8)
其中，Z0:m-1和Z1:m分别代表对应于式(3)和(4)的交通观测矩阵；E0:m-1和E1:m分别表示对应于式(3)和(4)的噪声矩阵。
2)考虑数据局部缺失：
由于网络传输以及前面提到的天气影响可能会造成交通数据局部出现丢失的现象，为了后续能够针对这些缺失位置进行填充修复，数据填充修复模型引入了矩阵填充中的映射算子PΩ，映射算子的具体含义就是若数据矩阵某位置数据缺失，则对应的映射算子为0，其他剩余部分为1，其具体的数学表达形式如下：
其中(i,j)表示一个二维坐标，即为在某时刻某路段的交通数据；Ω表示所选择的交通区域；M则是这一个路段某一时刻的流量。式(9)的具体意义就是若某位置的交通数据发生丢失，则其对应的映射算子矩阵位置为0，若未发生丢失，则该位置的映射算子为1，即该位置不需要用映射算子对其进行影响，
所以，数据快照矩阵式(3)和(4)的关系变成如下形式：
其中，和/>分别代表对应于式(3)和(4)的映射算子矩阵，表示的意义是作用在观测交通矩阵上的映射矩阵，使得作用后的交通矩阵能够将有缺失的位置进行考虑。
3)考虑对噪声项约束：
观察到式(3)的后m-1列和式(4)的前m-1列为相同的交通数据，所以要进行约束，使得加在这两部分交通数据上的噪声项要一致，所以引入两个操作分别是||0和||0，分别表示去掉矩阵的第一列和最后一列。两个操作的具体表达形式是：
||0＝[0|Im-1]' (11)
||0＝[Im-1|0]' (12)
对于噪声矩阵之间存在关系：
E0:m-1||0＝E1:m||0 (13)
基于动态模式分解的交通数据填充模型为：
式(14)的思想是在两个快照矩阵的对应线性关系和噪声项对应关系确定的约束下，保证对应关系K和噪声项最小，从而得到准确的交通状态估计值。其中||X||*表示核范数,表示F范数,E0:m-1(:,1)表示噪声矩阵E的第一列。
由于交通数据具有时空相关性，以及会发生缺失的问题，所以利用低秩来表示关系，即rank(K)，但是rank(K)是非凸的，是一个很难解的问题，所以考虑利用rank的凸近似，即核范数||K||*来表示。另外由于交通数据本质上存在非负性这一特征，所以在模型上增加了一项约束，用来约束填充结果的非负性，具体表达式为：
所以，基于非负低秩的动态模式分解方法的交通数据填充模型如下式(16)所示：
S2基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充模型求解
关于预测模型(16)中K的核范数求解，先引入矩阵L和R来表示K，表达式为:
K＝LR' (17)
其中：R’表示为矩阵R的转置，所以关于K的核范数：
所以将模型(18)中所有的K都以L和R的形式进行替换，得到如下模型(19)：
接下来就是要将有约束的待求解问题转化为无约束问题，所以考虑引入了拉格朗日算子，模型变成如下形式：
其中令
H0:m-1＝P0:m-1⊙E0:m-1 (21)
P,Q,W,A1,A2是拉格朗日乘子，μ,η,ρ,β1,β2是增广拉格朗日参数。那么各个变量的求解公式分别如下所示：
变量L的求解：
变量R的求解：
变量E的求解：
附图说明
图1本发明提出的非负低秩动态模式分解的交通数据填充模型示意图。
图2连续路段缺失-早高峰(7am-9am)填充误差结果。
图3连续路段缺失-平峰(14pm-16pm)填充误差结果。
图4连续路段缺失-晚高峰(18pm-20pm)填充误差结果。
图5随机丢失-早高峰(7am-9am)填充误差结果。
图6随机丢失-平峰(14pm-16pm)填充误差结果。
图7随机丢失-晚高峰(18pm-20pm)填充误差结果。
具体实施方式
本模型的主要思想是：从道路上的交通探测器中得到的交通数据，将其处理成m列的数据快照矩阵的形式，然后分成两个具有m-1列的数据快照矩阵来分别代表原始数据的前m-1列和后m-1列。然后考虑矩阵填充中的映射算子，并考虑到交通数据的非负性，得到交通数据的填充模型，最后通过该发明提出的模型进行交通数据的填充修复。
实验数据选择了青岛市2017年1月份道路交通探测器环形线圈所采集的路段交通流量数据。通过青岛市道路探测器所能得到的交通流相关指标有交通流量、速度、密度、车道编号、记录时间等，在本章的所有实验中只选择车道编号、路段编号、流量指标，具体交通数据相关字段如下所示：
表1.本发明中实验数据说明
具体地，本章一共选择了25条路段，共2400条的道路，并且选择一天当中的三个时间段分别是：早高峰(7am-9am)、平峰(14pm-16pm)、晚高峰(18pm-20pm)。同时引入了两个误差指标—平均绝对误差(Mean Absolute Error，MAE)和均方根误差(Root Mean SquareError，RMSE)。两个误差的数学公式分别为：
对比分析不同程度的丢失率对填充效果会产生怎样不同的影响，所以设计了一系列不同大小的丢失率来进行验证，另外考虑到不同的丢失方式是否同样会对填充效果产生一定程度的影响，所以在不同丢失率的基础上还设计了两组不同的丢失方式，分别是：连续路段丢失、随机丢失，来分别进行实验验证，另外选择了非负矩阵分解(NMF)、稀疏正则SVD分解(SRSVD)和低秩矩阵拟合方法(Lmafit)三种方法作为对比实验来证明本章提出的模型的有效性。
(1)连续路段丢失：
在这里考虑连续路段丢失的情况，丢失率从0.02一直到0.9递增变化，具体实验结果如下：
表2交通数据填充误差—MAE(早高峰)
表3交通数据填充误差—RMSE(早高峰)
表2和表3表示早高峰时段(7am-9am)的交通数据填充误差。由表2、表3和图2所示，能够发现整体来看低秩的动态模式分解方法随着数据丢失率的增加，填充误差会随之增加，但是在个别丢失率变化过程中(如:0.02-0.037变化、0.1-0.35变化)，误差会有些许下降。另外当丢失率为0.05的时候，低秩动态模式分解填充效果从MAE分析是最优的，但是RMSE会略差于非负矩阵分解(NMF)方法，效果排在第二优的位置。这是由于MAE因为是求和平均的算法，所以会更加强调整体的平均效果，即不单独突出某一路段或某一时刻的填充效果如何，而是通过整体来分析填充性能；但是RMSE的公式中由于存在平方项，所以某一局部的误差大必然会导致最后的结果比较差，所以可以发现当丢失率为0.05时NLRDMD整体填充效果依旧是最优的，但是个别时刻、个别路段填充不理想。
表4交通数据填充误差—MAE(平峰)
表5交通数据填充误差—RMSE(平峰)
表4和表5表示的是平峰时段(14pm-16pm)的交通数据填充误差。由表4、表5和图3所示，发现NLRDMD与早高峰类似，同样随着丢失率的增加，整体填充误差会有所增加，也同样存在着个别丢失率增加过程中，误差会有些许下降(如：0.5-0.7、0.7-0.9变化)。另外当丢失率为0.037的时候，低秩动态模式分解填充效果略差于SRSVD方法，效果排在第二优的位置，与上一组实验相似的是整体效果最优，但是局部误差较大，从而导致产生了这样的结果。
表6交通数据填充误差—MAE(晚高峰)
表7交通数据填充误差—RMSE(晚高峰)
表6和表7表示晚高峰时段(18pm-20pm)的交通数据填充误差。由表6、表7和图4所示，发现在丢失率从0.02-0.9的变化过程中NLRDMD的填充误差会逐渐上升，在丢失率从0.35到0.5的变化过程中，填充误差发生了有些许下降的情况。与前两个时间段不同的是晚高峰期间对于评价指标RMSE，NLRDMD方法在丢失率为0.02、0.037、0.1时均差于LMaFit，但仍然排在填充效果第二优的位置。
综上所述，可以得出的结论：丢失方式为按行连续丢失的交通填充问题，NLRDMD平均填充效果最优，局部填充效果在大多数最优，有时会排在第二的位置，综合来看MLRDMD的填充性能表现优秀。
(2)随机丢失：
在这里考虑随机丢失的情况，丢失率从0.02一直到0.9逐渐增加，具体的实验结果如下：
表8交通数据填充误差—MAE(早高峰)
表9交通数据填充误差—RMSE(早高峰)
表8和表9表示丢失方式为随机丢失的早高峰时段(7am-9am)的交通数据填充误差。由表8、表9和图5可以看出，发现NLRDMD的填充误差无论是以哪个评价指标来衡量整体来看都是与数据丢失率成正相关的关系，但是在0.1到0.35的变化过程中，误差有些许下降。而且对于评价指标MAE，NLRDMD始终是最低的，说明填充效果表现比较良好，但是对于RMSE指标，当丢失率为0.02、0.05的时候，NLRDMD填充效果略差于非负矩阵分解(NMF)方法和SRSVD，但是误差相差不大。
表10交通数据填充误差—MAE(平峰)
表11交通数据填充误差—RMSE(平峰)
表10和表11表示丢失方式为随机丢失的平峰时段(14pm-16pm)的交通数据填充误差。由表10、表11和图6可以看出，对于MAE和RMSE这两个评价指标来说，填充误差都是随着丢失率增加而上升的，但是在平峰这一时间段内这两个指标均表现出NLRDMD有着最优秀的填充能力，无论丢失率为多少均表现为最好，性能最佳。
表12交通数据填充误差—MAE(晚高峰)
表13交通数据填充误差—RMSE(晚高峰)
表12和表13表示丢失方式为随机丢失的晚高峰时段(18pm-20pm)的交通数据填充误差。由表12、表13和图7所示，发现相较于之前做过的几组对比实验，这一组的实验结果浮动相对较大。以MAE为评价指标能够发现：NLRDMD在丢失率为0.037的时候，效果差于NMF，其余情况都是最优的；以RMSE为评价指标能够发现：NLRDMD在丢失率为0.02、0.037、0.05的时候，填充效果均是第二优的，在丢失率为0.02和0.037是均差于NMF方法，而在丢失率为0.05的时候差于LMaFit方法，其余情况是最优的。针对这种非常不稳定的结果，通过分析原始交通数据发现在晚高峰期间车辆比较多，变化趋势比较大。另外认为随机丢失的方式使得有时候交通数据丢失的位置十分集中从而造成填充误差比较大。

Claims (1)

1.一种基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充方法，其特征在于：
S1基于非负的低秩动态模式分解的交通数据填充模型
考虑到在交通数据获取以及数据的传输阶段会产生不同的外部因素从而影响交通数据，进而导致交通数据有所变化，将从不同的外部影响因素考虑，逐步形成对交通数据进行填充的模型；交通数据填充模型的思想就是考虑到外界噪声以及数据缺失将映射算子引入结合动态模式分解，并对交通数据进行非负约束，从而进行有缺失的交通数据的填充修复，具体的步骤如下所示：
1)考虑外部噪声影响：
由于外部极端天气因素影响，得到的交通数据会由于外部噪声的影响而出现部分的偏差，交通数据填充修复模型引入了高斯噪声矩阵E并作用在观测矩阵Z上；所以对于数据矩阵Y和观测矩阵Z之间存在如下关系：
Y＝Z+E (1)
所以对应与数据快照矩阵式会存在如下关系：
Z1:m+E1:m＝K(Z0:m-1+E0:m-1) (2)
其中，Z0:m-1和Z1:m分别代表对应于的交通观测矩阵；
E0:m-1和E1:m分别表示对应于式的噪声矩阵；
2)考虑数据局部缺失：
由于网络传输以及前面提到的天气影响可能会造成交通数据局部出现丢失的现象，为了后续能够针对这些缺失位置进行填充修复，数据填充修复模型引入了矩阵填充中的映射算子PΩ，映射算子的具体含义就是若数据矩阵某位置数据缺失，则对应的映射算子为0，其他剩余部分为1，其具体的数学表达形式如下：
其中(i,j)表示一个二维坐标，即为在某时刻某路段的交通数据；Ω表示所选择的交通区域；M则是这一个路段某一时刻的流量；式(9)的具体意义就是若某位置的交通数据发生丢失，则其对应的映射算子矩阵位置为0，若未发生丢失，则该位置的映射算子为1，即该位置不需要用映射算子对其进行影响，
所以，数据快照矩阵式(3)和(4)的关系变成如下形式：
其中，和/>分别代表对应于的映射算子矩阵，表示的意义是作用在观测交通矩阵上的映射矩阵，使得作用后的交通矩阵能够将有缺失的位置进行考虑；
3)考虑对噪声项约束：
相同的交通数据要进行约束，使得加在这两部分交通数据上的噪声项要一致，所以引入两个操作分别是||0和||0，分别表示去掉矩阵的第一列和最后一列；两个操作的具体表达形式是：
||0＝[0|Im-1]' (5)
||0＝[Im-1|0]' (6)
对于噪声矩阵之间存在关系：
E0:m-1||0＝E1:m||0 (7)
基于动态模式分解的交通数据填充模型为：
式(8)是在两个快照矩阵的对应线性关系和噪声项对应关系确定的约束下，保证对应关系K和噪声项最小，从而得到准确的交通状态估计值；其中||X||*表示核范数,表示F范数,E0:m-1(:,1)表示噪声矩阵E的第一列；
交通数据具有时空相关性，利用rank的凸近似，即核范数||K||*来表示；增加一项约束，用来约束填充结果的非负性，具体表达式为：
所以，基于非负低秩的动态模式分解方法的交通数据填充模型如下式(10)所示：
S2基于非负低秩动态模式分解的交通数据填充模型求解；
关于预测模型(10)中K的核范数求解，先引入矩阵L和R来表示K，表达式为：
K＝LR' (11)
其中：R'表示为矩阵R的转置，所以关于K的核范数：
所以将模型(10)中所有的K都以L和R的形式进行替换，得到如下模型(13)：
将有约束的待求解问题转化为无约束问题，所以考虑引入了拉格朗日算子，模型变成如下形式：
其中令
H0:m-1＝P0:m-1⊙E0:m-1 (15)
H1:m＝PΩ1:m⊙E1:m (16)
P,Q,W,A1,A2是拉格朗日乘子，μ,η,ρ,β1,β2是增广拉格朗日参数；那么各个变量的求解公式分别如下所示：
变量L的求解：
变量R的求解：
变量E的求解：
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