CN109441805A - 一种涡旋压缩机的双涡旋齿及其啮合型线设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种涡旋压缩机的双涡旋齿及其啮合型线设计方法，该双涡旋齿的第一静涡旋齿(1)的组成型线包括6段曲线，为：第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁和第二圆渐开线I₁Q₁；除连接啮合点L₁之外，相邻曲线之间均光滑连接；第一静涡旋齿(1)与第二静涡旋齿(3)完全相同，将第一静涡旋齿(1)以基圆圆心点O为中心顺时针或逆时针旋转90°分别得到第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)；在工作过程中，动涡旋齿和静涡旋齿实现正确的啮合；所提出的双涡旋齿具有进气量大、设计步骤简单、便于加工的优点，丰富了双涡旋齿的型线类型。

Description

一种涡旋压缩机的双涡旋齿及其啮合型线设计方法

技术领域

本发明属于压缩机工程技术领域，特别涉及一种涡旋压缩机的双涡旋齿及其啮合型线设计方法。

背景技术

涡旋压缩机广泛应用于空气动力、制冷空调行业，具有结构简单紧凑、可靠性高和运转平稳的优点。涡旋压缩机依靠动静涡旋盘上的涡旋齿之间的啮合，实现工作腔容积的周期性变化，完成气体的吸入、压缩和排出过程，完成整个工作循环；因此涡旋齿的型线设计至关重要，对涡旋压缩机的工作性能影响极大。

随着涡旋压缩机应用领域的扩大，对其排气量要求逐渐提高，对于传统的单涡旋齿涡旋压缩机，采用增加涡旋盘直径的方法来提高排气量，这将带来压缩机整机尺寸的增大；也可采用提高涡旋压缩机转速的方法来提高排气量，这种方法将导致动静涡旋盘摩擦面之间的相对滑动速度增大，进而使得磨损加剧，压缩机的寿命和可靠性降低。

与单涡旋齿结构相比，采用双涡旋齿结构，在相同涡旋盘外形尺寸和滑动相对速度的前提下，能够显著地提高涡旋压缩机的排气量；但是双涡旋齿结构具有内容积比小的缺点，因此设计新型全啮合的、具有较大内容积比的双涡旋齿的啮合型线具有重要的意义。文献(王君，刘振全.多涡旋齿涡旋压缩机的双圆弧型线修正研究[J].中国机械工程,2006,17(15):1553-1556.)中给出了一种双涡旋齿的啮合型线，但是没有给出具体的型线方程和设计步骤。

发明内容

针对以上问题，本发明提出一种涡旋压缩机的双涡旋齿及其啮合型线设计方法，在齿头处构建能够实现正确啮合的型线，由两对圆弧和圆渐开线组成，并给出了双涡旋齿的啮合型线的设计方法；采用两段半径不同的圆弧和圆渐开线构建双涡旋齿的型线，除连接啮合点L₁之外相邻曲线之间均光滑连接，而且所提出的双涡旋齿的啮合型线设计步骤简单，对于丰富涡旋压缩机的双涡旋齿型线类型和促进涡旋压缩机的发展都具有重要的意义。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种涡旋压缩机的双涡旋齿，包括：第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)、第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)；第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)位于静涡旋盘Ⅰ上，第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)位于动涡旋盘Ⅱ上；第一静涡旋齿(1)的组成型线包括6段曲线，为：第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁和第二圆渐开线I₁Q₁，其中第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁的交点为连接啮合点L₁；第一圆弧L₁M₁与第二圆弧M₁N₁、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁与第四圆弧S₁I₁、第四圆弧S₁I₁与第二圆渐开线I₁Q₁之间均光滑连接；

第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁在连接啮合点L₁处的切线是互相垂直的；

第一静涡旋齿(1)上的第一圆渐开线N₁P₁与第二圆渐开线I₁Q₁有相同的基圆，基圆圆心点为O，基圆半径为R_b；连接啮合点L₁到基圆圆心点O的距离为其中，R_or是曲轴回转半径。

第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)、第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)的组成型线均相同；第一静涡旋齿(1)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二静涡旋齿(3)完全重合；第一动涡旋齿(2)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二动涡旋齿(4)完全重合；第一静涡旋齿(1)以基圆圆心点O为中心顺时针旋转90°后，与第一动涡旋齿(2)完全重合。

第一动涡旋齿(2)的组成型线包括6段曲线，为：第五圆弧L₂M₂、第六圆弧M₂N₂、第三圆渐开线N₂P₂、第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂和第四圆渐开线I₂Q₂；第二动涡旋齿(4)的组成型线包括6段曲线，为：第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄、第十五圆弧L₄S₄、第十六圆弧S₄I₄和第八圆渐开线I₄Q₄；

静涡旋盘Ⅰ上的第一静涡旋齿(1)的组成型线中的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第三圆弧L₁S₁和第四圆弧S₁I₁在工作过程中都能够实现正确的啮合；即第一静涡旋齿(1)的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁分别与第一动涡旋齿(2)的第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂、第四圆渐开线I₂Q₂能够实现正确的啮合；第一静涡旋齿(1)的第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁、第二圆渐开线I₁Q₁分别与第二动涡旋齿(4)上的第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄能够实现正确的啮合；

动涡旋盘Ⅱ上的第一动涡旋齿(2)、第二动涡旋齿(4)的组成型线与静涡旋盘Ⅰ上的第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)的组成型线能够实现正确的啮合。

一种涡旋压缩机的双涡旋齿的啮合型线设计方法，包括以下步骤：

1)以基圆圆心O为坐标原点建立二维坐标系，给定以下参数的数值：曲轴回转半径R_or、基圆半径R_b、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角φ；

2)以坐标原点O为圆心作半径为R_b的基圆，基圆的方程为

以坐标原点O为圆心作半径为的特征圆，特征圆的方程为

作特征圆内接正方形L₁L₂L₃L₄，正方形边长为R_or，正方形的一边L₂L₁与x轴相垂直；

3)在正方形一边L₂L₁的延长线上确定第一中线第一圆弧K₁U的圆心点O₁，其坐标为以一边L₂L₁的中点K₁为起始点，作第一中线第一圆弧K₁U，其半径为R_m1，圆心角为λ₁，第一中线第一圆弧K₁U的方程为

其中，第一中线第一圆弧K₁U的半径R_m1和圆心角λ₁均给定；

4)在基圆上取点E，其坐标为(R_bcos(φ)，R_bsin(φ))，连结点E与第一中线第二圆弧UV与第一中线圆渐开线VT₁的交点V，得到切线EV，其方程为

在切线EV上确定第一中线第二圆弧UV的圆心O₂，圆心O₂的坐标为

按以下方程计算第一中线第二圆弧UV的半径R_m2，为

计算第一中线第二圆弧UV的圆心角λ₂，为

λ₂＝φ-λ₁

作第一中线第二圆弧UV，其半径为R_m2，圆心角为λ₂，并与第一中线第一圆弧K₁U光滑连接，第一中线第二圆弧UV的方程为

直线O₁O₂的方程为

5)作第一中线圆渐开线VT₁，与第一中线第二圆弧UV光滑连接，第一中线圆渐开线VT₁的方程为

其中，圆渐开线发生角β为

式中：R_b—基圆半径，mm；R_or—曲轴回转半径，mm；β—圆渐开线发生角，rad；R_m1—第一中线第一圆弧K₁U的半径，mm；R_m2—第一中线第二圆弧UV的半径，mm；λ₁—第一中线第一圆弧K₁U的圆心角，rad；λ₂—第一中线第二圆弧UV的圆心角，rad；φ—第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角，rad；

6)第一中线K₁T₁由第一中线第一圆弧K₁U、第一中线第二圆弧UV和第一中线圆渐开线VT₁组成，其组成曲线之间是光滑连接的；

将第一中线K₁T₁依次逆时针旋转90°、180°、270°后，分别得到第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄；

7)将第一中线K₁T₁、第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄分别向内侧、外侧法向等距后，得到第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(2)、第一动涡旋齿(3)和第二动涡旋齿(4)的啮合型线。

本发明的有益效果为：

①所提出的一种能够实现正确啮合的双涡旋齿型线，由渐开线和两对圆弧组成，除连接啮合点L₁之外相邻曲线之间均光滑连接，有利于涡旋齿的设计和加工。

②与单涡旋齿相比，在相同涡旋盘外形尺寸和相对滑动速度下，所提出的双涡旋齿提高了排气量。

③所提出的双涡旋齿型线丰富了涡旋齿型线的类型。

附图说明

图1是一种涡旋压缩机的双涡旋齿图。

图2是第一静涡旋齿(1)型线组成图。

图3是静涡旋盘Ⅰ图。

图4是动涡旋盘Ⅱ图。

图5是特征圆内接正方形图。

图6是形成第一中线第一圆弧K₁U图。

图7是形成第一中线第二圆弧UV图。

图8是形成第一中线圆渐开线VT₁图。

图9是涡旋齿中线图。

图10是中线形成涡旋齿图。

图11是涡旋齿啮合过程图。

图12是第一动涡旋齿(2)的啮合图。

图中：1—第一静涡旋齿(1)；2—第一动涡旋齿(2)；3—第二静涡旋齿(3)；4—第二动涡旋齿(4)；曲线L₁M₁—第一圆弧；曲线M₁N₁—第二圆弧；曲线N₁P₁—第一圆渐开线；曲线L₁S₁—第三圆弧；曲线S₁I₁—第四圆弧；曲线I₁Q₁—第二圆渐开线；Ⅰ—静涡旋盘；Ⅱ—动涡旋盘；曲线K₁U—第一中线第一圆弧；曲线UV—第一中线第二圆弧；曲线VT₁—第一中线圆渐开线；曲线K₁T₁—第一中线；曲线K₂T₂—第二中线；曲线—K₃T₃第三中线；曲线—K₄T₄第四中线；L₁P₁是K₁T₁向内侧法向等距生成型线；L₂P₂是K₄T₄向内侧法向等距生成型线；L₁Q₁是K₂T₂向外侧法向等距生成型线；L₂Q₂是K₁T₁向外侧法向等距生成型线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，为一种涡旋压缩机的双涡旋齿图，包括：第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)、第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)；第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)位于静涡旋盘Ⅰ上，第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)位于动涡旋盘Ⅱ上；第一动涡旋齿(2)的组成型线包括6段曲线，为：第五圆弧L₂M₂、第六圆弧M₂N₂、第三圆渐开线N₂P₂、第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂和第四圆渐开线I₂Q₂；第二动涡旋齿(4)的组成型线包括6段曲线，为：第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄、第十五圆弧L₄S₄、第十六圆弧S₄I₄和第八圆渐开线I₄Q₄；第一静涡旋齿(1)的组成型线中的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁工作过程中都能够实现正确的啮合；即第一静涡旋齿(1)的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁分别与第一动涡旋齿(2)的第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂、第四圆渐开线I₂Q₂能够实现正确的啮合；第一静涡旋齿(1)的第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁、第二圆渐开线I₁Q₁分别与第二动涡旋齿(4)上的第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄能够实现正确的啮合。

如图2所示，为第一静涡旋齿(1)型线组成图，第一静涡旋齿(1)的组成型线包括6段曲线，为：第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁和第二圆渐开线I₁Q₁，其中第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁的交点为连接啮合点L₁；第一圆弧L₁M₁与第二圆弧M₁N₁、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁与第四圆弧S₁I₁、第四圆弧S₁I₁与第二圆渐开线I₁Q₁之间均光滑连接；第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁在连接啮合点L₁处的切线是互相垂直的；第一静涡旋齿(1)上的第一圆渐开线N₁P₁与第二圆渐开线I₁Q₁有相同的基圆，基圆圆心点为O，基圆半径为R_b；连接啮合点L₁到基圆圆心点O的距离为其中R_or是曲轴回转半径。

如图3所示，为静涡旋盘Ⅰ图，静涡旋盘Ⅰ上包括第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)；第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)的组成型线相同；第一静涡旋齿(1)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二静涡旋齿(3)完全重合。

如图4所示，为动涡旋盘Ⅱ图，动涡旋盘Ⅱ上包括第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)；第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)的组成型线相同；第一动涡旋齿(2)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二动涡旋齿(4)完全重合；第一静涡旋齿(1)以基圆圆心点O为中心顺时针转90°后，与第一动涡旋齿(2)完全重合。

如图5所示，为特征圆内接正方形图，以基圆圆心O为坐标原点建立二维坐标系，给定以下参数的数值：曲轴回转半径R_or、基圆半径R_b、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角φ；以坐标原点O为圆心作半径为R_b的基圆，基圆的方程为

以坐标原点O为圆心作半径为的特征圆，特征圆的方程为

作特征圆内接正方形L₁L₂L₃L₄，正方形边长为R_or，正方形的中心与坐标原点O重合，正方形的四个边分别与坐标系x轴、y轴相垂直，一边L₂L₁与x轴相垂直。

如图6所示，为形成第一中线第一圆弧K₁U图，在正方形一边L₂L₁的延长线上给定第一中线第一圆弧K₁U的圆心点O₁，其坐标为以一边L₂L₁的中点K₁为起始点，作第一中线第一圆弧K₁U，其半径为R_m1，圆心角为λ₁，其中第一中线第一圆弧K₁U的半径R_m1和圆心角λ₁均给定，第一中线第一圆弧K₁U的方程为

如图7所示，为形成第一中线第二圆弧UV图，在基圆上取点E，其坐标为(R_bcos(φ)，R_bsin(φ))，连结该点和第一中线第二圆弧UV与第一中线圆渐开线VT₁的交点V，得到切线EV，其方程为

在切线EV上确定第一中线第二圆弧UV的圆心O₂，圆心O₂的坐标为

计算第一中线第二圆弧UV的半径R_m2为

计算第一中线第二圆弧UV的圆心角λ₂为

λ₂＝φ-λ₁

作第一中线第二圆弧UV，其半径为R_m2，圆心角为λ₂，并与第一中线第一圆弧K₁U光滑连接，第一中线第二圆弧UV的方程为

直线O₁O₂的方程为

如图8所示，为形成第一中线圆渐开线VT₁图，以坐标原点O为基圆圆心，其基圆半径为R_b，作第一中线圆渐开线VT₁，与第一中线第二圆弧UV光滑连接，第一中线圆渐开线VT₁的方程为

其中，圆渐开线发生角β为

式中：R_b—基圆半径，mm；R_or—曲轴回转半径，mm；β—圆渐开线发生角，rad；R_m1—第一中线第一圆弧K₁U的半径，mm；R_m2—第一中线第二圆弧UV的半径，mm；λ₁—第一中线第一圆弧K₁U的圆心角，rad；λ₂—第一中线第二圆弧UV的圆心角，rad；φ—第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角，rad；第一中线K₁T₁由第一中线第一圆弧K₁U、第一中线第二圆弧UV和第一中线圆渐开线VT₁组成，其组成曲线之间是光滑连接的。

如图9所示，为涡旋齿中线图，将第一中线K₁T₁依次逆时针旋转90°、180°、270°后，分别得到第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄。

如图10所示，为中线形成涡旋齿图，将第一中线K₁T₁、第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄分别向内侧、外侧法向等距后，得到第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(2)、第一动涡旋齿(3)和第二动涡旋齿(4)的啮合型线。

如图11所示，为涡旋齿啮合过程图，动涡旋盘Ⅱ上的第一动涡旋齿(2)、第二动涡旋齿(4)的组成型线分别与静涡旋盘Ⅰ上的第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)的组成型线能够实现正确的啮合。

图12所示，为第一动涡旋齿(2)的啮合图，第一动涡旋齿(2)与第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)能够实现正确的啮合。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (4)

1.一种涡旋压缩机的双涡旋齿，包括：第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)、第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)；其特征是：第一静涡旋齿(1)和第二静涡旋齿(3)位于静涡旋盘Ⅰ上，第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)位于动涡旋盘Ⅱ上；第一静涡旋齿(1)的组成型线包括6段曲线，为：第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁和第二圆渐开线I₁Q₁，其中第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁的交点为连接啮合点L₁；第一圆弧L₁M₁与第二圆弧M₁N₁、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁、第三圆弧L₁S₁与第四圆弧S₁I₁、第四圆弧S₁I₁与第二圆渐开线I₁Q₁之间均光滑连接；

所述的第一圆弧L₁M₁与第三圆弧L₁S₁在连接啮合点L₁处的切线是互相垂直的；

所述的第一静涡旋齿(1)上的第一圆渐开线N₁P₁与第二圆渐开线I₁Q₁有相同的基圆，基圆圆心点为O，基圆半径为R_b；连接啮合点L₁到基圆圆心点O的距离为其中，R_or是曲轴回转半径。

2.根据权利要求1所述的一种涡旋压缩机的双涡旋齿，其特征是：第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)、第一动涡旋齿(2)和第二动涡旋齿(4)的组成型线均相同；第一静涡旋齿(1)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二静涡旋齿(3)完全重合；第一动涡旋齿(2)相对基圆圆心点O旋转180°后与第二动涡旋齿(4)完全重合；第一静涡旋齿(1)以基圆圆心点O为中心顺时针旋转90°后，与第一动涡旋齿(2)完全重合。

3.根据权利要求1所述的一种涡旋压缩机的双涡旋齿，其特征是：第一动涡旋齿(2)的组成型线包括6段曲线，为：第五圆弧L₂M₂、第六圆弧M₂N₂、第三圆渐开线N₂P₂、第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂和第四圆渐开线I₂Q₂；第二动涡旋齿(4)的组成型线包括6段曲线，为：第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄、第十五圆弧L₄S₄、第十六圆弧S₄I₄和第八圆渐开线I₄Q₄；

所述的静涡旋盘Ⅰ上的第一静涡旋齿(1)的组成型线中的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第三圆弧L₁S₁和第四圆弧S₁I₁在工作过程中都能够实现正确的啮合；即第一静涡旋齿(1)的第一圆弧L₁M₁、第二圆弧M₁N₁、第一圆渐开线N₁P₁分别与第一动涡旋齿(2)的第七圆弧L₂S₂、第八圆弧S₂I₂、第四圆渐开线I₂Q₂能够实现正确的啮合；第一静涡旋齿(1)的第三圆弧L₁S₁、第四圆弧S₁I₁、第二圆渐开线I₁Q₁分别与第二动涡旋齿(4)上的第十三圆弧L₄M₄、第十四圆弧M₄N₄、第七圆渐开线N₄P₄能够实现正确的啮合；

动涡旋盘Ⅱ上的第一动涡旋齿(2)、第二动涡旋齿(4)的组成型线与静涡旋盘Ⅰ上的第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(3)的组成型线能够实现正确的啮合。

4.一种如权利要求1所述的涡旋压缩机的双涡旋齿的啮合型线设计方法，其特征是：包括以下步骤：

1)以基圆圆心O为坐标原点建立二维坐标系，给定以下参数的数值：曲轴回转半径R_or、基圆半径R_b、第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角φ；

2)以坐标原点O为圆心作半径为R_b的基圆，基圆的方程为

以坐标原点O为圆心作半径为的特征圆，特征圆的方程为

作特征圆内接正方形L₁L₂L₃L₄，正方形边长为R_or，正方形的一边L₂L₁与x轴相垂直；

3)在正方形一边L₂L₁的延长线上确定第一中线第一圆弧K₁U的圆心点O₁，其坐标为以一边L₂L₁的中点K₁为起始点，作第一中线第一圆弧K₁U，其半径为R_m1，圆心角为λ₁，第一中线第一圆弧K₁U的方程为

其中，第一中线第一圆弧K₁U的半径R_m1和圆心角λ₁均给定；

4)在基圆上取点E，其坐标为(R_bcos(φ)，R_b sin(φ))，连结点E与第一中线第二圆弧UV与第一中线圆渐开线VT₁的交点V，得到切线EV，其方程为

在切线EV上确定第一中线第二圆弧UV的圆心O₂，圆心O₂的坐标为

按以下方程计算第一中线第二圆弧UV的半径R_m2，为

计算第一中线第二圆弧UV的圆心角λ₂，为

λ₂＝φ-λ₁

作第一中线第二圆弧UV，其半径为R_m2，圆心角为λ₂，并与第一中线第一圆弧K₁U光滑连接，第一中线第二圆弧UV的方程为

直线O₁O₂的方程为

5)作第一中线圆渐开线VT₁，与第一中线第二圆弧UV光滑连接，第一中线圆渐开线VT₁的方程为

其中，圆渐开线发生角β为

式中：R_b—基圆半径，mm；R_or—曲轴回转半径，mm；β—圆渐开线发生角，rad；R_m1—第一中线第一圆弧K₁U的半径，mm；R_m2—第一中线第二圆弧UV的半径，mm；λ₁—第一中线第一圆弧K₁U的圆心角，rad；λ₂—第一中线第二圆弧UV的圆心角，rad；φ—第二圆弧M₁N₁与第一圆渐开线N₁P₁的连接点N₁对应的圆渐开线展角，rad；

6)第一中线K₁T₁由第一中线第一圆弧K₁U、第一中线第二圆弧UV和第一中线圆渐开线VT₁组成，其组成曲线之间是光滑连接的；

将第一中线K₁T₁依次逆时针旋转90°、180°、270°后，分别得到第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄；

7)将第一中线K₁T₁、第二中线K₂T₂、第三中线K₃T₃、第四中线K₄T₄分别向内侧、外侧法向等距后，得到第一静涡旋齿(1)、第二静涡旋齿(2)、第一动涡旋齿(3)和第二动涡旋齿(4)的啮合型线。