CN109086480A - 一种桥梁断面非线性自激力的识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，根据自激力频谱的倍频特征，将升沉运动引起的自激升力L_se,h、升力矩M_se,h，扭转运动引起的自激升力L_se,α、升力矩M_se,α写成级数表达式；利用三角函数的倍角公式将级数表达式化简为仅含sinωt和cosωt的表达式；消去sinωt与cosωt，即可获得L_se,h、M_se,h、L_se,α和M_se,α的非线性表达式；将上述表达式中相应的项进行合并，即可获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式。本发明建立的非线性自激力表达式，可以只考虑一阶成分退化为传统的线性自激力表达式，也可以根据需要考虑多个高阶成分，从而准确地表达非线性自激力。为了准确地识别表达式中的非线性自激力系数，提出了分次渐进识别法，即分次渐进地用最小二乘法识别待定系数。

Description

一种桥梁断面非线性自激力的识别方法

技术领域

本发明属于桥梁抗风技术领域，特别涉及一种桥梁断面非线性自激力的识别方法。

背景技术

随着科学技术的进步、设计和施工水平的提高，桥梁不断向着长大化方向发展。作为跨越能力最大的桥型，现代悬索桥起源于1883年美国主跨486m的Brooklyn桥，1931年美国主跨1066.7m的George Washington悬索桥首次突破千米大关，1998年日本主跨1991m的Akashi Kaikyo大桥成为目前世界上跨度最大的悬索桥，而意大利规划设计的Messina海峡大桥跨度更是达到了3300m。

随着桥梁跨度的增加，桥梁刚度和自振频率降低，使得大跨度桥梁对风荷载的作用更加敏感。风致振动成为大跨度桥梁设计和建造不可忽略的控制因素之一。美国华盛顿州的旧Tacoma悬索桥在1940年7月建成通车后便出现了持久的主梁竖弯振动。1940年11月7日在19m/s的大风作用下，竖弯振动转换为扭转振动，主梁在经历了约70分钟的大幅反对称扭转振动后，最终发生折断并坠落到海峡中。旧Tacoma桥的灾难性振动是一种自激发散振动——颤振。

为了比较准确和方便地研究桥梁颤振问题，1971年Scanlan教授在“线性化假定”和“攻角不变假定”的基础上提出了一种非定常自激力模型。

式中，L_se和M_se分别为自激升力和升力矩；ρ是空气密度；U是风速；B是主梁宽度；K＝ωB/U，为折减频率，ω为振动圆频率；h和α分别为主梁的竖向和扭转位移；H_i ^*和A_i ^*(i＝1～6)是颤振导数，均为折减频率K的函数，与桥梁断面的几何构形和来流有关，可通过桥梁断面的节段模型风洞试验或CFD计算获取。

经过桥梁工程界几十年的实践检验，Scanlan线性自激力模型已被证明可以解决以往桥梁抗风设计中的大部分颤振问题。然而，由于桥梁断面的钝体特性，自激力不可避免地存在非线性特性，即桥梁断面自激力本质上是非线性的。国内外学者在节段或全桥气弹模型风洞试验中发现了自激力的高阶项，而且钝体断面的高阶项比重很高，不可忽略。

线性自激力模型已在当今桥梁抗风设计和试验中显现出了诸多不足之处，而用线性化的颤振导数表示大振幅和高风速下桥梁断面的自激力也是一种较粗略的近似，线性化模型以及基于该模型的颤振分析方法已不能满足超大跨度桥梁抗风设计的需要。

发明内容

发明目的：针对桥梁断面的现有线性自激力表达式的缺陷，本发明提供一种更加精确的近似，并且能够满足超大跨度桥梁抗风设计的桥梁断面非线性自激力的识别方法。

技术方案：本发明提出一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立扭转运动α＝α₀sinωt引起的自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式：

式中，ρ是空气密度；U是风速；B是主梁宽度；A_i、B_i、C_i与D_i(i＝1,2,….,n)为待定参数；α是扭转运动位移；α₀是扭转运动的振幅；ω是运动圆频率；

(3)将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除，可获得扭转运动引起的非线性自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的表达式；其中，表示扭转运动速度；

(3)建立升沉运动h＝h₀sinωt引起的自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式：

式中，E_i、F_i、G_i与H_i(i＝1,2,….,n)为待定参数；

(4)将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除，获得升沉运动引起的非线性自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的表达式；其中，h是升沉运动位移；h₀是升沉运动的振幅；是升沉运动的速度；

(5)将上述表达式中相应的项进行合并，即可获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式；

升力L_se＝L_se,α+L_se,h

升力矩M_se＝M_se,α+M_se,h

(6)利用逐次渐进法识别非线性自激力系数；基于节段模型强迫振动法或CFD强迫振动法，让主梁断面单独做升沉运动或扭转运动，获得L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h的自激力时程曲线；然后逐次渐进地用最小二乘法识别L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h各自表达式中的非线性自激力系数；非线性自激力系数表征主梁断面的运动位移、速度及两者的高阶项在非线性自激力中的参与度。

进一步的，所述步骤(2)中将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的步骤如下：利用三角函数的倍角公式，将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式简为仅含sinωt和cosωt的表达式；然后将sinωt＝α/α₀,代入消去sinωt与cosωt。

进一步的，所述步骤(4)中将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的步骤如下：利用三角函数的倍角公式，将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式化简为仅含sinωt和cosωt的表达式。然后将sinωt＝h/h₀,代入消去sinωt与cosωt。

进一步的，所述步骤(2)中将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的详细步骤如下：当n取3时，L_se,α和M_se,α表达式为：

其中，

K＝ωB/U为折算频率。

进一步的，所述步骤(4)中将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的详细步骤如下：

当n取3时，L_se,h和M_se,h表达式为：

其中，

进一步的，所述步骤(5)中获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式的具体步骤如下：当n取3时，L_se和M_se表达式为：

本发明采用上述技术方案，具有以下有益效果：本发明根据自激力频谱的倍频特征建立了非线性自激力表达式，可以只考虑一阶成分退化为传统的线性自激力表达式，也可以根据需要考虑多个高阶成分，从而准确地表达非线性自激力。为了准确地识别表达式中的非线性自激力系数，提出了分次渐进识别法，即分次渐进地用最小二乘法识别待定系数。

附图说明

图1为具体实施例中主梁断面非线性自激力时程曲线频谱。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

在风的作用下，如果桥梁的主梁断面作升沉运动或扭转运动，作用在主梁断面上的自激力时程曲线既包含主梁断面运动频率成分，也包含该频率若干正整数倍的成分，这就是“倍频现象”。自激力时程曲线的典型频谱如图1所示。根据自激力的倍频特征，可分别建立主梁断面在升沉运动和扭转运动下的自激力表达式，然后将两者叠加即可获得主梁断面在弯扭耦合运动下的自激力表达式。

本发明所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，首先建立主梁断面在扭转运动下的自激力表达式。设主梁断面仅做正弦扭转运动：

α＝α₀sin(ωt) (2a)

式中，α和分别表示扭转位移和速度；α₀为扭转运动的振幅；t表示时间。

根据自激力的倍频特征(如图1所示)，可将自激力写成级数的形式：

其中，A_i、B_i、C_i与D_i(i＝1,2,….,n)为待定参数。

可根据需要确定n的数值：

当n取1时，上式对应的就是线性自激力表达式；

当n≥2时，上式既包含了线性自激力成分，也包含了非线性自激力成分(高阶项)。

对于常见的典型主梁断面，前三倍频率成分占比可达95％以上，即n可取3。此时，主梁断面的正弦扭转运动产生的自激升力表达式为：

采用三角函数倍角公式化简

cos2ωt＝cos²ωt-sin²ωt (5a)

cos3ωt＝4cos³ωt-3cosωt (5b)

sin2ωt＝2sinωtcosωt (5c)

sin3ωt＝3sinωt-4sin³ωt (5d)

将式(5)代入自激升力表达式(4)中可以得到仅含有sinωt与cosωt的表达式

将α＝α₀sinωt,代入表达式中消去sinωt与cosωt，并整理化简后得到：

其中，

同理，主梁断面的正弦扭转运动产生的自激升力矩可以表达为：

其中，

同理，主梁断面仅做正弦升沉运动产生的自激升力和升力矩可以表达为：

其中，

其中，

将上述分状态建立的自激力表达式合并即可得到弯扭耦合运动下的三阶自激力表达式：

其中，X₁～X₁₄、Y₁～Y₁₄为非线性自激力表达式的待定系数，可以通过风洞试验或CFD识别。

理论上可采用最小二乘法可以直接识别出非线性自激力系数(X₁～X₁₄与Y₁～Y₁₄)，但经过尝试发现直接识别的效果不理想。因为，对于常见典型主梁断面而言，其二倍、三倍频率成分所占比例相较于一倍频率小很多，因此对应的非线性项系数比线性项系数小很多，甚至是数量级的差别，采用最小二乘法一次识别出所有系数必然存在较大数值误差。

而且，一次性识别还存在这样的问题：对于同一时程曲线，采用不同阶次的自激力表达式识别的同一项系数不一致。例如，对于同一时程曲线，分别采用二阶自激力表达式和三阶自激力表达式，会发现项的系数(二阶)与X₂(三阶)不同，项的系数(二阶)与X₄(三阶)不同。

为了解决用最小二乘法一次性识别出现的以上两点问题，下面介绍改进后的识别方法“分次渐进识别法”。所谓“分次渐进”就是指将需识别的非线性自激力系数分为不同阶次(运动状态的次幂)，依次采用最小二乘法识别，由低阶到高阶，逐步逼近实际的自激力时程曲线。

以三阶自激升力表达式(9a)为例，仅保留扭转运动相关项：

第一步去除上式中高阶项得到下式：

采用最小二乘法识别一次项与α的系数X₁与X₅。将识别得到的系数X₁与X₅回代入表达式(11)得到一阶升力系数时程C_L1，则C_L-C_L1即是去除了一次项后剩余的高次成分。

第二步去除式(10)中一、三次项得到下式：

采用最小二乘法识别二次项α²、与的系数X₂、X₄与X₆。将识别出的系数X₂、X₄与X₆回代入表达式(12)得到二阶升力系数时程C_L2，则C_L-C_L2-C_L1即是去除了一、二次项后剩余的高次成分。

第三步去除表达式中一、二次项得到下式：

采用最小二乘法识别三次项α³与的系数X₃与X₇。同理可以识别出其他的非线性自激力系数。

具体的，本发明，包括以下步骤：

1)建立扭转运动α＝α₀sinωt引起的自激升力和升力矩的级数表达式：

利用三角函数的倍角公式，将上式化简为仅含sinωt和cosωt的表达式。然后将sinωt＝α/α₀,代入消去sinωt与cosωt，即可获得扭转运动引起的非线性自激升力和升力矩的表达式。

作为优选，当n取3时，L_se,α和M_se,α表达式为：

其中，

2)建立升沉运动h＝h₀sinωt引起的自激升力和升力矩的级数表达式：

利用三角函数的倍角公式，将上式化简为仅含sinωt和cosωt的表达式。然后将sinωt＝h/h₀,代入消去sinωt与cosωt，即可获得升沉运动引起的非线性自激升力和升力矩的表达式。

作为优选，当n取3时，L_se,h和M_se,h表达式为：

其中，

3)将上述表达式中相应的项进行合并，即可获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式。

L_se＝L_se,α+L_se,h (18a)

M_se＝M_se,α+M_se,h (18b)

作为优选，当n取3时，L_se和M_se表达式为：

4)利用逐次渐进法识别非线性自激力系数。基于节段模型强迫振动法或CFD强迫振动法，让主梁断面单独做升沉运动或扭转运动，获得L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h的自激力时程曲线。然后逐次渐进地用最小二乘法识别L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h各自表达式中的非线性自激力系数。

Claims (6)

1.一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)建立扭转运动α＝α₀sinωt引起的自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式：

式中，ρ是空气密度；U是风速；B是主梁宽度；A_i、B_i、C_i与D_i(i＝1,2,….,n)为待定参数；α是扭转运动位移；α₀是扭转运动的振幅；ω是运动圆频率；

(2)将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除，可获得扭转运动引起的非线性自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的表达式；其中，表示扭转运动速度；

(3)建立升沉运动h＝h₀sinωt引起的自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式：

式中，E_i、F_i、G_i与H_i(i＝1,2,….,n)为待定参数；

(4)将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除，获得升沉运动引起的非线性自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的表达式；其中，h是升沉运动位移；h₀是升沉运动的振幅；是升沉运动的速度；

(5)将上述表达式中相应的项进行合并，即可获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式；

升力L_se＝L_se,α+L_se,h

升力矩M_se＝M_se,α+M_se,h

(6)利用逐次渐进法识别非线性自激力系数；基于节段模型强迫振动法或CFD强迫振动法，让主梁断面单独做升沉运动或扭转运动，获得L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h的自激力时程曲线；然后逐次渐进地用最小二乘法识别L_se,α、L_se,h、M_se,α和M_se,h各自表达式中的非线性自激力系数；非线性自激力系数表征主梁断面的运动位移、速度及两者的高阶项在非线性自激力中的参与度。

2.根据权利要求1所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，所述步骤(2)中将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的步骤如下：利用三角函数的倍角公式，将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式简为仅含sinωt和cosωt的表达式；然后将sinωt＝α/α₀,代入消去sinωt与cosωt。

3.根据权利要求1所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，所述步骤(4)中将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的步骤如下：利用三角函数的倍角公式，将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式化简为仅含sinωt和cosωt的表达式。然后将sinωt＝h/h₀,代入消去sinωt与cosωt。

4.根据权利要求1所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，所述步骤(2)中将步骤(1)中自激升力L_se,α和升力矩M_se,α的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的详细步骤如下：当n取3时，L_se,α和M_se,α表达式为：

其中， K＝ωB/U为折算频率。

5.根据权利要求4所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，所述步骤(4)中将步骤(3)中自激升力L_se,h和升力矩M_se,h的级数表达式中的sinωt与cosωt消除的详细步骤如下：

当n取3时，L_se,h和M_se,h表达式为：

其中，

6.根据权利要求5所述的一种桥梁断面非线性自激力的识别方法，其特征在于，所述步骤(5)中获得弯扭耦合运动产生的非线性自激力表达式的具体步骤如下：当n取3时，L_se和M_se表达式为：