CN108830005A - 一种角接触球轴承的稳健设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种角接触球轴承的稳健设计方法，具体是基于角接触球轴承的可靠性、灵敏度分析结果进行的稳健设计方法。本发明基于轴承拟静力学最大正交切应力和刚度求解模型，并分别对轴承强度和刚度进行可靠性灵敏度分析，并在此基础上进行轴承稳健设计。该方法能有效地缩短设计周期，结合灵敏度分析结果并提出相应的改进意见，能更好地降低制造和加工成本，具有十分重要的工程价值。

Description

一种角接触球轴承的稳健设计方法

技术领域

本发明涉及一种基于角接触球轴承的可靠性分析、灵敏度分析的稳健设计方法。

背景技术

机械产品可靠性分析是针对机械产品的行为或结构的响应量满足其规定要求的概率分析，机械产品稳健设计是将机械可靠性设计的相关理论和最优化理论进行合理融合，以实现产品在满足其可靠度指标的情况下，降低某些随机因素的敏感程度，同时也降低产品的成本。

角接触球轴承是机械产品的关键零部件，主要作用是支撑轴，减小轴和固定件之间的摩擦力，并承受一定的轴向和径向载荷，因此，角接触球轴承的强度和刚度是衡量轴承性能的重要指标，它们的可靠性程度对整个机械产品的性能、质量和使用寿命具有重要影响。所以如何对角接触球轴承进行可靠性灵敏度分析并在此基础上进行结构优化是很重要的。

目前国内大量学者对角接触球轴承的疲劳寿命进行可靠性分析，主要针对轴承疲劳点蚀的影响而往往忽略轴承另一个重要性能——支撑刚度，对轴承结构优化时往往仅选用部分结构参数而忽略其他的结构参数和材料参数，并且在选用这部分结构参数的时候是依据实际的工程经验，没有合理的理论基础。因此这种可靠性分析方法和优化方法能在实际的生产设计和性能优化中得到很好地运用。

发明内容

(一)要解决的技术问题

本发明提供一种基于角接触球轴承的可靠性分析、灵敏度分析的稳健设计方法。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

本发明提供一种角接触球轴承稳健设计方法，包括：

101、针对待设计的角接触球轴承，从所述角接触球轴承所设计的参数中，选择多组数据样本，每一数据样本包括所述参数中的结构参数和材料参数，

102、基于改进的角接触轴承拟静力学分析模型和处理规则，获取每一数据样本匹配的随转速变化的最大正交切应力和刚度值；

所述处理规则为基于所述角接触轴承拟静力学分析模型获取的最大正交切应力和刚度在给定的预紧力下随转速变化的流程；

103、基于遗传BP神经网络，建立某一转速下所有数据样本对应的最大正交切应力、刚度值的函数；

104、根据所述函数、查找的滚动体材料的强度、预设的内外圈滚道材料的强度，建立应力极限状态方程；以及

根据所述函数、所述角接触球轴承应用(如：支撑轴等)所需的刚度，建立刚度极限状态方程；

105、基于可靠性分析原理，对应力极限状态方程的强度进行可靠性和灵敏度分析，以及对刚度极限状态方程的刚度进行可靠性和灵敏度分析；

106、改变所述角接触球轴承对应的转速，重复步骤102至步骤105，获得不同转速下的强度和刚度可靠性结果；

基于可靠性结果对所述角接触球轴承进行稳健设计。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：

本发明角接触球轴的稳健设计方法解决目前轴承可靠性分析中仅针对轴承疲劳寿命单一化可靠性分析模型，在考虑强度的基础上又增加了轴承的支撑刚度因素，对轴承的结构参数和材料参数进行分析，最后进行相应的稳健设计。该方法能有效地缩短设计周期，结合灵敏度分析结果并提出相应的改进意见，能更好地降低制造和加工成本，具有十分重要的工程价值。

附图说明

图1为本发明实施例提供的角接触球轴的稳健设计方法的流程图；

图2为本发明实施例提供的拟静力学模型的滚动体运动分析图；

图3为本发明实施例提供的拟静力学模型的滚动体受力分析图；

图4为本发明实施例提供的拟静力学模型的轴承受力图；

图5为本发明实施例中拟静力数学模型的角接触球轴承位移变化分析图；

图6为本发明实施例中拟静力学模型的强度和刚度求解流程图；

图7为本发明实施例中角接触球轴承强度拟合函数测试值与真实值对比图；

图8为本发明实施例中角接触球轴承刚度拟合函数测试值与真实值对比图；

图9为本发明实施例中角接触球轴承强度、刚度以及系统的可靠度随转速变化的曲线图；

图10为本发明实施例中角接触球轴承外圈质量推导分析图；

图11为本发明实施例中角接触球轴承内圈质量推导分析图；

图12为本发明实施例中角接触球轴承强度均值灵敏度优化前后的对比图；

图13为本发明实施例中角接触球轴承刚度均值灵敏度优化前后的对比图；

图14为本发明实施例中角接触球轴承均值灵敏度优化前后的对比图。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

实施例一

参见图1，本实施例提供一种基于角接触球轴承可靠性分析、灵敏度分析的角接触球轴承的稳健设计方法，包括如下步骤：

101、针对待设计的角接触球轴承，从所述角接触球轴承所设计的参数中，选择多组数据样本，每一数据样本包括所述参数中的结构参数和材料参数。

举例来说，结构参数可包括滚动体直径、轴承初始接触角、轴承外径和轴承内径、内滚道曲率半径、外滚道曲率半径等；

材料参数可包括滚动体弹性模量、滚动体密度和滚道弹性模量。

当然，参数不只包括结构参数和材料参数，还可包括其他类型的参数，该处根据实际需要调整，本实施例不对其限定。

具体实现过程中，采用拉丁抽样方法对所设计的轴承参数进行抽样，可以得到多组数据样本，如下实例中使用三百组数据样本。

102、基于改进的角接触轴承拟静力学分析模型和处理规则，获取每一数据样本匹配的随转速变化的最大正交切应力和刚度值；

所述处理规则为基于所述角接触轴承拟静力学分析模型获取的最大正交切应力和刚度在给定的预紧力下随转速变化的流程，如图6所示。

103、基于遗传BP神经网络，建立某一转速下所有数据样本对应的最大正交切应力、刚度值的函数；

104、根据所述函数、查找的滚动体材料的强度、预设的内外圈滚道材料的强度，建立应力极限状态方程；以及

根据所述函数、角接触球轴承应用(如转子系统、支撑轴等)所需的支撑刚度，建立刚度极限状态方程。

具体地，滚动体材料的强度是根据材料手册所查的内圈材料的屈服强度，外圈材料的屈服强度，滚动体材料的屈服强度，从这三个屈服强度值中选择一个最小值，代入到可靠性计算过程中，表示轴承最容易因疲劳强度失效。

105、基于可靠性分析原理，对应力极限状态方程的强度进行可靠性和灵敏度分析，以及对刚度极限状态方程的刚度进行可靠性和灵敏度分析；

106、改变所述角接触球轴承对应的转速，重复步骤102至步骤105，获得不同转速下的强度和刚度可靠性结果；

基于可靠性结果对所述角接触球轴承进行稳健设计。

可理解的是，本实施例中，每一个转速下，根据抽样方法，可以得到多组(300组)数据样本，将这些数据样本依次代入求解程序中，得到相应转速下的最大正交切应力和刚度值(300组)，利用这些数据结果，进行函数拟合，可以得到该转速下的最大正交切应力函数和刚度函数，一个转速下有300组数据，只能得到一个最大正交切应力函数和一个刚度函数，针对极限状态方程进行可靠性和灵敏度进行计算和分析。

可选地，在实际应用中，在步骤102之后，步骤103之前，上述方法还可包括：根据所述角接触球轴承的局部灵敏度的变化信息，从每一数据样本中选择该数据样本的随机参数，选择的随机参数为对应所述局部灵敏度的参数。

也就是说，随机变量较少时可以不用挑选，本实例中没有进行这一步，在随机变量较多时，导致计算复杂时，可以挑选部分随机参数进行后续的步骤。

在另一可选的实现方式中，本实施例中，结合图6详细说明上述步骤102，例如可包括下述的子步骤，具体地：

S2.1、针对每一数据样本，针对该数据样本的结构参数和材料参数、轴承转速范围和第一步长N_min:N_step:N_max，预先设定的内圈位移初始值δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]、滚动体初始位移v^T＝[v_r,v_z]；计算角接触球轴承的滚动体与内外圈滚道的接触角α_ij和α_ej、接触变形δ_ij和δ_ej、接触力Q_ij、Q_ej，计算滚动体受到的摩擦力矩M_gj、离心力F_c、滚动体自转角速度ω_bj、公转角速度ω_mj与轴承角速度ω之间的比值：ω_bj/ω、ω_mj/ω；计算出内外圈滚道与滚动体的载荷——位移系数K_i,K_e；

其中，N_min为角接触球轴承的转速的最小值，N_step为角接触球轴承的转速的步长，N_max为角接触球轴承的转速的最大值；

δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y分别表示内圈沿三个坐标轴X,Y,Z的位移量以及绕X轴及Y轴的转动角位移量，v_r,v_z表示滚动体沿径向Y和轴向Z的位移量；

S2.2、判断滚动体受力是否平衡，如果不平衡，则获取v_j、，重复步骤S2.1；v_j表示第j个滚动体沿径向Y和轴向Z的位移量，即第j个v_r,v_z；

S2.3、如果步骤S2.2中受力平衡，则计算滚动体和内圈滚道的接触力f和接触刚度矩阵

S2.4、更新j＝j+1；

S2.5、判断更新j是否大于滚动体个数Z1，若否，返回步骤S2.1，否则，执行步骤S2.6；

S2.6、在更新j大于Z1时，判断角接触球轴承整体受力是否平衡，若否，则调整预先设定的内圈位移初始值，重新执行步骤S2.1；否则，执行步骤S2.7；

S2.7、若步骤S2.6中受力平衡，则计算最大正交切应力τ₀和刚度K，以及更新N＝N+N_step，判断更新N是否大于N_max，若是，则执行S2.8；其中，N表示角接触球轴承最大正交切应力和刚度过程中的转速；经过ω＝2πN，可以得到轴承角速度。

S2.8、输出获得的刚度K、最大正交切应力τ₀。

可选地，在具体实现过程中，上述步骤S2.1可包括：

利用公式26-公式35计算出内外圈滚道与滚动体的载荷——位移系数K_i,K_e，

利用公式16-公式24计算计算角接触球轴承的滚动体与内外圈滚道的接触角α_ij和α_ej、接触变形δ_ij和δ_ej、接触力Q_ij、Q_ej；

利用公式1-公式8计算滚动体受到的摩擦力矩M_gj、离心力F_c、滚动体自转角速度ω_bj、公转角速度ω_mj与角接触球轴承转速ω之间的比值：ω_bj/ω、ω_mj/ω；

利用Matlab工具箱函数fsolve，求解公式36所表示的方程组，迭代计算滚动体径向及轴向位移v_r,v_z；

利用公式13-公式14，计算第j个滚动体施加给角接触球轴承内圈上的力f_j；

利用公式9-公式15，基于Matlab工具箱函数fsolve求解公式15所表示的轴承整体平衡方程组，迭代计算出角接触球轴承内圈的接触变形位移δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]；

利用公式38-公式41计算出角接触球轴承在所设定的外载荷和转速下的刚度和最大接触应力；

其中，上述公式1-公式41如下：

滚动体公转角速度ω_mj、自转角速度ω_bj与轴承转速ω之间的比值为：

其中：γ′为滚动体直径D_b与轴承公称直径d_m之间的比值，β_j为姿态角，α_ej为第j的滚动体与外滚道之间的接触角；

依据预设的滚动体受力分析过程，得到离心力F_cj和陀螺力矩M_gj的计算式：

其中滚动体质量m和转动惯量J计算公式；

其中：为滚动体密度，D_b为滚动体直径；

假设轴承的预紧力F＝[F_x,F_y,F_z,M_x,M_y]^T，F_x,F_y,F_z,M_x,M_y分别为轴承在X,Y,Z受到的轴向力以及绕X轴及Y轴的力矩，内圈位移δ＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]^T，用Q_j代表滚动体j施加给轴承内圈的力向量，Q_rj,Q_zj,T_j分别表示滚动体受到的径向和轴向的力以及转矩，且作用在参考点(z_pj,r_pj)处：Q_j ^T＝[Q_rj,Q_zj,T_j]，公式9

在Q_j的作用下滚动体j与内圈滚道接触处的内圈截面产生一定的位移，用参考点(z_pj,r_pj)的位移向量u_j表示：u_j ^T＝[u_rj,u_zj,θ_j]，公式10

u_rj,u_zj,θ_j表示内滚道曲率中心沿径向、轴向的轴向位移及角位移；那么有：

Q_j＝Q_j(u_j)，公式11

为第j个滚动体与Y轴之间的夹角，特别的第一个滚动体在Y轴上，即：

滚动体j在参考点处施加给轴承内圈滚道的力向量可表示为

式中，f_xj,f_yj,f_zj,m_xj,m_yj分别为滚动体在参考点处对内圈施加的三个沿X,Y,Z的轴向力以及绕Y和Z轴的力矩；得到下面的轴承整体的受力平衡方程：

Δ_ij、Δ_ej分别表示滚动体j和内外圈滚道之间的间隙，r_ij和r_ej分别为内外滚道曲率半径；滚动体j的中心和两滚道曲率中心之间的距离l_0ij与l_0ej，内外接触角α_ij与α_ej，α₀为初始接触角；计算公式：

滚动体j的中心与两滚道曲率中心l_ij、l_ej之间的距离

滚动体j与轴承内外圈滚道间的接触变形δ_ij和δ_ej分别成

δ_ij＝l_ij-l_0ij-Δ_ij，公式22

δ_ej＝l_ej-l_0ej-Δ_ej，公式23

结合Hertz接触理论，滚动体j和内外圈滚道之间的弹性接触力向量Q_ij和Q_ej由下式求得：

Q_ij＝K_iδ_ij ^3/2(δ_ij＞0)，公式24

Q_ej＝K_eδ_ej ^3/2(δ_ej＞0)，公式25

其中,K_i和K_e为内外滚道与滚动体之间的载荷—位移系数，具体计算表达式为：

根据赫兹理论，需要查表计算椭圆偏心率κ，第一类完全积分Γ，第二类完全积分∑，R_x和R_y分别为两接触体在长半轴a和短半轴b上综合曲率半径，采用Brewe和Harmrock推导计算公式：

∑ρ为轴承滚道曲率和，D_b为滚动体直径，α_i为内接触角，α_o为滚动体与外圈接触角，d_m为轴承节圆直径，d_m＝0.5(d₁+d₂)，d₁与d₂分别为轴承内外圈直径；f_i、f_o分别为滚动体与内外滚道的接触系数；

令则内外圈曲率和可表示为：

对于轴承内圈滚道与滚动体接触时：

对于轴承外圈滚道与滚动体接触时：

当内外圈滚道和滚动体j产生弹性变形时，滚动体受到内圈滚道施加的接触力向量：

根据滚动体的受力平衡条件，得到滚动体j的受力平衡方程：

当采用内滚道控制原理时：λ_ij＝1,λ_ej＝1；当采用外滚道控制原理时：λ_ij＝0,λ_ej＝2；

轴承的套圈滚道在负载方向上产生单位相对弹性变形所需要的外加载荷即为角接触球轴承的刚度，刚度矩阵用下面公式计算：

根据Hertz接触理论，最大接触应力σ_max计算公式：

最大正交切应力τ₀计算公式：

Q为接触力，a,b为接触椭圆长短半轴长，与接触变形δ有关，t为方程式41中的所需求解的中间变量。

进一步地，前述的步骤105可包括：

根据公式42-公式44，将建立的41个强度功能函数P_1×41和刚度功能函数KK_1×41代替g(X)，将随机变量的均值和标准差分别代替中心点X^*和标准差计算得到强度和刚度功能函数的均值μ_g(X)和标准差σ_g(X)，其中，

μ_g(X)≈g(X^*)，公式43

根据公式45-公式46，计算得到41个强度可靠度R_qi和刚度可靠度以及他们的均值灵敏度，β为可靠度指标，p_f为失效概率，R_FM为采用一次二阶矩计算得到的可靠度，为每个随机变量的均值；其中，

根据公式47-公式48计算得到角接触球轴承随转速变化的可靠度和均值灵敏度，R_j为系统可靠度，R_qj为强度可靠度，R_gj为刚度可靠度其中，

R_j＝R_qjR_gj，公式47

进一步地，前述的步骤106可包括：基于不同转速力下的强度和刚度可靠性结果，建立目标函数和约束条件，根据目标函数和约束条件，求解目标函数的最优解，根据最优解对所述角接触球轴承进行稳健设计。例如，通过如下的步骤1061至步骤1066说明。

1061、将角接触球轴承随机变量和其他相关参数代入到公式49-公式63，计算得到轴承质量目标函数Y₁(X)，随机变量指的是在前文可靠性灵敏度计算中所提到的轴承随机变量如：D1,D2,r_i,r_e,D_b,α；其他参数指的是在前文可靠性灵敏度计算中没有提到的轴承随机变量如：D_i,D_e,B,D_k,D_u,Z,ρ_q,ρ_g；

其中，以角接触球轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过角接触球轴承外滚道曲率中心o_e的直线为Y轴，建立坐标系，将轴承外滚道分为3个部分，分别进行体积计算：外滚道曲率中心o_e坐标为D_pe为轴承外滚道在该坐标系上最大直径，r_e为外滚道曲率半径；外滚道的曲线在上述坐标系表示为：

根据几何关系可以推导：

其中，D₁为轴承外圈直径，D₂为轴承内圈直径，D_b为滚珠直径，α_e为滚动体与外圈接触角，D_i为I区内滚道直径，D_e为Ⅲ区内滚道直径,x₀与x₁分别为Ⅱ中曲线与I和Ⅲ的交点，B为轴承宽度；

x₀与x₁都为正数，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ区域的体积：

以角接触球轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过轴承内滚道曲率中心o_i的直线为Y轴，建立坐标系，将轴承外滚道分为3个部分，分别进行体积计算：

内滚道曲率中心o_i坐标为D_pi为轴承内滚道在该坐标系上最小直径，r_i为内滚道曲率半径，内滚道的曲线在上述坐标系可以表示为：

其中，α_e为滚动体与外圈接触角，D_k为Ⅳ区内滚道直径，D_u为Ⅵ区内滚道直径,x₂与x₃分别为Ⅴ中曲线与Ⅳ和Ⅵ的交点；

x₂与x₃都为正数，得到Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ的体积：

结合公式49-公式62最终得到角接触球轴承的质量m表达式：

其中，ρ_q为圈道密度，ρ_g为滚动体密度，Z为滚动体个数，代入相应的数据和随机变量，得到轴承质量函数的表达式:Y₁(X)；

1062、根据公式47、公式48、和公式64得到轴承系统均值灵敏度平方和开根号的目标函数Y₂(X)；

1063、根据6σ原则，将各个随机变量u_i的取值范围限定[u_i-3σ_i,u_i+3σ_i]，σ_i为各随机变量的标准差，R_O1,R_O2分别为角接触球轴承强度和刚度的可靠度的下限值,即有R1≥R_O1,R2≥R_O2，建立步骤1061和步骤1062目标函数的约束条件；

1064、引入权值系数w₁和w₂，将步骤1061和步骤1062目标函数化为单目标函数Y(X)＝w₁Y₁(X)+w₂Y₂(X)；

1065、采用Matlab中的fmincon函数，分别求解以步骤1063为约束条件的目标函数Y₁(X)和Y₂(X)，得到相应的最优解X^*1和X^*2，根据公式65-公式66求解权值系数w₁和w₂，其中，

w₂＝1-w₁，公式66

其中，X^*1为函数Y₁(X)在步骤1073中约束条件下的最优解，X^*2为函数Y₂(X)在步骤1063中约束条件下的最优解，求解工具可采用Matlab中的fmincon函数；

1066、将步骤1065中解得的权值系数w₁和w₂，代入到步骤1064中，根据步骤1063中的约束条件，求解步骤1064中目标函数的最优解X^*，根据最优解进行稳健设计。

上述实施例的方法解决目前轴承可靠性分析中仅针对轴承疲劳寿命单一化可靠性分析模型，在考虑强度的基础上又增加了轴承的支撑刚度因素，对轴承的结构参数和材料参数进行分析，最后进行相应的稳健设计。该方法能有效地缩短设计周期，结合灵敏度分析结果并提出相应的改进意见，能更好地降低制造和加工成本，具有十分重要的工程价值。

实施例二

结合图1，本实施例提供一种基于角接触球轴承可靠性分析、灵敏度分析的角接触球轴承的稳健设计方法，包括如下步骤：

A1、确定角接触球轴承的预紧力大小和正常工作状态下的转速，并将角接触球轴承相关的结构参数和材料参数分别设定为服从正态分布的结构随机参数和材料随机参数(如下表1所示)，其中，在本实施例中，角接触球轴承选择H7009/HQ1，结构参数包括滚动体直径、轴承初始接触角、轴承外径、内滚道曲率半径、外滚道曲率半径和轴承内径；材料参数包括滚道弹性模量、滚动体弹性模量和滚动体密度。然后利用拉丁超立方抽样方法从结构随机参数和材料随机参数中抽取若干组数据(在本实施例中抽取300组数据)，组成多个包含结构参数值和材料参数值的数据样本。

表1角接触球轴承H7009/HQ1相关参数

A2、根据角接触球轴承拟静力学分析模型，编写轴承最大正交切应力与轴承刚度在给定的预紧力下随转速变化的求解流程，如图6所示(即处理规则)，然后将步骤A1中获得的多个数据样本分别代入图6所示的流程，利用角接触球轴承拟静力学分析模型计算得到每个数据样本对应的随转速变化的轴承最大接触应力和刚度/轴承刚度/刚度值。

本实施例假设角接触球轴承的滚动体在外圈滚道上的摩擦力足够大可阻止滚动体发生陀螺运动，因此可以忽略滚动体的陀螺枢轴运动。同时，轴承符合外滚道控制条件，轴承外圈滚道固定，内圈滚道旋转，此时，结合图2可以得到滚动体绕轴线公转角速度ω_mj和绕自身旋转角速度ω_bj与轴承角速度ω的关系见前述公式1至公式4：

根据图3滚动体受力分析，可得到离心力F_cj，见前述公式5和陀螺力矩M_gj的计算式—见前述公式6。

其中，质量m和转动惯量J计算公式，见前述公式7和公式8.

图4所示，假设轴承的预紧力F＝[F_x,F_y,F_z,M_x,M_y]^T，内圈位移δ＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]^T，用Q_j代表滚动体j施加给轴承内圈的力向量，作用在参考点(z_pj,r_pj)处：此时的Q_j ^T＝[Q_rj,Q_zj,T_j]，即前述的公式9。

在Q_j的作用下滚动体j与内圈滚道接触处的内圈截面产生一定的位移，用参考点(z_pj,r_pj)的位移向量u_j表示：u_j ^T＝[u_rj,u_zj,θ_j]，即前述公式10；

那么有：即公式11和公式12，参数参见前述公式13给出的信息。

滚动体j在参考点处施加给轴承内圈滚道的力向量可表示为

可得到下面的轴承整体的受力平衡方程：Δ_ij、Δ_ej分别表示滚动体j和内外圈滚道之间的间隙。

滚动体j的中心和两滚道曲率中心之间的距离l_0ij与l_0ej可经过前述公式16至19得到，参见图5所示，获得公式18和19的过程。

滚动体j的中心与两滚道曲率中心l_ij、l_ej之间的距离参见前述公式20和公式21；

滚动体j与轴承内外圈滚道间的接触变形δ_ij和δ_ej分别对应公式22和公式23；

结合Hertz接触理论，滚动体j和内外圈滚道之间的弹性接触力向量Q_ij和Q_ej可由下式求得：Q_ij＝K_iδ_ij ^3/2(δ_ij＞0)；Q_ej＝K_eδ_ej ^3/2(δ_ej＞0)；

其中,K_i和K_e为载荷—位移系数，具体计算表达式根据赫兹理论，需要查表计算系数κ，Γ，∑，为了便于对轴承内部参数进行编程计算，采用Brewe和Harmrock推导前述的计算公式27至公式29.公式27至公式29中的参数：∑ρ为轴承滚道曲率和，D_b为滚动体直径，α_i为内接触角，α_o为外接触角d_m为轴承节圆直径，一般地：d_m＝0.5(d₁+d₂)，d₁与d₂分别为轴承内外圈直径。

对于轴承内圈滚道与滚动体接触时：

对于轴承外圈滚道与滚动体接触时：

当内外圈滚道和滚动体j产生弹性变形时，滚动体受到内圈滚道施加的接触力向量：

根据滚动体的受力平衡条件，可得到滚动体j的受力平衡方程：

轴承的套圈滚道在负载方向上产生单位相对弹性变形所需要的外加载荷即为角接触球轴承的刚度，刚度矩阵可用下面公式计算：

根据Hertz接触理论，最大接触应力计算公式：Palmgren和Lundberg提出的最大正交切应力计算公式：

Q为接触力，a,b为接触椭圆长短半轴长，与接触变形δ有关，计算公式具体可参照Hertz接触理论。

步骤A2中的求解程序为：

A2.1、输入结构参数值、材料参数值、角接触球轴承的转速范围和步长(N_min:N_step:N_max)、外载荷，利用公式(25-34)，可计算出载荷——位移系数K_i,K_e

A2.2、设定内圈位移初始值δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]和v^T＝[v_r,v_z]利用公式(16-24)计算角接触球轴承的滚动体的内外接触角α_ij和α_ej以及参数δ_ij、δ_ej、Q_ij、Q_ej，利用公式(1-8)计算M_gj、ω、ω_bj/ω、ω_mj/ω、F_cj；

A2.3、利用Matlab工具箱函数fsolve,求解方程组(36)，迭代计算v_r,v_z，

A2.4重复步骤A2.2，计算角接触球轴承的滚动体的内外接触角α_ij和α_ej以及参数δ_ij、δ_ej、Q_ij、Q_ej，M_gj、F_cj；

A2.5、由公式(13-14)，计算第j个滚动体施加给轴承内圈上的力f_j。

A2.6、根据公式(9-15)，利用fsolve求解轴承整体平衡方程组(15)，迭代计算出轴承内圈的接触变形位移δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]。

A2.7、重复步骤A2.2-A2.6，计算出计算角接触球轴承的滚动体的内外接触角α_ij和α_ej以及参数δ_ij、δ_ej、Q_ij、Q_ej，M_gj、F_cj，

A2.8、根据公式(37-40)计算出轴承在所设定的外载荷和转速下的刚度和最大正交切应力；

A2.9、根据转速步长N_step，改变轴承所在转速，重复A2.2-A2.8，计算相应的刚度和最大正交切应力。

在本实施例中得到轴承转速n＝0-40000r/min过程中的径向刚度和最大正交切应力矩阵B_300x41和C_300x41，(注：41表示转速由0到40000，每个间隔速度为1000)表2为n＝1000r/min的数据。

表2轴承相关参数抽样数据和程序求解数据(n＝1000r/min)

A3、利用遗传BP神经网络拟合所有数据样本对应的轴承最大正交切应力和轴承刚度关于特定结构参数和材料参数的函数。

在本实施例中，每个数据样本对41个转速下的径向刚度K和最大正交切应力P_o进行函数拟合，得到41个径向刚度K和最大正交切应力Po关于结构参数和材料参数的拟合函数矩阵K_1×41与Po_1×41。拟合效果图7和图8.图中红色的线表示将随机变量取均值时代入到41个遗传BP神经网络拟合函数中所得到41数值连成的曲线；圆圈表示将随机变量取均值时代入到轴承计算模型中得到的41个实际值。

A4、结合角接触球轴承的滚动体材料、角接触球轴承的内外圈滚道材料的强度值以及最大正交切应力函数建立强度-应力极限状态方程，结合角接触球轴承的径向刚度拟合函数以及人为设定的刚度阈值建立刚度极限状态方程。

在本实施例中，取滚动体与内外滚圈的屈服强度中较小的[σ]作为阈值，根据实际工作情况确定轴承规定的支撑径向刚度值[k_r]。建立强度功能函数P_1×41＝[σ]-Po_1×41和刚度功能函数KK_1×41＝K_1×41-[k_r],其中向量下标1×i表示轴承转速n＝1000×(i-1)时的响应值。

A5、结合可靠性相关知识，利用强度-应力极限状态方程和刚度极限状态方程，对角接触球轴承的强度和刚度进行可靠性分析和灵敏度分析。

假设各随机变量相互独立且服从正态分布，中心点(或均值点)为X^*＝(x₁ ^*,x₂ ^*,...,x_n ^*)^T，将功能函数g(X)＝g(x₁,x₂,…,x_i,…x_n)在X^*处以Taylor公式展开，那么可靠度指标β和均值灵敏度计算公式为：

μ_g(X)≈g(X^*) (42)

R_j＝R_qjR_gj (46)

A5.1根据公式(41-43)，将A4中拟合的41个强度功能函数P_1×41和刚度功能函数KK_1×41代替g(X)，将随机变量的均值和标准差分别代替X^*和可计算得到强度和刚度功能函数的均值和标准差。

A5.2根据公式(44-45),可计算得到41个强度可靠度R_qi和刚度可靠度以及他们的均值灵敏度。

A5.3根据公式(46-47)可计算得到轴承系统随转速变化的可靠度和均值灵敏度。

在本实施例中，查阅相关工程材料手册，滚动体材料Si₃N₄的屈服强度[σ_S]_滚动体＝800MP_a-1000MP_a而滚道材料GCr15的屈服强度[σ_S]_圈道＝512.8MP_a，因此该强度阈值应为[σ_S]_圈道由于轴承刚度会随转速的增加出现“软化”现象，因此在使用轴承时，会存在一个人为规定的最小支撑刚度值，当轴承刚度小于这个值，可认为轴承系统失效，本实例中假定该最小支撑刚度值[k_r]＝5×10⁷N/mm。根据S5的计算步骤，可得到轴承随转速变化曲线图(图9)轴承轴向预紧力为80N下的轴承强度、刚度以及综合可靠度曲线。

当转速n＝20000r/min时，轴承强度可靠度R1＝0.91947，刚度可靠度R2＝0.94619，系统可靠度为：R＝0.86999,轴承质量为m＝0.20211kg。

其强度均值灵敏度为：

其刚度均值灵敏度为：

其系统均值灵敏度为：

由均值灵敏度可知：增加滚动体直径，会降低强度可靠度；但会增加刚度可靠度，增加接触角、轴承内外径、外滚道曲率半径和滚动体密度都会减小刚度可靠度，但会增加强度可靠度；增加其余随机变量的大小，对强度和刚度可靠度都有正影响。

A6、改变前述的转速或预紧力，重复上述的A2至A5的过程，得到不同转速下的强度和刚度可靠度结果，进而基于可靠度结果对角接触球轴承进行稳健设计。

本文拟采用基于系统灵敏度的稳健设计方法，具体步骤如下：

A6.1求解轴承质量函数Y₁(X)

具体分析过程如下：

图10所示，以轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过轴承外滚道曲率中心o_e的直线为Y轴，建立上图所示的坐标系。将轴承外滚道分为如图所示的3个部分，分别进行体积计算：由几何关系可以得到，o_e坐标为外滚道的曲线在上述坐标系可以表示为：

根据几何关系可以推导：

上述表达式中，规定x₀与x₁都为正数。由体积公式可以得到：

图11所示，以轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过轴承内滚道曲率中心o_i的直线为Y轴，建立上图所示的坐标系。将轴承外滚道分为如图所示的3个部分，分别进行体积计算：

o_i坐标为内滚道的曲线在上述坐标系可以表示为：

上述表达式中，规定x₂与x₃都为正数。由体积公式可以得到：

结合式(48-61)最终可得到轴承的质量表达式：

式中，ρ_q为圈道密度，ρ_g为滚动体密度，Z为滚动体个数。代入相应的数据和随机变量，即可得到轴承质量函数的表达式:Y₁(X)

A6.2求解轴承均值灵敏度平方和开根号的函数Y₂(X)

具体分析过程如下：

在A5轴承可靠性灵敏度计算中，可以得到轴承强度可靠度R1和刚度可靠度R2，利用系统均值灵敏度公式可以得到函数Y₂(X)

式中，l为随机变量个数，本实例中l＝9。

A6.3建立约束条件

根据3σ原则，将各个随机变量u_i的取值范围限定[u_i-3σ_i,u_i+3σ_i]，并人为限制轴承强度和刚度的可靠度的下限值R_O1,R_O2,即有R1≥R_O1,R2≥R_O2，本实例中设定R_O1＝R_O2＝0.99。

A6.4将两目标函数化为单目标函数Y(X)＝w₁Y₁(X)+w₂Y₂(X)

A6.5利用像集法求解权值系数w₁和w₂

w₂＝1-w₁ (66)

式中，X^*1为函数Y₁(X)在S6.3中约束条件下的最优解，X^*2为函数Y₂(X)在步骤A6.3中约束条件下的最优解。求解工具可采用Matlab中的fmincon函数。

A6.6将步骤A6.5中解得的权值系数代入到步骤A6.4中，根据步骤S6.3中的约束条件，求解步骤A6.4中目标函数的最优解。

本实施例仅针对步骤A5中特定转速n＝20000r/min，进行轴承系统稳健设计。计算结果w₁＝0.8641，w₂＝0.1359

最终的数学模型可表示为：

对上述目标函数进行求解，最终可得到：优化后的质量为：0.19474kg，强度可靠度为：0.99349，刚度可靠度为：0.99344，系统可靠度为：0.98697优化后的强度均值灵敏度为：

优化后的刚度均值灵敏度为：

优化后的系统均值灵敏度为：

随机变量的最优解为：

X^*T＝[7.165,14.955,74.325,44.595,3.988,3.7786,3179.348,320154.384,218978.380]

总的来说，相比较于优化前的轴承，强度可靠度增加了8.05％，刚度可靠度增加了4.99％，系统可靠度增加了13.446％，质量减轻了3.65％。图12-14为优化前后强度均值灵敏度、刚度均值灵敏度对比和系统均值灵敏度对比图。

综上，本实施例基于轴承拟静力学强度和刚度求解模型，利用遗传BP神经网络分别对轴承强度和刚度进行可靠性灵敏度分析，并在此基础上进行轴承稳健设计。解决目前轴承可靠性分析中仅针对轴承疲劳寿命单一化可靠性分析模型，在考虑强度的基础上又增加了轴承的支撑刚度因素，对轴承所有结构参数和材料参数进行分析，最后进行相应的稳健设计。该方法是针对轴承设计和性能提高的一整套分析过程的综述，能有效地缩短设计周期，结合灵敏度分析结果并提出相应的改进意见，能更好地降低制造和加工成本，具有十分重要的工程价值。

以上内容仅为本发明的较佳实施例，对于本领域的普通技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。

Claims (7)

1.一种角接触球轴承的稳健设计方法，其特征在于，包括：

101、针对待设计的角接触球轴承，从所述角接触球轴承所设计的参数中，选择多组数据样本，每一数据样本包括所述参数中的结构参数和材料参数，

102、基于改进的角接触轴承拟静力学分析模型和处理规则，获取每一数据样本匹配的随转速变化的最大正交切应力和刚度值；

所述处理规则为基于所述角接触轴承拟静力学分析模型获取的最大正交切应力和刚度在给定的预紧力下随转速变化的流程；

103、基于遗传BP神经网络，建立某一转速下所有数据样本对应的最大正交切应力、刚度值的函数；

104、根据所述函数、查找的滚动体材料的强度、预设的内外圈滚道材料的强度，建立应力极限状态方程；以及

根据所述函数、所述角接触球轴承应用所需的支撑刚度，建立刚度极限状态方程；

105、基于可靠性分析原理，对应力极限状态方程的强度进行可靠性和灵敏度分析，以及对刚度极限状态方程的刚度进行可靠性和灵敏度分析；

106、改变所述角接触球轴承对应的转速，重复步骤102至步骤105，获得不同转速下的强度和刚度可靠性结果；

基于可靠性结果对所述角接触球轴承进行稳健设计。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，

步骤101中的所述结构参数包括滚动体直径、轴承初始接触角、轴承外径和轴承内径；

步骤101中的所述材料参数包括内滚道曲率半径、外滚道曲率半径、滚动体弹性模量、滚动体密度和滚道弹性模量。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤102包括：

S2.1、针对每一数据样本，针对该数据样本的结构参数和材料参数、轴承转速范围和第一步长N_min:N_step:N_max，预先设定的内圈位移初始值δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]、滚动体初始位移v^T＝[v_r,v_z]；计算角接触球轴承的滚动体与内外圈滚道的接触角α_ij和α_ej、接触变形δ_ij和δ_ej、接触力Q_ij、Q_ej，计算滚动体受到的摩擦力矩M_gj、离心力F_c、滚动体自转角速度ω_bj、公转角速度ω_mj与轴承角速度ω之间的比值：ω_bj/ω、ω_mj/ω；计算出内外圈滚道与滚动体的载荷——位移系数K_i,K_e；

其中，N_min为角接触球轴承的转速的最小值，N_step为角接触球轴承的转速的步长，N_max为角接触球轴承的转速的最大值；

δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y分别表示内圈沿三个坐标轴X,Y,Z的位移量以及绕X轴及Y轴的转动角位移量，v_r,v_z表示滚动体沿径向Y和轴向Z的位移量；

S2.2、判断滚动体受力是否平衡，如果不平衡，则获取v_j、，重复步骤S2.1；v_j表示第j个滚动体沿径向Y和轴向Z的位移量，即第j个v_r,v_z；

S2.3、如果步骤S2.2中受力平衡，则计算滚动体和内圈滚道的接触力f和接触刚度矩阵

S2.4、更新j＝j+1；

S2.5、判断更新j是否大于滚动体个数Z1，若否，返回步骤S2.1，否则，执行步骤S2.6；

S2.6、在更新j大于Z1时，判断角接触球轴承整体受力是否平衡，若否，则调整预先设定的内圈位移初始值，重新执行步骤S2.1；否则，执行步骤S2.7；

S2.7、若步骤S2.6中受力平衡，则计算最大正交切应力τ₀和刚度K，以及更新N＝N+N_step，判断更新N是否大于N_max，若是，则执行S2.8；其中，N表示角接触球轴承最大正交切应力和刚度过程中的转速；

S2.8、输出获得的刚度K、最大正交切应力τ₀。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，在步骤S2.1包括：

利用公式26-公式35计算出内外圈滚道与滚动体的载荷即位移系数K_i,K_e，

利用公式16-公式24计算计算角接触球轴承的滚动体与内外圈滚道的接触角α_ij和α_ej、接触变形δ_ij和δ_ej、接触力Q_ij、Q_ej；

利用公式1-公式8计算滚动体受到的摩擦力矩M_gj、离心力F_c、滚动体自转角速度ω_bj、公转角速度ω_mj与角接触球轴承角速度ω之间的比值：ω_bj/ω、ω_mj/ω；

利用Matlab工具箱函数fsolve，求解公式36所表示的方程组，迭代计算滚动体径向及轴向位移v_r,v_z；

利用公式13-公式14，计算第j个滚动体施加给角接触球轴承内圈上的力f_j；

利用公式9-公式15，基于Matlab工具箱函数fsolve求解公式15所表示的轴承整体平衡方程组，迭代计算出角接触球轴承内圈的接触变形位移δ^T＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]；

利用公式38-公式41计算出角接触球轴承在所设定的外载荷和转速下的刚度和最大接触应力；

其中，上述公式1-公式41如下：

滚动体公转角速度ω_mj、自转角速度ω_bj与轴承转速ω之间的比值为：

其中：γ′为滚动体直径D_b与轴承公称直径d_m之间的比值，β_j为姿态角，α_ej为第j的滚动体与外滚道之间的接触角；

依据预设的滚动体受力分析过程，得到离心力F_cj和陀螺力矩M_gj的计算式：

其中滚动体质量m和转动惯量J计算公式；

其中：为滚动体密度，D_b为滚动体直径；

假设轴承的预紧力F＝[F_x,F_y,F_z,M_x,M_y]^T，F_x,F_y,F_z,M_x,M_y分别为轴承在X,Y,Z受到的轴向力以及绕X轴及Y轴的力矩，内圈位移δ＝[δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y]^T，δ_x,δ_y,δ_z,γ_x,γ_y分别为轴承在X,Y,Z受到的轴向位移以及绕X轴及Y轴的角位移，用Q_j代表滚动体j施加给轴承内圈的力向量，Q_rj,Q_zj,T_j分别表示滚动体受到的径向和轴向的力以及转矩，且作用在参考点(z_pj,r_pj)处：Q_j ^T＝[Q_rj,Q_zj,T_j]，公式9

在Q_j的作用下滚动体j与内圈滚道接触处的内圈截面产生一定的位移，用参考点(z_pj,r_pj)的位移向量u_j表示：u_j ^T＝[u_rj,u_zj,θ_j]，公式10

u_rj,u_zj,θ_j表示内滚道曲率中心沿径向、轴向的轴向位移及角位移；那么有：

Q_j＝Q_j(u_j)，公式11

为第j个滚动体与Y轴之间的夹角，特别的第一个滚动体在Y轴上，即：

滚动体j在参考点处施加给轴承内圈滚道的力向量可表示为

式中，f_xj,f_yj,f_zj,m_xj,m_yj分别为滚动体在参考点处对内圈施加的三个沿X,Y,Z的轴向力以及绕Y和Z轴的力矩；得到下面的轴承整体的受力平衡方程：

Δ_ij、Δ_ej分别表示滚动体j和内外圈滚道之间的间隙，r_ij和r_ej分别为内外滚道曲率半径；滚动体j的中心和两滚道曲率中心之间的距离l_0ij与l_0ej，内外接触角α_ij与α_ej，α₀为初始接触角；计算公式：

滚动体j的中心与两滚道曲率中心l_ij、l_ej之间的距离

滚动体j与轴承内外圈滚道间的接触变形δ_ij和δ_ej分别成

δ_ij＝l_ij-l_0ij-Δ_ij，公式22

δ_ej＝l_ej-l_0ej-Δ_ej，公式23

结合Hertz接触理论，滚动体j和内外圈滚道之间的弹性接触力向量Q_ij和Q_ej由下式求得：

Q_ij＝K_iδ_ij ^3/2(δ_ij＞0)，公式24

Q_ej＝K_eδ_ej ^3/2(δ_ej＞0)，公式25

其中,K_i和K_e为内外滚道与滚动体之间的载荷即位移系数，具体计算表达式为：

根据赫兹理论，需要查表计算椭圆偏心率κ，第一类完全积分Γ，第二类完全积分∑，R_x和R_y分别为两接触体在长半轴a和短半轴b上综合曲率半径，采用Brewe和Harmrock推导计算公式：

∑ρ为轴承滚道曲率和，D_b为滚动体直径，α_i为内接触角，α_o为滚动体与外圈接触角，d_m为轴承节圆直径，d_m＝0.5(d₁+d₂)，d₁与d₂分别为轴承内外圈直径；f_i、f_o分别为滚动体与内外滚道的接触系数；

令则内外圈曲率表示为：

对于轴承内圈滚道与滚动体接触时：

对于轴承外圈滚道与滚动体接触时：

当内外圈滚道和滚动体j产生弹性变形时，滚动体受到内圈滚道施加的接触力向量：

根据滚动体的受力平衡条件，得到滚动体j的受力平衡方程：

当采用内滚道控制原理时：λ_ij＝1,λ_ej＝1；当采用外滚道控制原理时：λ_ij＝0,λ_ej＝2；

轴承的套圈滚道在负载方向上产生单位相对弹性变形所需要的外加载荷即为角接触球轴承的刚度，刚度矩阵用下面公式计算：

根据Hertz接触理论，最大接触应力σ_max计算公式：

最大正交切应力τ₀计算公式：

Q为接触力，a,b为接触椭圆长短半轴长，与接触变形δ有关，t为方程式41中的所需求解的中间变量。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，所述步骤105包括：

根据公式42-公式44，将建立的41个强度功能函数P_1×41和刚度功能函数KK_1×41代替g(X)，将随机变量的均值和标准差分别代替中心点X^*和标准差计算得到强度和刚度功能函数的均值μ_g(x)和标准差σ_g(x)，其中，

μ_g(X)≈g(X^*)，公式43

根据公式45-公式46，计算得到41个强度可靠度R_qi和刚度可靠度以及他们的均值灵敏度，β为可靠度指标，p_f为失效概率，R_FM为采用一次二阶矩计算得到的可靠度，为每个随机变量的均值；其中，

根据公式47-公式48计算得到角接触球轴承随转速变化的可靠度和均值灵敏度，R_j为系统可靠度，R_qj为强度可靠度，R_gj为刚度可靠度其中，

R_j＝R_qjR_gj，公式47

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述步骤106包括：

基于不同转速下的强度和刚度可靠性结果，建立目标函数和约束条件，根据目标函数和约束条件，求解目标函数的最优解，根据最优解对所述角接触球轴承进行稳健设计。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，所述步骤106包括：

1061、将角接触球轴承随机变量D1,D2,r_i,r_e,D_b,α和其他相关参数D_i,D_e,B,D_k,D_u,Z,ρ_q,ρ_g代入到公式49-公式63，计算得到轴承质量目标函数Y₁(X)，所述角接触球轴承随机变量和其他相关参数的可靠性、灵敏度计算过程中涉及的参数；

其中，以角接触球轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过角接触球轴承外滚道曲率中心o_e的直线为Y轴，建立坐标系，将轴承外滚道分为3个部分，分别进行体积计算：外滚道曲率中心o_e坐标为D_pe为轴承外滚道在该坐标系上最大直径，r_e为外滚道曲率半径；外滚道的曲线在上述坐标系表示为：

根据几何关系可以推导：

其中，D₁为轴承外圈直径，D₂为轴承内圈直径，D_b为滚珠直径，α_e为滚动体与外圈接触角，D_i为I区内滚道直径，D_e为Ⅲ区内滚道直径,x₀与x₁分别为Ⅱ中曲线与I和Ⅲ的交点，B为轴承宽度；

x₀与x₁都为正数，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ区域的体积：

以角接触球轴承中线为X轴，以垂直于X轴并经过轴承内滚道曲率中心o_i的直线为Y轴，建立坐标系，将轴承外滚道分为3个部分，分别进行体积计算：

内滚道曲率中心o_i坐标为D_pi为轴承内滚道在该坐标系上最小直径，r_i为内滚道曲率半径，内滚道的曲线在上述坐标系可以表示为：

其中，α_e为滚动体与外圈接触角，D_k为Ⅳ区内滚道直径，D_u为Ⅵ区内滚道直径,x₂与x₃分别为Ⅴ中曲线与Ⅳ和Ⅵ的交点；

x₂与x₃都为正数，得到Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ的体积：

结合公式49-公式62最终得到角接触球轴承的质量m表达式：

其中，ρ_q为圈道密度，ρ_g为滚动体密度，Z为滚动体个数，代入相应的数据和随机变量，得到轴承质量函数的表达式:Y₁(X)；

1062、根据公式47、公式48、和公式64得到轴承系统均值灵敏度平方和开根号的目标函数Y₂(X)；

1063、根据3σ原则，将各个随机变量u_i的取值范围限定[u_i-3σ_i,u_i+3σ_i]，σ_i为各随机变量的标准差，R_O1,R_O2分别为角接触球轴承强度和刚度的可靠度的下限值,即有R1≥R_O1,R2≥R_O2，建立步骤1061和步骤1062目标函数的约束条件；

1064、引入权值系数w₁和w₂，将步骤1061和步骤1062目标函数化为单目标函数Y(X)＝w₁Y₁(X)+w₂Y₂(X)；

1065、采用Matlab中的fmincon函数，分别求解以步骤1063为约束条件的目标函数Y₁(X)和Y₂(X)，得到相应的最优解X^*1和X^*2，根据公式65-公式66求解权值系数w₁和w₂，其中，

w₂＝1-w₁，公式66

其中，X^*1为函数Y₁(X)在步骤1063中约束条件下的最优解，X^*2为函数Y₂(X)在步骤1063中约束条件下的最优解，求解工具可采用Matlab中的fmincon函数；

1066、将步骤1065中解得的权值系数w₁和w₂，代入到步骤1064中，根据步骤1063中的约束条件，求解步骤1064中目标函数的最优解X^*，根据最优解进行稳健设计。