CN109584371A - 空间曲线覆盖三角网格曲面的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，它先得到网格曲面上所有顶点的测地距离，时间复杂度O(nlogn)，其中n是三角网格上面片的数目。然后通过半边结构的迭代得到测地距离等值线，这样的时间复杂度最大是线性的O(nm)，其中m为等值线环的数目。进而通过图论的方式对于螺旋轮廓线进行拓扑分片，其中克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是O(eloge)，e为图中边的数目，但是螺旋轮廓图类似与超树，通过近似可以估计边的数目约等于顶点的数目，因此可以估计出总的时间复杂度为O(mlogm)。最后对于每一个简单区域定义算子进行局部路由并且在简单区域之间进行全局连接这样时间复杂度不会超过O(l)，l为等值线环上所有的顶点数。从全局来看复杂度都不会超过O(nlogn)。

Description

空间曲线覆盖三角网格曲面的方法

技术领域

本发明涉及一种空间曲线覆盖曲面的方法，特别是涉及一种空间曲线覆盖三角网格曲面的方法。

背景技术

对于空间曲线覆盖曲面的问题，是工业上的一个十分重要且并没有完全解决的问题。在路径规划领域，对于曲面上路径规划的螺线的生成，常用的算法有两类。

第一类称为偏移算法，在曲面上创建偏移曲线，并连接偏移曲线以生成螺旋线，包括几个典型的算法：通过等参数方法偏移模型的外轮廓线，然后对于每个内腔分别进行B样条插值，这样可以在所有的偏移轨迹的每个角上实现平滑连接，以产生进一步的螺旋轨迹。采用恒定参数的路径生成轮廓补偿方法，用优化来减少处理时间，由偏移曲线之间的连线来产生螺旋路径。但是，所有这些上述算法都需要进行自相交的判断并且简化顶点。而且除了一些特定的的算法外，其他算法都具有尖锐的角，这意味着这些螺旋路径不够光滑，在实际生产中更可能产生导数方向的剧烈变化。

第二类算法称为映射算法。使用精确的阿基米德螺旋或者希尔伯特曲线之类的空间填充曲线，将其投影到工件表面。这个类中有几种算法是十分具有代表性的。基于重新参数化的刀具路径生成方法，以减少的长度和变化的约束，寻找设计的表面和特定平面圆形域之间生成的坐标映射，并且在圆形中产生具有最大路径间隔的螺旋形路径；使用调和映射来参数化三角形网格，算法以网格表面为基础，不适用于参数表面。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足之处，提供一种时间复杂度低的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法。

本发明提供的这种空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，该方法包括以下步骤：步骤一、求解三角网格曲面上所有顶点的测地距离；步骤二、通过插值的方式得到距离场上测地距离的等值线环；步骤三、构造空间中费马螺线；步骤四、生成等值线环的螺旋轮廓图，通过图论的方式对等值线环进行拓扑分片；步骤五、对每一块等值线环进行方向统一，定义连接两条相邻边的算子，定义局部路由规则，进行局部路由；步骤六、对各块等值线环进行全局连接。

在一个具体实施方式中，在所述步骤一中，首先将三角网格上两点之间最短折线看作曲面上的测地曲线；然后进行局部的测地距离计算，将三角网格的边平均切分成多个顶点，然后对于点生成全局的距离矩阵，利用Dijkstra算法寻找两点之间最小加权路径，并计算出该路径的距离；最后利用FDP算法即可计算全局的测地距离。

在所述步骤二中，首先确定距离等值线之间的邻接关系，距离等值线之间关系为：距离等值线为完整的环；其次对于等值线dist＝ω，在三角网格上找到一条半边e_i，使得e_i的两个顶点v_is,v_ie能够满足或者接着通过求解线性方程的方式得到环上的第一个点p_ω，1，使得然后在一个三角面片上，可确定如果有那么对于这个三角形上除了v_is和v_ie之外的顶点v_e，一定只有三种情况，或者或者知在除了e_i的半边外，必定会有距离等于的点在半边e_j上，令其参数为t，在其相对的半边上可以得到参数为(1-t)的点p_ω，2，作为下一个还上的点；通过不断的在面和半边的遍历使得p_ω，j＝p_ω，1，将这一组有序的点列连起来，最终生成一条等值线环。

在所述步骤三中，费马螺线生成算法为利用区域填充算法构造空间中三角网格上连续的费马螺线。

在所述步骤四中，采用克鲁斯卡尔算法从螺旋轮廓图中得到最小生成树，并对于树进行剪枝，从顶点开始遍历，查找度大于二的顶点，在这个顶点上将子树切开，分成不同的链表。

在所述步骤五中，算子有两个，分别为B(p)和I(p)，B(p)：对于点p在当前环上向前偏移距离δ，I(p)：得到p点所在环内部环的最近点；

局部路由规则为：

在所述步骤六中，在最小生成树内通过从根节点到叶子节点的顺序进行遍历；首先寻找到子树所在区块的入口点P_in和出口点p_out；其次在外层的路径上寻找到内层梯度最大的相对应的位置点用来路由；然后对于区块的入口和出口判断方向，即计算如果d≤0就需要将内层中所有的路径反向；接着在外层路径链表中去除p_out和p_in之间所有的顶点；最后在p_in后插入在后插入p_out，得到完整的路径链表。

本发明在时间复杂度上，首先通过FWP的算法得到网格曲面上所有顶点的测地距离，这样的时间复杂度O(nlogn)，其中n是三角网格上面片的数目。然后通过面片的连续性，通过半边结构的迭代得到测地距离等值线，这样的时间复杂度最大是线性的O(nm)，其中m为等值线环的数目。进而通过图论的方式对于螺旋轮廓线进行拓扑分片，其中克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是O(eloge)，e为图中边的数目，但是螺旋轮廓图类似与超树，通过近似可以估计边的数目约等于顶点的数目，因此可以估计出总的时间复杂度为O(mlogm)。最后对于每一个简单区域定义算子进行局部路由并且在简单区域之间进行全局连接这样时间复杂度不会超过O(l)，l为等值线环上所有的顶点数。从全局来看虽然不会有一个整体的复杂度，但是对于每一个过程而言复杂度都不会超过O(nlogn)。时间复杂度低保证算法的效率。

附图说明

图1为本优选实施例中等值线环生成方式示意图。

图2为半只斯坦福兔子和Fandisk从源点的测地距离等值线环示意图。

图3为本实施例中拓扑分片示意图。

图4为全局路由算法示意图，其中(a)图为模型和等值线，(b)图、(c)图为等值线和局部连接的费马螺线。

图5为全局路由算法示意图，左图为斯坦福兔子模型，右图(a)为局部放大模型，(b)为测地距离等值线，(c)为判断是否需要内层反向，(d)为全局费马螺线路由。

图6为算例展示斯坦福兔子、零件、齿轮的原始模型(左)，测地距离等值线(中)，连续费马螺线(右)。

图7为本发明一个优选实施例的流程框图。

具体实施方式

本实施例提供的这种空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，包括以下步骤。

步骤一、求解三角网格曲面上所有顶点的测地距离。

从泛函的角度来看，测地线是典型的泛函极值问题。对于度量张量为g的黎曼流形M，连续可微曲线γ：[a，b]长度可以表示为：

若采用克里斯托费符号，其中表示表示

令Lagrange量带入Lagrange方程有：

当t＝s时可以得到方程：

又因为

由于并且将其带入方程可以得到

在局部坐标系下可以得到一般测地线方程：

其中u、v是流形坐标卡参数，t是曲线一般参数，s是曲线的度量参数，g为度量张量，Γ是原始曲面，δ是函数的变分。

从微分几何的角度来看，曲面上的直线段是测地曲线，并且所有的测地曲线都是局部短程线；因此在三角网格上可以近似将两点之间最短折线看作曲面上的测地曲线。在局部的测地距离计算上，采用图的方式，算法的思想是将三角形的边平均切分成多个顶点，然后对于点生成全局的距离矩阵，生成一张图。然后在图上上的寻找两点之间最小加权路径的方式找到最短路径并计算出距离。在图上寻找最短路径是通过Dijkstra算法算法实现。

在全局的测地距离计算上，采用FDP方法。FDP算法是对于传统的迭代算法的改进，算法从源点开始遍历顶点和边，使用将三角网格局部展开为平面的方式计算这些顶点和边到源点的距离，进而进行递归生成树结构。在实际计算中，可以采用队列的方式储存迭代的距离，并且算法为了加快速度，可以采用并行的计算方式，即每个计算单元处理一个队列，能够有效的增加效率。

步骤二、通过插值的方式得到距离场上测地距离的等值线环。

在步骤一中，可以得到三角网格上所有的点到给定边界的测地距离，因为采用线性插值的方式得到近似的测地距离，由于点之间距离的连续性，那么对于距离等值线而言，等值线必定是完整的环，这样通过三角面片连续性可以减少计算。

在有了邻接关系的情况下，对于等值线dist＝ω，可以在三角网格上找到一条半边e_i，使得e_i的两个顶点v_is,v_ie能够满足或者通过求解线性方程的方式得到环上的第一个点p_ω，1，使得在一个三角面片上，如果有那么对于这个三角形上除了v_is和v_ie之外的顶点v_e，一定只有三种情况，或者或者那么在除了e_i的半边外，必定会有距离等于ω的点在半边e_j上，令其参数为t。在其相对的半边上可以得到参数为(1-t)的点p_ω，2，作为下一个还上的点。这样通过不断的在面和半边的遍历使得p_ω，j＝p_ω，1，将这一组有序的点列连起来，最终生成一条等值线环，如图1所示。

对于每一个距离等值线dist＝ω_i均进行这样的计算，就能够得到所有的等值线环，如图2所示。进一步的通过顶点的邻接关系便能够得到等值线之间的邻接关系。在实际算法中为了曲面定向和路由时保证折线近似在曲面上，对距离等值线之间的距离采取更加小的采样。

步骤三、生成等值线环的螺旋轮廓图，通过图论的方式对等值线环进行拓扑分片。

在上述的等值线环生成后，算法将生成一张图，我们称这张图为螺旋轮廓图，如图3(b)。其节点是上文中生成的等值线环，图中的边表示等值线之间的邻接关系，权重表示离边界的远近。事实上为了保证和平面上保持一致，我们希望图结构也可以变成树结构。为了将每次分块尽可能的大，可以通过图论上的生成最小生成树的方式得到结果，如图3(c)。

最小生成树可以被描述为：在一给定的无向图G{V，E}中，(u，v)代表连接顶点u与顶点v的边，而w(u，v)代表此边的权重，若存在的子集、且为T为无循环图，使得w(T)＝∑_(u，v)∈Tw(u，v)最小。这样的T就成为最小生成树。

在实际的计算中，采用克鲁斯卡尔算法得到这样的生成树。克鲁斯卡尔算法的基本思想是先将图T定义为一个只含n个顶点、而边集的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从图G的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止。

理论上由于螺旋轮廓图的结构并不复杂，更加像一个超树，层次结构和权重一致，因此在最小生成树上不会出现子节点在父节点之前的情况。

然后需要对于树进行剪枝，从顶点开始遍历，查找度大于二的顶点，在这个顶点上将子树切开，分成不同的链表，如图3(d)。这样对于每一个链表而言均是简单的顺序结构，在原始的结构上表示含义就是每个等值线环中只能有一个直接的子环如图3(e)。

步骤四、对每一块等值线环进行方向统一，定义连接两条相邻边的算子，定义局部路由规则，进行局部路由。

对于每一块的等值线环，首先进行方向统一。另外在连接两条相邻等值线时需要定义两个算子B(p)和I(p)：

B(p)：对于点p在当前环上向前偏移距离δ；

I(p)：得到p点所在环内部环的最近点；

类似的定义局部路由规则这样如果有边界上的入口，就可以得到一条曲线。同样从出口进行反向的进行计算，就可以得到另一条曲线，如图4中A部分所示。在区域中心将两条曲线连接起来就可以得到结果，如图4中B部分所示。

步骤五、对各块等值线环进行全局连接。

全局路由算法对于图的最小生成树而言，通过从根节点到叶子节点的顺序进行遍历。首先是寻找到子树所在区块的入口点p_in和出口点p_out，然后在外层的路径上寻找到内层梯度最大的相对应的位置点用来路由。其次对于区块的入口和出口判断方向，即计算如果d≤0就需要将内层中所有的路径反向，如5(c)所示。在外层路径链表中去除p_out和p_in之间所有的顶点，并且在p_in后插入在后插入p_out，从而得到完整的路径链表如图5(d)所示。

整个算法在时间复杂度上，算法分为5个步骤。首先通过FWP的算法得到网格曲面上所有顶点的测地距离，这样的时间复杂度O(nlogn)，其中n是三角网格上面片的数目。然后通过面片的连续性，通过半边结构的迭代得到测地距离等值线，这样的时间复杂度最大是线性的O(nm)，其中m为等值线环的数目。进而通过图论的方式对于螺旋轮廓线进行拓扑分片，其中克鲁斯卡尔算法的时间复杂度是O(eloge)，e为图中边的数目，但是螺旋轮廓图类似与超树，通过近似可以估计边的数目约等于顶点的数目，因此可以估计出总的时间复杂度为O(mlogm)。最后对于每一个简单区域定义算子进行局部路由并且在简单区域之间进行全局连接这样时间复杂度不会超过O(l)，l为等值线环上所有的顶点数。从全局来看虽然不会有一个整体的复杂度，但是对于每一个过程而言复杂度都不会超过O(nlogn)。

下表是对空间中费马螺线生成时间的分析。所使用的模型和结果见图6。

空间费马螺线生成时间

Claims (7)

1.一种空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

步骤一、求解三角网格曲面上所有顶点的测地距离；

步骤二、通过插值的方式得到距离场上测地距离的等值线环；

步骤三、构造空间中费马螺线；

步骤四、生成等值线环的螺旋轮廓图，通过图论的方式对等值线环进行拓扑分片；

步骤五、对每一块等值线环进行方向统一，定义连接两条相邻边的算子，定义局部路由规则，进行局部路由；

步骤六、对各块等值线环进行全局连接。

2.如权利要求1所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤一中，

首先将三角网格上两点之间最短折线看作曲面上的测地曲线；

然后进行局部的测地距离计算，将三角网格的边平均切分成多个顶点，然后对于点生成全局的距离矩阵，利用Dijkstra算法寻找两点之间最小加权路径，并计算出该路径的距离；

最后利用FDP算法即可计算全局的测地距离。

3.如权利要求2所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤二中，

首先确定距离等值线之间的邻接关系，距离等值线之间关系为：距离等值线为完整的环；

其次对于等值线dist＝ω，在三角网格上找到一条半边e_i，使得e_i的两个顶点v_is,v_ie能够满足或者

接着通过求解线性方程的方式得到环上的第一个点p_ω,1，使得

然后在一个三角面片上，可确定如果有那么对于这个三角形上除了v_is和v_ie之外的顶点v_e，一定只有三种情况，或者或者

知在除了e_i的半边外，必定会有距离等于ω的点在半边e_j上，令其参数为t，在其相对的半边上可以得到参数为(1-t)的点p_ω,2，作为下一个还上的点；

通过不断的在面和半边的遍历使得p_ω,j＝p_ω,1，将这一组有序的点列连起来，最终生成一条等值线环。

4.如权利要求3所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤三中，费马螺线生成算法为利用区域填充算法构造空间中三角网格上连续的费马螺线。

5.如权利要求4所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤四中，采用克鲁斯卡尔算法从螺旋轮廓图中得到最小生成树，并对于树进行剪枝，从顶点开始遍历，查找度大于二的顶点，在这个顶点上将子树切开，分成不同的链表。

6.如权利要求5所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤五中，

算子有两个，分别为B(p)和I(p)，

B(p)：对于点p在当前环上向前偏移距离δ，

I(p)：得到p点所在环内部环的最近点；

局部路由规则为：

7.如权利要求6所述的空间曲线覆盖三角网格曲面的方法，其特征在于：在所述步骤六中，在最小生成树内通过从根节点到叶子节点的顺序进行遍历；

首先寻找到子树所在区块的入口点p_in和出口点p_out；

其次在外层的路径上寻找到内层梯度最大的相对应的位置点用来路由；

然后对于区块的入口和出口判断方向，即计算 如果d≤0就需要将内层中所有的路径反向；

接着在外层路径链表中去除p_out和p_in之间所有的顶点；

最后在p_in后插入在后插入p_out，得到完整的路径链表。