CN111967099B - 多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法 - Google Patents

多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，包括以下步骤：构建多元多项式系统的Dixon结式，得到Dixon多项式有解的必要条件；获取多元矢量多项式系统最优Dixon消元的必要条件；将矢量多项式系统的最优消元方法应用于3R、5R或6R机械臂的运动学方程，以求取逆解。本方法通过引入计算机科学中的字阶次序列，建立多项式符号系统，满足多项式系统的程式化需求；减少了Dixon多项式计算量，矢量多项式最优Dixon消元方法的计算量仅有线性复杂度，且用于多自由度机械臂的逆解计算时，不会出现奇异问题；具有快速的求解速度，不存在组合爆炸问题；保证了矢量多项式系统逆解的实时性及精确性。

Description

多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法
技术领域
本发明涉及一种多自由度机械臂矢量多项式系统建立方法及其最优求解方法，可适用于多自由度机械臂运动学模型求取逆解，属于机器人及精密机械等领域。
背景技术
自主机器人研究的一个重要方面是需要解决变拓扑结构机器人的运动学建模及求解问题。通过对多自由度的机械臂进行运动学建模，建立的模型通常为多元2阶多项式方程。对于一般的多项式方程的求解，采用基于友阵的求解方法，计算量大，求解精度低。目前，
Figure GDA0002968549240000011
基理论是解决多元多项式方程求解问题的一种可能途径，但其计算复杂度通常极高，不能满足机械臂高精度、高实时性的逆解求解要求。
目前，用于求解解耦机械臂逆解的运动学方程，未采用关节角度的半角正切形式，且求解过程具有奇异性。本发明采用Ju-Gibbs四元数，以各关节角度的半角正切建立运动学方程。所建立的方程，可视为矢量多项式系统。对矢量多项式系统采用Dixon结式的求解方法，是解决机械臂逆解问题的可能途径。
对此，本发明基于Dixon结式方法，研究矢量多项式系统及其最优求解方法，要求计算复杂度低，精度高，求解过程没有奇异性，可适用于解决3R，5R，6R等高自由度机械臂的逆解问题。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种矢量多项式系统最优求解方法，可适用于机械臂的逆解。通过应用Dixon多元矢量多项式系统求解方法，构建多元矢量多项式系统，并应用矢量多项式系统的最优求解原理进行求解，只关心所求行列式中的一阶变量，而舍去其余高阶变量，大大简化了行列式的求解困难。适用于求解3R，5R，6R等高自由度机械臂的逆运动学解，可提高计算精度，降低计算复杂度，保证机械臂逆解的实时性。
为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：
多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，包括以下步骤：
【1】构建多元多项式系统的Dixon结式，得到Dixon多项式有解的必要条件；
通过变量替换，得到降阶的Dixon多项式为
Figure GDA0002968549240000021
fn(x1:xn)＝0n中求解变量x1有解的必要条件为
Res(S1ΘS′1(x1))＝0 (52)
其中，Fn|n为原Dixon矩阵，
Figure GDA0002968549240000022
为降阶的Dixon矩阵，
Figure GDA0002968549240000023
为n维N1阶原变量序列，
Figure GDA0002968549240000024
为n维N′1阶替换变量序列；
Figure GDA0002968549240000025
表示取矩阵的行列式；fn为任一多项式项，是Dixon矩阵中的元素，
Figure GDA0002968549240000026
表示fn的第1个子方程，依次类推；右下角标中的“|”为替换操作符；Res()表示取矩阵的结式；S1和S′1分别表示含变量x1的矩阵S′1ΘS1(x1)的行数和列数；
【2】获取多元矢量多项式系统最优Dixon消元的必要条件；
定义线性约束
Figure GDA0002968549240000027
的Dixon多项式为
Figure GDA0002968549240000028
有
Figure GDA0002968549240000029
其中，
Figure GDA00029685492400000210
为具有线性约束
Figure GDA00029685492400000211
的赋值符，表示仅取满足约束的多项式项；
Figure GDA00029685492400000212
表示fn取线性约束
Figure GDA00029685492400000213
后的多项式项；
则包含线性约束的Dixon矩阵为
Figure GDA00029685492400000214
其中，
Figure GDA00029685492400000215
表示Yn取线性约束后的替换变量序列，
Figure GDA00029685492400000216
表示Tn取线性约束后的原变量序列，
Figure GDA00029685492400000217
表示矩阵nΘn(τ1)取线性约束后的Dixon结式；
最优Dixon消元的必要条件为
Figure GDA0002968549240000031
将矢量多项式系统的最优消元方法应用于3R,5R,6R机械臂的运动学方程，以求取逆解。
步骤【1】中，在数系统当中，基数是指一个字中任一位数字的数目；将n重线性阶次序列记为Wn，其最高阶次为1，基数为2；将多项式变量序列记为Xn＝(x1,x2,…,xn]，一阶多项式的项记为
Figure GDA0002968549240000032
它是变量序列对于字的幂积；
Wn＝[α[1]α[2]…α[n]|α[*]∈[0:1]] (56)
Figure GDA0002968549240000033
独立变量数为n，称之为维度，记为
Figure GDA0002968549240000034
n位二进位字Wn共有2n个实例，它与多项式项一一映射；多项式项的系数记为
Figure GDA0002968549240000035
与多项式项
Figure GDA0002968549240000036
一一映射；
Figure GDA0002968549240000037
Figure GDA0002968549240000038
表示一一映射；
将n重线性阶次序列Wn及原变量序列Xn的二阶形式分别记为
Figure GDA0002968549240000039
及
Figure GDA00029685492400000310
获得二次多项式
Figure GDA00029685492400000311
Figure GDA00029685492400000312
与
Figure GDA00029685492400000313
具有一一映射的关系；
Figure GDA00029685492400000314
的降阶替换矩阵记为
Figure GDA00029685492400000315
则
Figure GDA00029685492400000316
Figure GDA00029685492400000317
Figure GDA00029685492400000318
步骤【1】中，给定原变量序列Xn＝(x1:xn],引入辅助变量序列Yn＝(y1:yn]，则定义N阶多项式项如下：
Figure GDA00029685492400000319
Figure GDA00029685492400000320
辅助变量
Figure GDA00029685492400000321
的次序比原变量
Figure GDA00029685492400000322
高，故
Figure GDA00029685492400000323
用辅助变量序列Yn依次替代原变量序列Xn＝(x1:xn]中的变量；记右下角标中的“|”为替换操作符，即对于fn，fn|m表示以辅助变量序列的前m行替换fn中原变量序列的前m行；令y1＝x1，降阶的Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000041
Figure GDA0002968549240000042
表示取矩阵的行列式；同时，定义未降阶的Dixon多项式
Figure GDA0002968549240000043
得
Figure GDA0002968549240000044
展开的n元N阶多元多项式表示为
Figure GDA0002968549240000045
式(67)中，kα为结构矢量，
Figure GDA0002968549240000046
为n元N阶次序列，
Figure GDA0002968549240000047
为m元α阶原变量序列，
Figure GDA0002968549240000048
为m元α阶替换变量序列；定义如下的降阶变换
Figure GDA0002968549240000049
显然，当表示m的数值接近于n即m→n，
Figure GDA00029685492400000410
中多项式项数将不断减少；
Figure GDA00029685492400000411
其中
Figure GDA0002968549240000051
由式(64)及式(69)，得到降阶的Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000052
由式(68)及(71),Dixon多项式的阶次和大小为
Figure GDA0002968549240000053
从而得Dixon矩阵的大小
S′1＝Nn-1·(n-1)！,S1＝Nn-1·n！ (73)
fn(x1:xn)＝0n中求解变量x1有解的必要条件为
Res(S1ΘS′1(x1))＝0 (74)。
步骤【2】中，Dixon消元过程在于对于Dixon矩阵进行阶梯化，从而得到多项式系统的结式；Dixon矩阵的行阶梯化过程为：
对于S×S矩阵，其每一项是关于τ1的n阶多项式；计算该矩阵的行列式时，通过初等行变换将原行列式变为上三角行列式，再将非零的对角线元素相乘，得到行列式的多项式表达式；设该式为0，得到τ1的所有解。
步骤【2】中，Dixon消元过程在于对Dixon矩阵进行阶梯化，得到多项式系统的结式；Dixon消元过程最理想的情况是，阶梯化过程仅与原变量及替换变量序列相关，而与其高阶项无关；因此，定义如下约束：
Figure GDA0002968549240000054
Con(α[l])表示取α[l]中满足等式右侧条件的项；相应地，引入
Figure GDA00029685492400000612
Figure GDA0002968549240000061
则有
Figure GDA0002968549240000062
独立变量数为n，称之为维度，记为Degree(Xn)＝n；定义
Figure GDA0002968549240000063
为具有线性约束
Figure GDA0002968549240000064
的赋值符，表示仅取满足约束的多项式项；故有
Figure GDA0002968549240000065
其中
Figure GDA0002968549240000066
具有线性约束
Figure GDA0002968549240000067
的Dixon多项式及矩阵表示为
Figure GDA0002968549240000068
则包含线性约束的Dixon矩阵为
Figure GDA0002968549240000069
若满足如下最优Dixon消元的必要条件
Figure GDA00029685492400000610
则式(82)的结式与(74)等价。
步骤【3】中，给定如下矢量多项式Dixon矩阵，
Figure GDA00029685492400000611
有如下性质成立:
Figure GDA0002968549240000071
Figure GDA0002968549240000072
称为触发性的枢轴，它用于矩阵行操作，不会消去现有0，并产生更多0项，有
Res(S1ΘS1)＝Res(nΘn) (86)。
步骤【3】中，由式(84)和(85)，*为任意多项式，则Dixon矩阵表示为
Figure GDA0002968549240000073
第1步：由于
Figure GDA0002968549240000074
且找到触发枢轴
Figure GDA0002968549240000075
nΘm中j列的任意元素为0；由于行操作不会使任意现有的0项消失，则有
Figure GDA0002968549240000076
mΘm中的n+k行存在至少2个0项；
第2步：在mΘm中找到触发枢轴
Figure GDA0002968549240000077
中包含最多0项的一行；通过行操作将另一行的元素转化为0，最后抵消nΘm列中的所有元素；
Figure GDA0002968549240000078
第3步：回到第1步，直到每列中只存在一个非零项；
由于行操作不会改变行列式的大小，则有
Figure GDA0002968549240000079
由代数变换可知，
Figure GDA0002968549240000081
则有
Figure GDA0002968549240000082
及
Figure GDA00029685492400000812
因此，式(86)成立。
步骤【3】中，给定如下3R位置矢量多项式系统
Figure GDA0002968549240000083
此系统满足式(83)则Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000084
Figure GDA0002968549240000085
Figure GDA0002968549240000086
步骤【3】中，给定式(89)的矢量多项式系统，由式(71)得
Figure GDA0002968549240000087
选取2×2方块矩阵，即n＝m＝2,则(217)的矩阵行列式由3×3子矩阵的行列式构成；该Dixon多项式的任一项至多可拆分为三个子项；
一个矢量多项式系统是一个具有偏序的结构矢量序列与半角正切变量序列代数积的和；在(69)中，轴l的降阶替换会导致部分结构矢量的丢失；式(71)中第l列表示该轴的降阶替换式，其任一结构矢量在第一列中必存在；后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在；
对于
Figure GDA0002968549240000088
l＞2,与
Figure GDA0002968549240000089
对应的结构矢量和第一列中与
Figure GDA00029685492400000810
对应的结构矢量相同；后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在；将这两个特点用于矢量多项式系统的最优消去条件的分析；
替换变量记为
Figure GDA00029685492400000811
原变量记为T6；为获取Dixon矩阵，令|T6|＝|Y6|；所有高阶项Y6中的最高位yk替换为
Figure GDA0002968549240000091
则得原变量序列
Figure GDA0002968549240000092
Figure GDA0002968549240000093
为位置系统，令pk,aj∈[1:6],k,j∈[1:3],lk≠lj；
Figure GDA0002968549240000094
及
Figure GDA0002968549240000095
为关于[τp1,τp2,τp3]及[τa1,τa2,τa3]的3R位置系统，且满足式(86)；因此，
Figure GDA0002968549240000096
也满足式(85)；因此，此系统满足式(86)；
步骤【3】中，给定如下6R机械臂运动学多项式系统fn，
Figure GDA0002968549240000097
Figure GDA0002968549240000098
Figure GDA0002968549240000099
Figure GDA00029685492400000910
均满足Dixon消元的前提条件；则τ1有解的必要条件为满足如下具有线性约束的Dixon矩阵
Figure GDA00029685492400000911
且有如下性质
Figure GDA00029685492400000912
Figure GDA00029685492400000913
本发明所达到的有益效果：
本发明的方法提出了一种矢量多项式系统最优求解方法，用于机械臂逆解。
[1]通过改进已有的消元原理，引入计算机科学中的字阶次序列，从而建立了新的多项式符号系统，满足多项式系统的程式化需求；
[2]减少了Dixon多项式计算量，矢量多项式最优Dixon消元方法的计算量仅有线性复杂度，且用于多自由度机械臂的逆解计算时，不会出现奇异问题；
[3]本次提出的多元矢量多项式系统求解方法具有快速的求解速度，它不存在组合爆炸问题。同时分块行列式计算可以进一步提高Dixon矩阵的计算速度，从而保证矢量多项式系统逆解的实时性及精确性。
附图说明
图1自然坐标系与轴链；
图2固定轴不变量；
图3为轴不变量的导出不变量；
图4为定轴转动示意图(初始时刻)；
图5为定轴转动示意图(当前时刻)。
具体实施方式
下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
定义1自然坐标轴：称与运动轴或测量轴共轴的，具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴，亦称为自然参考轴。
定义2自然坐标系：如图1所示，若多轴系统D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标系统为自然坐标系统，简称自然坐标系。
自然坐标系优点在于：(1)坐标系统易确定；(2)零位时的关节变量为零；(3)零位时的系统姿态一致；(4)不易引入测量累积误差。
由定义2可知，在系统处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致。系统处于零位即
Figure GDA0002968549240000101
时，自然坐标系
Figure GDA0002968549240000102
绕轴矢量
Figure GDA0002968549240000103
转动角度
Figure GDA0002968549240000104
将
Figure GDA0002968549240000105
转至F[l]；
Figure GDA0002968549240000106
在
Figure GDA0002968549240000107
下的坐标矢量与
Figure GDA0002968549240000108
在F[l]下的坐标矢量
Figure GDA0002968549240000109
恒等，即有
Figure GDA00029685492400001010
由上式知，
Figure GDA00029685492400001011
或
Figure GDA00029685492400001012
不依赖于相邻的坐标系
Figure GDA00029685492400001013
及F[l]；故称
Figure GDA00029685492400001014
或
Figure GDA00029685492400001015
为轴不变量。在不强调不变性时，可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。
Figure GDA00029685492400001016
或
Figure GDA00029685492400001017
表征的是体
Figure GDA00029685492400001018
与体l共有的参考单位坐标矢量，与参考点
Figure GDA00029685492400001019
及Ol无关。体
Figure GDA00029685492400001020
与体l即为杆件或轴。
定义3不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。
定义4转动坐标矢量：绕坐标轴矢量
Figure GDA0002968549240000111
转动到角位置
Figure GDA0002968549240000112
的坐标矢量
Figure GDA0002968549240000113
为
Figure GDA0002968549240000114
定义5平动坐标矢量：沿坐标轴矢量
Figure GDA0002968549240000115
平动到线位置
Figure GDA0002968549240000116
的坐标矢量
Figure GDA0002968549240000117
为
Figure GDA0002968549240000118
定义6自然坐标：以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；称与自然坐标一一映射的量为关节变量；其中：
Figure GDA0002968549240000119
定义7机械零位：对于运动副
Figure GDA00029685492400001110
在初始时刻t0时，关节绝对编码器的零位
Figure GDA00029685492400001111
不一定为零，该零位称为机械零位；
故关节
Figure GDA00029685492400001112
的控制量
Figure GDA00029685492400001113
为
Figure GDA00029685492400001114
定义8自然运动矢量：将由自然坐标轴矢量
Figure GDA00029685492400001115
及自然坐标ql确定的矢量
Figure GDA00029685492400001116
称为自然运动矢量。其中：
Figure GDA00029685492400001117
自然运动矢量实现了轴平动与转动的统一表达。将由自然坐标轴矢量及关节确定的矢量，例如
Figure GDA00029685492400001118
称为自由运动矢量，亦称为自由螺旋。显然，轴矢量
Figure GDA00029685492400001119
是特定的自由螺旋。
定义9关节空间：以关节自然坐标ql表示的空间称为关节空间。
定义10位形空间：称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间，是双矢量空间或6D空间。
定义11自然关节空间：以自然坐标系为参考，通过关节变量
Figure GDA00029685492400001120
表示，在系统零位时必有
Figure GDA00029685492400001121
的关节空间，称为自然关节空间。
如图2所示，给定运动链
Figure GDA00029685492400001122
原点Ol受位置矢量
Figure GDA00029685492400001123
约束的轴矢量
Figure GDA00029685492400001124
为固定轴矢量，记为
Figure GDA00029685492400001125
其中：
Figure GDA0002968549240000121
轴矢量
Figure GDA0002968549240000122
是关节自然坐标的自然参考轴。因
Figure GDA0002968549240000123
是轴不变量，故称
Figure GDA0002968549240000124
为固定轴不变量，它表征了运动副
Figure GDA0002968549240000125
的结构关系，即确定了自然坐标轴。固定轴不变量
Figure GDA0002968549240000126
是运动链
Figure GDA0002968549240000127
结构参数的自然描述。
定义12自然坐标轴空间：以固定轴不变量作为自然参考轴，以对应的自然坐标表示的空间称为自然坐标轴空间，简称自然轴空间。它是具有1个自由度的3D空间。
如图2所示，
Figure GDA0002968549240000128
及
Figure GDA0002968549240000129
不因杆件Ωl的运动而改变，是不变的结构参考量。
Figure GDA00029685492400001210
确定了轴l相对于轴
Figure GDA00029685492400001211
的五个结构参数；与关节变量ql一起，完整地表达了杆件Ωl的6D位形。给定
Figure GDA00029685492400001212
时，杆件固结的自然坐标系可由结构参数
Figure GDA00029685492400001213
及关节变量
Figure GDA00029685492400001214
唯一确定。称轴不变量
Figure GDA00029685492400001215
固定轴不变量
Figure GDA00029685492400001216
关节变量
Figure GDA00029685492400001217
及
Figure GDA00029685492400001218
为自然不变量。显然，由固定轴不变量
Figure GDA00029685492400001219
及关节变量
Figure GDA00029685492400001220
构成的关节自然不变量
Figure GDA00029685492400001221
与由坐标系
Figure GDA00029685492400001222
至F[l]确定的空间位形
Figure GDA00029685492400001223
具有一一映射关系，即
Figure GDA00029685492400001224
给定多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，在系统零位时，只要建立底座系或惯性系，以及各轴上的参考点Ol，其它杆件坐标系也自然确定。本质上，只需要确定底座系或惯性系。
给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图，可以选定回路中任一个运动副，将组成该运动副的定子与动子分割开来；从而，获得一个无回路的树型结构，称之为Span树。T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系。
I为结构参数；A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。
Figure GDA00029685492400001225
为取轴序列
Figure GDA00029685492400001226
的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副o是圆柱副c的特例。
描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号系统的基础，定义如下：
【1】运动链由偏序集合(]标识。
【2】A[l]为取轴序列A的成员；因轴名l具有唯一的编号对应于A[l]的序号，故A[l]计算复杂度为O(1)。
【3】
Figure GDA0002968549240000131
为取轴l的父轴；轴
Figure GDA0002968549240000132
的计算复杂度为O(1)。计算复杂度O()表示计算过程的操作次数，通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐，故常采用算法循环过程中的主要操作次数；比如：关节位姿、速度、加速度等操作的次数。
【4】
Figure GDA0002968549240000133
为取轴序列
Figure GDA0002968549240000134
的成员；
Figure GDA0002968549240000135
计算复杂度为O(1)。
【5】llk为取由轴l至轴k的运动链，输出表示为
Figure GDA0002968549240000136
且
Figure GDA0002968549240000137
基数记为|llk|。llk执行过程：执行
Figure GDA0002968549240000138
若
Figure GDA0002968549240000139
则执行
Figure GDA00029685492400001310
否则，结束。llk计算复杂度为O(|llk|)。
【6】ll为取轴l的子。该操作表示在
Figure GDA00029685492400001311
中找到成员l的地址k；从而，获得轴l的子A[k]。因
Figure GDA00029685492400001312
不具有偏序结构，故ll的计算复杂度为
Figure GDA00029685492400001313
【7】lL表示获得由轴l及其子树构成的闭子树，lL为不含l的子树；递归执行ll，计算复杂度为
Figure GDA00029685492400001314
【8】支路、子树及非树弧的增加与删除操作也是必要的组成部分；从而，通过动态Span树及动态图描述可变拓扑结构。在支路llk中，若
Figure GDA00029685492400001315
则记
Figure GDA00029685492400001316
Figure GDA00029685492400001317
即
Figure GDA00029685492400001318
表示在支路中取成员m的子。
定义以下表达式或表达形式：
轴与杆件具有一一对应性；轴间的属性量
Figure GDA00029685492400001319
及杆件间的属性量
Figure GDA00029685492400001320
具有偏序性。
约定：
Figure GDA00029685492400001321
表示属性占位；若属性p或P是关于位置的，则
Figure GDA00029685492400001322
应理解为坐标系
Figure GDA00029685492400001323
的原点至F[l]的原点；若属性p或P是关于方向的，则
Figure GDA00029685492400001324
应理解为坐标系
Figure GDA00029685492400001325
至F[l]。
Figure GDA00029685492400001326
及
Figure GDA00029685492400001327
应分别理解为关于时间t的函数
Figure GDA00029685492400001328
及
Figure GDA00029685492400001329
且
Figure GDA00029685492400001330
及
Figure GDA00029685492400001331
是t0时刻的常数或常数阵列。但是正体的
Figure GDA00029685492400001332
及
Figure GDA00029685492400001333
应视为常数或常数阵列。
本申请中约定：在运动链符号演算系统中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；它们的方向总是由左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标，本申请中为叙述简便，有时省略方向的描述，即使省略，本领域技术人员通过符号表达式也可以知道，本申请中采用的各参数，对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标。例如：
Figure GDA00029685492400001334
可简述为(表示由k至l)平动矢量；
Figure GDA0002968549240000141
表示(由k至l的)线位置；krl表示(由k至l的)平动矢量；其中：r表示“平动”属性符，其余属性符对应为：属性符φ表示“转动”；属性符Q表示“旋转变换矩阵”；属性符l表示“运动链”；属性符u表示“单位矢量”；属性符ω表示“角速度”；角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系；其他角标可以为其他字母，也可以为数字。
本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的，反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系，右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确，便于交流与书面表达。同时，它们是结构化的符号系统，包含了组成各属性量的要素及关系，便于计算机处理，为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解；比如：若属性符是平动类型的，则左上角指标表示坐标系的原点及方向；若属性符是转动类型的，则左上角指标表示坐标系的方向。
(1)lS－杆件l中的点S；而S表示空间中的一点S。
(2)
Figure GDA0002968549240000142
－原点Ok至原点Ol的位置矢量，
Figure GDA0002968549240000143
在Frame#k下的坐标矢量；
(3)
Figure GDA0002968549240000144
－原点Ok至点lS的位置矢量，
Figure GDA0002968549240000145
在Frame#k下的坐标矢量；
(4)
Figure GDA0002968549240000146
－原点Ok至点S的位置矢量，
Figure GDA0002968549240000147
在Frame#k下的坐标矢量；
(5)
Figure GDA0002968549240000148
－运动副
Figure GDA0002968549240000149
的轴矢量，
Figure GDA00029685492400001410
及
Figure GDA00029685492400001411
分别在
Figure GDA00029685492400001412
及Frame#l下的坐标矢量；
(6)
Figure GDA00029685492400001413
－沿轴
Figure GDA00029685492400001414
的线位置，
Figure GDA00029685492400001415
－绕轴
Figure GDA00029685492400001416
的角位置；
(7)
Figure GDA00029685492400001417
－零时刻的线位置，
Figure GDA00029685492400001418
－零时刻的角位置；
(8)0－三维零矩阵；1－三维单位矩阵；右下角有数字m时表示的是m维零矩阵或m维单位矩阵。
(9)约定：“\”表示续行符；
(10)约定：
Figure GDA00029685492400001419
表示属性占位；则
幂符
Figure GDA00029685492400001420
表示
Figure GDA00029685492400001421
的x次幂；右上角角标∧或
Figure GDA00029685492400001429
表示分隔符；如：
Figure GDA00029685492400001422
或
Figure GDA00029685492400001423
为
Figure GDA00029685492400001424
的x次幂。
Figure GDA00029685492400001425
表示
Figure GDA00029685492400001426
的转置，表示对集合转置，不对成员执行转置；如：
Figure GDA00029685492400001427
Figure GDA00029685492400001428
为投影符，表示矢量或二阶张量对参考基的投影矢量或投影序列，即坐标矢量或坐标阵列，投影即是点积运算“·”；如：位置矢量
Figure GDA0002968549240000151
在坐标系F[k]中的投影矢量记为
Figure GDA0002968549240000152
投影符
Figure GDA0002968549240000153
的优先级高于成员访问符
Figure GDA0002968549240000154
或
Figure GDA0002968549240000155
成员访问符
Figure GDA0002968549240000156
优先级高于幂符
Figure GDA0002968549240000157
(11)单位矢量在大地坐标系的投影矢量
Figure GDA0002968549240000158
单位零位矢量
Figure GDA0002968549240000159
(12)
Figure GDA00029685492400001510
－零位时由原点
Figure GDA00029685492400001511
至原点Ol的平动矢量，且记
Figure GDA00029685492400001512
表示位置结构参数。
(13)iQl，相对绝对空间的旋转变换阵；
(14)以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；关节变量
Figure GDA00029685492400001513
自然关节坐标为φl；
(15)对于一给定有序的集合r＝[1,4,3,2]T，记r[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[w]表示取第1、2、3及4列元素。
(16)ilj表示由i到j的运动链；llk为取由轴l至轴k的运动链；
给定运动链
Figure GDA00029685492400001514
若n表示笛卡尔直角系，则称
Figure GDA00029685492400001515
为笛卡尔轴链；若n表示自然参考轴，则称
Figure GDA00029685492400001516
为自然轴链。
(17)Rodrigues四元数表达形式：
Figure GDA00029685492400001517
欧拉四元数表达形式：
Figure GDA00029685492400001518
不变量的四元数(也称为轴四元数)表达形式
Figure GDA00029685492400001519
其中，
Figure GDA00029685492400001520
为角度
Figure GDA00029685492400001521
的余弦
Figure GDA00029685492400001522
为角度
Figure GDA00029685492400001523
的正弦；
Figure GDA00029685492400001524
为角度
Figure GDA00029685492400001525
的余弦；
Figure GDA00029685492400001526
为角度
Figure GDA00029685492400001527
的正弦；为方便表达，记
Figure GDA00029685492400001528
如位置矢量
Figure GDA00029685492400001529
在笛卡尔三个坐标轴上的投影矢量为
Figure GDA00029685492400001530
定义
Figure GDA00029685492400001531
由于lrlS左上角指标指明了参考系，lrlS既间接表示了位移矢量
Figure GDA00029685492400001532
又直接表示了位移坐标矢量，即具有矢量及坐标矢量的双重作用。
(18)[m:n]表示从m到n，按大小顺序排列的n-m+1个自然数。
(19)
Figure GDA00029685492400001631
表示取矩阵的行列式。
(20)Res()表示取矩阵的结式；S′1和S1分别表示含变量x1的矩阵S′1ΘS1(x1)的行数和列数，Res(S1ΘS′1(x1))＝0。
居-吉布斯四元数及逆运动学建模
基于轴不变量的结构矢量
结构参数
Figure GDA0002968549240000161
及
Figure GDA0002968549240000162
是l的结构参量，在系统零位时，它们可以通过外部测量得到。如图3所示，零位矢量、径向矢量及轴向矢量是与转动角无关的不变量。其中，零位矢量是特定的径向矢量。
任一个矢量可以分解为零位矢量及轴向矢量，故有
Figure GDA0002968549240000163
其中：
Figure GDA0002968549240000164
如图3所示，
Figure GDA0002968549240000165
是轴l及
Figure GDA0002968549240000166
的公垂线或公共径向矢量，
Figure GDA0002968549240000167
是轴l的轴向矢量。
Figure GDA0002968549240000168
为任一矢量在轴
Figure GDA0002968549240000169
与
Figure GDA00029685492400001610
平面内，关于轴不变量对称的矢量。
Figure GDA00029685492400001611
考虑运动链
Figure GDA00029685492400001612
其D-H参数有
Figure GDA00029685492400001613
显然，
Figure GDA00029685492400001614
是轴l及
Figure GDA00029685492400001615
的公垂线或公共径向矢量，
Figure GDA00029685492400001616
是轴l的轴向矢量。由式(101)可知：任一个结构参数矢量
Figure GDA00029685492400001617
可分解为与坐标系为无关的零位不变量
Figure GDA00029685492400001618
及轴向不变量
Figure GDA00029685492400001619
它们的径向矢量记为
Figure GDA00029685492400001620
结构参数矢量
Figure GDA00029685492400001621
及轴不变量
Figure GDA00029685492400001622
唯一确定径向坐标系，具有2个独立维度。若两个轴向不变量
Figure GDA00029685492400001623
及
Figure GDA00029685492400001624
共线，则记为
Figure GDA00029685492400001625
若两个零位不变量
Figure GDA00029685492400001626
及
Figure GDA00029685492400001627
与任两个径向不变量
Figure GDA00029685492400001628
及
Figure GDA00029685492400001629
共面，则记为
Figure GDA00029685492400001630
因此，称式(102)所示的轴向不变量及零位不变量是结构参数矢量对自然轴的分解。
由式(105)及式(106)可知：同一个轴的三个径向矢量的行列式为零；同一个轴的任意两个轴向矢量的行列式为零。可以用轴不变量及其导出的不变量来简化Dixon行列式计算。
由轴不变量导出的零位矢量、径向矢量及轴向矢量具有以下关系：
Figure GDA0002968549240000171
Figure GDA0002968549240000172
Figure GDA0002968549240000173
称式(107)为零位矢量的反转公式；称式(108)为零位矢量与径向矢量的互换公式；称式(109)为径向矢量不变性公式。由式(101)、式(107)至式(109)得
Figure GDA0002968549240000174
Figure GDA0002968549240000175
由式(110)得
Figure GDA0002968549240000176
由上，得
Figure GDA0002968549240000177
Rank()表示矩阵的秩。
基于轴不变量的Cayley变换
当给定角度
Figure GDA0002968549240000178
后，其正余弦及其半角的正余弦均是常数；为方便表达，记
Figure GDA0002968549240000179
由式(114)得
Figure GDA00029685492400001710
定义
Figure GDA00029685492400001711
故有
Figure GDA0002968549240000181
定义
Figure GDA0002968549240000182
由式(117)及式(118)得
Figure GDA0002968549240000183
基于轴不变量的定轴转动
如图4和图5所示固结矢量lrlS零时刻位置记为
Figure GDA0002968549240000184
可得1阶螺旋轴矢量为
Figure GDA0002968549240000185
及零位轴
Figure GDA0002968549240000186
记
Figure GDA0002968549240000187
当矢量lrlS绕轴
Figure GDA0002968549240000188
转动至当前角位置
Figure GDA0002968549240000189
时，将矢量lrlS投影到零位轴、一阶螺旋轴及转动轴，考虑到各径向矢量的模相等，分别得
Figure GDA00029685492400001810
Figure GDA00029685492400001811
及
Figure GDA00029685492400001812
故有具有链指标的Rodrigues方程：
Figure GDA00029685492400001813
由(120)得
Figure GDA00029685492400001814
若
Figure GDA00029685492400001815
由式(121)，得
Figure GDA00029685492400001816
若
Figure GDA00029685492400001817
即坐标系
Figure GDA00029685492400001818
与F[l]的方向一致，由式(121)可知：反对称部分
Figure GDA00029685492400001819
必有
Figure GDA00029685492400001820
因此，系统零位是自然坐标系
Figure GDA00029685492400001821
与F[l]重合的充分必要条件，即初始时刻的自然坐标系方向一致是系统零位定义的前提条件。利用自然坐标系可以很方便地分析多轴系统运动学和动力学。
基于轴不变量的3D矢量位姿方程
下面，阐述3D矢量位姿定理，并予以证明。
定理给定运动链iln，则有基于轴不变量的3D矢量姿态方程
Figure GDA00029685492400001822
及基于轴不变量的3D矢量位置方程
Figure GDA0002968549240000191
其中：
Figure GDA0002968549240000193
证明：由式(123)及式(122)得i|krkS＝iQk·krkS，则i|krkS是
Figure GDA0002968549240000194
及
Figure GDA0002968549240000195
的多重线性型，其中：l∈ilk。
考虑式(119)，式(123)表示为
Figure GDA0002968549240000196
即有式(123)成立。证毕。
式(122)及式(123)表明：姿态
Figure GDA0002968549240000197
及位置矢量irnS是关于τk的6个“n维2阶”多项式方程。式(122)及式(123)是关于结构矢量及关节变量的矢量方程，称定理3.1为3D矢量位姿定理。式(122)所示的位置逆问题就是当给定期望位置irnS时如何求解该多项式方程的关节变量τl及
Figure GDA0002968549240000198
的问题，其中：l∈iln；该定理为第4章基于轴不变量的多轴系统逆运动学奠定了基础。
同时，式(122)及式(123)表明：因相关的结构矢量可以事先计算，且可以表示为逆向递归过程，具有线性的计算复杂度，故可以带来计算速度的提升。又因在结构参数
Figure GDA0002968549240000199
归一化后，iQn的“正交归一”性由两个正交的矩阵即
Figure GDA00029685492400001910
及
Figure GDA00029685492400001911
得到保证，且与τl无关，其中：l∈iln，故式(122)及式(123)的计算精度不会因为数字截断误差而累积。从而，保证了矢量位姿方程的计算精度。
“居-吉布斯”四元数的定义及性质：
对于任意杆件l,
Figure GDA00029685492400001912
定义与欧拉四元数同构的“居-吉布斯”(Ju-Gibbs)规范四元数：
Figure GDA0002968549240000201
其中：
Figure GDA0002968549240000202
为Gibbs矢量。Gibbs共轭四元数为：
Figure GDA0002968549240000203
其中：
Figure GDA0002968549240000204
显然，
Figure GDA0002968549240000205
为
Figure GDA0002968549240000206
模的平方。因居-吉布斯四元数是四元数，故满足四元数乘法运算
Figure GDA0002968549240000207
其中：
Figure GDA0002968549240000208
由式(128)得
Figure GDA0002968549240000209
习惯上，单关节及运动链的期望姿态以规范的Ju-Gibbs四元数(简称规范Ju-Gibbs四元数，即“标部”为1的四元数)表示；但是它们积运算通常是不规范的，即其标部不为1。由式(129)可知：只有给定轴l及
Figure GDA00029685492400002010
的规范Ju-Gibbs四元数，且两轴正交，
Figure GDA00029685492400002011
才为规范四元数。
由式(129)得
Figure GDA00029685492400002012
由四维复数性质得
Figure GDA00029685492400002013
记
Figure GDA00029685492400002014
由式(128)得
Figure GDA00029685492400002015
故
Figure GDA00029685492400002016
为单位Ju-Gibbs四元数。
由式(124)至式(126)及式(131)得
Figure GDA00029685492400002017
由式(126)、式(130)及式(133)得
Figure GDA0002968549240000211
类DCM及性质：
对于轴链
Figure GDA0002968549240000212
ilnS＝(i,…,n,nS]，规范的姿态方程为：
Figure GDA0002968549240000213
由式(135)得
Figure GDA0002968549240000214
Figure GDA0002968549240000215
式中，
Figure GDA0002968549240000216
为由轴
Figure GDA0002968549240000217
到轴l的旋转变换矩阵；因
Figure GDA0002968549240000218
与
Figure GDA0002968549240000219
类似，故称之为类DCM(Quasi-DCM)；
Figure GDA00029685492400002110
表示用辅助变量yl的前l个依次替换原变量τl中的l个变量，记“|”为替换操作符；其中：
Figure GDA00029685492400002111
Figure GDA00029685492400002112
记为空间零位投影变换；由式(137)可知：iQn及
Figure GDA00029685492400002113
是关于τk的n重2阶多项式。由式(136)可知：因
Figure GDA00029685492400002114
与
Figure GDA00029685492400002115
类似，故称之为类DCM(DCM，方向余弦矩阵)。由式(138)得
Figure GDA00029685492400002116
显然，类DCM可以通过Ju-Gibbs四元数表达。因此，式(122)姿态方程及式(123)位置方程是关于Ju-Gibbs四元数的表达式。
分块方阵的逆：
若给定可逆方阵K、B及C，其中B及C分别为l×l、c×c的方阵；A、D分别为l×c、c×l的矩阵，且
Figure GDA00029685492400002117
则有
Figure GDA0002968549240000221
机械臂矢量多项式系统
【1】BBR型机械臂位置方程
RBR(Rotate-Bent-Rotate)型机械臂又称偏置型机械臂。它的结构构型为第4轴与第5轴相交于一点，第5轴和第6轴相交于另一点，有别于后3轴汇交于一点的6R机械臂。
由式(138)得
Figure GDA0002968549240000222
若
Figure GDA0002968549240000223
则
Figure GDA0002968549240000224
03为3维零矢量。
给定运动链il3，期望位置矢量
Figure GDA0002968549240000225
由式(123)得3R位置方程
Figure GDA0002968549240000226
ir3P表示第3轴上任一点P在i系下的位置矢量。则有
Figure GDA0002968549240000227
即得
Figure GDA0002968549240000228
令
Figure GDA0002968549240000229
由式(137)和上式得
Figure GDA00029685492400002210
由(144)和(145)得
Figure GDA00029685492400002211
其3R位置矢量多项式方程为
Figure GDA00029685492400002212
【2】通用机械臂的位置和姿态方程
给定运动链il6,期望Ju-Gibbs四元数
Figure GDA0002968549240000231
和期望位置矢量
Figure GDA0002968549240000232
由式(123)，(133)-(138)，正序的位置和姿态方程为
Figure GDA0002968549240000233
Figure GDA0002968549240000234
表示f6中第1至3个子方程，为位置方程；
Figure GDA0002968549240000235
表示f6中第4-6个子方程，为姿态方程。其中
Figure GDA0002968549240000236
式中，前三个二阶子方程用于位置对齐，后三个子方程用于姿态对齐。式(149)为位置多项式系统，其中各项参数均为结构矢量，是常量。给定
Figure GDA0002968549240000237
的欧式2范数，得
Figure GDA0002968549240000238
Figure GDA0002968549240000239
为期望Ju-Gibbs四元数。
矢量多项式系统求解原理
单变量多项式系统
单变量多项式p(x)＝a0+a1x+…an-1xn-1+xn有n个解。若矩阵A满足(A-λl·1n)·vl＝0，其中1n为n阶单位矩阵，l∈[1:n],)λl}表示矩阵A的特征值，{vl}表示特征矢量；则矩阵A的特征多项式为
Figure GDA00029685492400002310
则此矩阵为特征多项式p(x)的伴随矩阵。所以，多项式方程p(λl)＝0的解与其伴随矩阵A的特征多项式||A-λl·1n||＝0等价。
若多项式p(x)的伴随矩阵为
Figure GDA00029685492400002311
A的特征值矩阵，及范德蒙德矩阵为(Vandermonde matrix)
Figure GDA0002968549240000241
及
p(λl)＝|A-λl·1n|＝0。 (154)
实施例1
求解多项式p(x)＝x3-10x2+31x-30＝0，
由式(152)及(154)得
Figure GDA0002968549240000242
多项式方程的所有解为特征根序列[2,3,5]。且由伴随矩阵可以求得单变量多项式的所有解。
多重线性多项式方程求解
求解2变量2阶多重线性多项式f2(x1,x2)＝02：
Figure GDA0002968549240000243
Figure GDA0002968549240000244
表示f2的第n个子方程。2变量2阶多重线性多项式f2(x1,x2)简记为f2。
第一步：计算Dixon多项式。引入替换变量y2以替换原变量x2，记为|2，则降阶的多项式矩阵为：
Figure GDA0002968549240000245
称第二列为f2的降阶替换式。行列式
Figure GDA0002968549240000246
称为f2的Dixon多项式
Figure GDA0002968549240000247
式(157)为式(155)有解的必要条件。
第二步：计算Dixon矩阵。将Dixon矩阵表示为不含x2和y2的2Θ2，2Θ2为Dixon矩阵。
第三步：计算Dixon结式。对Dixon矩阵2Θ2进行行阶梯化，记为Echelon(2Θ2)，称其主对角元素的积为Dixon结式，其是关于x1的特征多项式。由Res(2Θ2)＝0得x1的可行解。
由上可知：Dixon多项式
Figure GDA0002968549240000251
有两组基序列[1,yl]及[1,τl]，它们构成了二阶张量。Dixon矩阵2Θ2被视为Dixon多项式
Figure GDA0002968549240000252
在该两组基上的投影。下面，将上述原理推广至多重线性多项式系统。
在数学上，一个代数环是指一个满足加及乘运算的集合。其中：加法满足交换律、结合(Associative)律、逆运算及加法单位性；乘法对加法满足左分配律或右分配律、乘法单位性。二进制代数系统及多项式符号系统是典型的代数环系统，它们是互为同构的数学系统。
在数系统当中，基数(Radix)是指一个字中任一位数字的数目。将n重线性阶次序列记为Wn。其最高阶次为1，基数为2。将多项式变量序列记为Xn＝(x1,x2,…,xn]，一阶多项式的项记为
Figure GDA0002968549240000253
它是变量序列对于字的幂积。
Wn＝[α[1]α[2]…α[n]|α[*]∈[0:1]] (158)
Figure GDA0002968549240000254
独立变量数为n，称之为维度(Degree)，记为
Figure GDA0002968549240000255
n位二进位字Wn共有2n个实例，它与多项式项一一映射。多项式项的系数记为
Figure GDA0002968549240000256
与多项式项
Figure GDA0002968549240000257
一一映射。
Figure GDA0002968549240000258
Figure GDA0002968549240000259
表示一一映射。
实施例2
给定3重线性多项式，则有
Figure GDA00029685492400002510
二阶多项式系统
将n重线性阶次序列Wn及原变量序列Xn的二阶形式分别记为
Figure GDA00029685492400002511
及
Figure GDA00029685492400002512
从而获得二次多项式
Figure GDA00029685492400002513
Figure GDA00029685492400002514
与
Figure GDA00029685492400002515
具有一一映射的关系。
Figure GDA00029685492400002516
的降阶替换矩阵记为
Figure GDA00029685492400002517
Figure GDA00029685492400002518
Figure GDA0002968549240000261
Figure GDA0002968549240000262
Figure GDA0002968549240000263
为原变量序列，
Figure GDA0002968549240000264
为原变量序列的二阶形式。
实施例3
由式(162)，得
Figure GDA00029685492400002626
Figure GDA0002968549240000266
实施例4
由(162)得二阶多项式：
Figure GDA0002968549240000267
令β[l]＜α[l],
Figure GDA0002968549240000268
及
Figure GDA0002968549240000269
计算如下：
Figure GDA00029685492400002610
Figure GDA00029685492400002611
辅助变量yl的次序比原变量xl高，故xl＜yl。令
Figure GDA00029685492400002612
及
Figure GDA00029685492400002613
分别为
Figure GDA00029685492400002614
及
Figure GDA00029685492400002615
的实例。复合项
Figure GDA00029685492400002616
的系数记为kαβ。
Figure GDA00029685492400002617
的最高阶次满足
Figure GDA00029685492400002618
Figure GDA00029685492400002619
的基数是3，
Figure GDA00029685492400002620
最多有3n个实例。相似地，可以建立高阶多项式系统。
基于Dixon结式的多项式方程求解
[1]多项式系统的Dixon结式
给定原变量序列Xn＝(x1:xn],引入辅助变量序列Yn＝(y1:yn]，则定义N阶多项式项如下：
Figure GDA00029685492400002621
Figure GDA00029685492400002622
辅助变量
Figure GDA00029685492400002623
的次序比原变量
Figure GDA00029685492400002624
高，故
Figure GDA00029685492400002625
用辅助变量序列Yn依次替代原变量序列Xn＝(x1:xn]中的变量.记右下角标中的“|”为替换操作符，即对于fn，fn|m表示以辅助变量序列的前m行替换fn中原变量序列的前m行。令y1≡x1，降阶的Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000271
Figure GDA0002968549240000272
表示取矩阵的行列式。同时，可以定义未降阶的Dixon多项式
Figure GDA0002968549240000273
得
Figure GDA0002968549240000274
展开的n元N阶多元多项式表示为
Figure GDA0002968549240000275
式(172)中，kα为结构矢量。定义如下的降阶变换
Figure GDA0002968549240000276
显然，当m→n，
Figure GDA0002968549240000277
中多项式项数将不断减少。
Figure GDA0002968549240000278
其中
Figure GDA0002968549240000279
由式(169)及式(174)，得到降阶的Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000281
S′1和S1分别表示矩阵S′1ΘS1(x1)的行数和列数。由式(173)及(176),Dixon多项式的阶次和大小为
Figure GDA0002968549240000282
从而得Dixon矩阵的大小
S′1＝Nn-1·(n-1)！,S1＝Nn-1·n！。 (178)
因此，fn(x1:xn)＝0n中求解变量x1有解的必要条件为
Res(S1ΘS′1(x1))＝0。 (179)
Res()表示取矩阵的结式。Order(f；x)表示取f中x的最高次。
[2]Dixon矩阵行阶梯化
通过对Dixon矩阵进行行阶梯化，可获得Dixon矩阵的结式。给定Dixon矩阵nΘn，若列号序列为[0:n-1]，则阶梯化过程主要步骤如下：
步骤1：逐行计算先导零个数，并按升序对行排序，得到最小先导零个数c的行序列[rk:rn]，该最小先导零后继的非零元素所在的列为c。
步骤2：处理行序列[rk:rn]：取rl∈(rk:rn]，进行行操作
Figure GDA0002968549240000283
则有
Figure GDA0002968549240000284
直到(rk:rn]中全部c列元素为0。
步骤3：k←k+1，转到步骤1，重复上述过程，直至得到nΘn的上三角矩阵。
上述行阶梯化过程仅采用了多项式加减及乘操作，未使用除运算，故该阶梯化过程不会导致奇异性问题。
矩阵2Θ2的行阶梯化形式记为Echelon(2Θ2)，其主对角线上的乘积称为Dixon结式。
实施例5
通过矩阵的初等行变换，得到
Figure GDA0002968549240000291
的行阶梯矩阵。
步骤为：rk代表第k行。得
Figure GDA0002968549240000292
则得
Figure GDA0002968549240000293
矩阵2Θ2的行阶梯化形式记为Echelon(2Θ2)，其主对角线上的乘积称为Dixon结式。
[3]Dixon消元方法的应用例
实施例6
对多项式系统(180)进行Dixon消元。
Figure GDA0002968549240000294
步骤为：该式是多重线性多项式系统，满足Dixon消元条件。由式(176)，得
Figure GDA0002968549240000301
其中：
Figure GDA0002968549240000302
更多地，有
Figure GDA0002968549240000303
得
Figure GDA0002968549240000304
将
Figure GDA0002968549240000305
带入式(180)，得
Figure GDA0002968549240000306
相似地，可以得到τ3＝1及τ4＝-2。把
Figure GDA0002968549240000307
τ3＝1及τ4＝-2代入式(180)得到τ2＝1。
分块矩阵的高维行列式计算原理
记1:n表示自然数[1:n]的全排列，共有n！个实例。给定属于数域的大小为n×n的矩阵M，其i行j列元素记为imj，
Figure GDA0002968549240000308
根据行列式定义得
Figure GDA0002968549240000309
其中：I[i1,…in]表示排列i1,…in的逆序个数。式(183)计算复杂度为n！次n个数积及n个加法，具有指数计算复杂度，只能适用于维度较小的行列式。对于维度较大的行列式，通常应用Laplace公式进行递归运算，记iAj为imj的伴随矩阵，则有
Figure GDA00029685492400003010
更简单的算法通常应用高斯消去法或LU分解法，先通过初等变换将矩阵变为三角阵或三角阵的乘积，后计算行列式。上述针对数域的行列式计算方法不适用于高维度的多项式矩阵，需要引入分块矩阵的行列式计算方法。计算矢量多项式(Vector Polynomial)的行列式是一个特定的分块矩阵行列式的计算问题，它在矢量层次上表达了矢量与行列式的内在联系。而分块矩阵行列式计算则从矩阵层次上表达分块矩阵与行列式的内在规律。
定理：令s＝n+m。记s×s方阵为N,大小为n×n的方阵
Figure GDA0002968549240000311
为方阵N前n行及任意n列构成的子矩阵，大小为m×m的方阵
Figure GDA0002968549240000312
为方阵N后m行及剩余m列元素构成的子矩阵。由升序排列的矩阵列序号构成的序列cn及cm是序列[1:s]的子集，[cn,cm]∈1:s及cm∪cn＝[1:s]。则方阵N的行列式及分块矩阵
Figure GDA0002968549240000313
和
Figure GDA0002968549240000314
的行列式关系为：
Figure GDA0002968549240000315
证明：因行列式由矩阵元素的全排列确定，故子矩阵
Figure GDA0002968549240000316
和
Figure GDA0002968549240000317
的全排列与方阵N元素的全排列等价。[cn,cm]共有s！/n！/m！种。因方阵N由子矩阵
Figure GDA0002968549240000318
和
Figure GDA0002968549240000319
构成，故方阵N元素的全排列可以被分成s！/n！/m！类；其中：
Figure GDA00029685492400003110
的元素排列有n！种，
Figure GDA00029685492400003111
的元素排列有m！种，每一类包含n！m种排列。因此，方阵N的行列式表示为
Figure GDA00029685492400003112
Q.E.D.
实施例7
根据Laplace公式，计算如下方阵的行列式：
Figure GDA00029685492400003113
选定2×2方阵，即n＝m＝2。应用式(185)，计算过程如下：
Figure GDA0002968549240000321
两种方法的计算结果一致，验证了式(185)的正确性。
给定矢量多项式
Figure GDA0002968549240000322
其中lα为结构矢量,Tn＝[τ1:τn]为原变量序列。Yn＝(y1:yn]为辅助变量序列。α′、β′、α″、β″均表示
Figure GDA0002968549240000323
中的数，若
Figure GDA0002968549240000324
Figure GDA0002968549240000325
则
Figure GDA0002968549240000326
证明：
Figure GDA0002968549240000327
由于α≤α′≤α″,得
Figure GDA00029685492400003213
因此，式(186)成立。Q.E.D.
Ju-Gibbs四元数的替换形式
由式(122)和(174)得
Figure GDA0002968549240000328
Figure GDA0002968549240000329
Figure GDA00029685492400003210
Figure GDA00029685492400003211
由式(188)和(189)得
Figure GDA00029685492400003212
Figure GDA0002968549240000331
Figure GDA0002968549240000332
Figure GDA0002968549240000333
Figure GDA0002968549240000334
最优Dixon消元的必要条件
Dixon消元过程最为理想的情况是，阶梯化过程仅与原变量及替换变量序列相关，而与其高阶项无关。因此，定义如下约束：
Figure GDA0002968549240000335
Con(α[l])表示取α[l]中满足等式右侧条件的项。相应地，引入
Figure GDA0002968549240000336
Figure GDA0002968549240000337
则有
Figure GDA0002968549240000338
独立变量数为n，称之为维度，记为Degree(Xn)＝n。定义
Figure GDA0002968549240000339
为具有线性约束
Figure GDA00029685492400003310
的赋值符，表示仅取满足约束的多项式项。故有
Figure GDA00029685492400003311
其中
Figure GDA00029685492400003312
具有线性约束
Figure GDA00029685492400003313
的Dixon多项式及矩阵表示为
Figure GDA00029685492400003314
则包含线性约束的Dixon矩阵为
Figure GDA0002968549240000341
若满足如下最优Dixon消元的必要条件
Figure GDA0002968549240000342
则式(203)的结式与(179)等价。
实施例8
令
Figure GDA0002968549240000349
则
Figure GDA0002968549240000343
实施例9
一方面，
Figure GDA0002968549240000344
另一方面，
Figure GDA0002968549240000345
矢量多项式系统的最优Dixon消元
定理：给定如下矢量多项式Dixon矩阵，
Figure GDA0002968549240000346
有如下性质成立:
Figure GDA0002968549240000347
Figure GDA0002968549240000348
称为触发性的枢轴，它用于矩阵行操作，不会消去现有0，并产生更多0项，有
Res(S1ΘS1)＝Res(nΘn)。 (207)
证明：由式(205)和(206)，*为任意多项式，则Dixon矩阵可表示为
Figure GDA0002968549240000351
第1步：由于
Figure GDA0002968549240000352
且找到触发枢轴
Figure GDA0002968549240000353
nΘm中j列的任意元素为0。由于行操作不会使任意现有的0项消失，则有
Figure GDA0002968549240000354
mΘm中的n+k行存在至少2个0项。
第2步：在mΘm中找到触发枢轴
Figure GDA0002968549240000355
中包含最多0项的一行。通过行操作将另一行的元素转化为0，最后抵消nΘm列中的所有元素。
Figure GDA0002968549240000356
第3步：回到第1步，直到每列中只存在一个非零项。
由于行操作不会改变行列式的大小，则有
Figure GDA0002968549240000357
由代数变换可知，
Figure GDA0002968549240000358
则有，
Figure GDA0002968549240000359
及
Figure GDA00029685492400003612
因此，式(207)成立。
定理：给定如下3R位置矢量多项式系统
Figure GDA0002968549240000361
此系统满足式(204)。则Dixon多项式表示为
Figure GDA0002968549240000362
Figure GDA0002968549240000363
Figure GDA0002968549240000364
证明：替换变量记为
Figure GDA0002968549240000365
原变量记为T3。令|T3|＝|Y3|，以获得Dixon方阵.Y3中所有高阶项中的最高位yk替换为
Figure GDA0002968549240000366
k∈[2:3],有原变量序列
Figure GDA0002968549240000367
由式(176)，得
Figure GDA0002968549240000368
进一步，有
Figure GDA0002968549240000369
由此，Dixon矩阵的最高阶次为4，且式(212)成立。由式(214)，得
Figure GDA00029685492400003610
Figure GDA00029685492400003611
Figure GDA0002968549240000371
Figure GDA0002968549240000372
相似地，得
Figure GDA0002968549240000373
k∈[4:8].显然Dixon矩阵满足式(206).*记为任意多项式。则，Dixon矩阵表示为
Figure GDA0002968549240000374
执行如下行变换，行列式不变。
Figure GDA0002968549240000375
Figure GDA0002968549240000376
Figure GDA0002968549240000377
有
Figure GDA0002968549240000378
因此，本系统满足(204)。
Figure GDA0002968549240000381
表明Dixon矩阵中只有两列是相互独立的。因此(213)成立。
给定式(149)的矢量多项式系统，由式(176)得
Figure GDA0002968549240000382
选取2×2方块矩阵，即n＝m＝2,则(217)的矩阵行列式由3×3子矩阵的行列式构成。因此，该Dixon多项式的任一项至多可拆分为三个子项。
一个矢量多项式系统是一个具有偏序的结构矢量序列与半角正切变量序列代数积的和。在(174)中，轴l的降阶替换会导致部分结构矢量的丢失。式(176)中第l列表示该轴的降阶替换式。其任一结构矢量在第一列中必存在。后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在。
对于
Figure GDA0002968549240000383
l＞2,与
Figure GDA0002968549240000384
对应的结构矢量和第一列中与
Figure GDA0002968549240000385
对应的结构矢量相同。后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在。这两个特点将用于矢量多项式系统的最优消去条件的分析。
替换变量记为
Figure GDA0002968549240000386
原变量记为T6.为获取Dixon矩阵，令|T6|＝|Y6|。所有高阶项Y6中的最高位yk替换为
Figure GDA0002968549240000387
则得原变量序列
Figure GDA0002968549240000388
Figure GDA0002968549240000389
为位置系统，令pk,aj∈[1:6],k,j∈[1:3],lk≠lj。
Figure GDA00029685492400003810
及
Figure GDA00029685492400003811
为关于[τp1,τp2,τp3]及[τa1,τa2,τa3]的3R位置系统，且满足式(206)。因此，
Figure GDA00029685492400003812
也满足式(206)。因此，此系统满足式(207)。定理：给定如下6R机械臂运动学多项式系统fn，
Figure GDA00029685492400003813
Figure GDA00029685492400003814
Figure GDA0002968549240000391
Figure GDA0002968549240000392
均满足Dixon消元的前提条件。则τ1有解的必要条件为满足如下具有线性约束的Dixon矩阵
Figure GDA0002968549240000393
且有如下性质
Figure GDA0002968549240000394
Figure GDA0002968549240000395
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，包括以下步骤：
【1】构建多元多项式系统的Dixon结式，得到Dixon多项式有解的必要条件；
通过变量替换，得到降阶的Dixon多项式为
Figure FDA0002968549230000011
fn(x1:xn)＝0n中求解变量x1有解的必要条件为
Res(S1ΘS′1(x1))＝0 (2)
其中，Fn|n为原Dixon矩阵，
Figure FDA0002968549230000012
为降阶的Dixon矩阵，
Figure FDA0002968549230000013
为n维N1阶原变量序列，
Figure FDA0002968549230000014
为n维N′1阶替换变量序列；
Figure FDA00029685492300000113
表示取矩阵的行列式；fn为任一多项式项，是Dixon矩阵中的元素，
Figure FDA0002968549230000015
表示fn的第1个子方程，依次类推；右下角标中的“|”为替换操作符；Res( )表示取矩阵的结式；S1和S′1分别表示含变量x1的矩阵S′1ΘS1(x1)的行数和列数；
【2】获取多元矢量多项式系统最优Dixon消元的必要条件；
定义线性约束
Figure FDA0002968549230000016
的Dixon多项式为
Figure FDA0002968549230000017
有
Figure FDA0002968549230000018
其中，
Figure FDA0002968549230000019
为具有线性约束
Figure FDA00029685492300000110
的赋值符，表示仅取满足约束的多项式项；
Figure FDA00029685492300000111
表示fn取线性约束
Figure FDA00029685492300000112
后的多项式项；
则包含线性约束的Dixon矩阵为
Figure FDA0002968549230000021
其中，
Figure FDA0002968549230000022
表示Yn取线性约束后的替换变量序列，
Figure FDA0002968549230000023
表示Tn取线性约束后的原变量序列，
Figure FDA0002968549230000024
表示矩阵nΘn(τ1)取线性约束后的Dixon结式；
最优Dixon消元的必要条件为
Figure FDA0002968549230000025
【3】将矢量多项式系统的最优消元方法应用于3R,5R或6R机械臂的运动学方程，以求取逆解。
2.根据权利要求1所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【1】中，在数系统当中，基数是指一个字中任一位数字的数目；将n重线性阶次序列记为Wn，其最高阶次为1，基数为2；将多项式变量序列记为Xn＝(x1,x2,…,xn]，一阶多项式的项记为
Figure FDA0002968549230000026
它是变量序列对于字的幂积；
Wn＝[α[1]α[2]…α[n]|α[*]∈[0:1]] (6)
Figure FDA0002968549230000027
独立变量数为n，称之为维度，记为
Figure FDA0002968549230000028
n位二进位字Wn共有2n个实例，它与多项式项一一映射；多项式项的系数记为
Figure FDA0002968549230000029
与多项式项
Figure FDA00029685492300000210
一一映射；
Figure FDA00029685492300000211
Figure FDA00029685492300000212
表示一一映射；
将n重线性阶次序列Wn及原变量序列Xn的二阶形式分别记为
Figure FDA00029685492300000213
及
Figure FDA00029685492300000214
获得二次多项式
Figure FDA00029685492300000215
Figure FDA00029685492300000216
与
Figure FDA00029685492300000217
具有一一映射的关系；
Figure FDA00029685492300000218
的降阶替换矩阵记为
Figure FDA00029685492300000219
则
Figure FDA00029685492300000220
Figure FDA0002968549230000031
Figure FDA0002968549230000032
3.根据权利要求1所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【1】中，给定原变量序列Xn＝(x1:xn],引入辅助变量序列Yn＝(y1:yn]，则定义N阶多项式项如下：
Figure FDA0002968549230000033
Figure FDA0002968549230000034
辅助变量
Figure FDA0002968549230000035
的次序比原变量
Figure FDA0002968549230000036
高，故
Figure FDA0002968549230000037
用辅助变量序列Yn依次替代原变量序列Xn＝(x1:xn]中的变量；记右下角标中的“|”为替换操作符，即对于fn，fn|m表示以辅助变量序列的前m行替换fn中原变量序列的前m行；令y1≡x1，降阶的Dixon多项式表示为
Figure FDA0002968549230000038
Figure FDA0002968549230000039
表示取矩阵的行列式；同时，定义未降阶的Dixon多项式
Figure FDA00029685492300000310
得
Figure FDA00029685492300000311
展开的n元N阶多元多项式表示为
Figure FDA0002968549230000041
式(17)中，kα为结构矢量，
Figure FDA0002968549230000042
为n元N阶次序列，
Figure FDA0002968549230000043
为m元α阶原变量序列，
Figure FDA0002968549230000044
为m元α阶替换变量序列；定义如下的降阶变换
Figure FDA0002968549230000045
显然，当表示m的数值接近于n即m→n，
Figure FDA0002968549230000046
中多项式项数将不断减少；
Figure FDA0002968549230000047
其中
Figure FDA0002968549230000048
由式(14)及式(19)，得到降阶的Dixon多项式表示为
Figure FDA0002968549230000049
由式(18)及(21),Dixon多项式的阶次和大小为
Figure FDA00029685492300000410
从而得Dixon矩阵的大小
S′1＝Nn-1·(n-1)！,S1＝Nn-1·n！ (23)
fn(x1:xn)＝0n中求解变量x1有解的必要条件为
Res(S1ΘS′1(x1))＝0 (24)。
4.根据权利要求3所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【2】中，Dixon消元过程在于对于Dixon矩阵进行阶梯化，从而得到多项式系统的结式；Dixon矩阵的行阶梯化过程为：
对于S×S矩阵，其每一项是关于τ1的n阶多项式；计算该矩阵的行列式时，通过初等行变换将原行列式变为上三角行列式，再将非零的对角线元素相乘，得到行列式的多项式表达式；设该式为0，得到τ1的所有解。
5.根据权利要求3所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【2】中，Dixon消元过程在于对Dixon矩阵进行阶梯化，得到多项式系统的结式；Dixon消元过程最理想的情况是，阶梯化过程仅与原变量及替换变量序列相关，而与其高阶项无关；因此，定义如下约束：
Figure FDA0002968549230000051
Con(α[l])表示取α[l]中满足等式右侧条件的项；相应地，引入
Figure FDA0002968549230000052
Figure FDA0002968549230000053
则有
Figure FDA0002968549230000054
独立变量数为n，称之为维度，记为Degree(Xn)＝n；定义
Figure FDA0002968549230000055
为具有线性约束
Figure FDA0002968549230000056
的赋值符，表示仅取满足约束的多项式项；故有
Figure FDA0002968549230000057
其中
Figure FDA0002968549230000058
具有线性约束
Figure FDA0002968549230000059
的Dixon多项式及矩阵表示为
Figure FDA00029685492300000510
则包含线性约束的Dixon矩阵为
Figure FDA0002968549230000061
若满足如下最优Dixon消元的必要条件
Figure FDA0002968549230000062
则式(32)的结式与(24)等价。
6.根据权利要求5所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，步骤【3】中，给定如下矢量多项式Dixon矩阵，
Figure FDA0002968549230000063
有如下性质成立:
Figure FDA0002968549230000064
Figure FDA0002968549230000065
称为触发性的枢轴，它用于矩阵行操作，不会消去现有0，并产生更多0项，有
Res(S1ΘS1)＝Res(nΘn) (36)。
7.根据权利要求6所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，步骤【3】中，由式(34)和(35)，*为任意多项式，则Dixon矩阵表示为
Figure FDA0002968549230000066
第1步：由于
Figure FDA0002968549230000067
且找到触发枢轴
Figure FDA0002968549230000068
nΘm中j列的任意元素为0；由于行操作不会使任意现有的0项消失，则有
Figure FDA0002968549230000069
mΘm中的n+k行存在至少2个0项；
第2步：在mΘm中找到触发枢轴
Figure FDA0002968549230000071
中包含最多0项的一行；通过行操作将另一行的元素转化为0，最后抵消nΘm列中的所有元素；
Figure FDA0002968549230000072
第3步：回到第1步，直到每列中只存在一个非零项；
由于行操作不会改变行列式的大小，则有
Figure FDA0002968549230000073
由代数变换可知，
Figure FDA0002968549230000074
则有
Figure FDA0002968549230000075
及
Figure FDA0002968549230000078
因此，式(36)成立。
8.根据权利要求6所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【3】中，给定如下3R位置矢量多项式系统
Figure FDA0002968549230000076
此系统满足式(33)则Dixon多项式表示为
Figure FDA0002968549230000077
Figure FDA0002968549230000081
Figure FDA0002968549230000082
9.根据权利要求8所述的多自由度机械臂矢量多项式系统最优求解方法，其特征在于，
步骤【3】中，给定式(39)的矢量多项式系统，由式(21)得
Figure FDA0002968549230000083
选取2×2方块矩阵，即n＝m＝2,则(43)矩阵行列式由3×3子矩阵的行列式构成；该Dixon多项式的任一项至多可拆分为三个子项；
一个矢量多项式系统是一个具有偏序的结构矢量序列与半角正切变量序列代数积的和；在(19)中，轴l的降阶替换会导致部分结构矢量的丢失；式(21)中第l列表示该轴的降阶替换式，其任一结构矢量在第一列中必存在；后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在；
对于
Figure FDA0002968549230000084
l＞2,与
Figure FDA0002968549230000085
对应的结构矢量和第一列中与
Figure FDA0002968549230000086
对应的结构矢量相同；后继列中的高阶项的结构矢量在其前继列中也必存在；将这两个特点用于矢量多项式系统的最优消去条件的分析；
替换变量记为
Figure FDA0002968549230000087
原变量记为T6；为获取Dixon矩阵，令|T6|＝|Y6|；所有高阶项Y6中的最高位yk替换为
Figure FDA0002968549230000088
则得原变量序列
Figure FDA0002968549230000089
Figure FDA00029685492300000810
为位置系统，令pk,aj∈[1:6],k,j∈[1:3],lk≠lj；
Figure FDA00029685492300000811
及
Figure FDA00029685492300000812
为关于[τp1,τp2,τp3]及[τa1,τa2,τa3]的3R位置系统，且满足式(35)；因此，
Figure FDA00029685492300000813
也满足式(35)；因此，此系统满足式(36)；
步骤【3】中，给定如下6R机械臂运动学多项式系统fn，
Figure FDA00029685492300000814
Figure FDA0002968549230000091
Figure FDA0002968549230000092
Figure FDA0002968549230000093
均满足Dixon消元的前提条件；则τ1有解的必要条件为满足如下具有线性约束的Dixon矩阵
Figure FDA0002968549230000094
且有如下性质
Figure FDA0002968549230000095
Figure FDA0002968549230000096
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