CN109389685A - 一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，包括以下步骤：S10、对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点，得到这些数据点的坐标信息；S20、获取目标体表面部分点的实际坐标信息，为这些表面已知点的实际坐标信息赋予一个无量纲值u，作为Helmholtz方程求解的边界条件；S30、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，通过边界点插值技术求解出所有数据点的无量纲值S40、以步骤S20中的无量纲值u为分类标准，筛选出的数据点为三维体表面点，从而达到表面重构的目的。本发明首次将边界节点插值技术应用于三维图形表面重构，仅利用边界表面部分点坐标信息即可重构图形表面，精确高效地获得目标体表面位置信息。

Description

一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法

技术领域

本发明属于三维图形处理技术领域，具体涉及一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法。

背景技术

随着计算机的高速发展，图形处理在工业生产以及人类生活中起了越来越重要的作用。而三维图形表面重构技术作为计算机视觉领域一个重要的研究方向，已经被广泛应用于地球物理、医疗健康、地质勘探、无损探伤、生物识别等各大生产和科研领域。

在国内外，已有多项专利技术应用于重构三维图形表面，如中国专利CN103489222A“三维图形中的目标体表面重构法”通过点密度分析法及网格划分获得计算点云，继而采取基于图形分割的能量函数法进行表面重构；中国专利CN100418108C“三维扫描系统中的图形重构方法”通过三维扫描系统获取海量数据点，经过对数据点的过滤及拼接构造几何模型；美国专利US20040574381“Three-dimensional reconstruction ofsurface profiles”通过从不同方向照射在一个平面的角度，利用光照下的阴影记录下三维图形表面的高度及凹凸从而重构表面。不同技术在重构三维图形表面时有不同的优缺点，上述三种方法虽能有效获取表面信息，但在前处理需要花费较大的计算成本。

发明内容

发明目的：针对现有技术的问题，本发明提出一种基于边界节点插值技术的快速重构三维图形中目标体表面的方法，能够解决当前三维图形表面重构计算规模大、计算成本高的问题。

技术方案：本发明所述的一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，包括以下步骤：

S10、对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点，得到这些数据点的坐标信息；

S20、获取目标体表面部分点的实际坐标信息，并输入Helmholtz方程通解，为这些表面已知点的实际坐标信息赋予一个无量纲值u，作为方程求解的边界条件；

S30、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，并通过步骤S20中边界上已知的每个节点形成的场函数求得该方程插值系数，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

S40、以步骤S20中的已知点无量纲值u为分类标准，筛选出的数据点为三维体表面点，从而达到表面重构的目的。

作为优选，所述步骤S10中通过三维非接触式测量技术对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点。

作为优选，所述步骤S20包括以下步骤：

S21、将获取的已知部分点的实际坐标信息输入Helmholtz方程通解，形成插值矩阵A，其中，

Helmholtz方程表达式为：(Δ+λ²)u＝0，其中为拉普拉斯算子，x,y为数据点的空间坐标，λ为任意非零常数；

Helmholtz方程通解表达式为：其中r为数据点之间的欧氏距离；

S22、给已知数据点赋予一个无量纲值u＝1，作为方程求解的边界条件b。

作为优选，所述步骤S30包括以下步骤：

S31、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，其插值公式为：其中Φ为Helmholtz方程通解：N表示数据点个数，a_j为插值系数；

S32、根据步骤S20得到Aa＝b线性系统从而求解插值系数，其中A为插值矩阵，b为边界条件，解得矩阵a，矩阵中元素a_j为插值系数；

S33、将插值系数代入Helmholtz方程的径向基函数插值公式，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

作为优选，所述步骤S40以值大小为判断数据点是否在三维体表面上的依据，即在表面外无穷远处点的值满足表面上的值满足在表面内的点的值满足

从而将所有数据点分为三类：

边界内：

边界上：

边界外：

其中，为筛选出的所需的表面点。

有益效果：本发明是基于径向基函数的无网格边界节点插值技术实现三维图形表面重构的一种方法，充分将应用数学与计算机图形处理相结合，从而达到三维图形表面重构的目的。该方法的特点在于不需要复杂前处理，数据点即为计算过程中的计算节点，通过边界节点插值技术可以快速有效地获得三维图形表面位置信息，且无需太多边界信息。本发明对确定未知图形表面具有重要的理论与实际意义，进而可以应用于地球物理、医疗健康、地质勘探等重要工程实际领域。

附图说明

图1为本发明的三维图形目标体表面重构方法流程图；

图2为根据本发明实施例的三维图形中目标体表面信息及数据点示意图；

图3为根据本发明实施例的216个规则数据点下三维图形中目标体重构图形；

图4为根据本发明实施例的1000个规则数据点下三维图形中目标体重构图形；

图5为根据本发明实施例的8000个规则数据点下三维图形中目标体重构图形；

图6为根据本发明实施例的216个散乱数据点下三维图形中目标体重构图形；

图7为根据本发明实施例的1000个散乱数据点下三维图形中目标体重构图形；

图8为根据本发明实施例的8000个散乱数据点下三维图形中目标体重构图形。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。

参照图1，一种基于Helmholtz方程的任意三维图形目标体表面重构方法包括以下步骤：

S10、对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点，得到这些数据点的坐标信息。

在一个实施例中，以一椭球为三维图形目标体，在得知其少量表面位置信息的条件下重构该球体表面。应当理解，这仅仅是为了说明而非限制的目的，本发明的方法适用于任意三维图形目标体的表面重构。三维测量包括接触式测量和非接触式测量，对于复杂的工程实例，一般可采取三维非接触式测量得到其表面附近数据点。实施例中为了简便，人为地在椭球表面附近均匀布置或随机布置若干数据点，该数据点只具有位置坐标信息，为了对重构方法有较充分的验证，可布置不同数量范围的数据点，实施例中两种方式下均分别布置了216、1000、8000、64000个数据点，作为下面计算的测试点。

S20、获取目标体表面部分点的实际坐标信息，并输入Helmholtz方程通解，为这些表面已知点的实际坐标信息赋予一个无量纲值u，作为方程求解的边界条件。

理论上求解过程可使用任意具有通解的偏微分方程，本发明采用Helmholtz方程，通过边界节点插值技术对数据点进行分类，即在边界外无穷远处点的值u满足u→0，在边界内的点的值满足Helmholtz方程。

Helmholtz方程表达式如下：

(Δ+λ²)u＝0

其中，为拉普拉斯算子，x,y为数据点的空间坐标，λ为任意非零常数。该方程通解为：r为数据点之间的欧氏距离。

将获取的已知部分点的实际坐标信息输入Helmholtz方程通解，每个已知点形成的场函数组成的矩阵即为插值矩阵A，矩阵元素为Helmholtz方程通解形成，通解为坐标的函数；再给已知数据点赋予一个无量纲值u＝1，作为方程求解的边界条件b，边界条件是指u＝1，b是矩阵形式，也就是说b是一个元素为1的列向量。

实施例中采用90个表面已知点坐标信息，将该90个数据点坐标信息输入Helmholtz方程通解，人为赋予一个无量纲值u，使得该90个点上的无量纲值u＝1，视为方程求解的边界条件。参照图2，星星表示数据点，圆点表示表面已知信息。由于边界节点插值技术只需要少量的表面已知信息，故可以大大提高计算效率。

S30、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，通过S20步骤中边界上已知的每个节点形成的场函数求得该方程插值系数，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

边界节点插值技术是一种基于径向基函数的无网格类技术，(见ChenW.Symmetric boundary knot method[J].Engineering Analysis with BoundaryElements,2002,26(6):489-494)，该技术已被成功应用于处理三维复杂对流扩散、薄膜振动及各种反问题中，其计算表达式可由一组径向基函数非奇异通解的线性组合表示：其中为数值解，Φ为Helmholtz方程对应的径向基函数非奇异通解，a_j为该技术中的插值系数。

根据步骤S20得到Aa＝b线性系统从而求解插值系数，其中A为插值矩阵，b为边界条件，解得矩阵a，矩阵中元素a_j为插值系数；再将插值系数代入Helmholtz方程的径向基函数插值公式，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

S40、以数据点的无量纲值是否大于1为分类标准，分为三类，筛选出的数据点即三维体表面点，继而用MATLAB绘制。理论上，严格满足的数据点为三维体表面点。在实施例中，采用值误差为基准，将结果列于表1-表4中。如表1最后一列，一共有64000个数据点，误差小于0.1有35192个数据点，误差小于0.01有4008个数据点，误差小于0.001有360个数据点，以此类推。

表1规则数据点下三维图形目标球体表面重构个数

表2散乱数据点下三维图形目标球体表面重构个数

表3规则数据点下三维图形目标球体表面重构所需时间(秒)

表4散乱数据点下三维图形目标球体表面重构所需时间(秒)

(注：1.散乱数据点随机抓取，因此每次抓取的都不一样；2.实例测试硬件：CPU-I5，内存-8G)

表1和表2分别为规则数据点和散乱数据点下三维目标椭球体表面重构个数，表3和表4分别为规则数据点和散乱数据点下表面重构所需时间。规则数据点与散乱数据点重构分别代表步骤S10中两种不同数据扫描结果，其计算结果用步骤S30计算得到，表格表明误差越小，对应的数据点越接近表面，结果显示通过90个原始表面数据点位置坐标信息可以精准且快速筛选出该椭球表面其他数据点。

图3-图8分别示出了216、1000、8000个规则和散乱数据点下三维图形目标体重构图形。从图3-图8可以看出，筛选出的数据点都在椭球表面，且随着总点数的增加，筛选出的目标体表面数据点也随之增多，充分体现本发明方法的有效性。由上可见，本发明是一种能快速有效重构三维图形中目标体表面的方法。

Claims (5)

1.一种基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

S10、对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点，得到这些数据点的坐标信息；

S20、获取目标体表面部分点的实际坐标信息，并输入Helmholtz方程通解，为这些表面已知点的实际坐标信息赋予一个无量纲值u，作为方程求解的边界条件；

S30、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，并通过步骤S20中边界上已知的每个节点形成的场函数求得该方程插值系数，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

S40、以步骤S20中的已知点无量纲值u为分类标准，筛选出的数据点为三维体表面点，从而达到表面重构的目的。

2.根据权利要求1所述的基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，其特征在于，所述步骤S10中通过三维非接触式测量技术对三维图形目标体进行扫描从而获得目标体表面附近数据点。

3.根据权利要求1所述的基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，其特征在于，所述步骤S20包括以下步骤：

S21、将获取的已知部分点的实际坐标信息输入Helmholtz方程通解，形成插值矩阵

A，其中，

Helmholtz方程表达式为：(Δ+λ²)u＝0，其中为拉普拉斯算子，x,y为数据点的空间坐标，λ为任意非零常数；

Helmholtz方程通解表达式为：其中r为数据点之间的欧氏距离；

S22、给已知数据点赋予一个无量纲值u＝1，作为方程求解的边界条件b。

4.根据权利要求3所述的基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，其特征在于，所述步骤S30包括以下步骤：

S31、将步骤S10中获取的所有数据点坐标信息导入径向基函数插值公式，其插值公式为：其中Φ为Helmholtz方程通解：N表示数据点个数，a_j为插值系数；

S32、根据步骤S20得到Aa＝b线性系统从而求解插值系数，其中A为插值矩阵，b为边界条件，解得矩阵a，矩阵中元素a_j为插值系数；

S33、将插值系数代入Helmholtz方程的径向基函数插值公式，从而计算出已知部分点以外所有数据点的无量纲值

5.根据权利要求3所述的基于Helmholtz方程的任意三维图形表面重构方法，其特征在于：所述S40以值大小为判断数据点是否在三维体表面上的依据，即在表面外无穷远处点的值满足表面上的值满足在表面内的点的值满足

从而将所有数据点分为三类：

边界内：

边界上：

边界外：

其中，为筛选出的所需的表面点。