CN101706768A - 一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法来实现对于全局协同克里格方法的逼近。这种逼近基于Markov的屏蔽假设。根据Markov模型的屏蔽效应假设，对协同克里格方法可以进行逼近。而同位置协同克里格也可以根据Markov模型实现上述逼近。这样一来在Markov模型的屏蔽效应中，假设硬数据可以屏蔽在其位置以外的其他硬数据对其所在位置软数据的影响。那么在存在多种变量的情况下，与硬数据相关系数最为紧密的且最为接近的同位置软数据往往包含了最多的预测信息。而本发明充分利用这些较为丰富的软数据，可以提高预测模型的精度。可广泛应用于如地质、气象和采矿等一些工程和工业领域。

Description

一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法

技术领域：

本发明涉及一种在工程和工业领域具有广泛应用的预测空间变量分布特征的信息预测模拟技术，特别涉及一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法。

背景技术：

当前在一些工程和工业领域，插值方法被广泛用于预测空间变量的分布特征。在这种情况下，包括克里格和随机模拟方法在内的不确定性插值方法可以被用于实现上述目的。“不确定”性插值方法的“不确定”性一方面表现在插值形式的随机性上，另一方面表现在插值参数的选取和确定需要依赖于概率统计原则。然而在大多数情况下，可能有多于一个实验变量被不同的实验数据或者信息所表示。例如，在遥感图像领域，一个卫星探测器可以提供几种不同分辨率的图像信息，而如何综合利用这些不同信息以提高空间信息的分辨率成为人们关注的课题。

在许多领域广泛使用着两种信息：硬数据(主要信息)和软数据(次要信息)。一般认为硬数据(参见图1(a))是基于对客观存在的事物或现象进行测量和观察的结果，而软数据(参见图1(b))是基于人们的主观判断所得到的统计数据。例如在油藏描述过程中，所能获得的硬数据(井位数据)往往非常少，而关于所研究变量的软数据(如地质解释和地震资料等)却相对较为丰富。软数据一般提供了较广泛范围内的低分辨率信息。如果能充分利用较为丰富的软数据，那么必然会提高预测模型的精度。

目前，用于结合使用硬数据和软数据的算法可以分成两类：

第一类是可以产生唯一插值结果的插值算法。这些插值算法一般是低通滤波器，会导致空间变异性被平滑处理。该类算法同时也可以提供对于不稳定性的估计，如克里格方差(kriging)。

第二类是可以产生多种可能结果的随机模拟算法。一般这些随机模拟算法采用全通滤波器，可以保留空间变量的全局变异性。在多个随机模拟结果间的波动提供了一种在视觉和定量分析上的对于不稳定性的评价。

在地质统计学中，对于结合不同类型数据进行插值的方法做了很多研究和扩展，提出了许多用于融合不同类型数据的方法以形成一个精确的数学模型。一种叫做协同克里格的地质统计学方法被用于实现不同类型数据的融合，它具有以下优点：

●预测结果具有无偏性，而且预测方差最小；

●不会受限于不同图像的分辨率；

●能够结合软数据以提高插值精度；

●可以提供对于不确定性预测的方法，例如协同克里格方差。

最初，全局协同克里格被广泛用于结合不同信息进行插值预测，这个方法本质上是克里格方法的延伸。然而，该方法存在着不同变量间交叉矩阵不稳定的问题，这大大限制了全局协同克里格在实际工程领域中的应用。

发明内容：

由于最初的协同克里格方法不能解决不同变量间交叉矩阵不稳定的问题。原因是协同克里格是一种具有无偏性和最小预测方差的插值方法。它的主要优点在于充分考虑了空间信息点的相关性和不同变量间的交叉相关性，从而可以将不同信息进行融合。但其主要问题在于交叉协方差矩阵的实现比较困难，因此，对于未知区域的模拟预测本发明给出了一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法来实现对于全局协同克里格方法的逼近。

这种逼近基于Markov的屏蔽假设。由于根据Markov模型的屏蔽效应假设，对协同克里格方法可以进行逼近。而同位置协同克里格也可以根据Markov模型实现上述逼近。这样一来在Markov模型的屏蔽效应中，假设硬数据可以屏蔽在其位置以外的其他硬数据对其所在位置软数据的影响。那么在存在多种变量的情况下，与硬数据相关系数最为紧密的且最为接近的同位置软数据往往包含了最多的预测信息。而本发明充分利用这些较为丰富的软数据，可以提高预测模型的精度。可广泛应用于如地质、气象和采矿等一些工程和工业领域。

下面通过具体分析和介绍来具体阐述本发明方案：

(一)协同克里格方法；

克里格在本质上是一种广义线性退化算法，它可以在最小方差情况下提供最优估计值，该估计值是由硬数据的线性组合实现的，表示如下：

$z_1^{*}\left(u\right)=\underset{\mathrm{\α}=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\α}}{z}_1\left(u_{\mathrm{\α}}\right)---\left(1\right)$

式(1)中的z₁ ^*(u)是信息预测估计值。z₁(u)表示待预测区域A的硬数据(主要信息)，u∈A是位置向量。z₁(u_α)(α＝1，2，…，n₁)是位于u_α位置的α个信息采样数据。n₁是区域A中的采样数据点数目。权值λ_α由克里格方程获得，u_α与u之间的关系式如下：

u_α＝u+h                  (2)

式(2)中的h是描述u_α与u之间距离关系的向量。实际上，式(1)要受限于u_α与u之间的关系，例如两者的变差函数和协方差。

协同克里格实际上是克里格方法的一种扩展，它能够同时结合多种信息进行预测估计。对于两种变量的协同克里格表达式如下：

$z_1^{*}\left(u\right)=\underset{\mathrm{\α}=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\α}}}^1{z}_1\left(u_{\mathrm{\α}}\right)+\underset{\mathrm{\β}=1}{\overset{n_2}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\λ}}_{\mathrm{\β}}}^2{z}_2\left(u_{\mathrm{\β}}\right)---\left(3\right)$

式(3)中的z₁(u_α)表示第α个硬数据，而z₂(u_β)表示第β个软数据。λ_α ¹和λ_β ²分别表示硬数据和软数据的权值。n₁和n₂分别表示硬数据和软数据的数目。同样，式(3)要受限于u_α与u或u_β与u之间的关系，而权值λ_α ¹和λ_β ²由协同克里格方程组给出。协同克里格与克里格之间的区别在于前者利用四个协同克里格的协方差函数取代了克里格方法中唯一的协方差函数，这些协同克里格的协方差函数表示如下：

G₁₁(h)＝Gov{z₁(u)，z₁(u_α)}                          (4)

G₁₂(h)＝Cov{z₁(u)，z₂(u_α)}                          (5)

G₂₁(h)＝Cov{z₂(u)，z₁(u_α)}                          (6)

G₂₂(h)＝Cov{z₂(u)，z₂(u_α)}                          (7)

(4)-(7)中的Cov{·}表示的是一个变量或者两个交叉变量间的协方差函数。通常假定C₁₂(h)等于C₂₁(h)。

在K(＞2)个变量的情况下，全局协同克里格表示如下：

${z_1}^{*}\left(u\right)-m_1=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\underset{{\mathrm{\α}}_k=1}{\overset{n_k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{\α}}_k}[z_k\left(u_{{\mathrm{\α}}_k}\right)-m_k]---\left(8\right)$

式(8)中的m_k(k＝1，…，K)表示第k个变量的均值，

(a_k＝1，…，n_k)表示与第k个变量相关联的第a_k个数据的位置，

是与

对应的协同克里格的权值。结合K个变量的协同克里格需要一个由这K个变量组成的交叉矩阵，该矩阵最大包含K²个矩阵元素，表示式如下：

C_kk’(h)＝Cov{z_k(u)，z_k’(u_α)}，               (9)

式(9)中的k和k’分别为1，…，K。

(二)同位置协同克里格方法；

然而，在实际情况下，上述全局协同克里格方法的主要问题在于需要获得式(9)所示的交叉协方差矩阵，而这并不容易实现。因此一种全局协同克里格方法的简化和逼近方法被提出，这就是同位置协同克里格方法。在存在多种变量的情况下，与硬数据相关系数最为紧密的且最为接近的同位置软数据往往包含了最多的预测信息，所以上述问题的解决方法就是保留与硬数据同位置的软数据z_k’(u)，而z_k’(u)在每个待测点位置u与硬数据关系最为紧密。因此，可以得到逼近后的同位置协同克里格表示式：

${z_1}^{*}\left(u\right)-m_1=\underset{{\mathrm{\α}}_1=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{\α}}_1}[z_1\left(u_{{\mathrm{\α}}_1}\right)-m_1]+{\mathrm{\λ}}_0[z_{k^{\′}}\left(u\right)-m_{k^{\′}}]---\left(10\right)$

式(10)中m_k’是第k’(k’＝1，…，K)个变量的均值，该变量与硬数据关系最为密切。λ₀是与第k’(k’＝1，…，K)个变量对应的权值。z_k’(u)与z₁(u)都是在u位置的预测值。对于每个位置u的硬数据而言，只会保留一个与其相同位置的软数据。因此，该方法被称为同位置协同克里格方法。

(三)基于Markov模型的同位置协同克里格

表达式(10)在u位置只是使用了一个软数据z_k’(u)，因此软数据的协方差函数在解表达式(10)对应的协同克里格方程中并不需要，所需要的只是硬数据的协方差C₁₁(h)和它与软数据的交叉方差C₁₂(h)。本文将Markov模型引入来实现协同克里格的进一步逼近。式(11)所示的是Markov模型的屏蔽假设：

$E\left\{z_2\left(u\right)\right|z_1\left(u\right),z_1(u+h)\}=E\{z_2\left(u\right)\left|z_1\left(u\right)\right\},\∀z_1(u+h)---\left(11\right)$

根据式(11)，可见硬数据z₁(u)屏蔽了其他数据z₁(u+h)对软数据z₂(u)的影响。在上述假设下，可以得到下式：

$C_{12}\left(h\right)=\frac{C_{12}\left(0\right)}{C_{11}\left(0\right)}{C}_{11}\left(h\right),\∀h---\left(12\right)$

或者等价地得到：

${\mathrm{\ρ}}_{12}\left(h\right)={\mathrm{\ρ}}_{12}\left(0\right){\mathrm{\ρ}}_{11}\left(h\right),\∀h---\left(13\right)$

上式中的软硬数据的相关系数ρ₁₂(h)是通过软硬数据协方差的比例关系来正确地设定的，其中ρ₁₂(0)表示软硬数据的同位置相关系数，而ρ₁₂(0)和ρ₁₁(h)可以通过其各自协方差系数确定。并有：

${\mathrm{\ρ}}_{11}\left(h\right)=\frac{C_{11}\left(h\right)}{C_{11}\left(0\right)}---\left(14\right)$

${\mathrm{\ρ}}_{12}\left(h\right)=\frac{C_{12}\left(h\right)}{\sqrt{C_{11}\left(0\right)C_{22}\left(0\right)}}---\left(15\right)$

随着Markov模型的引入，同位置协同克里格方程(10)可以被重新表示为标准化形式：

$\frac{{z_1}^{*}\left(u\right)-m_1}{{\mathrm{\σ}}_1}=\underset{{\mathrm{\α}}_1=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{\α}}_1}\frac{[z_1\left(u_{{\mathrm{\α}}_1}\right)-m_1]}{{\mathrm{\σ}}_1}+{\mathrm{\λ}}_0\frac{[z_2\left(u\right)-m_2]}{{\mathrm{\σ}}_2}---\left(16\right)$

上式中，z₁ ^*(u)是硬数据的预测估计值。

表示待预测区域的已知硬数据，

(a₁＝1，…，n₁)表示与硬数据相关联的第a₁个数据的位置。n₁是待预测区域中的采样数据点数目。z₂(u)表示软数据的值，σ₁和σ₂分别是硬数据和软数据的标准差，权值(a₁＝1，…，n₁)和λ₀由协同克里格方程的关系式获得。m₁和m₂分别表示硬数据和软数据的均值。该公式表明待模拟区域的模拟值可以根据与其同位置的软数据和其他已知的硬数据获得，体现出Markov模型的屏蔽效应。该公式实现了对于全局协同克里格的逼近，可以大大减少实际计算量，同时提高预测精度，体现出本发明的主要思想。

上述本发明方案应用于模拟预测未知区域，实验结果表明，Markov模型的模拟效果与软硬数据间的相关系数联系紧密。而一旦相关系数设置合理，利用Markov模型的协同克里格方法在模拟效果上要大大优于全局协同克里格和简单克里格方法。

附图说明：

以下结合附图和具体实施方式来进一步说明本发明。

图1(a)为表示非常稀疏的油井位置数据的硬数据图；

图1(b)为表示比较丰富的该地区地震测试数据的软数据图；

图2为实验所用的原始硬数据采样点图，该图中数据图案背景被设置为黑色；

图3为实验所用的软数据图；

图4(a)为采样点数据直方图；

图4(b)为软数据的直方图；

图5(a)、图5(b)、图5(c)、图5(d)、图5(e)为基于Markov模型的同位置协同克里格模拟结果图；

其中，图(a)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.1；图(b)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.4；图(c)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.7；图(d)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.9；图(e)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为1。

图6(a)、图6(b)、图6(c)、图6(d)、图6(e)为基于Markov模型的同位置协同克里格模拟结果直方图；

其中，图(a)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.1；图(b)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.4；图(c)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.7；图(d)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为0.9；图(e)中z₁(u)和z₂(u)的相关系数为1。

图7(a)为简单克里格模拟结果图；

图7(b)为全局协同克里格模拟结果图；

图8(a)为简单克里格模拟结果直方图；

图8(b)为全局协同克里格模拟结果直方图。

具体实施方式：

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体图示，进一步阐述本发明。

本发明的一种使用Markov模型的同位置协同克里格方法来预测未知信息分布的实例结合附图详述如下：

请参见图2-图6和表1，是基于Markov模型的协同克里格的模拟实验结果。

	均值	方差
			软数据	5.4812	1.159
z1(u)和z2(u)相关系数为0.1	3.1232	1.453
			z1(u)和z2(u)相关系数为0.4	3.8432	1.390
z1(u)和z2(u)相关系数为0.7	5.1298	1.338
			z1(u)和z2(u)相关系数为0.9	5.3213	1.203
z1(u)和z2(u)相关系数为1	5.4832	1.164

表1

表1为基于Markov模型的同位置协同克里格模拟结果与软数据的均值和方差。

在本实施例中，实验所用二维数据是美国内华达州的Ely地区的海拔高度数据。该数据由10000个点数据所组成，为基于Markov模型的同位置协同克里格模拟提供了参考数据。图2是采样点数据，该数据作为原始硬数据。图案背景被设置为黑色。软数据如图3所示，采样点数据实际上是从软数据中抽取的，而软数据实际上就是已知的Ely地区的海拔高度数据。通过比较模拟结果与软数据之间的相似度可以评价该方法的性能。这种相似度越高，说明方法性能越好。采样点数据和软数据的直方图如图4(a)、(b)所示。

在本实施例中，将基于Markov模型的同位置协同克里格方法应用于模拟预测未知区域，模拟过程中使用上述采样点数据和软数据。z₁(u)和z₂(u)间的相关系数ρ₁₂(0)(即软硬数据的相关系数)分别设定为0.1，0.4，0.7，0.9和1。模拟结果如图5(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示。

可见当z₁(u)和z₂(u)间的相关系数增加时，模拟结果与软数据之间的相似性也逐渐增加.模拟结果的直方图见图6(a)、(b)、(c)、(d)、(e)，也反映出这种趋势.当z₁(u)和z₂(u)间的相关系数为1时，模拟结果与软数据几乎完全一致了。模拟结果与软数据的均值和方差可见表1.可见相关系数越接近1，那么模拟结果与软数据的均值和方差越相近。因此，在软数据比较真实可信的情况下，z₁(u)和z₂(u)间的相关系数应该设定接近1.

请参见图7-图8和表2，是利用全局协同克里格和简单克里格方法对未知区域进行预测的方案。

	均值	方差
			简单克里格	3.4322	0.756
全局协同克里格	4.3212	1.322

表2

表2为简单克里格和全局协同克里格模拟结果的均值和方差。

在本实施例中，为了与使用Markov模型的同位置协同克里格方法进行比较，又采用了全局协同克里格和简单克里格方法对未知区域进行预测。模拟结果和直方图分别如图7(a)、(b)和图8(a)、(b)所示。全局协同克里格和简单克里格模拟结果的均值和方差如表2所示。可以看出，全局协同克里格和简单克里格模拟结果与软数据差别较大。

本发明的基于软硬数据信息的使用Markov模型的同位置协同克里格方法来预测未知信息分布实施例在本质上属于图像可视化的范畴。这项技术可以广泛应用于地球科学、生物学和医学等工程和工业领域。

解决该问题的关键在于在每个硬数据的待预测位置只是保留一个相同位置的软数据，而对于其他软数据并不考虑。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (1)

1.一种使用Markov模型的同位置协同克里格的信息预测方法，该方法根据Markov模型的屏蔽效应假设，使得方法中的硬数据可以屏蔽其他硬数据对于与其同位置的软数据的影响；并通过软硬数据协方差的比例关系正确地设定软硬数据的相关系数ρ₁₂(h)，实现对全局协同克里格方法进行逼近，该相关系数ρ₁₂(h)表示为：

${\mathrm{\ρ}}_{12}\left(h\right)={\mathrm{\ρ}}_{12}\left(0\right){\mathrm{\ρ}}_{11}\left(h\right),\∀h$

上式中ρ₁₂(0)是软硬数据的同位置相关系数，ρ₁₁(h)表示硬数据相关系数。h是描述两个变量之间距离关系的向量。而ρ₁₂(0)和ρ₁₁(h)可以通过其各自协方差系数确定。

本发明的特征在于，所述方法依托如下公式：

$\frac{{z_1}^{*}\left(u\right)-m_1}{{\mathrm{\σ}}_1}=\underset{{\mathrm{\α}}_1=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_{{\mathrm{\α}}_1}\frac{[z_1\left(u_{{\mathrm{\α}}_1}\right)-m_1]}{{\mathrm{\σ}}_1}+{\mathrm{\λ}}_0\frac{[z_2\left(u\right)-m_2]}{{\mathrm{\σ}}_2}$

上式中，z₁ ^*(u)是硬数据的预测估计值。

表示待预测区域的已知硬数据，

表示与硬数据相关联的第a₁个数据的位置。n₁是待预测区域中的采样数据点数目。z₂(u)表示软数据的值，σ₁和σ₂分别是硬数据和软数据的标准差，权值

和λ₀由协同克里格方程的关系式获得。m₁和m₂分别表示硬数据和软数据的均值；该公式表明待模拟区域的模拟值可以根据与其同位置的软数据和其他已知的硬数据获得，体现出Markov模型的屏蔽效应；该公式实现了对于全局协同克里格的逼近，可以大大减少实际计算量，同时提高预测精度。

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