CN108920856B - 一种改进式模块化多电平换流器等效方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种改进式模块化多电平换流器等效方法，通过区分系统正常运行与启动或故障时的半桥型子模块工作状态，对系统处于正常与处于启动阶段或发生故障时的桥臂进行戴维南等效，并综合考虑闭锁情况和非闭锁情况，提出了改进式模块化多电平换流器等效方法，有别于只考虑系统正常工作状态的桥臂等效方法。针对半桥型子模块闭锁时，桥臂电流方向频繁改变，二极管将面临数值插值问题，从而导致桥臂电流出现畸变点，本发明在半桥型子模块闭锁时，利用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模，使二极管数值插值问题得到了有效解决，提高了仿真精度，且提速效果明显。本发明具有科学合理，计算简单，简便易行，适用性强，仿真精度高，提速效果好的优点。

Description

一种改进式模块化多电平换流器等效方法

技术领域

本发明涉及模块化多电平换流器技术领域，是一种改进式模块化多电平换流器等效方法。

背景技术

随着模块化多电平换流器高压直流输电(ModularMultilevelConverterbasedHighVoltageDirectCurrent,MMC-HVDC)工程向更高电压等级、更大传输功率发展，所需的半桥型子模块数目也不断增加，在大规模MMC-HVDC系统仿真时，需要对大量超高阶矩阵求逆，使得求解过程非常缓慢、耗费大量时间，不利于在实际工程中的应用，因此有必要对详细模型进行等效。

现有的等效方法都是建立在MMC稳态状态下，未考虑半桥型子模块闭锁的情况，而在电磁暂态仿真中，当模块化多电平换流器处于启动阶段或发生故障时，会有许多子模块处于闭锁状态，用现有的等效方法处理处于闭锁状态下的半桥型子模块时，由于二极管插值模拟不当而导致桥臂电流出现畸变点，致使仿真精度低，效果差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，克服现有等效方法的不足，提供一种科学合理，综合考虑半桥型子模块闭锁情况和非闭锁情况并解决二极管数值插值问题，适用性强，仿真精度高，提速效果好的改进式模块化多电平换流器等效方法。

1.一种改进式模块化多电平换流器等效方法，其特征是，它包括如下步骤：

1)根据半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂的开通情况进行区分，得到半桥型子模块当前工作状态；

半桥型子模块的三种工作状态：第一种为投入状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁导通、IGBT器件K₂闭锁；第二种为切出状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁闭锁、IGBT器件K₂导通；第三种为闭锁状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂均闭锁；当系统中MMC正常工作时，半桥型子模块的工作状态包括投入状态和切出状态；当系统中MMC启动或故障时，半桥型子模块中IGBT处于闭锁状态；

2)当确定系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态，含有N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂用戴维南进行等值，等效步骤为：

(1)半桥型子模块中IGBT器件K₁和续流二极管用可变电阻R₁等效代替，半桥型子模块中IGBT器件K₂和续流二极管用可变电阻R₂来等效代替，当SPWM调制输出的信号为高电平时，触发半桥型子模块中IGBT开通，用一个数值较小的电阻，取值0.001Ω来代替；当SPWM调制输出的信号为低电平时，触发半桥型子模块中IGBT关断，用一个数值较大的电阻，取值10⁸Ω来代替；

可变电阻R₁和R₂由式(1)给出：

R＝K_iR_T+(1-K_i)R_o (1)

其中，R_T是通态电阻，R_o是阻断电阻，K_i是开关i的开关信号，为1时开关导通，为0时开关关断；

(2)对半桥型子模块中电容C进行Dommel电磁暂态等值计算，过程如下：

其暂态过程用电磁感应定律来描述，即：

其中，i_c(t)为t时刻电容电流，C为电容值，u_c(t)为t时刻电容电压；

式(2)积分形式为：

其中，ΔT为仿真步长，u_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻的电容电压；

应用梯形积分法则，将式(3)表示成式(4)的形式；

其中，i_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容电流；

将式(4)改写为式(5)、(6)的形式；

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，I_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容的等值电流源；

由式(6)可知，I_c(t-ΔT)与t-ΔT时刻的电流和电压值有关；

t-ΔT时刻的电容电流为：

将式(7)代入式(6)，得到t-ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-ΔT)为：

对比式(6)和式(8)，可知式(8)中不包含i_c(t-ΔT)，表明I_c(t-ΔT)可直接利用t-2ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-2ΔT)进行递推计算，使计算过程简单化，计算速度加快；

(3)通过戴维南定理计算获得半桥型子模块的等效电压U_eqsm和等效电阻R_eqsm为：

(4)对桥臂中电感L进行Dommel电磁暂态等值计算，过程如下：

t-ΔT时刻的电感电流和电感的电流源递推公式为：

其中，i_L(t)为t时刻电感电流，R_L＝(2L)/ΔT为电感L暂态等值电阻，I_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感的等值电流源，i_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电流，u_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电压；

与上述求解电容的等值电流源方法相同，可得电感的等值电流源递推公式为：

其中，I_L(t-2ΔT)为t-2ΔT时刻电感的等值电流源；

(5)获得由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂的戴维南等效电路，等效电路中等效电压∑U_eq(t)和等效电阻∑R_eq为：

其中，U_eqi(t)为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电压，R_eqi为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电阻，i＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目，其值可由式(9)获得；

3)当确定系统中模块化多电平换流器处于故障或启动状态，由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂将等效为一个具有等效参数的半桥不控子模块；

(1)半桥型子模块中的IGBT闭锁时，即半桥型子模块中IGBT处于断开的状态，由于每个桥臂的所有半桥型子模块是串联关系，因此N个半桥型子模块流过相同的电流，均等于桥臂电流i_arm，当i_arm＞0，所有半桥型子模块中的IGBT器件K₁的反并联二极管D₁导通；当i_arm＜0，所有半桥型子模块的IGBT器件K₂的反并联二极管D₂导通；

(2)闭锁后的桥臂电压u_arm(t)为：

其中，u_cj(t)为桥臂中第j个半桥型子模块的电容电压，j＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目；i_arm(t)为桥臂电流，R_on为二极管的通态电阻；

定义：

R_on∑＝NR_on (17)

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，u_cjeq(t-ΔT)为t-ΔT时刻桥臂中第j个半桥型子模块的电容等值电压源，R_on∑为桥臂中二极管的通态电阻之和；

式(14)可改写为：

在闭锁状态下，桥臂戴维南等效电阻R_arm和戴维南等效电压u_armeq(t)根据桥臂电流方向获得：

当i_arm(t)≥0时，R_arm＝NR_c+R_on∑，

当i_arm(t)≤0时，R_arm＝R_on∑，u_armeq(t)＝0；

(3)由于二极管是单向导通元件，当半桥型子模块中IGBT闭锁时，桥臂电流方向会频繁改变，采用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模，利用自带的插值算法避免了二极管数值插值的问题，提高了仿真波形的精度；

4)综合考虑闭锁情况和非闭锁情况，模块化多电平换流器等效电压∑U_eq为：

模块化多电平换流器等效电阻∑R_eq为：

本发明是一种改进式模块化多电平换流器等效方法，通过区分系统正常运行与启动或故障时的半桥型子模块工作状态，分别对系统处于正常工作状态与处于启动阶段或发生故障时的桥臂进行戴维南等效，并综合考虑闭锁情况和非闭锁情况，提出了改进式模块化多电平换流器等效方法，有别于只考虑系统正常工作状态的传统桥臂等效方法。针对半桥型子模块闭锁时，桥臂电流方向会频繁改变，采用传统等效方法二极管将会面临数值插值，从而导致桥臂电流出现畸变点的问题，本发明在半桥型子模块处于闭锁情况时，利用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模，使二极管数值插值的问题得到了有效的解决，从而提高了仿真波形的精度，且提速效果明显。本发明具有科学合理，计算简单，简便易行，适用性强，仿真精度高，提速效果好的优点。

附图说明

图1为模块化多电平换流器(MMC)的通用拓扑结构图；

图2为模块化多电平换流器(MMC)中半桥型子模块的拓扑结构图；

图3为工程中常用的半桥型子模块的工作状态图；半桥型子模块工作状态包括：投入、切出和闭锁；

图4为非闭锁情况下的半桥型子模块的戴维南等效电路图；半桥型子模块的电容和电感采用Dommel电磁暂态数值计算；

图5为电容元件进行等值计算前的电路图；

图6为电容元件的等值计算模型图；

图7为电感元件进行等值计算前的电路图；

图8为电感元件的等值计算模型图；

图9为模块化多电平换流器非闭锁情况下的桥臂戴维南等值图；将由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂用戴维南进行等值；

图10为模块化多电平换流器闭锁且i_arm＞0情况下的桥臂电路结构图，所有半桥型子模块的D₁导通；

图11为模块化多电平换流器闭锁且i_arm＜0情况下的桥臂电路结构图，所有半桥型子模块的D₂导通；

图12为闭锁情况下的半桥型子模块的戴维南等效电路图；其中使用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行搭建，避免桥臂电流出现畸变点；

图13为改进式模块化多电平换流器等效方法的桥臂戴维南等值图，考虑闭锁情况和非闭锁情况；

图14为模块化多电平换流器启动仿真的详细模型的直流电压波形图；

图15为模块化多电平换流器启动仿真的详细模型的桥臂电流波形图；

图16为模块化多电平换流器启动仿真的传统等效模型的直流电压波形图；

图17为模块化多电平换流器启动仿真的传统等效模型的桥臂电流波形图；

图18为模块化多电平换流器启动仿真的改进等效模型的直流电压波形图；

图19为模块化多电平换流器启动仿真的改进等效模型的桥臂电流波形图；

图20为仿真精度对比的模块化多电平换流器A相上桥臂稳态电流波形图；

图21为仿真精度对比的模块化多电平换流器A相电压稳态波形波形图；

图22为仿真精度对比的模块化多电平换流器A相上桥臂暂态电流波形图；

图23为仿真精度对比的模块化多电平换流器A相电压暂态波形波形图；

图24为改进式模块化多电平换流器等效方法的模型与详细模型仿真运行时间对比图；

图25为改进式模块化多电平换流器等效方法的模型的提速倍数图。

具体实施方式

下面将结合附图和实例对本发明的改进式模块化多电平换流器等效方法进行清楚、完整地描述。

本发明基于半桥型子模块的模块化多电平换流器(ModularMultilevelConverter，MMC)，其通用拓扑结构如图1所示，由三相六桥臂构成，每个桥臂由N个半桥型子模块(Half-BridgeSub-Module，HBSM)及电抗器L相串联构成，半桥型子模块拓扑结构如图2所示，包括1个电容器、两个反向二极管和2个绝缘栅双极晶闸管(Insulated-gateBipolarTransistor，IGBT或IGT)。

S1：根据半桥型子模块工作状态确定模块化多电平换流器工作状态；

步骤S1定义半桥型子模块的工作状态，确定模块化多电平换流器在正常工作状态和处于故障或启动时的半桥型子模块工作状态，具体包括：

S11：利用半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂的开通情况定义半桥型子模块三种工作状态，如图3所示，半桥型子模块的三种工作状态：第一种为投入状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁导通，IGBT器件K₂闭锁；第二种为切出状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁闭锁，IGBT器件K₂导通；第三种为闭锁状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂均闭锁。

S12：确定系统中模块化多电平换流器不同状态下的半桥型子模块工作状态：第一种为系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态时，半桥型子模块工作状态包括投入状态和切出状态；第二种为系统中模块化多电平换流器处于故障或启动状态时，半桥型子模块中的IGBT处于闭锁状态；

S2：当确定系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态，将由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂采用戴维南定理进行等效，等效过程如图4所示。

步骤S2包括对半桥型子模块中的两组IGBT和续流二极管进行等效，对半桥型子模块中电容C的Dommel电磁暂态等值计算，通过戴维南定理获得半桥型子模块的等效电压U_eqsm和等效电阻R_eqsm，对桥臂中电感L进行Dommel电磁暂态等值计算，得到系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态下，即非闭锁情况下的桥臂的戴维南等效电路，具体包括：

S21：对半桥型子模块中的两组IGBT和续流二极管进行等效；

(6)本发明将半桥型子模块中的两组IGBT和续流二极管用具有两种状态的可变电阻R₁、R₂来等效代替，当SPWM调制输出的信号为高电平时，触发半桥型子模块中IGBT开通，用一个数值较小的电阻，取值0.001Ω来代替；当SPWM调制输出的信号为低电平时，触发半桥型子模块中IGBT关断，用一个数值较大的电阻，取值10⁸Ω来代替；

可变电阻R₁和R₂由式(1)给出：

R＝K_iR_T+(1-K_i)R_o (1)

其中，R_T是通态电阻，R_o是阻断电阻，K_i是开关i的开关信号，为1时开关导通，为0时开关关断。

S22：对半桥型子模块中电容C进行Dommel电磁暂态等值计算，电容元件进行等值计算前的电路如图5所示；

过程如下：

其暂态过程用电磁感应定律来描述，即

其中，i_c(t)为t时刻电容电流，C为电容值，u_c(t)为t时刻电容电压；

式(2)积分形式为

其中，ΔT为仿真步长，u_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻的电容电压；

应用梯形积分法则，将式(3)表示成式(4)的形式；

其中，i_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容电流；

将式(4)改写为式(5)、(6)的形式；

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，I_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容的等值电流源；所得电容元件的等值电路如图6所示；

由式(6)可知，I_c(t-ΔT)与t-ΔT时刻的电流和电压值有关；

t-ΔT时刻的电容电流为

将式(7)代入式(6)，得到t-ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-ΔT)为：

对比式(6)和式(8)，可知式(8)中不包含i_c(t-ΔT)，表明I_c(t-ΔT)可直接利用t-2ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-2ΔT)进行递推计算，使计算过程简单化，计算速度加快。

S23：通过戴维南定理计算获得半桥型子模块的等效电压U_eqsm和等效电阻R_eqsm为：

S24：对桥臂中电感L进行Dommel电磁暂态等值计算，电感元件进行等值计算前的电路如图7所示；

t-ΔT时刻的电感电流和电感的电流源递推公式为：

其中，i_L(t)为t时刻电感电流，R_L＝(2L)/ΔT为电感L暂态等值电阻，I_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感的等值电流源，i_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电流，u_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电压，所得电感元件的等值电路如图8所示；

与上述求解电容的等值电流源方法相同，可得电感的等值电流源递推公式为：

其中，I_L(t-2ΔT)为t-2ΔT时刻电感的等值电流源。

S25：得到系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态，即非闭锁情况下桥臂的戴维南等效电路，如图9所示；

获得由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂的戴维南等效电路，等效电路中等效电压∑U_eq(t)和等效电阻∑R_eq为：

其中，U_eqi(t)为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电压，R_eqi为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电阻，i＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目，其值可由式(9)获得。

S3：当确定系统中模块化多电平换流器处于故障或启动状态，由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂将等效为一个具有等效参数的半桥不控子模块，其桥臂等值电路如图12所示，并提出二极管数值插值问题的解决方法；

半桥型子模块闭锁时，IGBT处于断开的状态，由于每个桥臂的所有半桥型子模块是串联关系，因此N个半桥型子模块流过相同的电流，均等于桥臂电流i_arm，当i_arm＞0，所有半桥型子模块中的IGBT器件K₁的反并联二极管D₁导通；当i_arm＜0，所有半桥型子模块中的IGBT器件K₂的反并联二极管D₂导通；

步骤S3包括计算闭锁状态下桥臂戴维南等效电阻R_arm和戴维南等效电压u_armeq(t)，提出二极管数值插值问题的解决方法，具体包括：

S31：计算闭锁状态下桥臂戴维南等效电阻R_arm和戴维南等效电压u_armeq(t)；

闭锁后的桥臂电压u_arm(t)为：

其中，u_cj(t)为桥臂中第j个半桥型子模块的电容电压，j＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目；i_arm(t)为桥臂电流，R_on为二极管的通态电阻；

定义：

R_on∑＝NR_on (17)

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，u_cjeq(t-ΔT)为t-ΔT时刻桥臂中第j个半桥型子模块的电容等值电压源，R_on∑为桥臂中二极管的通态电阻之和；

式(14)可以改写为：

在闭锁状态下，桥臂戴维南等效电阻R_arm和戴维南等效电压u_armeq(t)根据桥臂电流方向获得：

当i_arm(t)≥0时，R_arm＝NR_c+R_on∑，

当i_arm(t)≤0时，R_arm＝R_on∑，u_armeq(t)＝0。

S32：提出二极管数值插值的问题的解决方法；

由于二极管是单向导通元件，当半桥型子模块中IGBT闭锁时，桥臂电流方向会频繁改变，采用传统的等效方法，二极管将会面临数值插值的问题，导致桥臂电流出现畸变点，因此采用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模，利用自带的插值算法以避免数值插值的问题，从而提高了仿真波形的精度。

S4：综合考虑闭锁情况和非闭锁情况，对模块化多电平换流器桥臂进行戴维南等效，获得适用于正常工作状态和故障或启动工作状态的等效模型，即基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型，并采用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模以解决二极管数值插值的问题，其戴维南等效电路如图13所示；

基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器等效电压∑U_eq和等效电阻∑R_eq为：

S5：在PSCAD仿真软件中分别搭建了5电平的模块化多电平换流器详细模型、模块化多电平换流器传统等效模型和本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型，进行仿真验证；

具体参数如下：半桥型子模块数为4，交流侧电压为5.5kV，半桥型子模块电容C＝1900μH，桥臂电感L＝2mH，开关频率为2kHz。

S51：模块化多电平换流器启动仿真验证；

PSCAD仿真软件中搭建模块化多电平换流器详细模型、模块化多电平换流器传统等效模型和本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型，分别进行换流器启动仿真，仿真步长为20μs，仿真时间为0.2s；

模块化多电平换流器详细模型、模块化多电平换流器传统等效模型和本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型的直流电压波形分别如图14、图16和图18所示，由图16可以看出，模块化多电平换流器传统等效模型的直流电压出现畸变点，而由图14和图16中可以看出基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型中的直流电压波形与模块化多电平换流器详细模型中的直流电压波形吻合度很高，未出现明显的畸变点，验证了本发明提出的改进式模块化多电平换流器等效方法有效地解决了半桥型子模块发生闭锁后的插值问题；

模块化多电平换流器详细模型、模块化多电平换流器传统等效模型和本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型的桥臂电流波形分别如图15、图16和图19所示，由图15和图19的桥臂电流可以看出，模块化多电平换流启动时，基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型和模块化多电平换流器详细模型充电时桥臂电流波形具有很高的吻合度，验证了该改进式模块化多电平换流器等效方法具有较高的仿真精度。

S52：仿真精度验证；

图20为稳态情况下模块化多电平换流器A相上桥臂的稳态电流，图21为稳态情况下模块化多电平换流器A相输出电压波形，由稳态仿真波形图可以看出，本发明提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型与搭建的模块化多电平换流器详细模型仿真图符合完好，两条曲线接近重合，验证了基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型在稳态情况下具有较高的仿真精度；

在1.3s时直流线路发生故障，故障持续0.6s恢复正常，图22为故障期间模块化多电平换流器A相上桥臂电流，图23为故障期间模块化多电平换流器A相输出电压波形。由暂态仿真波形图可以看出，本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型与搭建的模块化多电平换流器详细模型仿真图也符合完好，验证了该模型在暂态情况下同样具有较高的精度。

S53：仿真速度验证；

本发明的仿真验证在Windows7操作系统下运行，处理器为3.4GHz双核CPU，安装内存为4GB，PSCAD/EMTDC的版本为专业版4.5，在PSCAD中分别搭建了5至31电平模块化多电平换流器详细模型和本发明所提出的基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型，以验证改进式模块化多电平换流器等效方法的提速效果，仿真步长取20us，仿真时间2s。

表1为基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型和模块化多电平换流器详细模型的运行时间；

表1基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型和模块化多电平换流器详细模型的运行时间对比表

图24为模块化多电平换流器详细模型和基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型运行时间的对比图，由图中看出，随着模块化多电平换流器半桥型子模块数的增加，模块化多电平换流器详细模型的仿真时间以指数的形式增加，而基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型以线性形式增长。

图25为基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型的提速倍数，从图中可以看出随着半桥型子模块数的增多，基于改进式模块化多电平换流器等效方法的模块化多电平换流器模型的提速倍数越来越高，因此本发明提出的改进式模块化多电平换流器等效方法在保证仿真精度较高的基础上，能显著提高仿真速度，验证了改进式模块化多电平换流器等效方法的可行性与有效性。

显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，而并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明创造的保护范围之中。

Claims (1)

1.一种改进式模块化多电平换流器等效方法，其特征是，它包括如下步骤：

1)根据半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂的开通情况进行区分，得到半桥型子模块当前工作状态；

半桥型子模块的三种工作状态：第一种为投入状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁导通、IGBT器件K₂闭锁；第二种为切出状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁闭锁、IGBT器件K₂导通；第三种为闭锁状态，半桥型子模块中IGBT器件K₁和IGBT器件K₂均闭锁；当系统中MMC正常工作时，半桥型子模块的工作状态包括投入状态和切出状态；当系统中MMC启动或故障时，半桥型子模块中IGBT处于闭锁状态；

2)当确定系统中模块化多电平换流器处于正常工作状态，含有N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂用戴维南进行等值，等效步骤为：

(1)半桥型子模块中IGBT器件K₁和续流二极管用可变电阻R₁等效代替，半桥型子模块中IGBT器件K₂和续流二极管用可变电阻R₂来等效代替，当SPWM调制输出的信号为高电平时，触发半桥型子模块中IGBT开通，用一个数值较小的电阻，取值0.001Ω来代替；当SPWM调制输出的信号为低电平时，触发半桥型子模块中IGBT关断，用一个数值较大的电阻，取值10⁸Ω来代替；

可变电阻R₁和R₂由式(1)给出：

R＝K_iR_T+(1-K_i)R_o (1)

其中，R_T是通态电阻，R_o是阻断电阻，K_i是开关i的开关信号，为1时开关导通，为0时开关关断；

(2)对半桥型子模块中电容C进行Dommel电磁暂态等值计算，过程如下：

其暂态过程用电磁感应定律来描述，即：

其中，i_c(t)为t时刻电容电流，C为电容值，u_c(t)为t时刻电容电压；

式(2)积分形式为：

其中，ΔT为仿真步长，u_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻的电容电压；

应用梯形积分法则，将式(3)表示成式(4)的形式；

其中，i_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容电流；

将式(4)改写为式(5)、(6)的形式；

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，I_c(t-ΔT)为t-ΔT时刻电容的等值电流源；

由式(6)可知，I_c(t-ΔT)与t-ΔT时刻的电流和电压值有关；

t-ΔT时刻的电容电流为：

将式(7)代入式(6)，得到t-ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-ΔT)为：

对比式(6)和式(8)，可知式(8)中不包含i_c(t-ΔT)，表明I_c(t-ΔT)可直接利用t-2ΔT时刻电容的等值电流源I_c(t-2ΔT)进行递推计算，使计算过程简单化，计算速度加快；

(3)通过戴维南定理计算获得半桥型子模块的等效电压U_eqsm和等效电阻R_eqsm为：

(4)对桥臂中电感L进行Dommel电磁暂态等值计算，过程如下：

t-ΔT时刻的电感电流和电感的电流源递推公式为：

其中，i_L(t)为t时刻电感电流，R_L＝(2L)/ΔT为电感L暂态等值电阻，I_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感的等值电流源，i_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电流，u_L(t-ΔT)为t-ΔT时刻电感电压；

与上述求解电容的等值电流源方法相同，可得电感的等值电流源递推公式为：

其中，I_L(t-2ΔT)为t-2ΔT时刻电感的等值电流源；

(5)获得由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂的戴维南等效电路，等效电路中等效电压∑U_eq(t)和等效电阻∑R_eq为：

其中，U_eqi(t)为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电压，R_eqi为桥臂中第i个半桥型子模块的戴维南等效电阻，i＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目，其值可由式(9)获得；

3)当确定系统中模块化多电平换流器处于故障或启动状态，由N个半桥型子模块和一个电感串联组成的桥臂将等效为一个具有等效参数的半桥不控子模块；

(1)半桥型子模块中的IGBT闭锁时，即半桥型子模块中IGBT处于断开的状态，由于每个桥臂的所有半桥型子模块是串联关系，因此N个半桥型子模块流过相同的电流，均等于桥臂电流i_arm，当i_arm＞0，所有半桥型子模块中的IGBT器件K₁的反并联二极管D₁导通；当i_arm＜0，所有半桥型子模块的IGBT器件K₂的反并联二极管D₂导通；

(2)闭锁后的桥臂电压u_arm(t)为：

其中，u_cj(t)为桥臂中第j个半桥型子模块的电容电压，j＝1,2,3,···,N，N为桥臂中半桥型子模块数目；i_arm(t)为桥臂电流，R_on为二极管的通态电阻；

定义：

R_on∑＝NR_on (17)

其中，R_c＝ΔT/(2C)为电容C暂态等值电阻，u_cjeq(t-ΔT)为t-ΔT时刻桥臂中第j个半桥型子模块的电容等值电压源，R_on∑为桥臂中二极管的通态电阻之和；

式(14)可改写为：

在闭锁状态下，桥臂戴维南等效电阻R_arm和戴维南等效电压u_armeq(t)根据桥臂电流方向获得：

当i_arm(t)≥0时，R_arm＝NR_c+R_on∑，

当i_arm(t)≤0时，R_arm＝R_on∑，u_armeq(t)＝0；

(3)由于二极管是单向导通元件，当半桥型子模块中IGBT闭锁时，桥臂电流方向会频繁改变，采用PSCAD仿真软件中自带的二极管进行建模，利用自带的插值算法避免了二极管数值插值的问题，提高了仿真波形的精度；

4)综合考虑闭锁情况和非闭锁情况，模块化多电平换流器等效电压∑U_eq为：

模块化多电平换流器等效电阻∑R_eq为：

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