CN109412985B - 一种级联极化码的球形译码方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种级联极化码的球形译码方法，所述方法包括以下步骤：第一步：计算CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC；第二步：计算级联码的生成矩阵；第三步：用高斯消去法将级联码生成矩阵G化简为“下阶梯形式”，记G的下阶梯形式为G_d；第四步：由G_d计算索引数组P，用索引数组P记录矩阵G_d的结构；第五步：利用索引数组P进行球形译码；该方法极化码和CRC码形成的级联码设计了球形译码器，使用该球形译码器能够达到极化码和CRC码形成的级联码的最大似然译码性能。

Description

一种级联极化码的球形译码方法

技术领域

本发明属于无线通信中信道编码技术领域，具体涉及极化码与循环冗余校验码级联情况下的球形译码方法。

背景技术

极化码是第一类能够达到对称无记忆信道的信道容量的线性分组码，因而得到信道编码领域研究者的广泛关注。尽管极化码在码长为无穷的理想情况下，可以达到对称无记忆信道的信道容量，但中短长度的极化码在串行抵消译码器下，误码率性能低于涡轮码和低密度奇偶校验码。一种通用的改进方式是把极化码和循环冗余校验码(Cyclicredundancycheck,CRC)级联，并且使用串行抵消列表译码器进行译码，这样的改进使得极化码的误码率性能达到或者超过涡轮码和低密度奇偶校验码的误码率性能。目前，极化码已经入选第五代移动通信标准，作为控制信道中的短码方案来使用。因此，需要研究高性能的极化码短码译码器。

球形译码方法是一种适用于码字长度较短，小于128位比特的信道编码的通用译码方法，球形译码方法的优势在于能够达到最大似然译码性能。目前已有一些关于使用球形译码器进行极化码译码的研究，但是这些研究仅针对单一的极化码进行译码，没有考虑极化码和CRC码级联的情况。极化码和CRC码形成的级联码的误码率性能远超过(约两个数量级)单一的极化码，所以需要研究极化码和CRC码形成的级联码的高效球形译码方法。本发明给出了极化码和CRC码形成的级联码的高效球形译码方法，这种译码方法能够达到最大似然译码性能。

发明内容

本发明正是针对现有技术中存在的技术问题，提供一种级联极化码的球形译码方法，该方法极化码和CRC码形成的级联码设计了球形译码器，使用该球形译码器能够达到极化码和CRC码形成的级联码的最大似然译码性能。

为便于阐述，将下文中常用的简称和数学符号约定如下。

在没有特别声明的情况下，下文“级联码”指的是“极化码和CRC码形成的级联码”。

向量

代表未编码的信息比特序列，K是未编码信息比特的个数。矩阵G_CRC是CRC码的系统形式的生成矩阵，G_CRC的大小为K行，K+r列，r是CRC校验位的长度。矩阵G_p指的是极化码的生成矩阵，G_p的大小为K+r行，N列，N是极化码的长度。级联码编码过程如下：

其中

是极化码编码比特序列。在本发明中，向量和矩阵的乘法，矩阵和矩阵的乘法都是模2运算，即定义在伽罗华域GF(2)上。

本发明中向量的循环左移定义如下。设

是一个N维向量，对

进行循环左移，即是把a₁置于最后一个索引位，其他向量元素依次前移一位，由此得到

的循环左移

本发明的技术方案包括如下步骤：

所述第一步骤中计算CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC具体如下：

首先需要选定CRC码的生成多项式g(x)，g(x)具有如下形式：

g(x)＝x^q+a_q-1x^q-1+...+a₁x+1 (3)

其中a_i∈{0,1}，1≤i≤q-1，q是g(x)的次数，也是CRC校验位的长度；

根据g(x)各项系数，写出g(x)的向量表达形式v(g)：

v(g)＝(1,a_q-1,...a₁,1)； (4)

在得到CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC前，先要计算非系统形式的生成矩阵

设待编码的信息是K位比特，为得到

需要现在v(g)之前添加K-1个零，得到向量v₀(g)：

v₀(g)＝(0₁,...,0_K-1,v(g))＝(0₁,...,0_K-1,1,a_q-1,...a₁,1)； (5)

其中0_i，1≤i≤K-1表示添加的第i个零，v₀(g)中包含K+q个元素；

有K行，K+q列，

的各行由v₀(g)和v₀(g)的循环左移得到，设

的第i行为

则

按下式计算：

其中L^K-i(v₀(g))表示连续对v₀(g)进行K-i次循环左移，且L⁰(v₀(g))＝v₀(g)；

通过(6)式得到CRC码非系统形式的生成矩阵

后，用高斯消去法对

做初等行变换，得到系统形式的生成矩阵G_CRC：

G_CRC＝[I_K|Q_K×q]； (7)

其中I_K表示K维的单位矩阵，Q_K×q是K行，q列的矩阵，Q_K×q的作用是生成CRC校验位，符号“|”表示矩阵分块。

第二步：计算级联码的生成矩阵。设级联码生成矩阵为G，G的表达式如下：

G＝G_CRCG_p (8)

其中G_p是极化码的生成矩阵，G_p的形式与极化码的构造方法有关，本发明使用基于巴特查里亚系数的G_p构造方法，此构造方法是选取极化码生成矩阵G_p的通用方法，在本发明中不做赘述。

第三步：用高斯消去法将级联码生成矩阵G化简为“下阶梯形式”，记G的下阶梯形式为G_d。本发明中下阶梯形式的定义如下。设G_d是K行，N列的矩阵，如果对于任意1≤i≤K-1，G_d第i行的最后一个非零元素位于第j列，1≤j≤N-1，G_d第i+1行的最后一个非零元素位于第k列，2≤k≤N，k＞j总是成立，则称G_d具有下阶梯形式。一个下阶梯矩阵G_d的例子如下：

第四步：由G_d计算索引数组P，用索引数组P记录矩阵G_d的结构。索引数组P有K行，2列，其中K是待编码的信息比特的位数。为了清晰阐述P的计算过程，首先定义函数γ(i),1≤i≤K。γ(i)的取值为G_d的第i行，1≤i≤K，最后一个非零元素所在的列数。例如，对于(9)中的矩阵G_d，γ(1)＝4，γ(2)＝6，γ(3)＝8，并且定义γ(0)＝0。

P的第i行，第1列的元素P(i,1)按下式获得：

P(i,1)＝γ(i-1)+1 (10)

P的第i行，第2列的元素P(i,2)按下式获得：

P(i,2)＝γ(i) (11)

例如，对于(9)中的矩阵G_d，P取值如下：

第五步：利用索引数组P进行球形译码。现有的通用极化码球形译码方法利用极化码生成矩阵的下三角特性进行译码，但是本发明中级联码的生成矩阵不具有下三角特性，而是具有下阶梯特性，所以不能使用通用的极化码球形译码方法来译码，而需要利用第四步中获得的索引矩阵P进行球形译码。

以发射端使用了归一化功率为1的二进制相移键控的调制方式为例进行阐述。接收机获得接收信号

后，利用索引数组P进行球形译码。球形译码开始时，需要设定译码半径r，r的初始值影响球形译码的时间复杂度，合理选取初始半径r可以降低球形译码的时间复杂度。本发明给出一种选取初始半径r的方法。

最大似然码字和接收信号

的距离下界s由下式计算：

其中y_i是

的第i个分量，min{a,b}表示选取实数a和b中较小的一个。在译码过程中，最大似然码字和接收信号

的距离总是大于等于s。设置译码半径r的初始值为r＝αs，α是大于1的正数，一般可以取α＝1.1。

在球形译码过程中，需要用度量数组W＝(W₁,...,W_K)来存储译码器计算的度量值，设

表示G_d中第l行，第j列的元素。W中第i个元素的计算如下(1≤i≤K)：

其中

代表第l个信息比特的估计值，索引数组P，P的第i行，第1列的元素为P(i，1)，P的第i行，第2列的元素为P(i，2)，

级联码的球形译码过程可完整地用如下子步骤(I)至(IX)阐述；

(I)初始化参数值：译码半径r的初始值设为r＝αs，其中α＝1.1，s按照(13)计算；译码索引i的初始值为K，K是待编码比特的数量，设

为当前最优码字，

的初始值设为空数组；设f＝(f₁,...,f_K)是比特反转指示向量，f的初始值是全零向量(0,...,0)；设h＝(h₁,...,h_K)时比特赋值指示向量，h的初始值是全零向量(0,...,0)，转入子步骤(II)；

(II)如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

不为空数组，则中止程序，输出当前最优码字

作为译码结果，如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

为空，则转入子步骤(IX)，如果(f_i,...f_K)中至少一个存在取值为0的元素，则转入子步骤(III)；

(III)如果h_i＝0，转子步骤(IV)；如果h_i＝1，转子步骤(V)；

(IV)h_i的值置为1，计算W_i，此时

可以取值比特0，也可以取值为比特1，

取不同比特值时，W_i的数值不同；为降低译码延时，

的选取准则是使得W_i最小，即对W_i进行试探计算，

时计算得W_i ⁽⁰⁾，

时计算得W_i ⁽¹⁾，如果W_i ⁽⁰⁾＜W_i ⁽¹⁾，则W_i＝W_i ⁽⁰⁾；反之W_i＝W_i ⁽¹⁾；得到W_i后，转入子步骤(VI)；

(X)当进入本步骤时，h_i＝1，说明

已经在过去的步骤中被赋值，此时把

的值进行比特翻转：如果进入此步骤时

为0，则现在把

置为1；如果进入此步骤时

为1，则现在把

置为0；

翻转完毕后，计算W_i，置f_i＝1，表示本比特位置已经被翻转过，转入子步骤(VI)；

(XI)如果i＞1，转入子步骤(VII)；如果i＝1，转子步骤(VIII)；

(XII)计算当前半径

如果

译码索引i的值减1，转入子步骤(II)；如果

置h的子向量(h₁,...,h_i)为全零值，置f的子向量(f₁,...,f_i)为全零值，译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；

(XIII)计算当前半径

如果

把子步骤(IV)和(V)中得到的

排列成向量

记

为当前最优码字，r的值更新为

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；如果

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；

(IX)令r变成自身的α倍，即r＝αr，重置f和h为全零向量，转入子步骤(II)。

相对于现有技术，本发明的有益效果如下：本发明针对极化码和CRC码形成的级联码设计了球形译码器，使用该球形译码器能够达到极化码和CRC码形成的级联码的最大似然译码性能；现有的针对极化码和CRC码形成的级联码的译码器叫做“基于CRC检测的串行抵消列表译码器”，这种译码器通过串行抵消列表译码器对极化码进行译码，但是串行抵消列表译码器是一种次优译码器，即它不能保证最大似然译码性能。本方法中使用的球形译码器时最优译码器，可以达到最大似然性能，因此误码率性能可以超过现有的极化码和CRC码形成的级联码的译码方案。

附图说明

图1为极化码和CRC码形成的级联码的球形译码方法流程图。

具体实施方式

为了加深对本发明的认识和理解，下面结合附图对本发明进一步说明。

参见图1，一种级联极化码的球形译码方法，以极化码码长N＝16，信息比特数K＝3为例进行说明：

如图1所示，包括如下步骤：

第一步：计算CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC。首先需要选定极化码的生成多项式g(x)，在实际应用中，g(x)的长度和系数应按照相关国际标准选取，例如国际电报电话咨询委员会(CCITT)做出的CRC码字标准。此处以g(x)＝x⁴+x+1为例进行说明，该多项的比特表达形式为(10011)。设欲对K＝3位信息比特进行编码，则非系统形式的CRC生成矩阵

具有下列表达式：

的最后一行通过在g(x)的比特形式(10011)前面添加K-1＝2个零得到，其上各行由最后一行的循环左移形成。对

进行初等行变换，获得系统形式的G_CRC：

第二步：计算级联码的生成矩阵。设级联码生成矩阵为G，G的表达式如下：

G＝G_CRCG_p (17)

其中G_p是极化码的生成矩阵，G_p的形式与极化码的构造方法有关，本发明使用基于巴特查里雅系数的G_p构造方法，巴特查里雅系数方法是构造G_p的通用方法，本发明不作赘述。以极化码长度N＝16，G_p的行数等于7为例，获得G_p如下：

级联码的生成矩阵G由(16)和(18)的模2乘法获得：

第三步：用高斯消去法将级联码生成矩阵化简为下阶梯形式，记G下阶梯形式为G_d。本发明中下阶梯形式的定义如下。设G_d是K行，N列的矩阵，如果对于任意1≤i≤K-1，G_d第i行的最后一个非零元素位于第j列，1≤j≤N-1，G_d第i+1行的最后一个非零元素位于第k列，2≤k≤N，k＞j总是成立，则称G_d具有下阶梯形式。

本具体实例中的矩阵G具有特殊性，即G本身就是下阶梯形式，G_d＝G。更多情况下G本身不是下阶梯形式，需要使用高斯消去法进行转化。

第四步：由G_d计算索引数组P，用索引数组P记录矩阵G_d的结构。本例中索引数组P有K＝3行，2列，其中K是待编码的信息比特的位数。本具体实例中P取值为：

第五步：利用索引数组P进行球形译码。现有的通用极化码球形译码方法利用极化码生成矩阵的下三角特性进行译码，但是本发明中级联码的生成矩阵不具有下三角特性，而是具有下阶梯特性，所以不能使用通用的极化码球形译码方法来译码，而需要利用第四步中获得的索引矩阵P进行球形译码。

设发射端使用了归一化功率为1的二进制相移键控的调制方式，接收机获得接收信号

后，利用索引数组P进行球形译码。球形译码开始时，需要设定译码半径r，r的初始值影响球形译码的时间复杂度，合理选取初始半径r可以降低球形译码的时间复杂度。本发明给出一种选取初始半径r的方法。

最大似然码字和接收信号

的距离下界s由下式计算：

其中y_i是

的第i个分量，min{a,b}表示选取实数a和b中较小的一个。在译码过程中，最大似然码字和接收信号

的距离总是大于等于s。设置译码半径r的初始值为r＝αs，α是大于1的正数，一般可以取α＝1.1。

在球形译码过程中，需要用度量数组W＝(W₁,...,W_K)来存储球形译码过程中计算的度量值，设

表示G_d中的第l行，第j列的元素。W中第i个元素的计算如下(1≤i≤K)：

其中

代表第l个信息比特的估计值。

在本例中，取N＝16，K＝3，则W_i(1≤i≤K)的具体计算公式如下：

级联码的球形译码过程可完整地用如下子步骤(I)至(IX)阐述。

(I)初始化参数值：译码半径r的初始值设为r＝αs，其中α＝1.1，s按照(21)进行计算。译码索引i的初始值为K，K是待编码比特的数量。设

为当前最优码字，

的初始值设为空的数组。设f＝(f₁,...,f_K)是比特反转指示向量，f的初始值是全零向量(0,...,0)。设h＝(h₁,...,h_K)时比特赋值指示向量，h的初始值是全零向量(0,...,0)。转入子步骤(II)。

(II)如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

不为空数组，则中止程序，输出当前最优码字

作为译码结果。如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

为空数组，则转入子步骤(IX)。如果(f_i,...f_K)中至少一个存在取值为0的元素，则转入子步骤(III)。

(III)如果h_i＝0，转子步骤(IV)；如果h_i＝1，转子步骤(V)。

(IV)h_i的值置为1，计算W_i。此时

可以取值比特0，也可以取值为比特1，

取不同比特值时，W_i的数值不同。为降低译码延时，

的选取准则是使得W_i最小，即对W_i进行试探计算，

时计算得W_i ⁽⁰⁾，

时计算得W_i ⁽¹⁾，如果W_i ⁽⁰⁾＜W_i ⁽¹⁾，则W_i＝W_i ⁽⁰⁾；反之W_i＝W_i ⁽¹⁾。得到W_i后，转入子步骤(VI)。

(V)当进入本步骤时，h_i＝1，说明

已经在过去的步骤中被赋值，此时把

的值进行比特翻转：如果进入此步骤时

为0，则现在把

置为1；如果进入此步骤时

为1，则现在把

置为0。

翻转完毕后，计算W_i。置f_i＝1，表示本比特位置已经被翻转过。转入子步骤(VI)。

(VI)如果i＞1，转入子步骤(VII)；如果i＝1，转子步骤(VIII)。

(VII)计算当前半径

如果

译码索引i的值减1，转入子步骤(II)；如果

置h的子向量(h₁,...,h_i)为全零值，置f的子向量(f₁,...,f_i)为全零值，译码索引i的值加1，转入子步骤(II)。

(VIII)计算当前半径

如果

把子步骤(IV)和(V)中得到的

排列成向量

记

为当前最优码字，r的值更新为

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；如果

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)。

(IX)令r变成自身的α倍，即r＝αr，重置f和h为全零向量，转入子步骤(II)。

本发明通过计算极化码和CRC码形成的级联码的生成矩阵G，并用高斯消去法把G变为下阶梯形式G_d，利用G_d的下阶梯结构，对极化码和CRC码形成的级联码进行球形译码。本发明中的球形译码器能够达到最大似然译码性能，因此其误比特率性能优于现有的针对极化码和CRC码形成的级联码的译码方法。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (2)

1.一种级联极化码的球形译码方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

第一步：计算CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC；

第二步：计算级联码的生成矩阵；

第三步：用高斯消去法将级联码生成矩阵G化简为“下阶梯形式”，记G的下阶梯形式为G_d；

第四步：由G_d计算索引数组P，用索引数组P记录矩阵G_d的结构；

第五步：利用索引数组P进行球形译码；

所述第二步：计算级联码的生成矩阵具体如下：

设级联码生成矩阵为G，G的表达式如下：

G＝G_CRCG_p (8)

其中G_p是极化码的生成矩阵，G_p的形式与极化码的构造方法有关；

所述第三步：用高斯消去法将级联码生成矩阵G化简为“下阶梯形式”，记G的下阶梯形式为G_d；

设G_d是K行，N列的矩阵，如果对于任意1≤i≤K-1，G_d第i行的最后一个非零元素位于第j列，1≤j≤N-1，G_d第i+1行的最后一个非零元素位于第k列，2≤k≤N，k>j总是成立，则称G_d具有下阶梯形式；

所述第四步：由G_d计算索引数组P，用索引数组P记录矩阵G_d的结构具体如下：索引数组P有K行，2列，其中K是待编码的信息比特的位数；首先定义函数γ(i),1≤i≤K，γ(i)的取值为G_d的第i行，1≤i≤K，最后一个非零元素所在的列数；所述第五步：利用索引数组P进行球形译码，具体如下：

接收机获得接收信号

后，利用索引数组P进行球形译码，球形译码开始时，需要设定译码半径r，r的初始值影响球形译码的时间复杂度，合理选取初始半径r可以降低球形译码的时间复杂度；

最大似然码字和接收信号

的距离下界s由下式计算：

其中y_i是

的第i个分量，min{a,b}表示选取实数a和b中较小的一个，在译码过程中，最大似然码字和接收信号

的距离总是大于等于s；设置译码半径r的初始值为r＝αs，α是大于1的正数，取α＝1.1；

所述第五步中，

在球形译码过程中，需要用度量数组W＝(W₁,...,W_K)来存储译码器计算的度量值，设

表示G_d中第l行，第j列的元素，W中第i个元素的计算如下(1≤i≤K)：

其中

代表第l个信息比特的估计值，索引数组P，P的第i行，第1列的元素为P(i，1)，P的第i行，第2列的元素为P(i，2)，

级联码的球形译码过程可完整地用如下子步骤(I)至(IX)阐述；

(I)初始化参数值：译码半径r的初始值设为r＝αs，其中α＝1.1，s按照(13)计算；译码索引i的初始值为K，K是待编码比特的数量，设

为当前最优码字，

的初始值设为空数组；设f＝(f₁，...，f_K)是比特反转指示向量，f的初始值是全零向量(0,...,0)；设h＝(h₁,...,h_K)时比特赋值指示向量，h的初始值是全零向量(0,...,0)，转入子步骤(II)；

(II)如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

不为空数组，则中止程序，输出当前最优码字

作为译码结果，如果(f_i,...f_K)中的所有元素都为1且

为空，则转入子步骤(IX)，如果(f_i,...f_K)中至少一个存在取值为0的元素，则转入子步骤(III)；

(III)如果h_i＝0，转子步骤(IV)；如果h_i＝1，转子步骤(V)；

(IV)h_i的值置为1，计算W_i，此时

可以取值比特0，也可以取值为比特1，

取不同比特值时，W_i的数值不同；为降低译码延时，

的选取准则是使得W_i最小，即对W_i进行试探计算，

时计算得W_i ⁽⁰⁾，

时计算得W_i ⁽¹⁾，如果W_i ⁽⁰⁾<W_i ⁽¹⁾，则W_i＝W_i ⁽⁰⁾；反之W_i＝W_i ⁽¹⁾；得到W_i后，转入子步骤(VI)；

(V)当进入本步骤时，h_i＝1，说明

已经在过去的步骤中被赋值，此时把

的值进行比特翻转：如果进入此步骤时

为0，则现在把

置为1；如果进入此步骤时

为1，则现在把

置为0；

翻转完毕后，计算W_i，置f_i＝1，表示本比特位置已经被翻转过，转入子步骤(VI)；

(VI)如果i>1，转入子步骤(VII)；如果i＝1，转子步骤(VIII)；

(VII)计算当前半径

如果

译码索引i的值减1，转入子步骤(II)；如果

置h的子向量(h₁,...,h_i)为全零值，置f的子向量(f₁,...,f_i)为全零值，译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；

(VIII)计算当前半径

如果

把子步骤(IV)和(V)中得到的

排列成向量

记

为当前最优码字，r的值更新为

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；如果

译码索引i的值加1，转入子步骤(II)；

(IX)令r变成自身的α倍，即r＝αr，重置f和h为全零向量，转入子步骤(II)。

2.根据权利要求1所述的级联极化码的球形译码方法，其特征在于，所述第一步骤中计算CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC具体如下：

首先需要选定CRC码的生成多项式g(x)，g(x)具有如下形式：

g(x)＝x^q+a_q-1x^q-1+...+a₁x+1 (3)

其中a_i∈{0,1}，1≤i≤q-1，q是g(x)的次数，也是CRC校验位的长度；

根据g(x)各项系数，写出g(x)的向量表达形式v(g)：

v(g)＝(1,a_q-1,...a₁,1)； (4)

在得到CRC码的系统形式的生成矩阵G_CRC前，先要计算非系统形式的生成矩阵

设待编码的信息是K位比特，为得到

需要现在v(g)之前添加K-1个零，得到向量v₀(g)：

v₀(g)＝(0₁,...,0_K-1,v(g))＝(0₁,...,0_K-1,1,a_q-1,...a₁,1)； (5)

其中0_i，1≤i≤K-1表示添加的第i个零，v₀(g)中包含K+q个元素；

有K行，K+q列，

的各行由v₀(g)和v₀(g)的循环左移得到，设

的第i行为

则

按下式计算：

其中L^K-i(v₀(g))表示连续对v₀(g)进行K-i次循环左移，且L⁰(v₀(g))＝v₀(g)；

通过(6)式得到CRC码非系统形式的生成矩阵

后，用高斯消去法对

做初等行变换，得到系统形式的生成矩阵G_CRC：

G_CRC＝[I_K|Q_K×q]； (7)

其中I_K表示K维的单位矩阵，Q_K×q是K行，q列的矩阵，Q_K×q的作用是生成CRC校验位，符号“|”表示矩阵分块。

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