CN109583093A - 一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，它解决了现有技术中需要在每个关节配置双编码器才能实现辨识问题，具有将动力学参数准确辨识的有益效果，其方案如下：一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，包括分析未知参数并分类，建立考虑电机摩擦系数的线性辨识模型，结合静力学试验，实现对未知参数分别辨识，利用分离辨识策略和近似处理方法，将动力学参数准确辨识。

Description

一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法

技术领域

本发明涉及工业机器人领域，特别是涉及一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法。

背景技术

随着工业机器人在现代生产领域中的应用，许多基于力矩输入的先进运动控制方法被用于满足高速度、高精度需求。这需要完整和精确的机器人动力学模型。与此同时，动力学模型也是机器人特征分析的基础，但动力学模型中的参数往往不容易获得。此外，由于生产和装配误差，从CAD模型中得到的参数并不精确。

刚体动力学模型被广泛应用于描述机器人，许多参数辨识方法都是基于此提出。在刚体参数辨识中，电机编码器用来采集关节位置。机器人是弹性体，由于受减速器和其他传动部分的影响，关节处的弹性尤为明显。因此，忽略关节弹性会导致很大的辨识误差。为应对这一问题，可以建立机器人弹性关节动力学模型。有技术建立了基于拉格朗日公式的动力学模型，其中扭矩矢量表示为回归矩阵的乘积，并由动力学参数矢量定义。有技术将直接逆动力学辨识模型方法拓展至对柔性系统的辨识。但是这些方法仅适用于在每个关节上配备双编码器的专门设计的机器人，其电机和关节位置都可以直接测量。而一般的工业机器人，仅设计安装了电机编码器，对于工业应用来说，这些方法的实际应用性不高。

为了在仅有电机编码器的一般机器人上实现对弹性关节的参数辨识，有技术采用关节刚度辨识方法。由于转子转动惯量、关节刚度及电机摩擦参数未知，很难建立线性逆动力学辨识模型。为减少非线性对线性回归识别的影响，只能在小范围内进行试验。由于无法优化激励轨迹，辨识精度对测量噪声敏感。同时，最小惯性参数集也被重组，造成关节刚度和运动摩擦参数与惯性参数及关节摩擦参数耦合。

综上所述，针对只有单编码器的一般工业机器人如何在考虑关节弹性的情况下辨识动力学参数这一问题尚缺乏有效的方案。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，无需在机器人每个关节均设置编码器，就可以将动力学参数准确辨识。

一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法的具体方案如下：

一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，包括分析未知参数并分类，建立考虑电机摩擦系数的线性辨识模型，结合静力学试验，实现对未知参数分别辨识，利用分离辨识策略和近似处理方法，将动力学参数准确辨识。

进一步地，具体步骤如下：

1)建立机器人弹性关节运动学和动力学模型；

2)分析待辨识的未知参数的特征，将其分为运动相关参数和运动无关参数；

3)通过静力学实验结合运动学模型辨识运动无关参数；并获得转子转动惯量；

4)建立近似最小化线性辨识模型，优化激励轨迹以获得机器人的运动轨迹，激励机器人，采样电机力矩和位置信息将获得的电机力矩和位置信息通过近似最小化线性辨识模型求解，从而辨识运动相关参数。

进一步地，所述步骤1)中机器人弹性关节运动学模型基于牛顿-欧拉公式的n自由度，表示为：

τ_e＝K(R^-1q_m-q_e) (15)

同时，

其中q_e、分别为关节位置、速度、加速度矢量，τ_e为关节力矩矢量，M(q_e)∈R^{n ×n}是惯性矩阵，是离心力和科氏力矢量，是关节摩擦力矩矢量，G(q_e)∈Rⁿ是重力力矩或力矢量，q_m、分别是电机位置、速度、加速度矢量，J_m是转子转动惯量矩阵，τ_m是电机力矩向量，_K是关节刚度矩阵，R是减速器减速比矩阵，是电机摩擦力矩矢量。

进一步地，所述动力学模型采用库仑摩擦+粘滞摩擦模型，表示为：

其中，F_ve和F_se分别是关节的粘滞摩擦系数和库仑摩擦系数矩阵。

进一步地，所述动力学模型采用库仑摩擦模型，表示为：

其中，F_sm是电机的库仑摩擦系数矩阵。

进一步地，所述步骤2)的包括如下内容：

对于机器人的第i个连杆，有若干个未知惯性参数需要被辨识，可表示为：

ⁱP_iner＝(I_ixx I_iyy I_izz I_ixy I_iyz I_ixz H_ix H_iy H_iz m_i)^T (22)

其中I_ixx～I_ixz为惯性张量矩阵中的元素，H_i＝[H_ix H_iy H_iz]＝m_i×r_ic＝m_i[r_icx r_icyr_icz]，r_ic为质心位置矢量，m_i为质量，连杆i所对应的关节i有两个未知的摩擦参数：

ⁱP_fric＝[F_vei F_sei]^T (23)

有三个参数——关节刚度K_i，转子转动惯量J_mi，电机库伦摩擦系数F_smi未知，因此，每个自由度有多个未知参数，如下所示：

其中，ⁱP_iner——连杆惯性参数，ⁱP_fric——关节摩擦参数，K_i——关节刚度，J_mi——转子转动惯量，F_smi——电机库伦摩擦系数。

进一步地，所述运动相关参数包括连杆惯性参数ⁱP_iner、关节摩擦参数ⁱP_fric、转子转动惯量J_mi和电机库伦摩擦系数F_smi；所述运动无关参数包括关节刚度K_i，实际上，转子转动惯量J_mi没有必要辨识。大多数工业机器人由伺服电机驱动，电机转子的转动惯量已由生厂商提供。制造精度高的伺服电机是一类相对精确的驱动器。同时，伺服电机使用过程中转子磨损很小。因此，生产厂家提供的转子转动惯量数值可以直接使用，不必辨识。然而相对应的摩擦参数F_smi与工作条件密切相关，不能直接获得，所以F_smi需要辨识；

所述运动无关参数包括K_i，不需要动力学模型，通过静力/力矩形变试验能将K_i有效辨识。

进一步地，所述步骤3)中辨识运动无关参数的具体步骤如下：

在静态试验中，对机器人关节或末端执行器施加确定的力/力矩，位移传感器测量末端执行器的稳态形变，计算机器人的笛卡尔刚度；

基于步骤1)建立的机器人的运动学模型，能够建立关节与笛卡尔刚度之间的解析关系；

采用多种识别方法来获得关节刚度，如最小二乘法和遗传算法。

在静力/力矩形变试验和识别中，可以采用各种外部位移传感器，例如机器视觉，光栅和激光传感器来测量末端执行器的变形。因此，不需要机器人安装双编码器。此外，由于静态试验和数据测量均在稳态下进行，所识别的关节刚度具有更高的精度。

进一步地，所述步骤4)近似最小化线性辨识模型的获得方法如下：：

利用ⁱP_iner、ⁱP_fric和关节力矩τ_e之间的线性关系(线性关系是机器人动力学模型的特性)，公式(1)被重写为：

其中为观测矩阵，其与q_e、为非线性关系，X_rigid是包含ⁱP_fric以及ⁱP_iner中元素的线性组合的最小惯性参数集；公式(12)被称为刚体动力学模型的最小辨识模型；

电机运动参数q_m、电机力矩τ_m，基于公式(2)-(3)，τ_e和q_e能够以如下形式表达：

工业机器人减速比R_i的数量级为10²，远小于关节刚度，同时，电机的库仑摩擦系数F_smi很小，忽略电机的库仑摩擦系数，q_e能够近似表示为如下形式：

公式(13)可重写为如下形式：

τ_e和F_sm之间存在线性关系，因此将公式(15)-(16)代入公式(1)，可以得到：

将公式中电机摩擦部分移项，公式(17)表示为下式：

如公式(18)所示，左侧部分为未知参数X_rigid和F_sm的线性表达形式，右侧是通过采样数据和J_m计算的扭矩，公式(18)被用作近似最小化线性辨识模型。

相对应地，需要重组新的最小惯性参数集X_elas。需要注意的是，由于关节刚度很大，在采样数据中恒与同号。因而，F_se和RF_sm的系数相同。为保证观测矩阵列满秩，X_elas应该与X_rigid相等，只不过F_se应该变为F_se+RF_sm。观测矩阵依然为不必重组，所述步骤4)利用下式进行最小二乘法辨识最小惯性参数集X_elas：

可以看出，关节刚度参数和转子惯性参数可以在每个关节上无需双编码器的情况下独立获得。

此外，激励轨迹选用五阶傅里叶级数，其形式为

ω_f是傅里叶级数的基频，a_ik、b_ik为正余弦函数的幅值，q_i0是关节初始位置。a_ik、b_ik、q_i0即为待优化的参数。

在选定激励轨迹后，以观测矩阵(公式(12)中的的条件数最小为优化指标进行优化。条件数表示了矩阵计算对于误差的敏感性，选取条件数作为优化指标的意义在于，其值越小在求解参数时就越不容易受到自身误差的影响。

轨迹优化为非线性约束规划问题，可以利用Matlab中的fmincon函数进行求解。

公式(19)中是一个以q_e、为变量的矩阵，这三个变量分别是激励轨迹获得的位置、速度、加速度。通过机器人执行激励轨迹并采样，位置、速度、加速度、力矩的值都可以获得。R、J_m已知。把这些数据代入公式(19)，则只有X_elas，即待辨识参数是未知的。通过上面步骤，我们得到了一个超静定方程组。辨识参数就是求出最小惯性参数集X_elas的过程。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

1)本发明通过整个方法的设置，能获得最小化线性辨识模型，而且不影响X_rigid中惯性参数和关节粘滞参数的独立性，无需在每个关节均设置双编码器。

2)本发明通过优化激励轨迹，可以在机器人的整个工作空间内得到优化，进而降低测量噪声的影响并保证辨识精度。

3)本发明在保证辨识精度的情况下，很好地解决了单编码器的一般工业机器人在考虑关节弹性的情况下如何辨识动力学参数这一问题。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1为本发明具体工作流程图。

图2为本发明弹性关节模型。

图3为典型六自由度工业机器人模型。

图4为本发明实施例中各电机的激励轨迹。

图5为本发明实施例中各电机的采样力矩。

具体实施方式

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

正如背景技术所介绍的，现有技术中存在的不足，为了解决如上的技术问题，本申请提出了一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法。

本申请的一种典型的实施方式中，如图2所示，一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，包括分析未知参数并分类，建立考虑电机摩擦系数的线性辨识模型，结合静力学试验，实现对未知参数分别辨识，利用分离辨识策略和近似处理方法，将动力学参数准确辨识。

具体步骤如下：

1)建立机器人弹性关节运动学和动力学模型；

2)分析待辨识的未知参数的特征，将其分为运动相关参数和运动无关参数；

3)通过静力学实验结合运动学模型辨识运动无关参数；并获得转子转动惯量；

4)建立近似最小化线性辨识模型；优化激励轨迹以获得机器人的运动轨迹；激励机器人，采样电机力矩和位置信息；将获得的电机力矩和位置信息通过近似最小化线性辨识模型求解，从而辨识运动相关参数。

进一步地，所述步骤1)中机器人弹性关节运动学模型基于牛顿-欧拉公式的n自由度，表示为：

τ_e＝K(R^-1q_m-q_e) (28)

同时，

其中q_e、分别为关节位置、速度、加速度矢量，τ_e为关节力矩矢量，是惯性矩阵，是离心力和科氏力矢量，是关节摩擦力矩矢量，是重力力矩或力矢量，q_m、分别是电机位置、速度、加速度矢量，J_m是转子转动惯量矩阵，τ_m是电机力矩向量，_K是关节刚度矩阵，_R是减速器减速比矩阵，是电机摩擦力矩矢量。

动力学模型采用库仑摩擦+粘滞摩擦模型，表示为：

其中，F_ve和F_se分别是关节的粘滞摩擦系数和库仑摩擦系数矩阵。

动力学模型采用库仑摩擦模型，表示为：

其中，F_sm是电机的库仑摩擦系数矩阵。

步骤2)的包括如下内容：

对于机器人的第i个连杆，有若干个未知惯性参数需要被辨识，可表示为：

ⁱP_iner＝(I_ixx I_iyy I_izz I_ixy I_iyz I_ixz H_ix H_iy H_iz m_i)^T (35)

其中I_ixx～I_ixz为惯性张量矩阵中的元素，H_i＝[H_ix H_iy H_iz]＝m_i×r_ic＝m_i[r_icx r_icyr_icz]，r_ic为质心位置矢量，m_i为质量，连杆i所对应的关节i有两个未知的摩擦参数：

ⁱP_fric＝[F_vei F_sei]^T (36)

另有关节刚度K_i，转子转动惯量J_mi，电机库伦摩擦系数F_smi未知，因此，每个自由度有多个未知参数，如下所示：

所述运动相关参数包括连杆惯性参数ⁱP_iner、关节摩擦参数ⁱP_fric、转子转动惯量J_mi和电机库伦摩擦系数F_smi；

所述运动无关参数包括关节刚度K_i。

步骤3)中辨识运动无关参数的具体步骤如下：

在静态试验中，对机器人关节或末端执行器施加确定的力/力矩，位移传感器测量末端执行器的稳态形变，计算机器人的笛卡尔刚度；

基于步骤1)建立的机器人的运动学模型，能够建立关节与笛卡尔刚度之间的解析关系；采用多种识别方法来获得关节刚度，为了提高辨识精度，我们在建立模型时考虑关节弹性，这就引入了关节刚度。刚度是弹性变形难易程度的表征。由于关节刚度是未知的，属于待辨识参数中的运动无关参数，所以要对其进行辨识。

所述步骤4)近似最小化线性辨识模型的获得方法如下：

利用ⁱP_iner、ⁱP_fric和关节力矩τ_e之间的线性关系，公式(1)被重写为：

其中为观测矩阵，其与q_e、为非线性关系，X_rigid是包含ⁱP_fric以及ⁱP_iner中元素的线性组合的最小惯性参数集；公式(12)被称为刚体动力学模型的最小辨识模型；

电机运动参数q_m、电机力矩τ_m，基于公式(2)-(3)，τ_e和q_e能够以如下形式表达：

工业机器人减速比R_i的数量级为10²，远小于关节刚度，同时，电机的库仑摩擦系数F_smi很小，忽略电机的库仑摩擦系数，q_e能够近似表示为如下形式：

公式(13)可重写为如下形式：

τ_e和F_sm之间存在线性关系，因此将公式(15)-(16)代入公式(1)，可以得到：

将公式中电机摩擦部分移项，公式(17)表示为下式：

如公式(18)所示，左侧部分为未知参数X_rigid和F_sm的线性表达形式，右侧是通过采样数据和J_m计算的扭矩，公式(18)被用作近似最小化线性辨识模型。

相对应地，需要重组新的最小惯性参数集X_elas。需要注意的是，由于关节刚度很大，在采样数据中恒与同号。因而，F_se和RF_sm的系数相同。为保证观测矩阵列满秩，X_elas应该与X_rigid相等，只不过F_se应该变为F_se+RF_sm。观测矩阵依然为不必重组，所述步骤7)利用下式进行最小二乘法辨识最小惯性参数集X_elas：

此外，激励轨迹选用五阶傅里叶级数，其形式为

ω_f是傅里叶级数的基频，a_ik、b_ik为正余弦函数的幅值，q_i0是关节初始位置。a_ik、b_ik、q_i0即为待优化的参数。

在选定激励轨迹后，以观测矩阵(公式(12)中的)的条件数最小为优化指标进行优化。条件数表示了矩阵计算对于误差的敏感性，选取条件数作为优化指标的意义在于，其值越小在求解参数时就越不容易受到自身误差的影响。

公式(19)中是一个以q_e、为变量的矩阵，这三个变量分别是激励轨迹获得的位置、速度、加速度。通过机器人执行激励轨迹并采样，位置、速度、加速度、力矩的值都可以获得。R、J_m已知。把这些数据代入公式(19)，则只有X_elas，即待辨识参数是未知的。通过上面步骤，我们得到了一个超静定方程组。辨识参数就是求出最小惯性参数集X_elas的过程。

表1六自由度工业机器人调整D-H参数

表2定义的最小惯性参数集

表3关节刚度和转子转动惯量的实际值

图3为典型的六自由度工业机器人，其改进的DenavitHartenberg(DH)参数如表1所示。由于惯性和摩擦主要集中在前3个连杆和关节上，因此选择前3个自由度作为研究对象。在图3所示的姿态下锁定后3个关节，它们便成为第三个连杆的一部分。因此，可以使用Gautier给出的算法和公式(18)获得基本参数集X_elas，其在表2中以真实值示出。此外，在表3中给出了关节刚度和转子惯量的真实值，其中转子惯量值的设置参考功率为2KW～4KW的Panasonic MSME系列电机。

利用傅里叶级数生成关节空间中的激励轨迹，并且采用最小条件数原则来优化正弦和余弦函数的有限和系数，这可以获得整个工作空间的轨迹并降低测量噪声的影响。借助Matlab中的Fmincon函数进行优化，每个电机的轨迹如图4所示。在仿真过程中，电机角位置采用高分辨率编码器(8388608counts/round)以2KHz采样。采样数据通过低通巴特沃斯滤波器进行滤波。为了考虑测量噪声对识别精度的影响，将具有零均值的高斯噪声加到电机运动参数和具有不同信噪比水平的转矩上。

通过忽略测量噪声，采样得到每个电机的力矩数据，如图5所示。对于关节刚度和转子惯量，它们分别可以通过静态试验和从电机制造商处精确获得。假设它们分别有1％和0.5％的误差。表4列出了在不考虑关节弹性的情况下，所提出的识别策略和传统的逆动力学模型与最小二乘法结合方法在没有测量噪声的情况下X_elas的识别结果。可以看出，由所提出的辨识策略得出的估计值与真实值十分接近。误差主要来源于关节刚度、转子转动惯量的不准确性及关节位置的近似处理。但小误差表明了所提出的近似处理方法和整个识别策略的有效性。由于忽略了关节弹性，传统的逆动力学模型与最小二乘法结合方法中的关节运动参数直接由采样的电机参数和减速比获得，误差较大，导致估计值远离实际值。

表4无噪声的情况下两种方法的辨识结果

具有不同信噪比(即SN＝30，SN＝50，SN＝80)的两种方法的识别结果如表5和表6所示。可以看出，测量噪声对所提出方法的准确性有一定影响。但随着信噪比的增加，识别精度明显提高。SN＝50时的误差很小，并且SN＝80的精度接近于没有测量噪声。而传统的逆动力学模型与最小二乘法结合方法在信噪比不同的情况下，其准确性没有明显变化，因为忽略关节弹性是导致误差的关键因素。

综上所述，本发明在保证辨识精度的情况下，很好地解决了单编码器的一般工业机器人在考虑关节弹性的情况下如何辨识动力学参数这一问题。

表5有噪声情况下所提出方法的辨识结果

表6有噪声情况下传统逆动力学模型与最小二乘法结合方法的辨识结果

以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，包括分析未知参数并分类，建立考虑电机摩擦系数的线性辨识模型，结合静力学试验，实现对未知参数分别辨识，利用分离辨识策略和近似处理方法，将动力学参数准确辨识。

2.根据权利要求1所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，具体步骤如下：

1)建立机器人弹性关节运动学和动力学模型；

2)分析待辨识的未知参数的特征，将其分为运动相关参数和运动无关参数；

3)通过静力学实验结合运动学模型辨识运动无关参数；并获得转子转动惯量；

4)建立近似最小化线性辨识模型；优化激励轨迹以获得机器人的运动轨迹；激励机器人，采样电机力矩和位置信息；将获得的电机力矩和位置信息通过近似最小化线性辨识模型求解，从而辨识运动相关参数。

3.根据权利要求2所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述步骤1)中机器人弹性关节运动学模型基于牛顿-欧拉公式的n自由度，表示为：

τ_e＝K(R^-1q_m-q_e) (2)

同时，

其中q_e、分别为关节位置、速度、加速度矢量，τ_e为关节力矩矢量，是惯性矩阵，是离心力和科氏力矢量，是关节摩擦力矩矢量，是重力力矩或力矢量，q_m、分别是电机位置、速度、加速度矢量，J_m是转子转动惯量矩阵，τ_m是电机力矩向量，K是关节刚度矩阵，R是减速器减速比矩阵，是电机摩擦力矩矢量。

4.根据权利要求2所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述动力学模型采用库仑摩擦+粘滞摩擦模型，表示为：

其中，F_ve和F_se分别是关节的粘滞摩擦系数和库仑摩擦系数矩阵。

5.根据权利要求2所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述动力学模型采用库仑摩擦模型，表示为：

其中，F_sm是电机的库仑摩擦系数矩阵。

6.根据权利要求2所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述步骤2)包括如下内容：

对于机器人的第i个连杆，有若干个未知惯性参数需要被辨识，可表示为：

ⁱP_iner＝(I_ixx I_iyy I_izz I_ixy I_iyz I_ixz H_ix H_iy H_iz m_i)^T (9)

其中I_ixx～I_ixz为惯性张量矩阵中的元素，H_i＝[H_ix H_iy H_iz]＝m_i×r_ic＝m_i[r_icx r_icyr_icz]，r_ic为质心位置矢量，m_i为质量，连杆i所对应的关节i有未知的关节摩擦参数ⁱP_fric和电机库伦摩擦系数F_smi：

ⁱP_fric＝[F_vei F_sei]^T (10)

因此，每个自由度有多个未知参数，如下所示：

其中，ⁱP_iner——连杆惯性参数，ⁱP_fric——关节摩擦参数，K_i——关节刚度，J_mi——转子转动惯量，F_smi——电机库伦摩擦系数。

7.根据权利要求6所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述运动相关参数包括连杆惯性参数ⁱP_iner、关节摩擦参数ⁱP_fric、转子转动惯量J_mi和电机库伦摩擦系数F_smi；

所述运动无关参数包括关节刚度K_i。

8.根据权利要求2所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述步骤3)中辨识运动无关参数的具体步骤如下：

在静态试验中，对机器人关节或末端执行器施加确定的力/力矩，位移传感器测量末端执行器的稳态形变，计算机器人的笛卡尔刚度；

基于步骤1)建立的机器人的运动学模型，能够建立关节与笛卡尔刚度之间的解析关系；

采用多种识别方法来获得关节刚度。

9.根据权利要求3所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述步骤4)近似最小化线性辨识模型的获得方法如下：

利用ⁱP_iner、ⁱP_fric和关节力矩τ_e之间的线性关系，公式(1)被重写为：

其中为观测矩阵，其与q_e、为非线性关系，X_rigid是包含ⁱP_fric以及ⁱP_iner中元素的线性组合的最小惯性参数集；公式(12)被称为刚体动力学模型的最小辨识模型；

电机运动参数q_m、电机力矩τ_m，基于公式(2)-(3)，τ_e和q_e能够以如下形式表达：

通过忽略电机地库伦摩擦系数，q_e能够近似表示为如下形式：

公式(13)可重写为如下形式：

τ_e和F_sm之间存在线性关系，因此将公式(15)-(16)代入公式(1)，可以得到：

将公式中电机摩擦部分移项，公式(17)表示为下式：

公式(18)被用作近似最小化线性辨识模型。

10.根据权利要求9所述的一种考虑关节弹性的工业机器人动力学参数辨识方法，其特征在于，所述步骤4)利用下式进行最小二乘法辨识最小惯性参数集X_elas：