CN108960323A - 一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，属于位错分析技术领域。本发明利用Nye张量分解并借由共同近邻分析方法的辅助来确定位错区域，并通过Nye张量的奇异值分解来计算位错线和伯氏矢量取向的一种位错结构分析方法，从而实现了对于界面位错构型、位错线和伯氏矢量取向，以及位错核的分析和可视化。本发明能够较为准确的展示位错结构、位错线和伯氏矢量的取向；通过调节最大匹配角与参考结构，得到正确的位错分析结果；从微观结构表述界面位错结构，对于研究纳米复合材料的塑性行为和位错形核机制有着不可替代的作用。

Description

一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法

技术领域

本发明属于位错分析技术领域，具体为一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法。通过利用Nye张量的计算和Nye张量的奇异值分解，并借助共同近邻分析(CNA)方法的辅助来确定位错区域以及位错线和对应伯氏矢量；同时取向并进行投影，实现可视化分析。

背景技术

界面是晶体中的面缺陷，它对于晶体材料的性质和发生的转变有着极其重要的影响。对于位错，界面一方面能够阻碍滑移位错的运动，也能够分解、吸收位错；另一方面，界面也能作为位错等缺陷的源头，从而引起界面强化，提高材料的强度。对于变形，界面能够阻碍变形，使变形分布均匀、提高材料的塑性。近年来，大量的计算模拟和实验研究均发现界面结构会直接影响位错的形核方式和界面的滑移方式，从而改变纳米复合物材料和异质结构材料的力学强度和塑性等。因此，选择一种合适的方法对界面位错结构进行分析对研究材料的塑性变形行为和力学性能有着相当重要的意义。目前位错研究中对于位错结构的分析有位错抽取算法(Dislocation analysis,简称DXA)，虽然这种方法也能够展示位错线和伯氏矢量的取向，但是并不能很好的确定位错核区域的大小以及变化。同时其算法复杂，计算开销巨大，耗时长效率低。针对这些不足，参考文献1[C.S.Hartley andY.Mishin.Acta Materialia 53(2005)1313–1321]提出利用Nye张量确定位错区域，参考文献2[Fu-Zhi Dai and Wenzheng Zhang.Computer Physics Communications 188(2014)]提出利用Nye张量的奇异值分解来确定位错线和伯氏矢量，适用于面心立方结构和体心立方结构。但是在应用过程中发现该方法存在诸多问题，例如在Nye张量计算过程中需要对每一个配位原子进行映射，映射方法会对结果造成决定性影响。不合理的映射会产生错误的结论，而之前的方法对映射过程没有合理解决。

发明内容

本发明公开了一种基于张量分解和数学矩阵理论，利用Nye张量分解并借由共同近邻分析方法(CNA)的辅助来确定位错区域，并通过Nye张量的奇异值分解来计算位错线和伯氏矢量取向的一种位错结构分析方法，从而实现了对于界面位错构型、位错线和伯氏矢量取向，以及位错核的分析和可视化。

本发明提供一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，该方法包括如下步骤：

第一步，获取原子周边环境：包括读取待分析体系的结构文件及预处理。

所述的待分析体系的结构文件包括各原子坐标以及点阵取向等。所述的预处理包括：应用周期性边界条件、建立近邻列表。

1.1应用周期性边界条件具体方法是：首先对原子重整，将位于周期性边界外的原子移入晶胞中。然后设置一个扩展晶胞，将位于周期性边界内的原子逐一判断：在某一方向平移一个周期性边界对应的周期后，判断是否在扩展晶胞中。如果在扩展晶胞中，则添加此平移的原子并继承原子平移之前的属性。为了提高这一步的效率，首先建立了空间格子索引，从而节省计算资源。

1.2建立近邻列表：为了减小计算量，在计算局部变形张量以及Nye张量的过程中设置截断半径，这一过程需要引入近邻列表。对于面心立方FCC和六方密堆积结构HCP，只使用第一近邻进行计算，对于体心立方结构BCC，使用第一近邻和第二近邻计算。如果截断半径已知，则使用给出的截断半径配合空间格子索引建立近邻列表；如果截断半径未知，则根据待分析体系的原子数量及占据体积粗估一个截断半径，并使用该粗估的截断半径建立临时近邻列表，然后根据该临时近邻列表求出待分析体系的平均第一近邻间距从而建立精确截断半径。

第二步，确定晶体结构：FCC晶体按(111)密排面的堆垛次序是ABCABC...，每层原子配位环境相同。而HCP晶体按(0001)密排面的堆垛次序为ABAB....，每个原子的参考态为AB两种参考态中的一种，如果不加分辩地直接使用任意一种作为参考，将会得出错误的局部变形张量，继而影响最终的位错分析结果。首先对所有原子使用两种参考态一一匹配，并选择匹配程度最高的那一种结构作为参考态。然而对于某些原子，两种参考态的匹配程度接近无法加以区分，此时将使用扩展算法。对那些无法区分匹配程度的原子，记录原子所在原子层中其最近邻原子所用的参考态。如果其大部分近邻原子适用A参考态，那么将该原子参考态也设置为A。每经过这样的一次运算，无法区分原子的区域将缩小。几次计算后，所有原子均会得到合理的参考态。在扭转界面中，这一算法很好的解决了这一问题，可以很好的建立理想配位环境进行映射。对于相变、界面模拟等情况中，待分析体系中可能存在多种晶体结构，此时使用共同近邻分析确定每个原子的理想配位环境。

第三步，映射与计算局部变形张量：在待分析体系中，每个中心原子与周围的近邻原子组成一对配位键，简称键。对任一实际键，如果与理想晶格中某一键的角度差小于最大匹配角认为两者相对应。若实际键与多个理想键满足对应条件，则取角度差最小的那一个作为对应结果。这样位错区内的实际键便映射到理想晶格中的理想键。而键角偏离程度即所述角度差大于最大匹配角的实际键将被从局部变形张量G的计算过程中排除。不同的最大匹配角下局部变形张量的计算结果不同。所以在确定待分析体系的位错区域时，需要找到一个最优的最大匹配角度从而得到合理的位错结构。

选择了最大匹配角度后，即可计算局部变形张量G。记v为理想晶格当中的键，v'为实际晶格中的实际键，G为局部变形张量，两个晶格中的对应键则存在转换关系：

v＝v'×G

中心原子有γ个近邻的情况下，则一共存在γ个有对应关系的键。将所有实际键计为矩阵Q，对应到理想晶格的键计为矩阵P，则存在转换：

P＝Q×G

其中P，Q均为γ×3矩阵。Q由输入原子坐标确定，P由理想晶格确定。对每一个原子，可使用最小二乘法求出局部变形张量G：

G＝Q⁺×P

其中Q⁺＝(Q^TQ^-1)^-1Q^T，是Q的Penrose–Moore广义逆。上标T和-1分别代表矩阵的转置和矩阵的逆。

第四步，Nye张量的计算与奇异值分解：

4.1Nye张量的计算。对位错区的封闭回路对应到理想晶格后可得到伯氏矢量b：

其中，C'表示位错区中封闭回路，r'表示位错区中晶格矢量。C和r表示对应到理想晶格中的封闭回路和晶格矢量。

在Nye张量方法中，任意一个原子处的局部变形张量G是应变在原子位置的体现，回路C不是必须经过原子，dr不必局限于原子间的键。这样离散的求和可以用连续的积分替代：

使用斯托克斯公式有：

Nye张量为：

其中α为Nye张量，n和A表示封闭回路所在平面的法向和包围面积，为旋度算符。

4.2Nye张量的奇异值分解。在连续位错理论中，位错并不局限于某一方向，而是在空间中在多个方向有分布，表现为一种张量的形式，称Nye张量。而研究者往往只关心主位错(Nye张量中强度最大的分量，本发明中所述位错除非特殊说明，否则均指主位错)方向及强度，张量的形式不便于研究者研究位错的结构及性质。因而对Nye张量分解，求出位错方向及强度显得至关重要。而在数学中，奇异值分解作为一种高效的分解手段，能够很好的将Nye张量分解为多个矢量，进而得到主位错方向及强度，得到的结果直观，便于研究者分析。对Nye张量α使用奇异值分解后：

其中，σ_ζ,t_ζ,b_ζ分别代表原子所处区域位错密度、位错线方向和伯氏矢量，n为3。对不同位置的原子，其Nye张量对应的三个位错密度即奇异值σ₁,σ₂,σ₃有四种可能的状态：

(a)、σ₁≈σ₂≈σ₃≈0，这意味着原子远离位错区域；

(b)、σ₁＞σ₂≈σ₃≈0，这意味着原子位于一个位错线附近；

(c)、σ₁≥σ₂>σ₃≈0，这意味着原子附近的区域有两个或三个位错相交，他们的伯氏矢量共面且守恒；

(d)、σ₁≥σ₂≥σ₃＞0，这意味着在原子附近，至少有四个非共面位错的伯氏矢量的相交。

第五步，利用共同近邻分析(Common Neighbor Analysis，简称CNA)方法对Nye张量法输出的位错密度进行检验。如果两者得到的位错分布存在较大偏差(差距大于两个原子第一邻近距离)，则返回第三步，设置新的匹配角度，重新计算直到结果相符。当位错分布的分析结果与共同近邻分析结果一致时，则可以基于奇异值强度绘图(绘图中可以明显直观的看到位错线、伯氏矢量和方向)。同时基于Nye张量奇异值分解后得到的t_ζ和b_ζ，标明位错线的方向和伯氏矢量，得到位错分析结构图。

本发明的优点在于：

(1)本发明能够较为准确的展示位错结构、位错线和伯氏矢量的取向，特别在位错核区域大小及变化的表述上有着位错抽取算法(Dislocation Extraction Algorithm，简称DXA)等分析方法无法达到的优势；

(2)确定中心原子与近邻原子最大匹配角对于位错结构位置的影响，通过调节最大匹配角与参考结构，得到正确的位错分析结果；

(3)从微观结构表述界面位错结构，对于研究纳米复合材料的塑性行为和位错形核机制有着不可替代的作用。

附图说明

图1为扩展算法对HCP结构内原子按照AB层分类。

图2为Cu{111}//{111}Ni界面最大匹配角为15°和30°下的伯氏矢量方向。

图3为Cu{111}//{111}Ni界面最大匹配角为15°和30°下的界面位错的分布。

图4为Cu{111}//{111}Ni界面的共同近邻分析结果、能量图和压力图。

图5为本发明方法流程图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明进行详细说明。

本发明提供一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，流程图如图5所示，具体实施包括如下步骤：

第一步，获取原子周边环境：包括读取待分析体系的结构文件及预处理。读取结构文件的过程包括读取各原子坐标以及点阵取向等。进行预处理共包括应用周期性边界条件和建立近邻列表。

所述的应用周期性边界条件，具体方法是：首先对原子重整，将位于周期性边界外的原子移入晶胞中。然后设置一个扩展晶胞，将位于周期性边界内的原子逐一判断：在某一方向平移一个周期性边界对应的周期后，判断是否在扩展晶胞中。如果在扩展晶胞中，则添加此平移的原子并继承原子平移之前的属性。为了提高这一步的效率，首先建立了空间格子索引，从而节省计算资源。

所述的建立近邻列表，具体为：为了减小计算量，在计算局部变形张量以及Nye张量的过程中设置截断半径，只使用第一近邻(对面心立方和六方密堆积结构)或第一，第二近邻(体心立方结构)计算。

第二步，确定晶体结构：对HCP结构，首先对所有原子使用两种参考态一一匹配，并选择匹配程度最高的那一种结构作为参考态。然而对于某些原子，两种参考态的匹配程度接近无法加以区分，此时将使用扩展算法。对那些无法区分的原子，记录其所在层中其最近邻原子所用的参考态。如果其大部分近邻适用A参考态，那么将该原子参考态也设置为A。每经过这样的一次运算，无法区分原子的区域将缩小。几次计算后，所有原子均会得到合理的参考态(见图1)。对于相变，界面模拟等情况中，待分析体系中可能存在多种晶体结构，此时使用共同近邻分析确定每个原子的理想配位环境。

第三步，映射与计算局部变形张量：在待分析体系中，每个中心原子与周围的近邻原子组成一对对配位键，简称键。对任一实际键，如果与理想晶格中某一键的角度差小于最大匹配角认为两者相对应。若实际键与多个理想键满足对应条件，则取角度差最小的那一个作为对应结果。这样位错区内的实际键便映射到理想晶格中的理想键。而键角偏离程度即所述角度差大于最大匹配角的实际键将被从局部变形张量G的计算过程中排除。不同的最大匹配角下局部变形张量的计算结果不同。所以在确定待分析体系的位错区域时，需要找到一个最优的最大匹配角度从而得到合理的位错结构。

经大量检验发现，最大匹配角度虽然不会影响位错线方向和伯氏矢量方向，但是对位错的位置有决定性作用。以Cu{111}//{111}Ni半共格界面弛豫结构的界面为例，使用最大匹配角度为15°和30°的情况下，虽然两种情况下的位错线和伯氏矢量取向保持一致，如图2所示，但是界面位错的位置和分布却存在不同，如图3。界面被主要分为了FCC和HCP两种类型的区域，其中较小的为HCP区域而较大的为FCC区域。增加最大匹配角度将会使FCC区域增大而HCP区域减小。从共同近邻分析得到的结论可以看出，两种区域的面积相近。因此选择的角度为15°时，分析结果中的位错区域分布与共同近邻分析结果一致，因此在这种情况下，15°比30°更好。也可以使用原子能量图与原子压力图作为校正参考，可以得到相同的结论。当然对于不同的结构，最大匹配角度的选择也会不同，15°不具有普遍性。因此可以根据共同近邻分析来校正最大匹配角度

选择了最大匹配角度后，即可计算局部变形张量G。记v为理想晶格当中的键，v'为实际晶格中的实际键，G为局部变形张量，两个晶格中的对应键则存在转换关系：

v＝v'×G

中心原子有γ个近邻的情况下，则一共存在γ个有对应关系的键。将所有实际键计为矩阵Q，对应到理想晶格的键计为矩阵P，则存在转换：

P＝Q×G

其中P，Q均为γ×3矩阵。Q由输入原子坐标确定，P由理想晶格确定。对每一个原子，可使用最小二乘法求出局部变形张量G：

G＝Q⁺×P

其中Q⁺＝(Q^TQ^-1)^-1Q^T，是Q的Penrose–Moore广义逆。上标T和-1分别代表矩阵的转置和矩阵的逆。

第四步，计算Nye张量的计算与奇异值分解：

4.1Nye张量的计算。得到局部变形张量G后，使用斯托克斯公式有：

Nye张量为：

4.2Nye张量的奇异值分解。将Nye张量分解为多个矢量，进而得到主位错方向及强度，得到的结果直观，便于研究者分析。对Nye张量使用奇异值分解：

得到σ_ζ,t_ζ,b_ζ分别代表原子所处区域位错密度、位错线方向和伯氏矢量。对不同位置的原子，其Nye张量对应的奇异值有四种可能的状态。

第五步，利用共同近邻分析(Common Neighbor Analysis，简称CNA)方法对Nye张量法输出的位错密度进行检验。如果两者得到的位错分布存在较大偏差(差距大于两个原子第一邻近距离)，则返回第三步，设置新的匹配角度，重新计算直到结果相符。当位错分布的分析结果与共同近邻分析结果一致时，则可以基于奇异值强度绘图(绘图中可以明显直观的看到位错线、伯氏矢量和方向)。同时基于Nye张量奇异值分解后得到的t_ζ和b_ζ，标明位错线的方向和伯氏矢量，得到位错分析结构图。

利用共同近邻分析(CNA)方法对Nye张量法输出的位错密度进行检验，如果位错分布存在较大偏差(差距大于两个原子第一近邻距离)，则返回第三步设置新的匹配角度等参数，重新计算直到结果相符；若分析结果合乎要求(即位错分布的分析结果与共同近邻分析结果一致)，则选择合适的绘图方式以及颜色，并对各部分区域进行符合逻辑的标明，从而得到合理的位错分析结构图，所述的位错分析结构图应该直观的反应位错线、伯氏矢量和方向。以Cu{111}//{111}Ni半共格界面弛豫结构的界面分析为例，选择的角度为15°时，分析结果中的位错区域分布与共同近邻分析结果一致(见图4),因此选择的角度为15°。使用原子能量图与原子压力图作为校正参考可以得到相同的结论。

Claims (3)

1.一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，其特征在于：包括如下步骤，

第一步，获取原子周边环境：包括读取待分析体系的结构文件及预处理；

所述的待分析体系的结构文件包括各原子坐标以及点阵取向；所述的预处理包括：应用周期性边界条件、建立近邻列表；

第二步，确定晶体结构：FCC晶体按(111)密排面的堆垛次序是ABCABC...，每层原子配位环境相同；而HCP晶体按(0001)密排面的堆垛次序为ABAB....，每个原子的参考态为AB两种参考态中的一种；使用共同近邻分析确定每个原子的理想配位环境；

第三步，映射与计算局部变形张量：在待分析体系中，每个中心原子与周围的近邻原子组成一对配位键，简称键；对任一实际键，如果与理想晶格中某一键的角度差小于最大匹配角认为两者相对应；若实际键与多个理想键满足对应条件，则取角度差最小的那一个作为对应结果；这样位错区内的实际键便映射到理想晶格中的理想键；而键角偏离程度即所述角度差大于最大匹配角的实际键将被从局部变形张量G的计算过程中排除；

选择了最大匹配角度后，计算局部变形张量G：

记v为理想晶格当中的键，v'为实际晶格中的实际键，G为局部变形张量，两个晶格中的对应键则存在转换关系：

v＝v'×G

中心原子有γ个近邻的情况下，则一共存在γ个有对应关系的键；将所有实际键计为矩阵Q，对应到理想晶格的键计为矩阵P，则存在转换：

P＝Q×G

其中P，Q均为γ×3矩阵，Q由输入原子坐标确定，P由理想晶格确定，对每一个原子，使用最小二乘法求出局部变形张量G：

G＝Q⁺×P

其中Q⁺＝(Q^TQ^-1)^-1Q^T，是Q的Penrose–Moore广义逆；上标T和-1分别代表矩阵的转置和矩阵的逆；

第四步，Nye张量的计算与奇异值分解：

4.1 Nye张量的计算：

对位错区的封闭回路对应到理想晶格后得到伯氏矢量b：

其中，C'表示位错区中封闭回路，r'表示位错区中晶格矢量；C和r表示对应到理想晶格中的封闭回路和晶格矢量；

在Nye张量方法中，离散的求和用连续的积分替代：

使用斯托克斯公式有：

Nye张量为：

其中α为Nye张量，n和A表示封闭回路所在平面的法向和包围面积，为旋度算符；

4.2 Nye张量的奇异值分解：

对Nye张量α使用奇异值分解后：

其中，σ_ζ,t_ζ,b_ζ分别代表原子所处区域位错密度、位错线方向和伯氏矢量，n为3；对不同位置的原子，其Nye张量对应的三个位错密度即奇异值σ₁,σ₂,σ₃有四种可能的状态：

(a)、σ₁≈σ₂≈σ₃≈0，这意味着原子远离位错区域；

(b)、σ₁＞σ₂≈σ₃≈0，这意味着原子位于一个位错线附近；

(c)、σ₁≥σ₂>σ₃≈0，这意味着原子附近的区域有两个或三个位错相交，他们的伯氏矢量共面且守恒；

(d)、σ₁≥σ₂≥σ₃＞0，这意味着在原子附近，至少有四个非共面位错的伯氏矢量的相交；

第五步，利用共同近邻分析方法对Nye张量法输出的位错密度进行检验；如果两者得到的位错分布存在较大偏差，则返回第三步，设置新的匹配角度，重新计算直到结果相符；当位错分布的分析结果与共同近邻分析结果一致时，则基于奇异值强度绘图，同时基于Nye张量奇异值分解后得到的t_ζ和b_ζ，标明位错线的方向和伯氏矢量，得到位错分析结构图。

2.根据权利要求1所述的一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，其特征在于：第一步中所述的应用周期性边界条件具体方法是：首先建立一个空间格子索引，对原子重整，将位于周期性边界外的原子移入晶胞中；然后设置一个扩展晶胞，将位于周期性边界内的原子逐一判断：在某一方向平移一个周期性边界对应的周期后，判断是否在扩展晶胞中，如果在扩展晶胞中，则添加此平移的原子并继承原子平移之前的属性；

所述的建立近邻列表：对于面心立方FCC和六方密堆积结构HCP，只使用第一近邻进行计算局部变形张量以及Nye张量，对于体心立方结构BCC，使用第一近邻和第二近邻计算局部变形张量以及Nye张量；如果截断半径已知，则使用给出的截断半径配合空间格子索引建立近邻列表；如果截断半径未知，则根据待分析体系的原子数量及占据体积粗估一个截断半径，并使用该粗估的截断半径建立临时近邻列表，然后根据该临时近邻列表求出待分析体系的平均第一近邻间距从而建立精确截断半径。

3.根据权利要求1所述的一种基于张量分解和共同近邻确定位错核结构的方法，其特征在于：第二步中HCP晶体中参考太的选取如下，

首先对所有原子使用两种参考态一一匹配，并选择匹配程度最高的那一种结构作为参考态；然而对于某些原子，两种参考态的匹配程度接近无法加以区分，此时将使用扩展算法，对那些无法区分匹配程度的原子，记录原子所在原子层中其最近邻原子所用的参考态，如果其大部分近邻原子适用A参考态，那么将该原子参考态也设置为A。