CN109241674B - 一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法,首先利用含多时延的分布式控制器，建立车辆编队的闭环动力学模型，并对其进行解耦，得到若干小型子系统，极大地降低了后续稳定性分析的计算量，对子系统特征方程中任意两个含时延的指数项使用半角正切代换，将多时延稳定性分析简化为求解任意双时延域截面，并且固定第三个时延项，将无穷根求解问题转化为有限根求解问题，以获取双时延截面；使用两次Dixon结式，求解纯虚特征根的频率，并寻找频率集合的上界、下界；最后，对频率集合进行频率扫描，得到双时延截面，即子系统的精准时延稳定边界；综合考虑所有子系统，求解它们稳定区域的交集，得到整个车队完整、精确的时延稳定边界。

Description

一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法

技术领域

本发明属于智能网联汽车领域，涉及智能网联车辆编队稳定性分析方法，具体为一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法。

背景技术

一般而言，智能网联车辆编队是由一组自动驾驶车辆通过信息交互，保持相同的行驶速度并维持稳定的车间距离而形成的系统。从控制角度来看，车辆编队可视为由多个车辆个体通过信息交互进行独立控制，进而相互耦合成的一种动态系统，因而也可视为一种特殊的多智能体系统。对于车辆编队的研究开始于上世纪八九十年代，不少实验室和机构也开展一些实车实验项目来展示和验证车辆编队系统的性能，如美国加州大学的PATH项目对智能交通道路系统和车辆编队问题进行探索，之后日本的Energy ITS项目、欧洲的SARTRE项目、荷兰组织的GCDC项目、Google X实验室的Waymo项目、百度的Apollo项目等，都对车辆编队问题开展了研究。

然而，车联网无线通讯不可避免产生通信时延，会降低车辆编队的控制性能，甚至会导致车辆编队不稳定。同时，由于车载设备、车间距离的差异，车联网无线通讯会产生不一致的多时延，对车辆编队的稳定性会造成极其不利的影响。因此，对智能网联车辆编队的多时延稳定性分析尤为重要。分析时延稳定性的方法主要有：Lyapunov法、Nyquist稳定判据。这两种方法均只能得到车辆编队稳定的充分条件，即具有保守性的时延稳定边界，不能寻找到精准的时延稳定边界。也有研究针对带时延的车辆编队稳定性问题，建立了具有鲁棒性的比例积分微分控制器，但是对寻找精准的时延稳定边界并没有帮助。总之，目前缺乏智能网联车辆编队的精确时延稳定性分析技术，不能得到准确的时延稳定边界。

大多数智能网联车辆编队的时延研究是针对单时延开展的，缺乏多时延作用下车辆编队稳定性的精确分析方法。虽然极少数研究考虑了多时延稳定问题，但是只能给出保守的时延稳定边界，不能得到多时延作用下精确、完整的时延稳定边界，也没有给出解决此类问题的一般性通用方法。针对现有技术中存在的问题，本发明提供了一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，并且通过这种方法确定出多时延作用下车辆编队的完整、精确时延稳定边界。

发明内容

本发明的目的在于提供一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，以克服现有技术的不足。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，包括以下步骤：

步骤1)、基于车辆编队的四元素架构对车队进行建模，建立含多时延的分布式控制器，并构建车辆编队的闭环动力学模型；利用矩阵相似变换方法和克罗内克积理论，对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦，分解成N+1个子系统；

步骤2)、对子系统特征方程中任意两个含时延的指数项使用半角正切代换并且固定第三个时延项，将无穷根求解问题转化为有限根求解问题，以获取双时延截面；然后对使用半角正切代换后的子系统特征方程进行修正，生成子系统修正特征方程；

步骤3)、将子系统的修正特征方程拆分为实部方程和虚部方程，然后使用两次Dixon结式，求解令Dixon结式为零的频率，随后返回实部方程和虚部方程进行检验，寻找表征纯虚特征根的频率集合的频率上界、下界；

步骤4)、采用较小的步长，对表征纯虚特征根的频率集合进行频率扫描，用实部方程和虚部方程作为约束条件，求解出子系统修正特征方程所有的纯虚根；得出双时延截面上的双时延组合，即获取到子系统的精准时延稳定边界；综合所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的精准时延稳定边界。

进一步的，所述车辆编队的四元素包括通信拓扑结构、车辆纵向动力学模型、车辆间距策略和分布式控制器。

进一步的，分别对车辆编队的四元素进行建模：

(a)、通信拓扑结构建模：利用图论相关知识，将车辆编队的通信拓扑结构视为一个拓扑图，而每一辆车视为一个节点，该拓扑图表示为

其中，

是节点集合，0表示领航车，1,2,…,N表示跟随车；

是通信拓扑中边的集合；拓扑图G的邻接矩阵：A＝[a_ij]_(N+1)×(N+1)，其中

拓扑图G的拉普拉斯矩阵为L＝[l_ij]_(N+1)×(N+1)，其中

(b)、车辆纵向动力学模型建立：每辆车的纵向动力学表示如下：

其中，r_i(t)表示第i辆车t时刻的位置，v_i(t)表示第i辆车t时刻的速度，a_i(t)表示第i辆车t时刻的加速度，T表示车辆驱动机构的时间常数，T>0，u_i(t)表示控制输入；

即建立了含驱动机构时间常数的三阶车辆纵向节点动力学模型，每辆车纵向动力学的三阶状态空间表达式：

式中，x_i(t)为第i辆车的状态矢量，A为三阶车辆纵向动力学模型的系统矩阵，B为输入矩阵：

(c)、车辆间距策略确立：车辆编队的控制目标是跟踪领航车的速度和加速度，并实现预定的几何形状，使用恒定间距的车辆间距策略：

其中，d_ij是第i辆车和第j辆车的理想车辆间距，且有d_ji＝-d_ij，车辆编队的几何形状由d_ij决定；采用恒定距离策略，将d_ij设置为一个定值：

其中，d_i-1,i是第i辆车和第i-1辆车的理想间距；

(d)、多时延的分布式控制器设计：设计含多时延的分布式控制器：

其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态，

为相对于领航车的误差状态，k_r>0,k_v>0,k_a>0是控制器增益，k_r是位置增益，k_v是速度增益，k_a是加速度增益；τ₁是位置检测通道的时延，τ₂是速度检测通道的时延，τ₃是加速度检测通道的时延；a_ij为第j辆车向第i辆车的通信权重。

进一步的，定义

为相对于领航车x₀＝[r₀(t),v₀(t),a₀(t)]^T的误差状态，其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态：

则分布式控制器改写为：

其矩阵形式为：

其中，K₁＝[k_r,0,0]，K₂＝[0,k_v,0]，K₃＝[0,0,k_a]。

进一步的，在对车队的四元素分别建模之后，使用矩阵克罗内克积，得到车辆编队的闭环状态空间表达式为：

其中，I_N为N阶的单位阵，L为拉普拉斯矩阵，A为三阶车辆纵向动力学模型的系统矩阵，B为输入矩阵，

为克罗内克积；车辆编队的闭环状态空间表达式即为闭环动力学模型，是3(N+1)维的：

对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦；将整体车辆编队的闭环状态空间表达式分解为多个子系统，作线性变换：

其中，ξ为线性变换后的状态变量，T的选取需满足Λ＝T^TLT，Λ为对角阵，T为变换矩阵，通过线性变换可得到：

对线性变换后的状态方程进行分解，可得到

其中，λ_i为L的第i个特征值，ξ_i(t)为各个子系统；

解耦后子系统的特征方程为：

其中，τ＝(τ₁,τ₂,τ₃)∈R³⁺为时延向量。

进一步的，将解耦后子系统的特征方程重写为：

Ω为频率集合；Ω＝{ω|f(s,τ)＝0,s＝ωi,τ∈R³⁺,ω∈R⁺}

其中，ωi为纯虚特征根，ω∈R⁺为频率，i为虚数单位；

对含时延指数项

k＝1,2的解耦后子系统的特征方程，使用半角正切代换：

进而得到τ_k与z_k的关系：

使用半角正切代换处理解耦后子系统的特征方程，得到半角正切代换后的子系统特征方程：

对上式消除

分母中的

项，得到子系统的修正特征方程：

其中，c_k＝rank(BK_k)≤N。

进一步的，将s＝ωi代入修正后的子系统特征方程，得到由纯虚根组成的子系统特征方程：

分别定义子系统特征方程的实部方程和虚部方程：

R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0表示了(ω,z₁,z₂)∈R³空间中的两个不同的超曲面；

将R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0改写为关于z₂的多项式，参数为ω和z₁：

求解

的Dixon结式：

其中，

表示用一个虚拟变量α代替z₂；α的最高次幂为d_max-1，其中

deg(p,z₂)表示多项式p中z₂的最高次幂；

得到与z₂中所有多项式αⁱ(i＝0,1,…,d_max-1)的系数对应的d_max个方程；存在如下关系：

若δ(z₂,α)有解，则F(ω,z₁)必须是奇异的，即：

det[F(ω,z₁)]＝0

det[F(ω,z₁)]＝0被称为Dixon结式多项式，将其定义为Rz₂(ω,z₁)＝det[F(ω,z₁)]；并有

化简得：

联立Rz₂(ω,z₁)＝0和

并再次利用Dixon结式法消除z₁，得到只含参数ω的函数多项式Dz₁(ω)，然后求解满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω。

进一步的，将该满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω按升序排列为

求解上界

步骤如下：

(a)初始条件为q＝l，对于z₁，求解

如果无解，将q减1并重复步骤(a)；

(b)对于步骤(a)中得到的每个

组合，求解满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0的z₂值；如果不存在公共的z₂值，则将q减1并返回步骤(a)；如果这样的z₂值存在，则将

作为Ω的上界

求解Ω的下界ω，步骤和求解上界

步骤相同，从q＝1开始，q每次增加1，直到得到第一个满足要求的(z₁,z₂)，将相应的

标记为ω。

进一步的，从步骤3)获得的Ω的上界、下界出发，执行以下步骤来获取子系统的精准时延稳定边界：

(a)用较小的步长在Ω的上界、下界内扫描ω，并求解令Rz₂(ω,z₁)＝0的z₁值；

(b)对于步骤(a)中的组合(ω,z₁)，检验是否存在z₂满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0，如果存在，进入步骤(c)；否则，返回步骤(a)并继续扫描下一个ω值；

(c)基于步骤(b)得到的(ω,z₁,z₂)，确定出双时延截面上的双时延组合(τ₁,τ₂)；

确定出双时延截面上的双时延组合后，即获取到单个子系统的精准时延稳定边界，逐个获取所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的完整、精确时延稳定边界。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法,首先利用含多时延的分布式控制器，建立车辆编队的闭环动力学模型，并对其进行解耦，得到若干小型子系统，极大地降低了后续稳定性分析的计算量，对子系统特征方程中任意两个含时延的指数项使用半角正切代换，将多时延稳定性分析简化为求解任意双时延域截面，并且固定第三个时延项，将无穷根求解问题转化为有限根求解问题，以获取双时延截面；使用两次Dixon结式，求解纯虚特征根的频率，并寻找频率集合的上界、下界；最后，对频率集合进行频率扫描，得到双时延截面，即子系统的精准时延稳定边界；综合考虑所有子系统，求解它们稳定区域的交集，得到整个车队完整、精确的时延稳定边界。本发明方法可实现智能网联车辆编队的多时延稳定性分析，能够找到使车辆编队稳定的完整、精确的时延边界。

进一步的，利用矩阵相似变换方法和克罗内克积理论，对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦，子系统的维数大幅度降低，极大地降低了后续稳定性分析的计算量。

附图说明

图1为本发明实例中所述稳定性分析方法的流程框图。

图2为本发明实例中所述智能网联车辆编队的四元素架构图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

本发明提出了一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，旨在获取车辆编队的完整、精确的时延稳定边界，下面结合说明书附图对本发明进一步详细说明。

附图中图1是本发明的稳定性分析方法流程框图，本发明主要包含了车辆编队解耦、子系统特征方程修正、频率集合的界限确定、频率扫描步骤，具体实施方式如下：

步骤1：考虑由1辆领航车与N辆跟随车构成的智能网联车辆编队，该车队为同构车队，在位置、速度、加速度数据检测通道分别产生了位置、速度、加速度时延。基于四元素架构对车队进行建模，重点设计含多时延的分布式控制器，并构建车辆编队的闭环动力学模型；利用矩阵相似变换方法和克罗内克积理论，对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦，分解成N+1个小型子系统，极大地降低了后续稳定性分析的计算量。

由于车辆编队的四元素包括通信拓扑结构、车辆纵向动力学模型、车辆间距策略、分布式控制器，拟使用无向通信拓扑结构、三阶车辆纵向动力学模型、恒定间距的车辆间距策略，并设计考虑多时延的分布式控制器，如附图中图2所示。接下来分别对这四个元素进行建模，然后进行车队的总体建模。

(a)无向通信拓扑结构建模。利用图论相关知识，将车辆编队的通信拓扑结构视为一个拓扑图，而每一辆车视为一个节点，该拓扑图可表示为

其中，

是节点集合，也是车辆的集合，0表示领航车，1,2,…,N表示跟随车；

是通信拓扑中边的集合。图G的邻接矩阵用A＝[a_ij]_(N+1)×(N+1)表示，其中

若a_ij＝1，表示第i辆车可以从第j辆车获得信息；若a_ij＝0，表示第i辆车不能从第j辆车获得信息；此外，车辆的自通信是不允许的，即a_ii＝0。无向通信拓扑结构是指：两辆跟随车之间如果发生通信，一定是双向通信。图G的拉普拉斯矩阵为L＝[l_ij]_(N+1)×(N+1)，其中

(b)三阶车辆纵向动力学模型建立。车辆编队为同构车队，即每辆车的动力学模型相同，每辆车的纵向动力学可用如下数学描述：

其中，r_i(t)表示第i辆车t时刻的位置，v_i(t)表示第i辆车t时刻的速度，a_i(t)表示第i辆车t时刻的加速度，T>0表示车辆驱动机构的时间常数，u_i(t)表示控制输入。这就建立了含驱动机构时间常数的三阶车辆纵向节点动力学模型，接下来给出每辆车纵向动力学的三阶状态空间表达式：

式中，x_i(t)为第i辆车的状态矢量，A为三阶车辆纵向动力学模型的系统矩阵，B为输入矩阵。

(c)恒定间距的车辆间距策略确立。车辆编队的控制目标是跟踪领航车的速度和加速度，并实现预定的几何形状。拟使用恒定间距的车辆间距策略：

其中，d_ij是第i辆车和第j辆车的理想车辆间距，且有d_ji＝-d_ij，车辆编队的几何形状由d_ij决定。采用恒定距离策略，将d_ij设置为一个定值：

其中，d_i-1,i是第i辆车和第i-1辆车的理想间距。

(d)多时延的分布式控制器设计。车辆的信息通过车载传感器主动采集获得，由于采集不同物理量时使用了不同种类的传感器，车辆编队在位置、速度、加速度数据检测通道分别产生了位置、速度、加速度时延，这三种时延互不相等，这就产生了多时延问题；为了便于研究分析含有多时延的车辆编队问题，考虑设计含多时延的分布式控制器：

其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态，

为相对于领航车的误差状态，k_r>0,k_v>0,k_a>0是控制器增益，k_r是位置增益，k_v是速度增益，k_a是加速度增益；τ₁是位置检测通道的时延，τ₂是速度检测通道的时延，τ₃是加速度检测通道的时延；a_ij为第j辆车向第i辆车的通信权重；若a_ij＝1，表示第i辆车可以从第j辆车获得信息；若a_ij＝0，表示第i辆车不能从第j辆车获得信息；此外，车辆的自通信是不允许的，即a_ii＝0。

为了便于分析车辆编队在分布式控制器作用下的稳定性，定义

为相对于领航车x₀＝[r₀(t),v₀(t),a₀(t)]^T的误差状态，其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态。

则分布式控制器可改写为：

其矩阵形式为：

其中，K₁＝[k_r,0,0]，K₂＝[0,k_v,0]，K₃＝[0,0,k_a]。

在对车队的四元素分别建模之后，使用矩阵克罗内克积，得到车辆编队的闭环状态空间表达式为：

其中，I_N为N阶的单位阵。车辆编队的闭环状态空间表达式即为闭环动力学模型，是3(N+1)维的。

接下来，利用矩阵相似变换方法和克罗内克积理论，对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦。对于车辆编队的闭环状态空间表达式，依据矩阵的相似对角化性质和克罗内克积运算，做线性变换，将整体车辆编队的闭环状态空间表达式分解为多个子系统。作线性变换：

其中，ξ为线性变换后的状态变量，T的选取需满足Λ＝T^TLT，Λ为对角阵，T为变换矩阵。通过线性变换可得到

对线性变换后的状态方程进行分解，可得到

其中，λ_i为L的第i个特征值。这就对整个车辆编队实现了解耦，各个子系统ξ_i(t)之间唯一的区别是λ_i，每个子系统是3维的。相较于解耦前的车辆编队模型，子系统的维数大幅度降低，极大地降低了后续稳定性分析的计算量。

解耦后子系统的特征方程为：

其中，τ＝(τ₁,τ₂,τ₃)∈R³⁺为时延向量。

步骤2：如果整个车辆编队稳定，则需要每个解耦后的子系统均稳定；而子系统特征方程中含有带时延的指数项，因此直接求解必然会产生无穷根问题。为了解决这一问题，对子系统特征方程中任意两个含时延的指数项使用半角正切代换并且固定第三个时延项，将无穷根求解问题转化为有限根求解问题，以获取双时延截面；然后对使用半角正切代换后的子系统特征方程进行修正，生成子系统修正特征方程。这是本发明方法解决带时延项的车辆编队问题的一个改进。

接下来需要逐个对子系统进行稳定性分析，为了叙述方便，省略下标i，将解耦后子系统的特征方程重写为：

将车辆编队子系统特征方程的纯虚特征根用集合Ω表示，Ω为纯虚特征根s＝ωi中的ω集合，简称Ω为频率集合，包含了时延向量τ的所有可能变化。

Ω＝{ω|f(s,τ)＝0,s＝ωi,τ∈R³⁺,ω∈R⁺}

其中，ωi为纯虚特征根，ω∈R⁺为频率，i为虚数单位。考虑ω∈Ω的所有可能变化，可以得到双延迟域(τ₁,τ₂)中的连续曲线。它们都是由最小双延迟组合(τ₁₀,τ₂₀)导出，(τ₁₀,τ₂₀)表示对应于纯虚特征根ωi的最小正延迟。

接下来，利用时延域的超曲线分析车队子系统的稳定性。超曲线包括核心超曲线和衍生超曲线(其定义可参考文献N.Olgac and R.Sipahi,“An exact method for thestability analysis of time delayed LTI systems,”IEEE Transactions onAutomatic Control,vol.47,no.5,pp.793–797,2002.)，这两种超曲线是所有可能的子系统稳定性切换点(由稳定变为不稳定，或由不稳定变为稳定)。

为了简化超曲线的获取过程，将第三个时延τ₃取为固定值，只求取在双时延域(τ₁,τ₂)中的二维交叉投影，即三维超曲线的双时延截面。

对于所有ω∈Ω并满足约束条件0<τ_kω<2π，k＝1,2的点所组成的轨迹称为核心超曲线，核心超曲线上的点即为最小延迟组合(τ₁₀,τ₂₀)。衍生超曲线的点满足条件：

对含时延指数项

k＝1,2的解耦后子系统的特征方程，使用半角正切代换：

进而得到τk与zk的关系：

使用半角正切代换处理解耦后子系统的特征方程，得到半角正切代换后的子系统特征方程：

对上式消除

分母中的

项，得到子系统的修正特征方程：

其中，c_k＝rank(BK_k)≤N。

步骤3：将子系统的修正特征方程拆分为实部方程和虚部方程，然后使用两次Dixon结式，求解令Dixon结式为零的频率，随后返回实部方程和虚部方程进行检验，寻找表征纯虚特征根的频率集合的频率上界、下界。

将s＝ωi代入修正后的子系统特征方程，得到由纯虚根组成的子系统特征方程：

根据由纯虚根组成的子系统特征方程，分别定义其实部方程和虚部方程：

R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0表示了(ω,z₁,z₂)∈R³空间中的两个不同的超曲面，它们的交点构成了以上两式的共同解，完全地表征了双时延截面的信息。

将R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0改写为关于z₂的多项式，参数为ω和z₁：

为了确定整个频率集合Ω，本发明先使用Dixon结式确定Ω的上界、下界。Dixon结式是求解多项式方程组的一个重要方法，其优点是计算效率高。下面求解

的Dixon结式，以寻找解z₂存在的充要条件，从给出z₂的Dixon多项式开始

其中，

表示用一个虚拟变量α代替z₂。此外，α的最高次幂为d_max-1，其中

deg(p,z₂)表示多项式p中z₂的最高次幂。

无论α如何取值，

和

的每个公共零点都是δ(z₂,α)的零点，所以δ(z₂,α)中α的所有次幂的系数在该公共零点处必须为零。这就得到了与z₂中所有多项式αⁱ(i＝0,1,…,d_max-1)的系数对应的d_max个方程。这些d_max个方程的相应系数矩阵

被称为Dixon矩阵，存在如下关系：

若δ(z₂,α)有解，则F(ω,z₁)必须是奇异的，即：

det[F(ω,z₁)]＝0

上式提供了δ(z₂,α)有解的充分必要条件。det[F(ω,z₁)]＝0被称为Dixon结式多项式，将其定义为Rz₂(ω,z₁)＝det[F(ω,z₁)]。并有

化简可得

联立Rz₂(ω,z₁)＝0和

并再次利用Dixon结式法消除z₁，便可得到只含参数ω的函数多项式Dz₁(ω)，然后求解满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω。

接下来，求解Ω的上界、下界，以便于步骤4的频率扫描和计算Ω。将该满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω按升序排列为

先求解Ω的上界

再求解下界ω。求解上界

时，使用以下步骤：

(a)初始条件为q＝l(即最大公共频率)，对于z₁，求解

如果无解，将q减1并重复此步骤。

(b)对于步骤(a)中得到的每个

组合，求解满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0的z₂值。如果不存在公共的z₂值，则将q减1并返回步骤(a)；如果这样的z₂值存在，则将

作为Ω的上界

求解Ω的下界ω时，其过程类同上述步骤(a)-(b)。从q＝1开始，q每次增加1，直到得到第一个满足要求的(z₁,z₂)，将相应的

标记为ω。

步骤4：采用较小的步长，对表征纯虚特征根的频率集合进行频率扫描，用实部方程和虚部方程作为约束条件，求解出子系统修正特征方程所有的纯虚根。进一步得出双时延截面上的双时延组合，即获取到子系统的精准时延稳定边界。综合考虑所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的精准时延稳定边界。

从步骤3获得的Ω的上界、下界出发，执行以下步骤来获取子系统的精准时延稳定边界。

(a)用较小的步长(比如0.01)在Ω的上界、下界内扫描ω，并求解令Rz₂(ω,z₁)＝0的z₁值。

(b)对于步骤(a)中的组合(ω,z₁)，检验是否存在z₂满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0。如果存在，进入步骤(c)；否则，返回步骤(a)并继续扫描下一个ω值。

(c)基于步骤(b)得到的(ω,z₁,z₂)，确定出双时延截面上的双时延组合(τ₁,τ₂)。

确定出双时延截面上的双时延组合后，即获取到单个子系统的精准时延稳定边界。最后，逐个获取所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的完整、精确时延稳定边界。

本发明通过设计含多时延的分布式控制器，利用矩阵的相似对角化性质和克罗内克积运算，对整个车辆编队的闭环动力学模型进行解耦，将整个车队的稳定性分析问题分解为多个子系统稳定性分析问题，极大地降低了车队稳定性分析的计算量。然后对子系统特征方程中含时延的指数项进行半角正切变换，将无限根求解问题转化为有限根求解问题。利用Dixon结式求解子系统修正特征方程，再应用频率扫描技术进行检验，获取到子系统的精准时延稳定边界，逐个获取所有子系统的精准时延稳定边界，最终得出整个车辆编队精准、完整的时延稳定边界。本发明方法可实现智能网联车辆编队的多时延稳定性分析，能够找到使车辆编队稳定的完整、精确的时延边界。

Claims (9)

1.一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1)、基于车辆编队的四元素架构对车队进行建模，建立含多时延的分布式控制器，并构建车辆编队的闭环动力学模型；利用矩阵相似变换方法和克罗内克积理论，对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦，分解成N+1个子系统；

步骤2)、对子系统特征方程中任意两个含时延的指数项使用半角正切代换并且固定第三个时延项，将无穷根求解问题转化为有限根求解问题，以获取双时延截面；然后对使用半角正切代换后的子系统特征方程进行修正，生成子系统修正特征方程；

步骤3)、将子系统的修正特征方程拆分为实部方程和虚部方程，然后使用两次Dixon结式，求解令Dixon结式为零的频率，随后返回实部方程和虚部方程进行检验，寻找表征纯虚特征根的频率集合的频率上界、下界；

步骤4)、采用较小的步长，对表征纯虚特征根的频率集合进行频率扫描，用实部方程和虚部方程作为约束条件，求解出子系统修正特征方程所有的纯虚根；得出双时延截面上的双时延组合，即获取到子系统的精准时延稳定边界；综合所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的精准时延稳定边界。

2.根据权利要求1所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，所述车辆编队的四元素包括通信拓扑结构、车辆纵向动力学模型、车辆间距策略和分布式控制器。

3.根据权利要求2所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，分别对车辆编队的四元素进行建模：

(a)、通信拓扑结构建模：利用图论相关知识，将车辆编队的通信拓扑结构视为一个拓扑图，而每一辆车视为一个节点，该拓扑图表示为

其中，

是节点集合，0表示领航车，1,2,…,N表示跟随车；

是通信拓扑中边的集合；拓扑图G的邻接矩阵：A＝[a_ij]_(N+1)×(N+1)，其中i,

拓扑图G的拉普拉斯矩阵为L＝[l_ij]_(N+1)×(N+1)，其中

(b)、车辆纵向动力学模型建立：每辆车的纵向动力学表示如下：

其中，r_i(t)表示第i辆车t时刻的位置，v_i(t)表示第i辆车t时刻的速度，a_i(t)表示第i辆车t时刻的加速度，T表示车辆驱动机构的时间常数，T>0，u_i(t)表示控制输入；

即建立了含驱动机构时间常数的三阶车辆纵向节点动力学模型，每辆车纵向动力学的三阶状态空间表达式：

式中，x_i(t)为第i辆车的状态矢量，A为三阶车辆纵向动力学模型的系统矩阵，B为输入矩阵：

(c)、车辆间距策略确立：车辆编队的控制目标是跟踪领航车的速度和加速度，并实现预定的几何形状，使用恒定间距的车辆间距策略：

其中，d_ij是第i辆车和第j辆车的理想车辆间距，且有d_ji＝-d_ij，车辆编队的几何形状由d_ij决定；采用恒定距离策略，将d_ij设置为一个定值：

其中，d_i-1,i是第i辆车和第i-1辆车的理想间距；

(d)、多时延的分布式控制器设计：设计含多时延的分布式控制器：

其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态，

为相对于领航车的误差状态，k_r>0,k_v>0,k_a>0是控制器增益，k_r是位置增益，k_v是速度增益，k_a是加速度增益；τ₁是位置检测通道的时延，τ₂是速度检测通道的时延，τ₃是加速度检测通道的时延；a_ij为第j辆车向第i辆车的通信权重。

4.根据权利要求3所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，定义

为相对于领航车x₀＝[r₀(t),v₀(t),a₀(t)]^T的误差状态，其中，

为位置误差状态；

为速度误差状态；

为加速度误差状态：

则分布式控制器改写为：

其矩阵形式为：

其中，K₁＝[k_r,0,0]，K₂＝[0,k_v,0]，K₃＝[0,0,k_a]。

5.根据权利要求4所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，在对车队的四元素分别建模之后，使用矩阵克罗内克积，得到车辆编队的闭环状态空间表达式为：

其中，I_N为N阶的单位阵，L为拉普拉斯矩阵，A为三阶车辆纵向动力学模型的系统矩阵，B为输入矩阵，

为克罗内克积；车辆编队的闭环状态空间表达式即为闭环动力学模型，是3(N+1)维的：

对车辆编队的闭环动力学模型进行解耦；将整体车辆编队的闭环状态空间表达式分解为多个子系统，作线性变换：

其中，ξ为线性变换后的状态变量，T的选取需满足Λ＝T^TLT，Λ为对角阵，T为变换矩阵，通过线性变换可得到：

对线性变换后的状态方程进行分解，可得到

其中，λ_i为L的第i个特征值，ξ_i(t)为各个子系统；

解耦后子系统的特征方程为：

其中，τ＝(τ₁,τ₂,τ₃)∈R³⁺为时延向量。

6.根据权利要求5所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，将解耦后子系统的特征方程重写为：

Ω为频率集合；Ω＝{ω|f(s,τ)＝0,s＝ωi,τ∈R³⁺,ω∈R⁺}

其中，ωi为纯虚特征根，ω∈R⁺为频率，i为虚数单位；

对含时延指数项

的解耦后子系统的特征方程，使用半角正切代换：

进而得到τ_k与z_k的关系：

使用半角正切代换处理解耦后子系统的特征方程，得到半角正切代换后的子系统特征方程：

对上式消除

分母中的

项，得到子系统的修正特征方程：

其中，c_k＝rank(BK_k)≤N。

7.根据权利要求1所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，将s＝ωi代入修正后的子系统特征方程，得到由纯虚根组成的子系统特征方程：

分别定义子系统特征方程的实部方程和虚部方程：

R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0表示了(ω,z₁,z₂)∈R³空间中的两个不同的超曲面；

将R(ω,z₁,z₂)＝0、I(ω,z₁,z₂)＝0改写为关于z₂的多项式，参数为ω和z₁：

求解

的Dixon结式：

其中，

表示用一个虚拟变量α代替z₂；α的最高次幂为d_max-1，其中

deg(p,z₂)表示多项式p中z₂的最高次幂；

得到与z₂中所有多项式αⁱ(i＝0,1,…,d_max-1)的系数对应的d_max个方程；存在如下关系：

若δ(z₂,α)有解，则F(ω,z₁)必须是奇异的，即：

det[F(ω,z₁)]＝0

det[F(ω,z₁)]＝0被称为Dixon结式多项式，将其定义为Rz₂(ω,z₁)＝det[F(ω,z₁)]；并有

化简得：

联立

和

并再次利用Dixon结式法消除z₁，得到只含参数ω的函数多项式Dz₁(ω)，然后求解满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω。

8.根据权利要求7所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，将该满足Dz₁(ω)＝0的正实根ω按升序排列为

求解上界

步骤如下：

(a)初始条件为q＝l，对于z₁，求解

如果无解，将q减1并重复步骤(a)；

(b)对于步骤(a)中得到的每个

组合，求解满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0的z₂值；如果不存在公共的z₂值，则将q减1并返回步骤(a)；如果这样的z₂值存在，则将

作为Ω的上界

求解Ω的下界ω，步骤和求解上界

步骤相同，从q＝1开始，q每次增加1，直到得到第一个满足要求的(z₁,z₂)，将相应的

标记为ω。

9.根据权利要求1所述的一种智能网联车辆编队的多时延稳定性分析方法，其特征在于，从步骤3)获得的Ω的上界、下界出发，执行以下步骤来获取子系统的精准时延稳定边界：

(a)用较小的步长在Ω的上界、下界内扫描ω，并求解令Rz₂(ω,z₁)＝0的z₁值；

(b)对于步骤(a)中的组合(ω,z₁)，检验是否存在z₂满足R(ω,z₁,z₂)＝0和I(ω,z₁,z₂)＝0，如果存在，进入步骤(c)；否则，返回步骤(a)并继续扫描下一个ω值；

(c)基于步骤(b)得到的(ω,z₁,z₂)，确定出双时延截面上的双时延组合(τ₁,τ₂)；

确定出双时延截面上的双时延组合后，即获取到单个子系统的精准时延稳定边界，逐个获取所有子系统的精准时延稳定边界，求解它们的交集以得到整个车辆编队的完整、精确时延稳定边界。

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