CN109101466B - 基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于可靠性统计技术领域，本发明公开了一种基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法，首先计算各个样本数据处的失效概率点估计，再将威布尔分布函数取对数变换，而后根据分布曲线拟合法来拟合变换后的函数，给出了威布尔分布参数的估计方法。本发明通过威布尔分布函数的取对数变换，可将威布尔分布函数转化为线性形式，从而简化了威布尔分布参数估计的计算。另外，在分布曲线拟合时，考虑到没有改变坐标轴中的横坐标

Description

基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法
技术领域
本发明主要涉及到可靠性统计领域，特指基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法。
背景技术
在可靠性统计领域，常常涉及到产品可靠性的评估问题，这其中的关键是利用产品寿命试验的样本数据估计产品寿命所服从分布中的参数，一般指参数的点估计。
威布尔分布被广泛用于描述产品的寿命T，威布尔分布其分布函数为
相应的,威布尔分布其概率密度函数为
m、η为威布尔分布的2个分布参数，其中m为形状参数，η为尺度参数。
当产品寿命服从威布尔分布时，对于威布尔分布参数的估计，当前常用的是极大似然估计法和分布曲线拟合法。
记经寿命试验获得的n个样本产品的样本数据(即样本产品的失效时间)为t1,…,tn，且要求t1≤…≤tn。极大似然估计法的基本思想是参数的估计令样本的极大似然函数最大，但形状参数m的极大似然估计很容易出现“过估”现象，即估计值大于真值，造成分布参数估计的不准确性。
分布曲线拟合法的基本思想是首先求得样本数据处的失效概率估计，然后通过曲线拟合得到一条分布曲线，继而给出威布尔分布参数的估计。由于对于式(1)中的威布尔分布函数，经过两次取对数变换，可得
ln[-ln(1-F(t))]＝mlnt-mlnη
从而可将威布尔分布函数转化为线性函数。进一步记为样本数据ti处的失效概率估计，令xi＝lnti，继而可利用线性拟合的思想，通过拟合诸点给出威布尔分布参数的估计为
基于线性拟合的威布尔分布参数估计形式简单，计算方便，因而在可靠性统计中得到了广泛应用。但是该方法在计算过程中将威布尔分布函数两次取对数，造成分布函数形态的改变，特别是当样本数据比较小或比较大时尤为明显，从而使得参数估计结果极不准确。
基于非线性拟合的威布尔分布参数估计方法没有改变式(1)中分布函数的形态，利用非线性拟合的思想，直接拟合诸点通过令误差函数
最小，得到拟合后的分布曲线并给出威布尔分布参数的点估计。非线性拟合法虽然没有改变分布函数的形态，但由于威布尔分布函数的复杂性，造成式(3)的数学形式比较复杂，不利于点估计的具体计算。
发明内容
由于极大似然估计法容易造成分布参数出现“过估”现象，故应当采用分布曲线拟合法。但在当前的各类分布曲线拟合法中，线性拟合法将威布尔分布函数两次取对数变换造成分布形态改变很大，影响了拟合精度，而非线性拟合法虽然没有改变分布函数形态，但由于直接调用数学形式复杂的分布函数，造成后续计算过于复杂。为避免现有方法中存在的上述问题，本发明提供基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法。
为了解决上述技术问题，本发明提出的技术方案为：
基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法，包括如下步骤：
随机抽取n个样本产品进行寿命试验，在寿命试验中观测各样本产品的工作状态，若某一时刻开始某一样本产品不能继续工作，则该时刻即为该样本产品的失效时间。本发明中的通过寿命试验获得的样本产品的样本数据即样本产品的失效时间。
(1)估计各个样本数据(即样本产品的失效时间)的失效概率：
记经寿命试验获得的n(n≥2)个样本产品的样本数据(即样本产品的失效时间)为t1,…,tn，且设t1≤…≤tn，称ti的下标i为样本数据ti的秩，i＝1,…,n。记pi为样本数据ti的失效概率则根据公式(4)可得样本数据ti失效概率的估计值
(2)将威布尔分布函数取对数变换：
对式(1)中的威布尔分布函数即取对数变换得
其中m、η为威布尔分布的2个分布参数，其中m为形状参数，η为尺度参数。
进一步令t即ti，从而可将式(5)转换为其中为坐标轴中的点。
(3)计算威布尔分布参数的点估计：
对于诸点根据曲线拟合的思想，依据坐标轴中横坐标拟合误差最小的原则[参考文献：Zhang,L.F.,Xie,M.,Tang,L.C.Astudy of two estimationapproaches forparameters of Weibull distribution based on WPP.ReliabilityEngineering&System Safety,2007,92(3):360-368.]，通过令
最小，并利用信赖域反射法(Trust-region reflective)求解式(6)，得到威布尔分布参数的点估计，记为和
(4)根据威布尔分布的分布函数可知威布尔分布的可靠度函数为
则在得到威布尔分布参数的点估计和后，可知t时刻处可靠度的点估计为
如上所述，本发明首先计算各个样本数据处的失效概率点估计，再将威布尔分布函数取对数变换，而后根据分布曲线拟合法来拟合变换后的函数，给出了威布尔分布参数的估计方法。本发明通过上述步骤很好地解决了威布尔分布参数的估计方法。通过威布尔分布函数的取对数变换，可将式(1)中的分布函数转化为线性形式，从而简化了威布尔分布参数估计的计算。并且函数变换只是将式(1)中的失效概率进行了一次取对数变换，没有改变式(1)中的t。另外，在分布曲线拟合时，考虑到没有改变坐标轴中的横坐标t，故没有采用坐标轴中纵坐标拟合误差最小这一常用的原则，而是依据坐标轴中横坐标拟合误差最小的原则，从而保证了威布尔分布参数估计的准确性。
具体实施方式
以下将结合实例对本发明做进一步详细说明。
本实例利用一组9个样品产品的失效时间数据，这9个样本产品的失效时间分别是96.9，100.3，100.8，122.6，103.3，103.4，105.4，151.3和162.4(小时)，本发明的具体方法如下：
第一步，将9个失效时间数据按照升序排列为96.9，100.3，100.8，103.3，103.4，105.4，122.6，151.3和162.4。接着根据式(4)估计各失效时间数据相应的失效概率估计值为0.0745，0.1809，0.2872,，0.3936，0.5，0.6064，0.7128，0.8191和0.9255。
第二步，利用式(5)将威布尔分布函数取对数变换，再令其中i＝1,…,9。
最后，根据式(6)，利用信赖域反射法求得威布尔分布参数的点估计为和
通过以上本发明所提出的基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法，通过将分布函数取对数变换后再基于线性拟合求得威布尔分布参数的点估计，且该点估计是准确的。综上所述，本发明所提出的基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法具有良好的准确性。

Claims (2)

1.基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)估计各个样本数据的失效概率；
记经寿命试验获得的n个样本产品的样本数据即样本产品的失效时间为t1,…,tn，且设t1≤…≤tn，称ti的下标i为样本数据ti的秩，i＝1,…,n；记pi为样本数据ti的失效概率则根据公式(4)可得样本数据ti失效概率的估计值
(2)将威布尔分布函数取对数变换；
对威布尔分布函数即取对数变换得
其中m、η为威布尔分布的2个分布参数，其中m为形状参数，η为尺度参数；
令t即ti，从而可将式(5)转换为其中为坐标轴中的点；
(3)计算威布尔分布参数的点估计；
对于诸点根据曲线拟合的思想，依据坐标轴中横坐标拟合误差最小的原则，通过令
最小，并利用信赖域反射法求解式(6)，得到威布尔分布参数的点估计，记为和
(4)根据威布尔分布的分布函数可知威布尔分布的可靠度函数为
则在得到威布尔分布参数的点估计和后，可知t时刻处可靠度的点估计为
2.根据权利要求1所述的基于分布函数取对数变换的威布尔分布参数估计方法，其特征在于，步骤(1)中，样本产品数据量n≥2。
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