CN109489585B - 基于改进多频条纹结构光的三维测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于改进多频条纹结构光的三维测量方法，其特征是，包括如下步骤：1)生成多频率编码条纹图；2)相机标定；3)投影仪标定；4)投影编码条纹图片并求频率为f_n条纹图的绝对相位；5)三维重建测量。这种方法使用的设备简单，成本低廉，可对大型的、型面复杂、过渡剧烈的物体表面进行精确三维测量。

Description

基于改进多频条纹结构光的三维测量方法

技术领域

本发明属于光学检测领域，涉及面结构光三维测量，具体是基于改进多频条纹结构光的三维测量方法。

背景技术

科学技术不断进步让人们对于物体信息的获取要求逐渐提高，开始从平面二维转为三维立体，快速、准确地获取物体的三维信息已经成为了产品快速设计、产品质量检测、医学检测、文物保护、服装设计、自动导航以及虚拟现实系统等邻域的关键问题。光学测量技术和计算机技术的迅猛发展使得传统三坐标接触式测量方式逐渐向光学非接触式测量转变，非接触的测量方式不仅可以避免与被测物接触，而且便于自动化，在各个领域有着广阔的应用前景，而且精度较高，满足了人们的使用需求。在光学非接触式测量技术中，主动式的结构光测量方式的发展最为迅速，它采用不同的投射装置向被测物体投射不同种类的结构光，并拍摄经被测物体表面调制而发生变形的结构光图像，然后从携带有被测物体表面三维形貌信息的图像中计算出被测物体的三维形貌数据；

现有技术之一：参见“Liu C,Liu Y,Liu X,et al.Three-dimensional footwearprint extraction based on structured light projection[C]//IEEE InternationalConference on Computer and Communications.IEEE,2017:685-689.”，中国电子科技集团公司第38研究所Changjin Liu等人提出一种基于结构光投影方法的高分辨率三维测量方法，在此基础上开发了一种改进的系统校准方法和基于格雷码的自校正相位展开方法。该方法目标平面200mm*200mm，测量鞋底印花在不同土壤留下的脚印，可达0.05mm的重建精度。该方法是使用格雷码加相移的方法进行解包裹，当相移条纹较密时，确定条纹的级次进行无歧义展开时需要多幅图片，易受环境光和被测物体表面的反射率等因数影响，抗干扰能力弱；

现有技术之二：参见“杨柳,程筱胜,崔海华,戴宁,张晨博.免疫于伽马非线性的八步相移法[J].激光与光电子学进展,2016,53(11):167-173.”，南京航空航天大学机电学院杨柳等人提出一种基于八步相移法的伽马非线性误差消除方法。八步相移法分析了相位波动误差，投影仪的γ值对相位的影响，构建了数学模型，当投影仪的γ值小于4时，包裹相位只与采集图像的灰度值有关，与伽马非线性和背景光强无关；

现有技术之三：中国专利文献CN108332685A公开了一种编码结构光三维测量方法，使用格雷编码图像和线移条纹编码图像，以欧拉距离为关键点距离约束条件，分别获取格雷码边缘线上与线移条纹中心线上的关键点；设计边缘奇异算子和中心奇异算子并分别构建边缘检测代价函数和中心检测代价函数；由最短路径搜索技术分别自动跟踪定位格雷码边缘和线移条纹中心；旨在效减小格雷码条纹边缘定位不准确、线移条纹中心定位误差，提高三维测量时对格雷码边缘线与线移条纹中心定位的精度；

现有技术之四：参见“多频外差原理相位解包裹方法的改进[J].光学学报,2016,36(4)”，陈松林等人利用双频外差原理进行部分条纹解包裹，然后利用相位与条纹节距之间的关系将包裹后的相位转换为其他条纹的相位，使用转换后的相位对其包裹相位进行校正，得到展开相位。为使展开的相位不存在跳跃性误差，提出了解包裹过程中所需满足的约束条件，但对于测量表面精细的物体，需要的条纹更密集，节距也更小，需要的包裹相位误差也更小；

在大型的、型面复杂、过渡剧烈的物体表面进行精确三维测量时，需要更密集条纹，也需要更加准确的确定条纹的级次进行无歧义包裹相位展开。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，而提供基于改进多频条纹结构光的三维测量方法。这种方法使用的设备简单，成本低廉，可对大型的、型面复杂、过渡剧烈的物体表面进行精确三维测量。

实现本发明目的的技术方案是：

基于改进多频条纹结构光的三维测量方法，与现有技术不同的是，包括如下步骤：

1)生成编码条纹图片：采用计算机生成多种频率的编码条纹图，编码条纹图光强分布函数可以表示为公式(1)，其中，I(x,y)表示编码条纹图光强，A(x,y)表示图像的背景光强，B(x,y)表示图像的调制强度，f表示条纹的频率，φ(x,y)表示条纹相位值，频率f取值为f₁，f₂，f₃，...f_n，取值之间的关系为f₁＜f₂＜f₃...＜f_n，其中f₁为1，f₂为k*f₁，f₃为k*f₂，...f_n为k*f_n-1，k可以取值2,3,4...，频率为f₁，f₂，f₃，...f_n-1的编码条纹图采用三步相移，每次移动的步长为2π/3，每个频率生成图片三幅，频率为f_n的编码条纹图采用八步相移，每次移动的步长为π/4，生成图片八幅，

2)相机标定：采用圆形阵列标定板对相机进行标定，采用亚像素边缘检测算法提取标定板圆形标志点边缘，计算得到亚像素精度的圆形标志点圆心图像坐标，使用MATLAB相机标定函数计算相机的内参数A^c，外参数

其中R^c为旋转矩阵，t^c为平移向量；

3)投影仪标定：依照李中伟等人的论文《结构光测量技术中的投影仪标定算法》中的方法进行标定，具体为：

(1)水平、竖直方向投影编码条纹图：投影仪采用水平、垂直两种方式投影步骤1)生成的编码条纹图在圆形阵列标定板上，使用相机采集，另拍摄一幅未投影编码条纹图的圆形阵列标定板图像；

(2)提取圆形标志点圆心图像坐标：根据步骤2)中方法，提取未投影条纹图的圆形阵列标定板图像的圆形标志点圆心图像坐标；

(3)求编码条纹图绝对相位值：使用步骤(1)中采集的变形编码条纹图，按特定方式进行相位展开，计算频率为f_n的编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)，分别得到水平、竖直方式投影的编码条纹图的绝对相位值Φ_nv(x,y)和Φ_nh(x,y)；

(4)计算圆形标志点圆心图像坐标对应的DMD图像坐标：计算每个圆形标志点圆心图像坐标对应的在X轴和Y轴方向的绝对相位值，然后根据公式(2)、公式(3)计算对应的投影仪DMD图像坐标，得到每个圆形标志点圆心图像坐标对应的DMD图像坐标：

其中，Φ_v(u,v)和Φ_h(u,v)分别代表标定板圆形标志点圆心点在水平方向和竖直方向的绝对相位值Φ_n(x,y)，N_v和N_h在实际应用时相同，都代表编码条纹图的条纹频率，W和H分别代表DMD图像的水平和竖直方向像素个数；

(5)获取标定板在投影仪投影仪范围内不同位置结果：重复步骤(1)-(4)，得到至少12个圆形阵列标定板在投影仪投影范围内不同位置、姿态的结果，依照上述论文方式进行投影仪标定可以获取投影仪内参数A^p，外参数[R^p,t^p]，其中R^p为旋转矩阵，t^p为平移向量；

4)投影编码条纹图片并求频率为f_n条纹图的绝对相位：分别投影频率为f₁，f₂，f₃，...f_n的编码条纹图到待测物体上，采用与步骤3)中相同的特定方式求频率为f_n的八步相移编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)；

5)三维重建测量：由前面步骤(2)、步骤(3)已经得到相机和投影仪的内外参数，由频率为f_n的八步相移条纹图的绝对相位确定每一像素点的相位值，进行三维重建测量，重建过程如下：

相机成像过程中，空间坐标到相机像素坐标的可以用公式(4)表示为：

其中

和

分别代表像素齐次坐标的[x,y,1]和空间三维齐次坐标[X^w,Y^w,Z^w,1]，A^c是相机内参，

是相机外参，M是一个三行四列矩阵，s是尺度因子，投影仪作为逆向相机进行分析，将相机的M矩阵表示为M^c，投影仪的M矩阵表示为M^p，M^c和M^p表示为：

将公式(5)和公式(6)代入公式(4)，再化简得到：

其中(x^c,y^c)和(x^p,y^p)分别代表相机的像素坐标和投影仪DMD像素坐标，也即(x^c,y^c)为绝对相位图的像素坐标是已知的，(x^p,y^p)也是已知的，X^w、Y^w、Z^w是未知的，任选其中三个方程即可求解，选择x^c,y^c,y^p三个方程求解，X^w、Y^w、Z^w表示为：

公式(9)中矩阵求逆可以用其伴随矩阵除以行列式的方法，具体过程不再赘述，至此得到待测物体表面的三维坐标。

步骤3)、步骤4)中所述的特定方式具体步骤如下：

a)求频率为f₁的编码条纹图的绝对相位值：取频率为f₁的三步相移编码条纹图三张图片，通过公式(10)得到这组图片的包裹相位：

其中N表示捕捉条纹图的数量，I_n(x,y)表示相机采集到的变形条纹的光强，φ(x,y)表示包裹相位，令频率为f₁的编码条纹图绝对相位为Φ₁(x,y)，Φ₁(x,y)等于φ(x,y)；

b)求频率为f₂，f₃，...f_n-1编码条纹图的绝对相位值：取频率为f₂的三步相移条纹三张图片，包裹相位按公式(10)方式求得，步骤a)中已知Φ₁(x,y)为频率为f1的第一组图片得到的绝对相位，利用公式(11)、公式(12)对频率为f2的第二组条纹图的包裹相位进行相位展开：

Φ(x,y)＝φ(x,y)+2π*n(x,y) (12)

n(x,y)为整数，代表条纹级次，round是取整函数，得到第二组条纹图的绝对相位Φ₂(x,y)，

采用上述方法可得到频率为f₃，...f_n-1的编码条纹图的绝对相位Φ₃(x,y)......Φ_n-1(x,y)；

c)求频率为f_n编码条纹图的绝对相位值：取频率为f_n的八步相移编码条纹八张图片依照杨柳等人的论文《免疫于伽马非线性的八步相移法》中所述方法，八步相移解包裹可消除系统非线性的影响，过程如下：

定义系统的非线性响应函数为公式(13)，生成的条纹图可以简化表示为公式(14)，其中M为条纹图光强最大值，f为条纹周期，δ代表初始相位，n为像素个数，

f(x)＝a+bx+cx²+dx³+ex⁴ (13)

将公式(14)代入公式(13)，得到存在非线性时的光强为：

I_i”＝αcos⁴(φ”+δ_i)+βcos³(φ”+δ_i)+μcos²(φ”+δ_i)+vcos(φ”+δ_i)+A (15)

其中α、β、μ、ν、A的表达式是含有系统非线性响应函数的系数a、b、c、d、e的，八步相移法拍摄的8幅条纹图的光强值表示为：

通过化简计算可得八步相移法的包裹相位φ_wrap，欲消除系统非线性的影响就要消除相位计算公式中的α、β、μ、ν、A，如公式(17)：

W表示包裹算子，系统存在四阶的伽马非线性的情况下，八步相移法的包裹相位只与相机采集到的条纹图光强值有关；

再利用Φ_n-1(x,y)和公式(11)、公式(12)，计算得到频率为f_n的编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)。

这种方法使用的设备简单，成本低廉，可对大型的、型面复杂、过渡剧烈的物体表面进行精确三维测量。

附图说明

图1为实施例中设备摆放示意图；

图2为实施例中方法的流程框图；

图3为实施例中圆形阵列标定板示意图；

图4为实施例中投影三个不同频率的条纹示意图；

图5为实施例中特定方式的流程示意图。

图1中1.投影仪 2.相机 3.电脑 4.待测物体。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发内容作进一步的阐述，但不是对本发明的限定。

实施例1：

参照图2，基于改进多频条纹结构光的三维测量方法，包括如下步骤：

1)生成编码条纹图片：将投影仪1和相机2如图2所示方式进行摆放，其中，投影仪1和相机2与电脑3连接并受电脑3控制，投影仪1镜头光轴与相机2镜头光轴交于待测物体4的中心，根据待测物体大小调整相机2与投影仪1的距离与夹角，采用电脑3生成多种频率的编码条纹图，如图4所示，编码条纹图光强分布函数可以表示为公式(1)，其中，I(x,y)表示编码条纹图光强，A(x,y)表示图像的背景光强，B(x,y)表示图像的调制强度，f表示条纹的频率，φ(x,y)表示条纹相位值，频率f取值为1,8,64，频率f为1,8的编码条纹图采用三步相移，每次移动的步长为2π/3，每个频率生成图片三幅，频率f为64的编码条纹图采用八步相移，每次移动的步长为π/4，生成图片八幅，

2)相机2标定：采用如图3所示的圆形阵列标定板对相机进行标定，圆形阵列标定板有七行七列共49个圆形标志点，背景黑色，标志点为直径15mm的白色圆点，两点圆心距离30mm，标定板一角缺失腰长15m的等腰直角三角形，用来确定标定板方向，采用亚像素边缘检测算法提取标定板圆形标志点边缘，计算得到亚像素精度的圆形标志点圆心图像坐标，使用MATLAB标定工具包中相机标定函数计算相机的内参数A^c，外参数[R^ct^c]，其中R^c为旋转矩阵，t^c为平移向量；

3)投影仪1标定：依照李中伟等人的论文《结构光测量技术中的投影仪标定算法》中的方法进行标定，具体为：

(1)水平、竖直方向投影编码条纹图：投影仪1采用水平、垂直两种方式投影步骤1)生成的编码条纹图在圆形阵列标定板上，使用相机采集，另拍摄一幅未投影编码条纹图的圆形阵列标定板图像；

(2)提取圆形标志点圆心图像坐标：根据步骤2)中方法，提取未投影条纹图的圆形阵列标定板图像的圆形标志点圆心图像坐标；

(3)求编码条纹图绝对相位值：使用步骤(1)中采集的变形编码条纹图，按特定方式进行相位展开，计算频率f为64的编码条纹图的绝对相位Φ₃(x,y)，分别得到水平、竖直方式投影的编码条纹图的绝对相位值Φ_3v(x,y)和Φ_3h(x,y)；

(4)计算圆形标志点圆心图像坐标对应的DMD图像坐标：计算每个圆形标志点圆心图像坐标对应的在X轴和Y轴方向的绝对相位值，然后根据公式(2)、公式(3)计算对应的投影仪DMD图像坐标，得到每个圆形标志点圆心图像坐标对应的DMD图像坐标：

其中，Φ_v(u,v)和Φ_h(u,v)分别代表标定板圆形标志圆心点在水平方向和竖直方向的绝对相位值Φ_n(x,y)，N_v和N_h在实际应用时相同，都代表编码条纹图的条纹频率，W和H分别代表DMD图像的水平和竖直方向像素个数；

(5)获取标定板在投影仪投影仪范围内不同位置结果：重复步骤(1)-(4)，得到20个圆形阵列标定板在投影仪投影范围内不同位置、姿态的结果，依照上述论文方式进行投影仪标定可以获取投影仪内参数A^p，外参数[R^p,t^p]，其中R^p为旋转矩阵，t^p为平移向量；

4)投影编码条纹图片并求频率f为64的条纹图的绝对相位：分别投影频率f为1,8,64的编码条纹图到待测物体4上，采用与步骤3)中相同的特定方式求频率f为64的八步相移编码条纹图的绝对相位Φ₃(x,y)；

5)三维重建测量：由前面步骤(2)、步骤(3)已经得到相机和投影仪的内外参数，由频率f为64的八步相移条纹图的绝对相位确定每一像素点的相位值，进行三维重建测量，重建过程如下：

相机成像过程中，空间坐标到相机像素坐标的可以用公式(4)表示为：

其中

和

分别代表像素齐次坐标的[x,y,1]和空间三维齐次坐标[X^w,Y^w,Z^w,1]，A^c是相机内参，[R^ct^c]是相机外参，M是一个三行四列矩阵，s是尺度因子，投影仪作为逆向相机进行分析，将相机的M矩阵表示为M^c，投影仪的M矩阵表示为M^p，M^c和M^p表示为：

将公式(5)和公式(6)代入公式(4)，再化简得到：

其中(x^c,y^c)和(x^p,y^p)分别代表相机的像素坐标和投影仪DMD像素坐标都是是已知的，X^w、Y^w、Z^w是未知的，选其中三个方程x^c,y^c,y^p求解，X^w、Y^w、Z^w表示为：

公式(9)中矩阵求逆可以用其伴随矩阵除以行列式的方法得到，具体过程不再赘述，至此得到待测物体4的表面三维坐标。

参照图5，步骤3)、步骤4)中所述的特定方式为：

a)求频率f为1的编码条纹图的绝对相位值：取频率f为1的三步相移编码条纹图三张图片，通过公式(10)得到这组图片的包裹相位：

其中N表示捕捉条纹图的数量，I_n(x,y)表示相机采集到的变形条纹的光强，φ(x,y)表示包裹相位，令频率f为1的编码条纹图绝对相位为Φ₁(x,y)，因为投影的编码条纹图的频率为1，所以Φ₁(x,y)等于φ(x,y)；

b)求频率f为8编码条纹图的绝对相位值：取频率f为8的三步相移条纹三张图片，包裹相位按公式(10)方式求得，步骤a)中已知Φ₁(x,y)为频率f为1的第一组图片得到的绝对相位，利用公式(11)、公式(12)对频率f为8的第二组条纹图的包裹相位进行相位展开：

Φ(x,y)＝φ(x,y)+2π*n(x,y) (12)

n(x,y)为整数，代表条纹级次，round是取整函数，得到第二组条纹图的绝对相位Φ₂(x,y)；

c)求频率f为64编码条纹图的绝对相位值：取频率f为64的八步相移编码条纹八张图片，依照杨柳等人的论文《免疫于伽马非线性的八步相移法》中所述方法，八步相移解包裹可消除系统非线性的影响，过程如下：

定义系统的非线性响应函数为公式(13)，生成的条纹图可以简化表示为公式(14)，其中M为条纹图光强最大值，f为条纹周期，δ代表初始相位，n为像素个数，

f(x)＝a+bx+cx²+dx³+ex⁴ (13)

将公式(14)代入公式(13)，得到存在非线性时的光强为：

I_i”＝αcos⁴(φ”+δ_i)+βcos³(φ”+δ_i)+μcos²(φ”+δ_i)+vcos(φ”+δ_i)+A (15)

其中α、β、μ、ν、A的表达式是含有系统非线性响应函数的系数a、b、c、d、e的，八步相移法拍摄的8幅条纹图的光强值表示为：

通过化简计算可得八步相移法的包裹相位φ_wrap，欲消除系统非线性的影响就要消除相位计算公式中的α、β、μ、ν、A，如公式(17)：

W表示包裹算子，系统存在四阶的伽马非线性的情况下，八步相移法的包裹相位只与相机采集到的条纹图光强值有关，再利用Φ₂(x,y)和公式(11)、公式(12)，计算得到频率f为64的编码条纹图的绝对相位Φ₃(x,y)。

Claims (1)

1.基于改进多频条纹结构光的三维测量方法，其特征是，包括如下步骤：

1)生成编码条纹图片：采用计算机生成多种频率的编码条纹图，编码条纹图光强分布函数可以表示为公式(1)，其中，I(x,y)表示编码条纹图光强，A(x,y)表示图像的背景光强，B(x,y)表示图像的调制强度，f表示条纹的频率，φ(x,y)表示条纹相位值，频率f取值为f₁，f₂，f₃，...f_n，取值之间的关系为f₁＜f₂＜f₃...＜f_n，其中f₁为1，f₂为k*f₁，f₃为k*f₂，...f_n为k*f_n-1，k取值2,3,4...，频率为f₁，f₂，f₃，...f_n-1的编码条纹图采用三步相移，每次移动的步长为2π/3，每个频率生成图片三幅，频率为f_n的编码条纹图采用八步相移，每次移动的步长为π/4，生成图片八幅，

2)相机标定：采用圆形阵列标定板对相机进行标定，采用亚像素边缘检测算法提取标定板圆形标志点边缘，计算得到亚像素精度的圆形标志点圆心图像坐标，使用MATLAB相机标定函数计算相机的内参数A^c，外参数[R^ct^c]，其中R^c为旋转矩阵，t^c为平移向量；

3)投影仪标定：依照李中伟等人的论文《结构光测量技术中的投影仪标定算法》中的方法进行标定，具体为：

(1)水平、竖直方向投影编码条纹图：投影仪采用水平、垂直两种方式投影步骤1)生成的编码条纹图在圆形阵列标定板上，使用相机采集，另拍摄一幅未投影编码条纹图的圆形阵列标定板图像；

(2)提取圆形标志点圆心图像坐标：根据步骤2)中方法，提取未投影条纹图的圆形阵列标定板图像的圆形标志点圆心图像坐标；

(3)求编码条纹图绝对相位值：使用步骤(1)中采集的变形编码条纹图，按特定方式进行相位展开，计算频率为f_n的编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)，分别得到水平、竖直方式投影的编码条纹图的绝对相位值Φ_nv(x,y)和Φ_nh(x,y)；

(4)计算圆形标志点圆心的DMD图像坐标：计算每个圆形标志点圆心图像坐标对应的在X轴和Y轴方向的绝对相位值，然后根据公式(2)、公式(3)计算对应的投影仪DMD图像坐标，得到每个圆形标志点圆心图像坐标对应的DMD图像坐标：

其中，Φ_v(u,v)和Φ_h(u,v)分别代表标定板圆形标志点圆心点在水平方向和竖直方向的绝对相位值Φ_n(x,y)，N_v和N_h在实际应用时相同，都代表编码条纹图的条纹频率，W和H分别代表DMD图像的水平和竖直方向像素个数；

(5)获取标定板在投影仪范围内不同位置结果：重复步骤(1)-(4)，得到至少12个圆形阵列标定板在投影仪投影范围内不同位置、姿态的结果，依照上述论文方式进行投影仪标定可以获取投影仪内参数A^p，外参数[R^p,t^p]，其中R^p为旋转矩阵，t^p为平移向量；

4)投影编码条纹图片并求频率为f_n条纹图的绝对相位：分别投影频率为f₁，f₂，f₃，...f_n的编码条纹图到待测物体上，采用与步骤3)中相同的特定方式求频率为f_n的八步相移编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)；

5)三维重建测量：由前面步骤(2)、步骤(3)已经得到相机和投影仪的内外参数，结合频率为f_n的八步相移条纹图的绝对相位确定每一像素点的相位值，进行三维重建测量，重建过程如下：

相机成像过程中，空间坐标到相机像素坐标的可以用公式(4)表示为：

其中

和

分别代表像素齐次坐标的[x,y,1]和空间三维齐次坐标[X^w,Y^w,Z^w,1]，A^c是相机内参，[R^ct^c]是相机外参，M是一个三行四列矩阵，s是尺度因子，投影仪作为逆向相机进行分析，将相机的M矩阵表示为M^c，投影仪的M矩阵表示为M^p，M^c和M^p表示为公式(5)和公式(6)：

将公式(5)和公式(6)代入公式(4)，再化简得到公式(7)和公式(8)：

其中(x^c,y^c)和(x^p,y^p)分别代表相机的像素坐标和投影仪DMD像素坐标，选择x^c,y^c,y^p三个方程求解X^w、Y^w、Z^w，可表示为公式(9)：

至此可得物体表面精确的三维坐标；

步骤3)、步骤4)中所述的特定方式为：

a)求频率为f₁的编码条纹图的绝对相位值：取频率为f₁的三步相移编码条纹图三张图片，通过公式(10)得到这组图片的包裹相位：

其中N表示捕捉条纹图的数量，I_n(x,y)表示相机采集到的变形条纹的光强，φ(x,y)表示包裹相位，令频率为f₁的编码条纹图绝对相位为Φ₁(x,y)，Φ₁(x,y)等于φ(x,y)；

b)求频率为f₂，f₃，...f_n-1编码条纹图的绝对相位值：取频率为f₂的三步相移条纹三张图片，包裹相位按公式(10)方式求得，步骤a)中已知Φ₁(x,y)，利用公式(11)、公式(12)对频率为f2的第二组条纹图的包裹相位进行相位展开：

Φ(x,y)＝φ(x,y)+2π*n(x,y) (12)

n(x,y)为整数，代表条纹级次，round是取整函数，得到第二组条纹图的绝对相位Φ₂(x,y)，采用上述方法可得到频率为f₃，...f_n-1的编码条纹图的绝对相位Φ₃(x,y)......Φ_n-1(x,y)；

c)求频率为f_n编码条纹图的绝对相位值：取频率为f_n的八步相移编码条纹八张图片，依照杨柳等人的论文《免疫于伽马非线性的八步相移法》中所述方法，八步相移解包裹可消除系统非线性的影响，过程如下：

定义系统的非线性响应函数为公式(13)，生成的条纹图可以简化表示为公式(14)，其中M为条纹图光强最大值，f为条纹周期，δ代表初始相位，n为像素个数，

f(x)＝a+bx+cx²+dx³+ex⁴ (13)，

将公式(14)代入公式(13)，得到存在非线性时的光强为公式(15)：

I”_i＝αcos⁴(φ”+δ_i)+βcos³(φ”+δ_i)+μcos²(φ”+δ_i)+vcos(φ”+δ_i)+A， (15)，

其中α、β、μ、v、A的表达式是含有系统非线性响应函数的系数a、b、c、d、e的，八步相移法拍摄的8幅条纹图的光强值表示为公式(16)：

通过化简计算可得八步相移法的包裹相位φ_wrap，消除相位计算公式中的α、β、μ、v、A，如公式(17)：

W表示包裹算子，系统存在四阶的伽马非线性的情况下，八步相移法的包裹相位只与相机采集到的条纹图光强值有关，再利用Φ_n-1(x,y)和公式(11)、公式(12)，计算得到频率为f_n的编码条纹图的绝对相位Φ_n(x,y)。

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