CN109376370B - 一种柔性平面桁架频响动态重分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种柔性平面桁架频响动态重分析方法，当结构某一单元的密度发生改变产生质量摄动时，计算全局总质量矩阵变化量，并确定其与摄动后的位移频响矩阵的关系；基于矩阵修正公式，根据初始位移频响矩阵计算获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解。本发明方法首先基于有限元分析获得柔性平面桁架的位移频响矩阵，当任意单元的密度发生改变时，确定全局总质量矩阵变化量，基于矩阵修正公式、初始位移频响函数计算获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解。因此，无需进行多次有限元计算，利用初始的频响动态响应信号及明确结构的局部质量变化，即可完成质量摄动后结构的动态分析，简化计算效率，更加方便，具有实际工程意义。

Description

一种柔性平面桁架频响动态重分析方法

技术领域

本发明涉及一种重分析方法，具体涉及一种频响动态重分析方法。

背景技术

重分析方法作为一种能够根据初始计算结果快速估计修改后结构的快速计算方法，近几十年来得到了广泛研究，并取得了一系列具有理论价值和工程意义的成果，在机械、土木等结构设计领域得到了广泛的应用。

实际工程中，有时候需要对柔性平面桁架结构进行局部设计调整，如改变特定桁架结构的密度，必然会导致局部结构质量矩阵发生改变，从而影响整个结构的质量矩阵分布，结构的动态特性也随之发生改变，如何利用初始响应的信号，避免重新进行有限元计算，从而快速有效地获得结构质量修正后动态响应，已成为亟待解决的实际工程问题。

发明内容

发明目的：本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种柔性平面桁架频响动态重分析方法。

技术方案：本发明提供了一种柔性平面桁架频响动态重分析方法，包括以下步骤：

(1)基于Matlab软件进行有限元分析，获得柔性平面桁架的位移频响函数，构造位移频响矩阵，当结构某一单元的密度发生改变产生质量摄动时，计算全局总质量矩阵变化量，并确定其与摄动后的位移频响矩阵的关系；

(2)基于矩阵修正公式，根据步骤(1)初始位移频响矩阵计算获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解。

进一步，步骤(1)包括以下步骤：

(11)结构的自由度为N，获得柔性平面桁架的位移频响矩阵为：

其中，d_pq表示在结构节点q作用单位脉冲下、结构节点p的位移响应函数，p＝1，2…n，q＝1，2…n；

(12)以柔性平面桁架某一结构单元t为例，对应节点编号分别为i、j，单元与x轴正方向逆时针倾斜角为θ，该单元采用集中质量矩阵：

其中，ρ为单元密度，A为单元横截面积，l为单元长度；

(13)由倾斜角为θ可知，转换矩阵为：

(14)当单元密度ρ增加Δρ时，对应的单元质量矩阵变化量为ΔM^t：

(15)根据公式(3)(4)获得全局坐标下的单元质量矩阵变化量：

(16)将公式(5)改写如下形式：

其中Y为

(17)由质量矩阵组装的性质可知，全局坐标下的单元质量矩阵变化量中的元素分别放置在总质量矩阵变化量ΔM中第(2i-1),(2i),(2j-1),(2j)行与列交叉位置处，则总质量矩阵变化量ΔM可表示为：

其中表示该矩阵中的第(2i-1),(2i),(2j-1),(2j)行列交叉处元素分别对应着矩阵Y中的元素；

(18)根据位移频响矩阵与动态刚度矩阵的关系，推导获得：

其中，D^*为摄动以后的位移频响矩阵，ω为圆频率。

进一步，步骤(2)基于矩阵修正公式，获得重分析后的位移频响矩阵：

其中，I∈R^N×N为单位矩阵。

有益效果：本发明方法首先基于有限元分析获得柔性平面桁架的位移频响矩阵，当任意单元的密度发生改变时，确定全局总质量矩阵变化量，基于矩阵修正公式、初始位移频响函数计算获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解。因此，无需进行多次有限元计算，利用初始的频响动态响应信号及明确结构的局部质量变化，即可完成质量摄动后结构的动态分析，简化计算效率，更加方便，具有实际工程意义。

附图说明

图1为实施例中6个桁架单元组成的系统示意图；

图2为系统结构的初始系统的位移频响函数d₄₄；

图3为系统重分析后的位移频响函数与准确值曲线。

具体实施方式

下面对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。

本实施例采用平面桁架结构来验证，如图1所示，以6个桁架单元1～6为例，共4个节点①②③④，8个自由度z1～z8。由于在1节点固支，可以约束z1和z2方向，在4号节点简支，可约束z8方向，故实际结构有5个自由度，为方便理解实施步骤，仍以10个自由度进行分析，弹性模量E＝70000MPa，单元密度ρ＝2700kg/m³，单元横截面积A＝1×10^-4m²，包括以下步骤：

步骤1，基于Matlab软件进行有限元分析，获得柔性平面桁架位移频响函数，构造位移频响矩阵；当结构2号单元的密度ρ发生改变时，计算全局总质量矩阵变化量，并确定其与摄动后的位移频响矩阵的关系。

1.1)结构的自由度为8，基于有限元计算获得柔性平面桁架位移频响矩阵为：

其中，d_pq表示在结构节点q作用单位脉冲下、结构节点q的位移响应函数，p＝1，2…8，q＝1，2…8；

1.2)结构2号单元对应的节点编号分别为②③，单元与x轴正方向逆时针倾斜角为零度，该单元采用集中质量矩阵：

此时单元长度l＝1m；

1.3)由倾斜角为零度可知，转换矩阵为：

1.4)当ρ增加Δρ＝800时，对应的单元质量矩阵变化量ΔM²为：

1.5)根据公式(3)(4)获得全局坐标下的单元质量矩阵变化量：

1.6)公式(5)可以改写如下形式：

其中Y为

1.7)由质量矩阵组装的性质可知，全局坐标下的单元质量矩阵变化量中的元素分别放置在总质量矩阵变化量ΔM中第3,4,5,6行与列交叉位置处，则总质量矩阵变化量ΔM可表示为：

其中表示该矩阵中的第3,4,5,6行列交叉处分别对应着矩阵(7)Y中的非零元素，即在主对角线上有元素，其余为0，具体为：

1.8)根据位移频响矩阵与动态刚度矩阵的关系，推导可以获得：

其中，D^*为摄动以后的位移频响矩阵，ω为圆频率。

步骤2，基于矩阵修正形式，根据初始计算结果快速获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解：

其中，I∈R^8×8为单位矩阵。

为了验证本发明的有效性，以初始位移函数d₄₄为例，见图2，采用上述方法获得重分析后的与准确值比较，见图3，可以看出重分析的结果与理论值吻合较好，本发明利用初始的响应信号，基于质量摄动后的结构质量矩阵变换，实现了柔性桁架频响动态重分析，无需再进行有限元计算，方法更加简洁有效。

Claims (1)

1.一种柔性平面桁架频响动态重分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)基于Matlab软件进行有限元分析，获得柔性平面桁架的位移频响函数，构造位移频响矩阵，当结构某一单元的密度发生改变产生质量摄动时，计算全局总质量矩阵变化量，并确定其与摄动后的位移频响矩阵的关系；

(2)基于矩阵修正公式，根据步骤(1)初始位移频响矩阵计算获得修正后的结构响应，完成频响动态重分析求解；

步骤(1)包括以下步骤：

(11)结构的自由度为N，获得柔性平面桁架的位移频响矩阵为：

其中，d_pq表示在结构节点q作用单位脉冲下、结构节点p的位移响应函数，p＝1，2…n，q＝1，2…n；

(12)以柔性平面桁架某一结构单元t为例，对应节点编号分别为i、j，单元与x轴正方向逆时针倾斜角为θ，该单元采用集中质量矩阵：

其中，ρ为单元密度，A为单元横截面积，l为单元长度；

(13)由倾斜角为θ可知，转换矩阵为：

(14)当单元密度ρ增加Δρ时，对应的单元质量矩阵变化量为ΔM^t：

(15)根据公式(3)(4)获得全局坐标下的单元质量矩阵变化量：

(16)将公式(5)改写如下形式：

其中Y为

(17)由质量矩阵组装的性质可知，全局坐标下的单元质量矩阵变化量中的元素分别放置在总质量矩阵变化量ΔM中第(2i-1),(2i),(2j-1),(2j)行与列交叉位置处，则总质量矩阵变化量ΔM可表示为：

其中表示该矩阵中的第(2i-1),(2i),(2j-1),(2j)行列交叉处元素分别对应着矩阵Y中的元素；

(18)根据位移频响矩阵与动态刚度矩阵的关系，推导获得：

其中，D^*为摄动以后的位移频响矩阵，ω为圆频率；

步骤(2)基于矩阵修正公式，获得重分析后的位移频响矩阵：

其中，I∈R^N×N为单位矩阵。