CN108650706A - 基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，在传感器网络图模型的基础上充分考虑了节点间的连通性，且利用节点间距离对目标函数中各求和项设置了归一化的权重值。对该优化问题目标函数的求解分为两步，第一步，利用三点定位法对LU节点进行简单粗略的初步定位；第二步，把基于三点定位得出的初步定位结果作为初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对定位问题进行求解。理论分析和仿真结果表明，与现有发明相比，本发明复杂度更小，在不同程度的测距误差下定位更准确，且算法迭代次数更少，耗时更短。

Description

基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法

技术领域

本发明涉及无线传感器网络技术领域，具体涉及一种基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法。

背景技术

无线传感器网络(Wireless Sensor Network，WSN)备受关注，已广泛应用于军事、环境、医疗、家居和工业等领域。在很多需要WSN提供监测服务的场景下，不含位置信息的监测数据是缺乏应用价值的。例如环境污染监测、森林火灾监测和天然气管道监测等应用场景中，WSN中的传感器节点不仅需要提供监测对象的信息，还要包含节点自身的位置信息。因此，WSN中传感器节点定位技术的研究就显得尤为重要。

WSN中传感器节点位置的获取可以借助于中国北斗导航系统(BeiDou NavigationSatellite System，BDS)或美国全球定位系统(Global Positioning System，GPS)，但需要在传感器中添加BDS或GPS接收模块，不仅增加了传感器的制作成本，还增加了本身的功耗，缩短整个WSN的寿命。而且部署传感器的具体环境可能是复杂多变的，如室内环境或山林地区，BDS和GPS信号难以有效穿透墙体、高山、密林等障碍，这导致很多场景下无法使用BDS和GPS进行定位。针对这一系列问题，常用的做法是只在少数传感器中添加定位模块，并将其部署在可以接收BDS或GPS信号的位置，利用这一部分传感器节点的位置和节点间距离对其他节点进行定位。其中，事先获知位置的传感器节点称之为已知位置(Location-aware，LA)节点，其他节点称为未知位置(Location-unaware，LU)节点。节点间测距的方法有到达时间(Time-of-Arrival，TOA)、到达时间差(Time-Difference-of-Arrival，TDOA)、到达角(Angle-of-Arrival，AOA)和接收信号强度(Received-Signal-Strength，RSS)等。

在现有的众多定位方法中，均把定位问题归结为了优化问题，并采用凸优化的方法进行求解。例如，Biswas P，Liang T C和Toh K C等人采用了半正定规划(Semi-DefiniteProgramming，SDP)松弛的方法，且引入了一个正则项，有助于降低SDP解决方案的秩，最后采用梯度下降法细化节点位置，提高了定位的准确性。但该正则项系数的选取比较繁琐，增加了计算的复杂度。Nongpiur R C同样采用了SDP松弛的方法，不同的是从节点连通性出发引入了一个全新的正则项，用于惩罚一些孤立的节点，提高了定位的准确性，该正则项系数的选取没有经过复杂的运算，但只是依据经验获取，更合理的选取方式有待进一步研究。Tseng and Paul采用了二阶锥规划(Second-Order Cone Programming，SOCP)松弛的方法，比SDP松弛有更少的变量和约束条件，但如果有大量LU节点分布在LA节点形成的凸包之外，则不会有良好的定位效果。

发明内容

本发明针对传感器网络中节点间测距存在误差致使定位不准确的问题，提供一种基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

一种基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其具体包括步骤如下：

步骤1、采用均匀随机分布的方式部署传感器网络中的未知位置节点，并在相应的位置部署已知位置节点，由此构建传感器网络；

步骤2、基于步骤1中构建的传感器网络的节点分布，利用节点间的连通性测得节点间的距离，并收集每个节点的邻居节点的信息；

步骤3、基于步骤1中构建的传感器网络，以及步骤2所得到的节点间的距离和每个节点的邻居节点的信息，以节点距离误差的加权和为目标函数，将高度非线性非凸的目标函数归结为无约束的优化问题来求解；

步骤4、采用两步法对步骤3的优化问题进行求解，其具体步骤如下：

步骤4.1，对待求未知位置节点进行初步定位，即：

当待求未知位置节点最大测距范围内有3个以上已知位置节点时，则选取距其最近的3个已知位置节点，并采用三点定位法对该未知位置节点进行定位，得到待求未知位置节点的位置；

当待求未知位置节点最大测距范围内只有1～2个已知位置节点时，则将距其最近的已知位置节点的位置作为该待求未知位置节点的位置；

当待求未知位置节点最大测距范围内没有已知位置节点时，则把区域中心的位置作为该待求未知位置节点的位置；

步骤4.2，将步骤3.1所得到的待求未知位置节点的位置作为初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对优化问题进行求解。

上述步骤1中，已知位置节点的部署位置要能够让未知位置节点采用三点定位的方法进行初步定位。

上述步骤2中，采用RSS测距方法测得节点间的距离。

上述步骤2中，每个节点的邻居节点是指与该节点直接相连的节点。

上述步骤3的优化问题为：

其中，

式中，x表示未知位置节点的位置坐标，N表示未知位置节点的个数，表示与第i个未知位置节点相连通的所有未知位置节点集合，表示与第i个未知位置节点相连通的所有已知位置节点集合，x_i表示第i个未知位置节点的位置，x_j表示第j个未知位置节点的位置，a_k表示第k个已知位置节点的位置，d_ij表示第i个未知位置节点和第j个未知位置节点的距离，d_ik表示第i个未知位置节点和第k个已知位置节点的距离。

与现有技术相比，本发明将定位问题归结为一个无约束的优化问题。该发明在图模型的基础上充分考虑了节点间的连通性，且利用节点间距离对目标函数中各求和项设置了归一化的权重值。对该优化问题目标函数的求解分为两步，第一步，利用三点定位法对LU节点进行简单粗略的初步定位；第二步，把基于三点定位得出的初步定位结果作为初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对定位问题进行求解。理论分析和仿真结果表明，与现有发明相比，本发明复杂度更小，在不同程度的测距误差下定位更准确，且算法迭代次数更少，耗时更短。

附图说明

图1为节点分布图，其中三角形表示LA节点，圆圈表示LU节点。

图2为三点定位法示意图。

图3a为100次仿真实验的平均RMSD，图3b为100次仿真实验的MRE，其中P和C分别表示本发明和现有发明在相同的LA节点分布、相同的最大测距范围d_max＝0.6和不同的噪声强度下的仿真结果。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。

一种基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其具体包括如下步骤：

步骤1、采用均匀随机分布的方式部署传感器网络中的LU节点，并在特定位置部署LA节点，使其更利于采用三点定位的方法进行初步定位。

首先构建传感器网络图模型中的节点分布，如图1所示，其中有N个LU节点和M个LA节点，且假设LA节点的位置是准确的(或其位置误差可以忽略不计)。在本实施例中，所有LU节点在[-0.5,0.5]×[-0.5,0.5]的平面内随机分布，LU节点数目N＝15，LA节点数目M＝5。x_i1和x_i2分别表示第i个LU节点的横坐标和纵坐标，a_k1和a_k2分别表示第k个LA节点的横坐标和纵坐标。则N个LU节点和M个LA节点的坐标位置分别表示为x和a，即

x＝[x₁₁ x₁₂ x₂₁ x₂₂…x_N1 x_N2]^T (1)

a＝[a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂…a_M1 a_M2]^T (2)

令e_i1和e_i2分别表示2N×2N单位矩阵的第2i-1列和第2i列，和分别表示2M×2M单位矩阵的第2k-1列和第2k列，于是 则节点间的欧氏距离为：

其中，

A_ij＝(e_i1-e_j1)(e_i1-e_j1)^T+(e_i2-e_j2)(e_i2-e_j2)^T (5)

步骤2、根据步骤1中给定的节点分布图，利用节点间的连通性，模拟节点间测距，并收集每个节点的邻居节点的信息。

根据步骤1中的节点分布，假定节点间距离是通过RSS测距技术获取。由于信号传输过程中易受多径衰落和阴影衰落等影响，因此根据RSS测距技术测得的距离并不是两节点间的真实距离。于是，假设节点间的测得距离d_ij和d_ik受到了随机噪声的影响，则有：

ε_ij or ε_ik＝2rand(1,1)-1 (10)

其中，和是节点之间的真实距离，ε_ij和ε_ik是产生的随机噪声，τ∈[0,1]用于控制噪声强度。

假设RSS测距技术的最大测距范围为d_max，只有在此范围内，WSN中节点间的距离才可以测得，从而把WSN建模成了一个彼此相连的网状图。基于网络中节点的连通性，用ρ_ij表示从第i个LU节点到第j个LU节点的最短路径，ρ_ik表示从第i个LU节点到第k个LA节点的最短路径，这里的最短路径是指两节点之间相连的最少边数。本发明中把直接相连的节点作为邻居节点，即

其中，i＝1,2,…,N，中包含了第i个LU节点的所有邻居节点，表示LU节点之间的连通性集合，表示LU节点与LA节点之间的连通性集合。

在本实施例中，判断节点间连通性时，最大测距半径d_max＝0.6；这里节点间的最短距离是指节点间相连的最短边数，且定义直接相连的节点互相视为邻居。

步骤3、基于给定的传感器网络节点的图模型，以节点距离误差的加权和为目标函数，将高度非线性非凸的目标函数归结为无约束的优化问题来求解。

根据上述构建的图模型，本发明的定位问题可以概述为：基于邻居节点的集合，利用LA节点的坐标位置和节点间距离，求解LU节点的坐标位置。从而，LU节点定位问题可以归结为如下的无约束优化问题：

其中，x_i表示第i个LU节点的位置，a_k表示第k个LA节点的位置，并且假定节点间的测得距离是通过RSS测距技术得到的，d_ij和d_ik并不是节点间的真实距离，是基于节点间距离反比所加的归一化权重。由于节点间距离越远，测距时受到干扰的不确定性越大，测距数据越不可靠，因此赋予其权值就越小。

在本实施例中，对目标函数采用的是二阶泰勒近似；允许迭代最大次数为100次；每步迭代采用回溯直线搜索法确定步长μ，设置α＝0.2，β＝0.8；迭代终止条件的阈值η＝10^-10。

考虑到目标函数(14)是关于节点位置的高度非线性非凸函数，难以求解，本发明考虑采用两步法来求解该优化问题。

第一步，采用三点定位法对节点进行粗略的定位。

1)当待求LU节点最大测距范围内至少有3个LA节点时，选取距其最近的3个LA节点，采用三点定位法对该LU节点进行定位。三点定位的几何思想是：在平面内分别以3个LA节点为圆心，以LA节点和LU节点的距离为半径，画圆，3个圆的交点就是待求的LU节点。三点定位方法如图2所示，其中，A、B和C表示3个LA节点，坐标位置依次是(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)；P表示1个LU节点，A、B和C三点到待求节点P的距离分别是d₁，d₂，d₃。假设待求节点P的坐标位置是(x,y)，则可得到下列3个关于圆的方程组：

对上式(15)求解可以得到LU节点P的具体坐标位置：

由于节点间距离存在误差，上述3个圆并不会恰好相交于一点，即求得的LU节点的坐标并不太准确，因此利用三点定位法只能对部分LU节点进行粗略的定位。

2)当待求LU节点最大测距范围内只有1～2个LA节点时，将距其最近的LA节点的位置作为该LU节点的位置。

3)当待求LU节点最大测距范围内没有LA节点时，把区域中心的位置作为该LU节点的位置。

第二步，基于上步得出待求LU节点的初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对定位问题进行求解。

为了满足对于定位准确性的要求，完成对所有LU节点粗略的初步定位后，需要将本次定位结果作为初始值x₀进行下一步的迭代运算。可以通过二阶泰勒展开将其近似为如下式(17)，再通过迭代的方法求最优解。

首先，把原目标函数(14)改写为：

于是，可得到其梯度向量和Hessian矩阵为：

可以观察到式(20)中和均是正定的，而和并不能保证正定性。为了保证Hessian矩阵的充分正定性，且迭代过程中目标函数的值稳定而快速地下降，把Hessian矩阵修正为：

本发明采用的修正牛顿法算法流程概述如下：

步骤1)以三点定位得到的粗略定位结果作为初始值x₀，k＝0；

步骤2)计算步径和减量

步骤3)迭代终止条件：如果或k≥100(最大迭代次数)退出，输出x_k，否则继续下一步；

步骤4)回溯直线搜索法确定步长μ：设置α＝0.2，β＝0.8，μ:＝1，如果满足条件则μ:＝βμ；

步骤5)更新x_k+1＝x_k+μΔx_k，令k＝k+1返回步骤2)。

考虑到本发明中采用的修正牛顿法对初始值的依赖性比较大，当选取的初始值x₀不合适时，将会影响迭代收敛的速度，甚至不收敛，因此把采用三点定位法对LU节点的初步定位结果作为迭代的初始值。同时，如果第k个迭代点x_k处的Hessian矩阵不是正定时，目标函数在x_k处的搜索方向Δx_k就不一定是下降的方向。所以，本发明对Hessian矩阵进行了修正，保证其充分的正定性，确保随着迭代的进行，目标函数的值将单调下降，从而使得本发明的修正牛顿法能够快速得到收敛。

本发明提出的算法计算复杂度主要取决于三点定位算法的求解过程和修正牛顿法的迭代过程。由式子(16)可知，三点定位求初始值x₀的过程中，需求解次数不多于N次2×2矩阵的逆，每一次矩阵求逆的复杂度为O(2³)。而已有发明中采用SDP求解初始值x₀的过程中，目标函数有约束条件的限制，且需要进行大量的矩阵运算，尤其是正则项系数的选取更是需要多次采用SDP求解才可以确定。第二步细化节点位置过程中，相比于梯度下降法的一阶收敛，本发明中的修正牛顿法是二阶收敛的，收敛速度更快，并对Hessian矩阵进行了修正，去除不能保证正定性的部分，减少了求解Hessian矩阵的计算量。修正后Hessian矩阵(21)中和的复杂度分别为O(8N²+2N)和O(8N²+8NM+2N)，且每次迭代过程中对修正后Hessian矩阵求逆的复杂度为O(8N³)。理论分析表明，与已有发明相比，本发明的算法复杂度要更小，迭代次数将更少，程序运行时间将更短。

下面通过具体仿真实例，对本发明的性能进行说明。

仿真实例：

为了评价定位的准确性，本发明采用同现有发明相同的评价指标：根均方距离(RMSD)。同时，为了更加详细的描述实验过程中定位误差的分布情况，本文根据重构误差(MRE)绘制了箱形图。

其中，表示LU节点i的真实坐标，表示LU节点i在第n次实验的定位结果，RMSD⁽ⁿ⁾和MRE⁽ⁿ⁾分别是第n次实验的根均方距离和重构误差。本文的仿真程序使用软件MATLAB2016a编程，并运行于Intel i7-7700主频3.6GHz的PC。

表1仿真实验主要参数

为了客观地评价本发明的定位性能，在相同的LA节点分布，相同的最大测距范围d_max＝0.6和不同的噪声强度τ下，本次仿真进行了如下的对比实验。其中，噪声强度τ越大表示测距误差越大。图3a的散点图是100次仿真实验所得的平均RMSD，其中菱形和方形分别表示本发明和现有发明的仿真结果。可以看出噪声强度τ较小时，两者得到的平均RMSD很接近，但当噪声强度τ较大时，本发明所得RMSD明显更小。图3b的箱形图是100次仿真实验所得MRE的分布情况，其中每组箱形图分别表示本发明和现有发明的仿真结果。可以看出噪声强度τ比较小时，两者盒箱形图很相似，但当噪声强度τ比较大时，本发明所得结果的盒形图中位线更低，异常值更少更小。表2和表3分别是100次仿真实验的算法平均迭代次数和运行时间，表中数据显示本发明算法平均迭代次数远小于现有发明，且运行时间更短。综上，与现有算法相比，在不同程度的测距误差下，本发明的节点定位方法定位更快更准确。

表2仿真实例中100次仿真实验的算法平均迭代次数

表3仿真实例中100次仿真实验的运行时间(单位：秒)

本发明根据给定的传感器网络的图模型，首先利用节点间连通性，对节点进行模拟测距，并判断每个LU节点的邻居节点集合。然后定位问题被归结为一个无约束的优化问题，且目标函数是节点间距离误差函数的加权和。考虑到目标函数是关于LU节点位置的高度非线性四次目标函数，难以求解，本发明采用了两步法。第一步，主要采用三点定位的方法对节点进行粗略的定位；第二步，基于三点定位得出的初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对定位问题进行求解。理论分析和仿真结果表明，与现有发明相比，本发明算法复杂度更小，在不同程度的测距误差下定位更准确，且算法迭代次数更少，耗时更短。

需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。

Claims (5)

1.基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其特征是，具体包括步骤如下：

步骤1、采用均匀随机分布的方式部署传感器网络中的未知位置节点，并在相应的位置部署已知位置节点，由此构建传感器网络；

步骤2、基于步骤1中构建的传感器网络的节点分布，利用节点间的连通性测得节点间的距离，并收集每个节点的邻居节点的信息；

步骤3、基于步骤1中构建的传感器网络，以及步骤2所得到的节点间的距离和每个节点的邻居节点的信息，以节点距离误差的加权和为目标函数，将高度非线性非凸的目标函数归结为无约束的优化问题来求解；

步骤4、采用两步法对步骤3的优化问题进行求解，其具体步骤如下：

步骤4.1，对待求未知位置节点进行初步定位，即：

当待求未知位置节点最大测距范围内有3个以上已知位置节点时，则选取距其最近的3个已知位置节点，并采用三点定位法对该未知位置节点进行定位，得到待求未知位置节点的位置；

当待求未知位置节点最大测距范围内只有1～2个已知位置节点时，则将距其最近的已知位置节点的位置作为该待求未知位置节点的位置；

当待求未知位置节点最大测距范围内没有已知位置节点时，则把区域中心的位置作为该待求未知位置节点的位置；

步骤4.2，将步骤3.1所得到的待求未知位置节点的位置作为初始值，结合二阶泰勒近似给出的修正海森矩阵，采用修正牛顿法对优化问题进行求解。

2.根据权利要求1所述的基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其特征是，步骤1中，已知位置节点的部署位置要能够让未知位置节点采用三点定位的方法进行初步定位。

3.根据权利要求1所述的基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其特征是，步骤2中，采用RSS测距方法测得节点间的距离。

4.根据权利要求1或3所述的基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其特征是，步骤2中，每个节点的邻居节点是指与该节点直接相连的节点。

5.根据权利要求1所述的基于二阶泰勒近似的传感器节点定位方法，其特征是，步骤3的优化问题为：

其中，

式中，x表示未知位置节点的位置坐标，N表示未知位置节点的个数，表示与第i个未知位置节点相连通的所有未知位置节点集合，表示与第i个未知位置节点相连通的所有已知位置节点集合，x_i表示第i个未知位置节点的位置，x_j表示第j个未知位置节点的位置，a_k表示第k个已知位置节点的位置，d_ij表示第i个未知位置节点和第j个未知位置节点的距离，d_ik表示第i个未知位置节点和第k个已知位置节点的距离。