CN113077553A - 一种基于表面属性的三维模型分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于表面属性的三维模型分割方法，包括以下步骤：1)对表面预着色的三角网格模型进行四面体离散化生成四面体网格模型，并对四面体网格模型进行表面标签优化；2)根据径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，以分割指示函数为指导将四面体网格模型分割为零件分块；3)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数，并以表面区域的约束函数为约束条件，应用表面优化算法优化零件分块的分割界面。本发明通过输入一个表面预着色的三角网格模型，生成了具有高质量表面的三维模型分割结果，有效地提高了3D打印技术的制造能力与工艺效率。

Description

一种基于表面属性的三维模型分割方法

技术领域

本发明涉及3D打印过程中的三维模型分割的技术领域，尤其是指一种基于表面属性的三维模型分割方法。

背景技术

基于表面属性的三维模型分割方法是优化3D打印过程的基本方法之一。在实践中，由于3D打印的工艺限制，当前主流的制造技术很难在单次制造过程中获得具有多种表面属性的模型。要通过3D打印获得表面各个区域具有不同的材质或颜色属性的模型实体，首先要对输入模型进行分割，将数字对象分割为具有单一表面属性的零件分块，然后通过单独打印各个零件分块后组装成原模型。三维模型分割方法的挑战在于确定一种可靠的分割方案，使其能够在各种场景下处理复杂的模型。

目前基于表面属性的三维模型分割方法分为以下两种:1)采用扫掠轨迹分割的方法，将具有单一属性的表面区域沿特定方向移动，该表面区域扫掠得到体积空间与模型内部的交集就是该表面区域的分割得到的零件分块。2)采用图分割方法，将模型内部元素看作无向图模型，通过最小距离等衡量准则对图模型进行分割。第一种方案只适用于特定的家具模型，无法推广到自由曲面模型上，应用场景有限。第二种方案实现了在各种类型的模型上的分割，但无法获得高质量的平滑表面，这对后续模型的打印材料消耗，关节安装都产生不利影响。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提出了一种基于表面属性的三维模型分割方法，突破以往工作无法生成高质量分割界面的缺点，通过径向基函数表面重建算法生成的分割指示函数和表面优化算法对三维模型进行分割和优化，生成了表面光滑平坦的零件分块，提高了三维模型分割算法得到的零件分块的表面质量，扩大了三维模型分割算法的适用范围。

为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：一种基于表面属性的三维模型分割方法，包括以下步骤：

1)对表面预着色的三角网格模型进行四面体离散化生成四面体网格模型，并对四面体网格模型进行表面标签优化；

2)根据径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，以分割指示函数为指导将四面体网格模型分割为零件分块；

3)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数，并以表面区域的约束函数为约束条件，应用表面优化算法优化零件分块的分割界面。

进一步，所述步骤1)包括以下步骤：

1.1)输入一个表面预着色的三角网格模型，表面预着色的三角网格模型是指表面被着色成不同的表面区域，且表面上每个三角面片均已定义单一的标签属性的三角网格模型，然后使用德劳内四面体化算法将表面预着色的三角网格模型转化为四面体网格模型；四面体网格模型表面的四面体被赋予表面预着色的三角网格模型相同位置上的三角面片的标签属性，而四面体网格模型内部的四面体的标签属性保持未定义；

1.2)对四面体网格模型进行表面标签优化；表面标签优化包括收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤；收集不合法四面体的具体流程为对四面体网格模型中的每条四面体半边做检测，如果四面体半边的左右两个顶点分别落在两个具有不同标签属性的四面体上，那么该四面体半边标记为不合法半边并收集含有不合法半边的四面体，含有不合法半边的四面体即为不合法四面体；收集不合法四面体后，开始分割不合法四面体，对每个不合法四面体，取所有不合法四面体中的不合法半边，在不合法四面体中的不合法半边的中点处进行二分，并将二分后的得到的两个新四面体代替原来的不合法四面体；收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤执行完毕后即完成了表面标签优化。

进一步，所述步骤2)包括以下步骤：

2.1)对每个四面体网格模型的表面区域，利用径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，具体内容为根据四面体网格模型的表面区域的边界信息确定边界控制点和几何控制点，构建径向基函数方程组，将径向基函数方程组的解赋值给径向基函数插值函数的相关系数，得到径向基函数插值函数的完整形式，径向基函数插值函数的完整形式即为分割指示函数；

首先，确定边界控制点，单个四面体网格模型的表面区域边界B上的所有边界点即为所需的边界控制点；边界控制点的集合为

其中p_i∈P为第i个边界控制点，N为边界控制点数量；接着计算边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；几何控制点的集合为

其中p'_i∈P'为第i个几何控制点；计算边界控制点的点法线方向的具体过程为计算一个固定点c，对第i个边界控制点p_i∈P，边界控制点的点法线方向均设置为p_i-c，于是第i个边界控制点p_i∈P对应的第i个几何控制点p'_i∈P'的坐标计算公式为

计算固定点c的方法为通过构造能量公式：

其中，p_ik是在离第i个边界控制点p_i最近的M个边界控制点组成的集合中的第k个边界控制点；将c(x_c,y_c,z_c)，p_i(x_i,y_i,z_i)和p_ik(x_ik,y_ik,z_ik)代入上式得：

其中，x_c,y_c,z_c分别为c的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；x_i,y_i,z_i分别为p_i的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；x_ik,y_ik,z_ik分别为p_ik的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；

令α＝(x_ik-x_i)x_i+(y_ik-y_i)y_i+(z_ik-z_i)z_i,β₁＝x_ik-x_i,β₂＝y_ik-y_i,β₃＝z_ik-z_i，其中α，β₁，β₂，β₃均为常数；然后令

来求解能量函数F的最小值，联立上述式子能够得到一个包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组，即：

对包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组求解出x_c,y_c,z_c的值，即可确定固定点c(x_c,y_c,z_c)；利用该固定点c，计算出边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；

计算得到边界控制点和几何控制点后，根据径向基函数表面重建算法的定义，边界控制点P＝{p_i}的径向基函数插值函数写成：f(p_i)＝0，几何控制点P'＝{p'_i}的径向基函数插值函数写成：f(p'_i)＝d_i≠0，其中d_i为函数值；径向基函数插值函数如下所示：

其中，p为满足f(p)的自变量，输入形式为p＝(x,y,z)的三维坐标，x,y,z分别为p的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；g(p)＝c₁x+c₂y+c₃z+c₄为多项式，c₁,c₂,c₃,c₄为g(p)的多项式系数，φ(·)为核函数，||·||为求解向量L2范数的操作，而λ_i为输入为||p-p_i||的核函数φ(·)的权重系数，λ_j为输入为||p-p'_i||的核函数φ(·)的权重系数；径向基函数插值函数中的所有系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄均为需要求解的未知系数；将φ(||p-p_i||)＝||p-p_i||设置为径向基函数插值函数中的核函数部分，得到径向基函数方程组；然后将径向基函数方程组求得的解赋值给径向基函数插值函数的系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄，得到径向基函数插值函数的完整表示，也就是分割指示函数；对每个四面体网格模型的表面区域，均利用径向基函数表面重建算法生成分割指示函数；

2.2)计算得到径向基函数插值函数后，以分割指示函数为指导，对四面体网格模型进行划分，具体为对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配；四面体分配首先输入单个四面体网格模型的表面区域，然后取出相应的分割指导函数，将所有四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体的重心坐标输入到相应的分割指导函数中，得到相应的函数值；根据函数值的符号正负，四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体被分为两个集合：函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块；然后对函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块分别收集分割界面并计算分割界面总面积；分割界面的具体含义为，给定具有单一标签的四面体块，如果具有单一标签的四面体块中的四面体与其相邻的四面体具有不同的标签属性，那么该四面体与相邻的四面体共享的面被定义为分界半面；所有分界半面的集合构成了分割界面I；分割界面总面积通过计算公式得到，公式如下：

其中，f_t为分割界面I中的一个分界半面，A(f_t)则为分界半面的三角面积；计算得到函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块的分割界面总面积后，具有最小分割界面总面积的四面体块中的所有四面体，将被赋予给相应的分割指导函数对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配后，四面体网格模型被分割为零件分块，零件分块的数量与四面体网格模型的表面区域数量相同。

进一步，所述步骤3)包括以下步骤：

3.1)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数首先需要对每个四面体网格模型的表面区域计算表面区域的偏移曲面；表面区域的偏移曲面指表面区域上的顶点沿着点法线的相反方向移动设定的偏移距离，同时保持顶点之间的拓扑关系不变而得到的新曲面；表面区域的偏移曲面使用四面体填充方法获得，四面体填充方法的单次迭代过程为收集所有待处理四面体，待处理四面体为所有四面体网格模型的表面四面体，形成待处理集合；对待处理集合中的每个待处理四面体，比较待处理四面体的所有表面最短距离，表面最短距离是指待处理四面体到单个四面体网格模型的表面区域的最短距离，并对待处理四面体赋予最小的表面最短距离所对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；然后，收集此待处理四面体相邻的所有四面体加入到待处理集合中；当当前待处理四面体的所有表面最短距离均超过设定的偏移距离时，停止将待处理四面体相邻的所有四面体加入待处理集合；然后重复运行四面体填充方法的单次迭代过程直至待处理集合为空；使用四面体填充方法对每个四面体网格模型的表面区域模型中生成厚度为设定的偏移距离的四面体薄层后，提取厚度为设定的偏移距离的四面体薄层的分割界面作为四面体网格模型的表面区域的偏移曲面；

得到每个表面区域的偏移曲面后，对每个表面区域的偏移曲面，都提取表面区域的偏移曲面上所有顶点输入到泊松表面重建算法中，经过去噪和平滑后得到重建后表面区域的偏移曲面；然后使用径向基函数表面重建算法提取表面区域的约束函数，表面区域的约束函数即为拟合了重建后表面区域的偏移曲面的径向基函数插值函数；获得表面区域的约束函数后，开始执行表面优化算法；

3.2)执行表面优化算法首先需要对每个零件分块提取零件分块的接触界面S_M＝(V,E)，零件分块的接触界面是从单个零件分块的分割界面上提取到的三角网格模型，零件分块的接触界面的顶点集合为V，零件分块的接触界面的边集合为E，然后对每个零件分块的接触界面应用表面优化算法；表面优化算法为一个迭代运行的循环算法，表面优化算法的单次迭代过程为种群初始化、变异操作、交叉操作、选择操作、顶点更新和顶点测试；令D＝[α₁,α₂,...,α_n]表示表面优化算法的候选解，也叫做个体，其中D为多维向量，α₁,α₂,...,α_n为个体的第1个到第n个元素，其取值范围均为[0,2]，首先实行种群初始化，种群初始化与差分进化算法中的种群初始化的具体步骤完全一致，具体为创建预定数量的个体，预定数量的个体也称为种群，然后对每个种群中的个体，将在取值范围内产生的随机数赋值给种群中的个体的元素；种群初始化后，对种群依次执行变异操作和交叉操作，变异操作和交叉操作与差分进化算法中的变异操作和交叉操作的具体步骤完全一致；然后对种群执行选择操作，具体为分别计算每个种群中的个体的适应度函数值和每个种群中的个体通过变异操作和交叉操作产生的新个体的适应度函数值，并选择两者之中适应度函数值最小的个体进入下一轮迭代；适应度函数f^*的计算公式如下：

其中，第一项S_A表示零件分块的接触界面的分割界面总面积，第二项

表示所有零件分块的接触界面的顶点的拉普拉斯向量的模长总和，d_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中第i个顶点v_i所对应的拉普拉斯向量，γ为第二项的权重系数，d_i的计算公式与拉普拉斯平滑算法中的拉普拉斯向量的计算公式完全一致；

选择操作结束时记录种群中适应度函数值最小的个体作为本次迭代的最优解D_min＝[α₁,α₂,...,α_n]，并更新零件分块的接触界面的顶点坐标，顶点更新规则为

v′_i＝v_i+α_i·d_i

其中，v_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中的第i个分割界面的顶点，v'_i为v_i根据顶点更新规则更新得到的新顶点，也叫做更新顶点，α_i为v_i对应的本次迭代的最优解中第i位元素；通过顶点更新规则，对每个零件分块的接触界面的顶点计算更新顶点后，将更新顶点的坐标替换零件分块的接触界面的顶点的坐标，即完成了顶点更新；执行顶点更新后，进行顶点测试，具体为将每个零件分块的接触界面的顶点的坐标输入表面区域的约束函数并计算函数值，然后停止更新函数值小于零的分割界面的顶点的坐标；至此单次迭代过程完成；表面优化算法重复单次迭代过程直至达到终止条件，终止条件为执行的迭代次数达到最大阈值或前后两次迭代的最优解的适用度函数值的差值小于指定精度；表面优化算法达到终止条件后，输出顶点更新完毕的零件分块的接触界面；对每个零件分块提取零件分块的接触界面和执行表面优化算法后，算法流程结束。

本发明与现有技术相比，具有如下优点与有益效果：

1、本发明首次将径向基函数表面重建算法应用至三维模型体分割技术中，提高了体分割技术的运行效率。

2、本发明提出了一种基于分割界面总面积的衡量规则，在给定指示函数的情况下，能够根据衡量规则有效划分三维模型内部元素，生成分割结果。

3、本发明首次将差分进化算法应用至三维模型的表面优化中，提高了三维模型体分割结果的表面质量，提升了体分割算法的鲁棒性。

4、本发明提出基于偏移曲面约束的表面优化算法，避免了曲面平滑过程可能出现的曲面相交情况，提高了算法的鲁棒性和适用范围。

5、本发明通过生成光滑且平坦的零件分块表面，节省了3D打印过程的材料消耗，更利于后续在零件分块上进行关节安装。

附图说明

图1为本发明的逻辑流程示意图。

图2为本发明的四面体网格模型表面标签优化前后的结果对比示意图。

图3为本发明通过径向基函数表面重建算法分割三维模型的示意图。

图4为本发明的表面优化算法的逻辑流程示意图。

图5为本发明的表面优化算法的迭代过程示例图。

图6为本发明得到的三维模型体分割的模拟结果和实物打印结果。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

如图1所示，本实施例所提供的基于表面属性的三维模型分割方法，包括以下步骤：

1)对表面预着色的三角网格模型进行四面体离散化生成四面体网格模型，并对四面体网格模型进行表面标签优化，包括以下步骤：

1.1)输入一个表面预着色的三角网格模型，表面预着色的三角网格模型是指表面被着色成不同的表面区域，且表面上每个三角面片均已定义单一的标签属性的三角网格模型，然后使用德劳内四面体化算法(详见Si H.TetGen,aDelaunay-based qualitytetrahedral mesh generator[J].ACM Transactions on Mathematical Software(TOMS),2015,41(2):1-36.)将表面预着色的三角网格模型转化为四面体网格模型；四面体网格模型表面的四面体被赋予表面预着色的三角网格模型相同位置上的三角面片的标签属性，而四面体网格模型内部的四面体的标签属性保持未定义。

1.2)对四面体网格模型进行表面标签优化；表面标签优化包括收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤；收集不合法四面体的具体流程为对四面体网格模型中的每条四面体半边做检测，如果四面体半边的左右两个顶点分别落在两个具有不同标签属性的四面体上，那么该四面体半边标记为不合法半边并收集含有不合法半边的四面体，含有不合法半边的四面体即为不合法四面体；收集不合法四面体后，开始分割不合法四面体，对每个不合法四面体，取所有不合法四面体中的不合法半边，在不合法四面体中的不合法半边的中点处进行二分，并将二分后的得到的两个新四面体代替原来的不合法四面体；收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤执行完毕后即完成了表面标签优化。在对四面体网格模型进行表面标签优化后，四面体网格模型的表面区域边界的锯齿现象被消除。图2展示了四面体网格模型执行表面标签优化前后的结果对比，其中第一行左图为出现锯齿现象的四面体网格模型，第一行的右侧两个方框内的图片为四面体网格模型的局部放大图，第二行示出了第一行左图的出现锯齿现象的四面体网格模型的表面标签优化处理的结果。可以看出，四面体网格模型的表面区域边界从粗糙毛刺的边缘变为平滑过渡的边缘，消除了原来的锯齿问题。

2)根据径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，以分割指示函数为指导将四面体网格模型分割为零件分块，包括以下步骤：

2.1)在上一步骤的基础上，对每个四面体网格模型的表面区域，利用径向基函数表面重建算法(详见Carr J C,Beatson R K,Cherrie J B,et al.Reconstruction andrepresentation of 3D objects with radial basis functions[C]//Proceedings ofthe28th annual conference on Computer graphics and interactivetechniques.2001:67-76.)生成分割指示函数；具体内容为根据四面体网格模型的表面区域的边界信息确定边界控制点和几何控制点，构建径向基函数方程组，将径向基函数方程组的解赋值给径向基函数插值函数的相关系数，得到径向基函数插值函数的完整形式，径向基函数插值函数的完整形式即为分割指示函数；

首先确定边界控制点，单个四面体网格模型的表面区域边界B上的所有边界点即为所需的边界控制点；边界控制点的集合为

其中p_i∈P为第i个边界控制点，N为边界控制点数量；接着计算边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；几何控制点的集合为

其中p'_i∈P'为第i个几何控制点；计算边界控制点的点法线方向的具体步骤为计算一个固定点c，对第i个边界控制点p_i∈P，边界控制点的点法线方向均设置为p_i-c，于是第i个边界控制点p_i∈P对应的第i个几何控制点p'_i∈P'的坐标计算公式为

计算固定点c的方法为通过构造能量公式：

其中，p_ik是在离第i个边界控制点p_i最近的M个边界控制点组成的集合中的第k个边界控制点；将c(x_c,y_c,z_c)，p_i(x_i,y_i,z_i)和p_ik(x_ik,y_ik,z_ik)代入上式可得

其中x_c,y_c,z_c分别为c的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标，x_i,y_i,z_i分别为p_i的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标，x_ik,y_ik,z_ik分别为p_ik的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标，令α＝(x_ik-x_i)x_i+(y_ik-y_i)y_i+(z_ik-z_i)z_i,β₁＝x_ik-x_i,β₂＝y_ik-y_i,β₃＝z_ik-z_i，其中α，β₁，β₂，β₃均为常数；然后令

来求解能量函数F的最小值，联立上述式子可以得到一个包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组，即

对包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组求解出x_c,y_c,z_c的值，即可确定固定点c(x_c,y_c,z_c)；利用该固定点c，我们计算出边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；

计算得到边界控制点和几何控制点后，根据径向基函数表面重建算法的定义，边界控制点P＝{p_i}的径向基函数插值函数写成：f(p_i)＝0，几何控制点P'＝{p'_i}的径向基函数插值函数写成：f(p'_i)＝d_i≠0，其中d_i为函数值；径向基函数插值函数如下所示：

其中p为满足f(p)的自变量，输入形式为p＝(x,y,z)的三维坐标，x,y,z分别为p的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；g(p)＝c₁x+c₂y+c₃z+c₄为多项式，c₁,c₂,c₃,c₄为g(p)的多项式系数，φ(·)为核函数，||·||为求解向量L2范数的操作，而λ_i为输入为||p-p_i||的核函数φ(·)的权重系数，,λ_j为输入为||p-p'_i||的核函数φ(·)的权重系数；径向基函数插值函数中的所有系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄均为需要求解的未知系数；将φ(||p-p_i||)＝||p-p_i||设置为径向基函数插值函数中的核函数部分，得到径向基函数方程组；然后将径向基函数方程组求得的解赋值给径向基函数插值函数的系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄，得到径向基函数插值函数的完整表示，也就是分割指示函数；对每个四面体网格模型的表面区域，均利用径向基函数表面重建算法生成分割指示函数；

2.2)计算得到径向基函数插值函数后，以分割指示函数为指导，对四面体网格模型进行划分，具体为对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配；四面体分配首先输入单个四面体网格模型的表面区域，然后取出相应的分割指导函数，将所有四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体的重心坐标输入到相应的分割指导函数中，得到相应的函数值；根据函数值的符号正负，四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体被分为两个集合：函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块；然后对函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块分别收集分割界面并计算分割界面总面积；分割界面的具体含义为，给定具有单一标签的四面体块，如果具有单一标签的四面体块中的四面体与其相邻的四面体具有不同的标签属性，那么该四面体与相邻的四面体共享的面被定义为分界半面；所有分界半面的集合构成了分割界面I；分割界面总面积通过计算公式得到，公式如下：

其中f_t为分割界面I中的一个分界半面，A(f_t)则为分界半面的三角面积；计算得到函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块的分割界面总面积后，具有最小分割界面总面积的四面体块中的所有四面体，将被赋予给相应的分割指导函数对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配后，四面体网格模型被分割为零件分块，零件分块的数量与四面体网格模型的表面区域数量相同；图3展示了径向基函数表面重建算法分割四面体网格模型的表面区域的过程，其中，图3从左到右依次为单个四面体网格模型的表面区域、径向基函数插值函数所有函数值为零的点组成的曲面以及分配四面体块给单个四面体网格模型的表面区域后形成的零件分块。

3)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数，并以表面区域的约束函数为约束条件，应用表面优化算法优化零件分块的分割界面，包括以下步骤：

3.1)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数首先需要对每个四面体网格模型的表面区域计算表面区域的偏移曲面；表面区域的偏移曲面指表面区域上的顶点沿着点法线的相反方向移动设定的偏移距离，同时保持顶点之间的拓扑关系不变而得到的新曲面；表面区域的偏移曲面使用四面体填充方法获得，四面体填充方法的单次迭代过程为收集所有待处理四面体，待处理四面体为所有四面体网格模型的表面四面体，形成待处理集合；对待处理集合中的每个待处理四面体，比较待处理四面体的所有表面最短距离，表面最短距离是指待处理四面体到单个四面体网格模型的表面区域的最短距离，并对待处理四面体赋予最小的表面最短距离所对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；然后，收集此待处理四面体相邻的所有四面体加入到待处理集合中；当当前待处理四面体的所有表面最短距离均超过设定的偏移距离时，停止将待处理四面体相邻的所有四面体加入待处理集合；然后重复运行四面体填充方法的单次迭代过程直至待处理集合为空；使用四面体填充方法对每个四面体网格模型的表面区域模型中生成厚度为设定的偏移距离的四面体薄层后，提取厚度为设定的偏移距离的四面体薄层的分割界面作为四面体网格模型的表面区域的偏移曲面；

得到每个表面区域的偏移曲面后，对每个表面区域的偏移曲面，都提取表面区域的偏移曲面上所有顶点输入到泊松表面重建算法(详见Kazhdan M,Bolitho M,HoppeH.Poisson surface reconstruction[C]//Proceedings of the fourth Eurographicssymposium on Geometry processing.2006,7.)中，经过去噪和平滑后得到重建后表面区域的偏移曲面；然后使用径向基函数表面重建算法提取表面区域的约束函数，表面区域的约束函数即为拟合了重建后表面区域的偏移曲面的径向基函数插值函数；获得表面区域的约束函数后，开始执行表面优化算法；

3.2)执行表面优化算法首先需要对每个零件分块提取零件分块的接触界面S_M＝(V,E)，零件分块的接触界面是从单个零件分块的分割界面上提取到的三角网格模型，零件分块的接触界面的顶点集合为V，零件分块的接触界面的边集合为E，然后对每个零件分块的接触界面应用表面优化算法；表面优化算法为一个迭代运行的循环算法，其逻辑流程如图4所示；表面优化算法的单次迭代过程为种群初始化、变异操作、交叉操作、选择操作、顶点更新和顶点测试；令D＝[α₁,α₂,...,α_n]表示表面优化算法的候选解，也叫做个体，其中D为多维向量，α₁,α₂,...,α_n为个体的第1个到第n个元素，其取值范围均为[0,2]，首先实行种群初始化；种群初始化与差分进化算法(详见Storn R,Price K.Differential evolution–asimple and efficient heuristic for global optimization over continuousspaces[J].Journal of global optimization,1997,11(4):341-359.)中的种群初始化的具体步骤完全一致，具体为创建预定数量的个体，预定数量的个体也称为种群，然后对每个种群中的个体，将在取值范围内产生的随机数赋值给种群中的个体的元素；种群初始化后，对种群依次执行变异操作和交叉操作，变异操作和交叉操作与差分进化算法中的变异操作和交叉操作的具体步骤完全一致。然后对种群执行选择操作，具体为分别计算每个种群中的个体的适应度函数值和每个种群中的个体通过变异操作和交叉操作产生的新个体的适应度函数值，并选择两者之中适应度函数值最小的个体进入下一轮迭代；适应度函数f^*的计算公式如下：

其中第一项S_A表示零件分块的接触界面的分割界面总面积，第二项

表示所有零件分块的接触界面的顶点的拉普拉斯向量的模长总和，d_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中第i个顶点v_i所对应的拉普拉斯向量，γ为第二项的权重系数，d_i的计算公式与拉普拉斯平滑算法中的拉普拉斯向量的计算公式完全一致；

选择操作结束时记录种群中适应度函数值最小的个体作为本次迭代的最优解D_min＝[α₁,α₂,...,α_n]，并更新零件分块的接触界面的顶点坐标，顶点更新规则为

v′_i＝v_i+α_i·d_i

其中v_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中的第i个分割界面的顶点，v'_i为v_i根据顶点更新规则更新得到的新顶点，也叫做更新顶点，α_i为v_i对应的本次迭代的最优解中第i位元素；通过顶点更新规则，对每个零件分块的接触界面的顶点计算更新顶点后，将更新顶点的坐标替换零件分块的接触界面的顶点的坐标，即完成了顶点更新；执行顶点更新后，进行顶点测试，具体为将每个零件分块的接触界面的顶点的坐标输入表面区域的约束函数并计算函数值，然后停止更新函数值小于零的分割界面的顶点的坐标；至此单次迭代过程完成；表面优化算法重复单次迭代过程直至达到终止条件，终止条件为执行的迭代次数达到最大阈值或前后两次迭代的最优解的适用度函数值的差值小于指定精度；表面优化算法迭代过程产生的中间结果如图5所示，输入单个零件分块，随着迭代次数增加，零件分块的接触界面的面积逐渐缩小，表面逐渐光滑；表面优化算法达到终止条件后，输出顶点更新完毕的零件分块的接触界面；对每个零件分块提取零件分块的接触界面和执行表面优化算法后，算法流程结束。

图6提供了六个表面预着色的三角网格模型及本方法产生的三维模型分割结果。图6第一列显示了表面预着色的三角网格模型，第二列显示了应用本方法得到的分割结果，表面预着色的三角网格模型根据表面区域的个数被分解为相同数量的零件分块，第三列展示的是本方法产生的零件分块的物理打印实体，而第四列展示了同一个模型的多个零件分块组装成原模型的示例。

综上所述，在采用以上方案后，本发明为基于表面属性的三维模型分割技术提供了新的方法，将径向基函数的表面重建算法和差分进化算法迁移至基于表面属性的三维模型分割技术中，生成了具有高质量分割界面的零件分块，有效地提高3D打印的制造能力和制造效率，具有实际推广价值，值得推广。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于表面属性的三维模型分割方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)对表面预着色的三角网格模型进行四面体离散化生成四面体网格模型，并对四面体网格模型进行表面标签优化；

2)根据径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，以分割指示函数为指导将四面体网格模型分割为零件分块；

3)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数，并以表面区域的约束函数为约束条件，应用表面优化算法优化零件分块的分割界面。

2.根据权利要求1所述的一种基于表面属性的三维模型分割方法，其特征在于，所述步骤1)包括以下步骤：

1.1)输入一个表面预着色的三角网格模型，表面预着色的三角网格模型是指表面被着色成不同的表面区域，且表面上每个三角面片均已定义单一的标签属性的三角网格模型，然后使用德劳内四面体化算法将表面预着色的三角网格模型转化为四面体网格模型；四面体网格模型表面的四面体被赋予表面预着色的三角网格模型相同位置上的三角面片的标签属性，而四面体网格模型内部的四面体的标签属性保持未定义；

1.2)对四面体网格模型进行表面标签优化；表面标签优化包括收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤；收集不合法四面体的具体流程为对四面体网格模型中的每条四面体半边做检测，如果四面体半边的左右两个顶点分别落在两个具有不同标签属性的四面体上，那么该四面体半边标记为不合法半边并收集含有不合法半边的四面体，含有不合法半边的四面体即为不合法四面体；收集不合法四面体后，开始分割不合法四面体，对每个不合法四面体，取所有不合法四面体中的不合法半边，在不合法四面体中的不合法半边的中点处进行二分，并将二分后的得到的两个新四面体代替原来的不合法四面体；收集不合法四面体和分割不合法四面体两个步骤执行完毕后即完成了表面标签优化。

3.根据权利要求1所述的一种基于表面属性的三维模型分割方法，其特征在于，所述步骤2)包括以下步骤：

2.1)对每个四面体网格模型的表面区域，利用径向基函数表面重建算法生成分割指示函数，具体内容为根据四面体网格模型的表面区域的边界信息确定边界控制点和几何控制点，构建径向基函数方程组，将径向基函数方程组的解赋值给径向基函数插值函数的相关系数，得到径向基函数插值函数的完整形式，径向基函数插值函数的完整形式即为分割指示函数；

首先，确定边界控制点，单个四面体网格模型的表面区域边界B上的所有边界点即为所需的边界控制点；边界控制点的集合为

其中p_i∈P为第i个边界控制点，N为边界控制点数量；接着计算边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；几何控制点的集合为

其中p'_i∈P'为第i个几何控制点；计算边界控制点的点法线方向的具体过程为计算一个固定点c，对第i个边界控制点p_i∈P，边界控制点的点法线方向均设置为p_i-c，于是第i个边界控制点p_i∈P对应的第i个几何控制点p'_i∈P'的坐标计算公式为

计算固定点c的方法为通过构造能量公式：

其中，p_ik是在离第i个边界控制点p_i最近的M个边界控制点组成的集合中的第k个边界控制点；将c(x_c,y_c,z_c)，p_i(x_i,y_i,z_i)和p_ik(x_ik,y_ik,z_ik)代入上式得：

其中，x_c,y_c,z_c分别为c的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；x_i,y_i,z_i分别为p_i的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；x_ik,y_ik,z_ik分别为p_ik的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；

令α＝(x_ik-x_i)x_i+(y_ik-y_i)y_i+(z_ik-z_i)z_i,β₁＝x_ik-x_i,β₂＝y_ik-y_i,β₃＝z_ik-z_i，其中α，β₁，β₂，β₃均为常数；然后令

来求解能量函数F的最小值，联立上述式子能够得到一个包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组，即：

对包含三个变量x_c,y_c,z_c的线性方程组求解出x_c,y_c,z_c的值，即可确定固定点c(x_c,y_c,z_c)；利用该固定点c，计算出边界控制点的点法线方向，将边界控制点沿边界控制点的点法线方向偏移一个单位长度得到几何控制点；

计算得到边界控制点和几何控制点后，根据径向基函数表面重建算法的定义，边界控制点P＝{p_i}的径向基函数插值函数写成：f(p_i)＝0，几何控制点P'＝{p'_i}的径向基函数插值函数写成：f(p'_i)＝d_i≠0，其中d_i为函数值；径向基函数插值函数如下所示：

其中，p为满足f(p)的自变量，输入形式为p＝(x,y,z)的三维坐标，x,y,z分别为p的x轴坐标、y轴坐标和z轴坐标；g(p)＝c₁x+c₂y+c₃z+c₄为多项式，c₁,c₂,c₃,c₄为g(p)的多项式系数，φ(·)为核函数，||·||为求解向量L2范数的操作，而λ_i为输入为||p-p_i||的核函数φ(·)的权重系数，λ_j为输入为||p-p'_i||的核函数φ(·)的权重系数；径向基函数插值函数中的所有系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄均为需要求解的未知系数；将φ(||p-p_i||)＝||p-p_i||设置为径向基函数插值函数中的核函数部分，得到径向基函数方程组；然后将径向基函数方程组求得的解赋值给径向基函数插值函数的系数λ_i,λ_j及c₁,c₂,c₃,c₄，得到径向基函数插值函数的完整表示，也就是分割指示函数；对每个四面体网格模型的表面区域，均利用径向基函数表面重建算法生成分割指示函数；

2.2)计算得到径向基函数插值函数后，以分割指示函数为指导，对四面体网格模型进行划分，具体为对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配；四面体分配首先输入单个四面体网格模型的表面区域，然后取出相应的分割指导函数，将所有四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体的重心坐标输入到相应的分割指导函数中，得到相应的函数值；根据函数值的符号正负，四面体网格模型内部未赋予标签属性的四面体被分为两个集合：函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块；然后对函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块分别收集分割界面并计算分割界面总面积；分割界面的具体含义为，给定具有单一标签的四面体块，如果具有单一标签的四面体块中的四面体与其相邻的四面体具有不同的标签属性，那么该四面体与相邻的四面体共享的面被定义为分界半面；所有分界半面的集合构成了分割界面I；分割界面总面积通过计算公式得到，公式如下：

其中，f_t为分割界面I中的一个分界半面，A(f_t)则为分界半面的三角面积；计算得到函数值大于零的四面体块和函数值小于零的四面体块的分割界面总面积后，具有最小分割界面总面积的四面体块中的所有四面体，将被赋予给相应的分割指导函数对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；对每个四面体网格模型的表面区域执行四面体分配后，四面体网格模型被分割为零件分块，零件分块的数量与四面体网格模型的表面区域数量相同。

4.根据权利要求1所述的一种基于表面属性的三维模型分割方法，其特征在于，所述步骤3)包括以下步骤：

3.1)对四面体网格模型计算表面区域的约束函数首先需要对每个四面体网格模型的表面区域计算表面区域的偏移曲面；表面区域的偏移曲面指表面区域上的顶点沿着点法线的相反方向移动设定的偏移距离，同时保持顶点之间的拓扑关系不变而得到的新曲面；表面区域的偏移曲面使用四面体填充方法获得，四面体填充方法的单次迭代过程为收集所有待处理四面体，待处理四面体为所有四面体网格模型的表面四面体，形成待处理集合；对待处理集合中的每个待处理四面体，比较待处理四面体的所有表面最短距离，表面最短距离是指待处理四面体到单个四面体网格模型的表面区域的最短距离，并对待处理四面体赋予最小的表面最短距离所对应的四面体网格模型的表面区域的标签属性；然后，收集此待处理四面体相邻的所有四面体加入到待处理集合中；当当前待处理四面体的所有表面最短距离均超过设定的偏移距离时，停止将待处理四面体相邻的所有四面体加入待处理集合；然后重复运行四面体填充方法的单次迭代过程直至待处理集合为空；使用四面体填充方法对每个四面体网格模型的表面区域模型中生成厚度为设定的偏移距离的四面体薄层后，提取厚度为设定的偏移距离的四面体薄层的分割界面作为四面体网格模型的表面区域的偏移曲面；

得到每个表面区域的偏移曲面后，对每个表面区域的偏移曲面，都提取表面区域的偏移曲面上所有顶点输入到泊松表面重建算法中，经过去噪和平滑后得到重建后表面区域的偏移曲面；然后使用径向基函数表面重建算法提取表面区域的约束函数，表面区域的约束函数即为拟合了重建后表面区域的偏移曲面的径向基函数插值函数；获得表面区域的约束函数后，开始执行表面优化算法；

3.2)执行表面优化算法首先需要对每个零件分块提取零件分块的接触界面S_M＝(V,E)，零件分块的接触界面是从单个零件分块的分割界面上提取到的三角网格模型，零件分块的接触界面的顶点集合为V，零件分块的接触界面的边集合为E，然后对每个零件分块的接触界面应用表面优化算法；表面优化算法为一个迭代运行的循环算法，表面优化算法的单次迭代过程为种群初始化、变异操作、交叉操作、选择操作、顶点更新和顶点测试；令D＝[α₁,α₂,...,α_n]表示表面优化算法的候选解，也叫做个体，其中D为多维向量，α₁,α₂,...,α_n为个体的第1个到第n个元素，其取值范围均为[0,2]，首先实行种群初始化，种群初始化与差分进化算法中的种群初始化的具体步骤完全一致，具体为创建预定数量的个体，预定数量的个体也称为种群，然后对每个种群中的个体，将在取值范围内产生的随机数赋值给种群中的个体的元素；种群初始化后，对种群依次执行变异操作和交叉操作，变异操作和交叉操作与差分进化算法中的变异操作和交叉操作的具体步骤完全一致；然后对种群执行选择操作，具体为分别计算每个种群中的个体的适应度函数值和每个种群中的个体通过变异操作和交叉操作产生的新个体的适应度函数值，并选择两者之中适应度函数值最小的个体进入下一轮迭代；适应度函数f^*的计算公式如下：

其中，第一项S_A表示零件分块的接触界面的分割界面总面积，第二项

表示所有零件分块的接触界面的顶点的拉普拉斯向量的模长总和，d_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中第i个顶点v_i所对应的拉普拉斯向量，γ为第二项的权重系数，d_i的计算公式与拉普拉斯平滑算法中的拉普拉斯向量的计算公式完全一致；

选择操作结束时记录种群中适应度函数值最小的个体作为本次迭代的最优解D_min＝[α₁,α₂,...,α_n]，并更新零件分块的接触界面的顶点坐标，顶点更新规则为

v′_i＝v_i+α_i·d_i

其中，v_i为零件分块的接触界面的顶点集合V中的第i个分割界面的顶点，v'_i为v_i根据顶点更新规则更新得到的新顶点，也叫做更新顶点，α_i为v_i对应的本次迭代的最优解中第i位元素；通过顶点更新规则，对每个零件分块的接触界面的顶点计算更新顶点后，将更新顶点的坐标替换零件分块的接触界面的顶点的坐标，即完成了顶点更新；执行顶点更新后，进行顶点测试，具体为将每个零件分块的接触界面的顶点的坐标输入表面区域的约束函数并计算函数值，然后停止更新函数值小于零的分割界面的顶点的坐标；至此单次迭代过程完成；表面优化算法重复单次迭代过程直至达到终止条件，终止条件为执行的迭代次数达到最大阈值或前后两次迭代的最优解的适用度函数值的差值小于指定精度；表面优化算法达到终止条件后，输出顶点更新完毕的零件分块的接触界面；对每个零件分块提取零件分块的接触界面和执行表面优化算法后，算法流程结束。

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