CN109033588B - 一种基于空间传播的不确定性量化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于空间传播的不确定性量化方法，包括以下步骤：S1、根据关联信息为每个种子点赋予初始不确定性分布；S2、计算每个插值点处由多个种子点传播来的不确定性；S3、根据D‑S证据理论对两组权值进行和成绩算得到一组新的权值；S4、利用新的权值和传播的不确定性对插值点的不确定性结果进行计算。本发明从种子点的不确定性出发，考虑了不确定性在空间中的传播特点和合成过程中所遵循的规律，与现有算法相比，更具有合理性和有效性。

Description

一种基于空间传播的不确定性量化方法

技术领域

本发明涉及一种基于空间传播的不确定性量化方法。

背景技术

复杂地质构造主要体现在地质曲面形态的复杂性上，由于数据的缺失，无法良好地恢复地质曲面的准确的构造形态。在现在的地学研究中，越来越多的研究者也发现了不确定性在地质重构中的重要性，并对其进行了一系列研究。采集地震数据的方法主要是用物理方法引起地表震动，并用高精度仪器采集由地层返回来的地震波信号，对采集到的地震波进行分析并解释成各项属性的数据数值来供科研人员进行地质重构的研究。然后建立地质重构的模型，利用插值算法将数据缺失的曲面补充完整，再利用可视化技术将地底地质结构良好地展示出来。在上述过程中，各个环节都引入了不确定性。首先，对于地震波的采集，受限于采集的仪器的精度和采集数据时外界环境的其他因素干扰，采集到的地震波本身已经具有了一定的不确定性。在重构曲面时，由于地震数据的稀疏性，要对空间上数据点稀疏的位置处进行插值计算，以便建立完整的曲面模型。这个插值估计计算过程中，也不可避免地存在着不确定性。最后，在可视化的过程中也存在着不确定性，传递函数的设计、可视化的展现形式等都会造成用户对结果认知的不确定性。在上述的整个过程中，上一个阶段的不确定性还会随着整个操作流程进入到下一个阶段当中来。所以以此方式最终重建出来的地质曲面是具有不确性的，它在某些区域不确定度比较小，即可信度比较高；而在某些区域不确定度高，可信度低。现今对于插值算法的研究已经较为成熟，在一般情况下能取得较好效果。但是对于数据缺失严重的情况，任何插值算法都难以复原出原始的曲面信息。所以需要进行对曲面上不确定性程度分布情况的研究，通过从不确定性传播的角度出发，对重构出的曲面上的不确定性的分布进行研究并加以显示这个工作是具有重大意义的，可以帮助研究人员更加清楚地了解到重建出来的曲面的质量分布，对于不确定度过于高的部分，可以利用其他方法对其进行针对性处理，以得到更准确的曲面和更好的可视化效果。

目前主要使用的不确定性量化方法是基于扰动的不确定性量化方法，这种方法的基本思路为：将地质数据范围类的空间按均匀的大小分割成一个个小方格，再根据专家经验对原始的数据集进行概率分布的设定，随机采样使单组输入数据集变成多组输入数据集，再分别用这些数据集代入地质建模计算中生成多个不同的地质模型结果，最后利用设定的指标函数统计每个单元格属于每种地质单元的频次，分别计算每个单元格中的概率，再依照信息熵的定义公式计算出每个单元格的熵值，即该单元格的不确定性程度的量化结果。该方法流程图如图1所示。在地质数据空间区域的单元格划分过程中，需要注意单元格划分的大小，这直接关系到单元格划分的数量。单元格划分的数量太多，每个单元格较小，能更好地区分某一部分空间对于地质单元的归属，获得更好的不确定性量化效果，但是会造成计算量的增大；但如果单元格数量划分得较少，虽然减少了计算量，但是会造成单元格归属地质单元不明确的问题，使最终的不确定性的量化结果粗糙、不准确。所以应该根据地质构造的复杂程度和精度需求合理地设置单元格划分数量。对于原始的输入数据点，因为只有一组，而生成多个模型实现需要多组数据，所以需要对原始的输入数据分别设置一个概率分布来扰动模拟数据含有的不确定性。利用所得到的关于每个数据点的概率分布函数进行多次随机抽样则能生成多组新的数据，用这些新的数据进行地质建模得到多组地质模型的结果，然后依次对每个模型结果进行统计处理，记录每个单元格分别属于哪一个地质单元，有指标函数为：

其中，x为任意一个单元格，F为某种地质单元。对于生成的n个地质模型结果，需依次统计每个单元格属于某种地质单元的频次，计算出其概率：

最后，得到了每个单元格属于每种地质单元的概率，则可以利用信息熵的计算公式，求出每个单元格的信息熵，即该单元格的不确定性度量表示。这样就得到了每个单元格的不确定程度，设计合理的传递函数，用不同的色彩表征不确定性的大小，对应至每一个单元格，进行可视化操作。观察者可以通过还原出来的模型上的颜色不同辨别出地质模型上不同空间位置的不确定性大小，对地质模型有更清楚的认识，也从原始数据中获得了更多的信息。

但是，基于扰动的方法计算出来的不确定性分布规律不符合不确定性的特点，在后文的实验对比中会得到体现。该方法计算出来的种子点处的不确定性反而大于插值点的不确定性，这是显然不合理的，因为插值点数值由种子点计算所得，所以种子点处的不确定性大小肯定是小于插值点处的。总而言之，基于扰动的不确定性量化方法具有量化不确定性的能力，但还存在着较大的缺陷和问题。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种从种子点的不确定性出发，考虑了不确定性在空间中的传播特点和合成过程中所遵循的规律，与现有算法相比，更具有合理性和有效性的基于空间传播的不确定性量化方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于空间传播的不确定性量化方法，包括以下步骤：

S1、根据关联信息为每个种子点赋予初始不确定性分布；

S2、计算每个插值点处由多个种子点传播来的不确定性；

S3、根据D-S证据理论对两组权值进行和成绩算得到一组新的权值；

S4、利用新的权值和传播的不确定性对插值点的不确定性结果进行计算。

进一步地，所述步骤S1具体实现方法为：将用于重构曲面的种子点数据含有三维的空间位置坐标信息记为(x,y,z)的形式；其中，x和y为准确值，z为不确定值；

选用高斯分布来作为z方向上不确定性变量z所服从的不确定性分布函数；高斯分布的均值μ等于该点处的测量值，方差σ²通过人为设定，通过μ和σ²两个参数确定该位置的不确定性密度函数为：

对于每个种子点的取值服从的高斯分布的σ²值，通过将该种子点的测量值与它周围的相关联种子点的测量值进行对比计算得出，其计算方法为：

其中，z为该种子点的测量值，z_i为与该种子点相关联的N个种子点的测量值，i＝1,2,...,N。

进一步地，所述步骤S2具体实现方法为：设种子点服从参数为N(μ,σ²)的分布，当种子点取值z_i时，邻近点服从的分布的均值也为z_i，相当于是种子点的分布沿z轴进行了长度为|z_i-μ|的平移，表示为f[z-(z_i-μ)]，则该情况下邻近点的值服从的分布为：

同上，利用换元法，令代入式(3)进行化简整理得到：

式(4)所示为N(μ,2σ²)的不确定性密度函数的表达式，相比于f(z)的表达式，均值不变，而方差变为原来的两倍；所以根据种子点求得的邻近点与其种子点取值服从的分布之间的关系为：均值相等，但是邻近点的方差为种子点方差的两倍；

根据不确定性随距离增长的规律，有如式(5)所示的关系：

其中，σ²和σ′²分别表示种子点和所求点的不确定性大小，d表示两点间的距离，L表示一次传播的步长。

进一步地，所述步骤S3具体实现方法为：根据种子点的初始不确定性计算一组权值为：

其中，u_i为第i个种子点处的初始不确定性大小，u_m为第m个种子点处的初始不确定性大小，i＝1,2,...,n。

进一步地，所述步骤S4具体实现方法为：事件A₁,A₂,...,A_n分别表示第i个种子点传播的不确定性为插值点处的不确定性这一事件，将所有事件根据插值算法的权值和根据初始不确定性的权值分别为记为M₁、M₂，其中，M₁＝{λ₁,λ₂,…,λ_n}，M₂＝{ω₁,ω₂,…,ω_n}；

根据D-S证据理论的合成公式得到：

则由式(7)和(8)可得：

λ_i根据曲面插值算法计算得到；

最终插值点处的不确定性大小为：

其中，u_i′为第i个种子点传播到该插值点的不确定性大小，通过公式(5)计算得到。

本发明的有益效果是：本发明从种子点的不确定性出发，考虑了不确定性在空间中的传播特点和合成过程中所遵循的规律，与现有算法相比，更具有合理性和有效性。

附图说明

图1为本发明的不确定性量化方法的流程图；

图2为本发明的搜索种子点赋初值示意图；

图3为本发明的不确定性传播过程示意图；

图4为本发明的理想种子点数据图；

图5为是基于扰动的不确定性量化方法得到的结果；

图6为本发明的方法得到的不确定性计算结果。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的技术方案。

本发明提出一种基于空间传播的不确定性量化方法。本方法针对上述问题，从基于种子点的点元不确定性出发，按照扩散原理的思路建立不确定性源点和邻近点的关系，推导出种子点向周围点传播不确定性的规律。将不确定性看作是在插值计算的过程中随种子点传播到待插值点的，形成了地质曲面不确定性定量分析的基础模型。在插值计算过程中，对于一个插值点的计算一般需要用到多个种子点的数据信息，即有多个种子点传播了自身的不确定性到该插值点处。针对不确定性的特点，提出了一种基于D-S证据理论的不确定性融合方法。首先从种子点为插值点既带来信息又带来不确定性的两个方面的影响出发，综合分析得出插值点处的不确定性必须要满足以下规则：插值点处的不确定性必然大于为其提供计算值的各个种子点处的不确定性；插值点处的不确定性大小位于各个种子点传播到该插值点处的不确定性大小之间，即小于最大值且大于最小值。该方法首先需要从上述两个方面考虑不同的权重值分配，然后根据D-S证据理论求得信息融合后的权重值分配，最后求得该插值点处的不确定性大小。通过仿真分析，地质曲面的不确定性分布结果符合规律，具有一定的合理性，其基本流程如图1所示。一种基于空间传播的不确定性量化方法，包括以下步骤：

S1、根据关联信息为每个种子点赋予初始不确定性分布；具体实现方法为：将用于重构曲面的种子点数据含有三维的空间位置坐标信息记为(x,y,z)的形式；其中，x和y为准确值，z为不确定值；虽然严格来说种子点的坐标信息在x轴方向、y轴方向和z轴方向上都具有一定的不确定性，但由于在采集过程中，种子点的(x,y)坐标值是由GPS等精密仪器测绘得来的，且可以多次校准，所以得到的值精度较高，不确定性程度小。而z方向上的空间坐标值来源于灵敏仪器接收到地层结构反射回来的地震波，得到反射波的速度值，再计算得到地层结构的深度。这一过程较为复杂，含有更多的不可控性和未知性，所以相比于x和y方向，z方向上的数据值具有大得多的不确定性。因此，在本发明以及研究地震数据的相关问题的时候，主要考虑z方向上的不确定性，而视x和y方向上的数据值准确。所以针对三维空间点元的不确定性问题就简化为了一维的不确定性的问题。

对于z坐标值的取值情况，需要用一个适当的表述形式来描述点元在该方向上的不确定性。在不确定性理论中，z的取值可以看作是一个不确定性变量，可以使用不确定性分布函数和不确定性密度函数来进行具体的表示。不确定性分布函数是不确定性变量的不完整信息的一个载体，能较好地表达数据的不确定性成分。本发明选用高斯分布来作为z方向上不确定性变量z所服从的不确定性分布函数；高斯分布的均值μ等于该点处的测量值，方差σ²通过人为设定，通过μ和σ²两个参数确定该位置的不确定性密度函数为：

高斯分布还具有各种良好的性质，便于后文对z轴方向上的不确定性的传播进行推导和计算。该分布的密度函数关于均值对称分布，在均值附近的区间内，取该值的可信度较大，远离均值的地方，取值可信度较小，这与种子点在z方向上的取值特性是一致的。取初始的测量值为分布的均值，则真实值位于均值附近的可能性更大，而位于距离均值较远位置的可能性更小。采用该种形式的分布表明了对测量值的部分的认可度，虽然测量值是具有一定程度的不确定性的，但是仍然是对真实值的一个近似的描述。

对于每个种子点的取值服从的高斯分布的σ²值，通过将该种子点的测量值与它周围的相关联种子点的测量值进行对比计算得出。在地质探测领域中，有一个被众多研究者接受的观点——地质特征分布在空间上具有较强的关联性，距离相近的点具有一定的相似性。所以在三角网中搜索以该种子点为顶点的所有三角形的顶点，如图2所示，图中中央的点为需要求得初始分布的种子点，周围的点为按D-三角网搜索到的与其相关联的N个种子点。对搜索到的种子点的测量值求平均，再取所求点的测量值与平均值差的平方，其计算方法为：

其中，z为该种子点的测量值，z_i为与该种子点相关联的N个种子点的测量值，i＝1,2,...,N。

由上式求得该种子点的可取值所服从的高斯分布的不确定性密度函数的方差值，再通过专家经验进行人为地修正处理。因为通过该式子可能求出的部分种子点的方差值较大，不符合实际情况，需要进行修正，将值限定在到合理的范围内，否则会对后续的计算过程造成一定的影响。对每个种子点进行上述处理，最终得到每个种子点上的方差值，结合上该种子点的测量值，即确定了每个种子点的不确定性所遵循的分布情况。

高斯分布的方差在一定程度上决定了不确定性密度函数的分布的幅度。当方差越大时，其不确定性密度函数的图像越扁平，取值的分布越分散，偏离均值较远的值有更大的可能可以取到；反之，方差越小，其不确定性密度函数的图像越瘦高，取值几乎全集中在均值周围，距离均值较远的值几乎不会被取到。所以当方差较大时，测量值为真实值的可能性更小，则测量值的不确定性较大；当方差较小时，真实值可信度较高的取值范围与测量值的距离较小，测量值为真实值的可能性大，则测量值的不确定性较小。方差可以用来描述数据的离散程度，这一特点和不确定性的内在含义相契合，不确定性大的值，它可能的取值就会比较离散，也就对应着较大的方差。所以本方法决定使用种子点的不确定性所服从的高斯分布的方差σ²来表征量化该种子点的不确定性。该表达方式简单明了，直接通过数值的大小比较就能得到不确定性程度的对比情况。

S2、计算每个插值点处由多个种子点传播来的不确定性；

在地质科学领域中，普遍认为地质特征在空间上具有关联性，距离越近地质特征就越相似。基于这一特点，假设某一个种子点的值服从不确定性密度函数为f(z)的高斯分布，与它较为靠近的点的值由于关联性也服从形状如f(z)的高斯分布。同样的，由于关联性，邻近点的均值应该等于当前种子点的取值，而种子点取不同值的可能性又服从f(z)，所以邻近点则以不同的可能性服从均值不同，但形状与f(z)相同的分布，对这些分布求一个叠加性的计算，则可以求得该邻近点所服从的不确定性密度分布情况。

设种子点服从参数为N(μ,σ²)的分布，当种子点取值z_i时，邻近点服从的分布的均值也为z_i，相当于是种子点的分布沿z轴进行了长度为|z_i-μ|的平移，表示为f[z-(z_i-μ)]，则该情况下邻近点的值服从的分布为：

同上，利用换元法，令代入式(3)进行化简整理得到：

式(4)所示为N(μ,2σ²)的不确定性密度函数的表达式，相比于f(z)的表达式，均值不变，而方差变为原来的两倍；所以根据种子点求得的邻近点与其种子点取值服从的分布之间的关系为：均值相等，但是邻近点的方差为种子点方差的两倍。这符合地质上基于空间信息的关联性，相近的位置地质特征相似，即均值相等；同时也符合基于不确定性传播的思路的结果，当用该点服从的分布的方差来表示不确定性大小时，由种子点推算出来的其他点的不确定性应当大于该种子点的不确定性。

将这个判定邻近点的距离看做一个步长，不确定性正是根据这个步长进行“逐点传播”。传播过程如图3所示。图中，最左边点为种子点，右边的点为种子点沿某一方向上传播不确定性经过的各个点，用误差条来表示各个点处的不确定性大小。在该图中，步长为L，则经过长度为L的距离时，不确定性大小增大为上一个的传播点的两倍，以此规律，逐点传递下去。但是，所求不确定性点的位置不可能刚好落在整数倍的L处，介于两个传播点之间的位置处的不确定性还不能确定。本发明认为不确定性的增长是连续的，根据不确定性随距离增长的规律，有如式(5)所示的关系：

其中，σ²和σ′²分别表示种子点和所求点的不确定性大小，d表示两点间的距离，L表示一次传播的步长。步长L不容易根据已有信息得到，可将其作为输入参数，调整步长L的值，多次试验观察可视化结果，得到最适合该组种子点数据的步长值。L可以控制传播的不确定性的增长速度，是不确定性传播过程中的尺度因子。

S3、根据D-S证据理论对两组权值进行和成绩算得到一组新的权值；

在复杂地质曲面重构的过程中，由于地震数据的稀疏性，需要进行插值操作。在插值计算过程中，对于一个插值点的计算一般需要用到多个种子点的数据信息，即有多个种子点传播了自身的不确定性到该插值点处。该位置点处的不确定性大小存在着一个不确定性“叠加融合”的过程。

对于种子点传播到插值点的不确定性的融合计算，需要找到一组合适的权值来进行加权计算。首先想到的就是在插值计算过程中，插值算法为每个种子点分配的权值。曲面重构过程中采用的何种插值算法，就用该插值算法求出的权值来作为进行不确定性融合的一组权值。计算出的权值表示了对种子点向插值点提供取值信息的信任程度，然后插值点的取值也按照此权值和种子点的值进行加权求和运算。而种子点的测量值是带有不确定性的，对这些含有不确定性的值加权求和作为插值点的取值，那么可以认为种子点的不确定性也按照此组权值分配在插值点处进行了融合。所以，可以将插值算法求得的权值作为不确定性融合的一组权值。

选用插值算法的权值来作为插值点处的不确定性融合的权值是从种子点对插值点提供取值信息的可信度的角度考虑而得，这是不全面的，还需要从不确定性的角度去寻找一组合适的权值。从种子点的初始的不确定性考虑，在插值计算的过程中，插值算法是没有考虑到种子点的初始的不确定性大小的，所以插值算法的权值中是没有考虑到不确定性的信息的。所以需要将种子点的初始不确定性纳入不确定性融合的权值的考虑范畴。自身不确定性大的种子点，同等情况下在插值计算时会带来更大的不确定性，所以在不确定性融合的过程中应该占有更大的比重。根据种子点的初始不确定性计算一组权值为：

其中，u_i为第i个种子点处的初始不确定性大小，u_m为第m个种子点处的初始不确定性大小，i＝1,2,...,n。

该组权值能表示种子点初始不确定性大小对插值点不确定性融合的影响，能一定程度上作为不确定性融合的参考。

S4、利用新的权值和传播的不确定性对插值点的不确定性结果进行计算。

已经从种子点为插值计算提供信息的角度和向插值点带来不确定性的角度分别找到了在各自情况下合理的一组权值。代表了从不同角度考虑时，对该种子点传播到插值点的不确定性的影响程度。于是采用D-S证据理论对这两组权值进行合成计算。事件A₁,A₂,...,A_n分别表示第i个种子点传播的不确定性为插值点处的不确定性这一事件，将所有事件根据插值算法的权值和根据初始不确定性的权值分别为记为M₁、M₂，其中，M₁＝{λ₁,λ₂,…,λ_n}，M₂＝{ω₁,ω₂,…,ω_n}；

根据D-S证据理论的合成公式得到：

则由式(7)和(8)可得：

λ_i根据曲面插值算法计算得到(比如反比距离、变差函数等，为本领域常用的计算方法。)

所以由此得到了一组新的权值α_i(i＝1,2,...,n)，是综合考虑了种子点对插值点的信息提供和不确定性影响后得到的权值，是对种子点传播到插值点处的不确定性的影响大小的综合考量。所以最终插值点处的不确定性大小为：

其中，u_i′为第i个种子点传播到该插值点的不确定性大小，通过公式(5)计算得到(即公式(5)中的σ′²)。

根据不确定性产生的原因和结合对于不确定性的客观认知，可以得到以下两条规则：

1.对于单不确定性源来说，越远离不确定性源，该位置的不确定性越大；

2.对于多源不确定性情况，种子点越稀疏的位置不确定性越大。

采用计算机生成的理想数据如图4所示，数据呈带状分布，在带状线方向上较为密集，而在带状线的垂直方向相对稀疏，而且越往远处，点的分布越来越稀疏。

图5所示，是基于扰动的不确定性量化方法得到的结果。图中z方向坐标表示不确定性大小，从下到上表示该位置处的相对不确定性大小由小到大。

由图观察可得，用该方法计算出的不确定性大小在种子点处基本相等，而且在种子点密集处的插值点的不确定性都相对较小，种子点稀疏处的插值点的不确定性都相对较大，这一点是符合实际规律的，该方法具有一定的正确性。但是图中有一个很严重的问题就是种子点的不确定性都普遍大于插值点处的不确定性，这是不符合客观实际的，因为插值点处的数据值是由种子点计算所得，不确定性应该是大于种子点处的不确定性的。该方法只考虑了种子点处的初始不确定性，并用种子点多次生成曲面进行统计计算，而没有考虑不确定性在空间传播过程中的扩散增大过程，从而导致了插值点处的不确定性小于种子点处的不确定性。所以综上，基于扰动的方法具有明显的缺陷。

运用本发明提出的地质曲面不确定性传播模型和不确定性融合模型，计算出各个插值点处的不确定性大小，并用z方向的值来表示。如图6所示，为该组理想数据种子点数据的不确定性计算结果。图中从左到右随着种子点数据的分布由相对密集变得越来越稀疏，插值点处的不确定性大小也由相对较小的值而逐渐增大，这符合客观实际规律。而且由图中可以见得，种子点处的不确定性大小基本相等而且是明显小于各个插值点处的不确定性的，这也是符合客观实际的。因为该方法是从种子点的不确定性出发，考虑了不确定性在空间中的传播特点和合成过程中所遵循的规律，所以相比与基于扰动多次模拟求不确定性的方法，更具有合理性和有效性。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于空间传播的不确定性量化方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、根据关联信息为每个种子点赋予初始不确定性分布；具体实现方法为：将用于重构曲面的种子点数据含有三维的空间位置坐标信息记为(x,y,z)的形式；其中，x和y为准确值，z为不确定值；种子点的(x,y)坐标值是由GPS测绘得来的；z方向上的空间坐标值来源于灵敏仪器接收到地层结构反射回来的地震波，得到反射波的速度值，再计算得到地层结构的深度；

选用高斯分布来作为z方向上不确定性变量z所服从的不确定性分布函数；高斯分布的均值μ等于该点处的测量值，方差σ²通过人为设定，通过μ和σ²两个参数确定该位置的不确定性密度函数为：

对于每个种子点的取值服从的高斯分布的σ²值，通过将该种子点的测量值与它周围的相关联种子点的测量值进行对比计算得出，其计算方法为：

其中，z为该种子点的测量值，z_i为与该种子点相关联的n个种子点的测量值，i＝1,2,...,n；使用种子点的不确定性所服从的高斯分布的方差σ²来表征量化该种子点的不确定性；

S2、计算每个插值点处由多个种子点传播来的不确定性；具体实现方法为：设种子点服从参数为N(μ,σ²)的分布，当种子点取值z_i时，邻近点服从的分布的均值也为μ，相当于是种子点的分布沿z轴进行了长度为|z_i-μ|的平移，表示为f[z-(z_i-μ)]，则该情况下邻近点的值服从的分布为：

利用换元法，令代入式(3)进行化简整理得到：

式(4)所示为N(μ,2σ²)的不确定性密度函数的表达式，相比于f(z)的表达式，均值不变，而方差变为原来的两倍；所以根据种子点求得的邻近点与其种子点取值服从的分布之间的关系为：均值相等，但是邻近点的方差为种子点方差的两倍；

根据不确定性随距离增长的规律，有如式(5)所示的关系：

其中，σ²和σ′²分别表示种子点和所求点的不确定性大小，d表示两点间的距离，L表示一次传播的步长；

S3、根据D-S证据理论对两组权值进行合成计算得到一组新的权值；具体实现方法为：根据种子点的初始不确定性计算一组权值为：

其中，u_i为第i个种子点处的初始不确定性大小，u_m为第m个种子点处的初始不确定性大小，i＝1,2,...,n；

S4、利用新的权值和传播的不确定性对插值点的不确定性结果进行计算；具体实现方法为：事件A₁,A₂,...,A_n分别表示第i个种子点传播的不确定性为插值点处的不确定性这一事件，将所有事件根据插值算法的权值和根据初始不确定性的权值分别为记为M₁、M₂，其中，M₁＝{λ₁,λ₂,…,λ_n}，M₂＝{ω₁,ω₂,…,ω_n}；

根据D-S证据理论的合成公式得到：

则由式(7)和(8)得到：

λ_i根据曲面插值算法计算得到；由此得到一组新的权值α_i；

最终插值点处的不确定性大小为：

其中，u′_i为第i个种子点传播到该插值点的不确定性大小，利用式(5)计算得到，即式(5)中的σ′²。