CN108629120B - 非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法，其包括以下步骤：计算非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的面积，并在接触区域内均匀分布足够多的数据点；根据非圆柱齿轮与插齿刀加工时的位置关系求解出坐标变换矩阵；将等距曲线族上的点经过坐标变换矩阵变换为插齿刀坐标系中的点；插齿刀每一步切削时，将坐标变换后的点进行判别筛选出工件在插齿刀内的点；在插齿刀的齿顶圆和左、右渐开线上等距离分布足够多的数据点；插齿刀每一步切削时，将插齿刀与工件接触的点进行判别，筛选出插齿刀与工件接触的点；基于单位切削力的公式即可求出切削力的大小。本发明能够准确预测非圆柱齿轮插齿加工切削力，具有计算精度高、计算效率高等优点。

Description

非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法

技术领域

本发明涉及非圆柱齿轮加工领域，更具体地说，涉及一种非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法。

背景技术

齿轮是动力和运动传递的机械关键基础零件。非圆柱齿轮可以实现平行轴变传动比传动，具有许多非圆柱齿轮无法实现的特殊传动性能，非常适合用于制造特种功能的机械传动机构例如：航空航天飞行仪表、变量齿轮泵、机床转位机构等。插齿加工是非圆柱齿轮重要的加工制造方法，插齿加工过程中切削力对插齿刀具寿命、加工效率、加工质量等具有重要影响，如何精确预测切削力是非圆柱齿轮插齿加工需要解决的一个关键技术难题。

目前，切削力的预测方法主要有切削力经验公式、机械学说模型和理论切削力模型三种，以上三种方法难以精确预测非圆柱齿轮插齿加工中的切削力。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于，提供一种计算精度高、计算效率高的非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：构造一种非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法，包括以下步骤：

步骤一、计算非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的面积，并均匀分布足够多的数据点，根据非圆柱齿轮与插齿刀加工时的位置关系求解出坐标变换矩阵，将均匀分布的点经过坐标变换矩阵变换为插齿刀坐标系中的点；

步骤二、插齿刀每一步切削时，将坐标变换后的点进行判别，以插齿刀轮齿实体位置的极径与极角大小为判据，筛选出工件在插齿刀内的点，点的数量即为切屑面积的大小a；

步骤三、在插齿刀的齿顶圆和左、右渐开线上等距离地分布数据点；

步骤四、插齿刀每一步切削时，将插齿刀与工件接触的点进行判别，以插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离为判据，筛选出插齿刀与工件接触的点，点的数量即为接触长度的大小b；

步骤五、基于单位切削力的公式：切削方向F_t＝K_tca+K_teb，径向方向F_f＝K_fca+K_feb，轴向方向F_r＝K_rca+K_reb，计算非圆柱齿轮插齿加工切削力的大小，其中K_tc、K_fc、K_rc为切削系数，K_te、K_fe、K_re为边缘系数。

上述方案中，步骤一中所述非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的表达式为：

其中，(x₁,y₁)表示齿顶曲线坐标，(x₂,y₂)表示齿根曲线坐标，x表示变化角。

上述方案中，步骤一中在公式(1)、(2)接触区域内分布数据点的坐标方程式为：

其中，r_ai表示非圆柱齿轮即椭圆的长半轴，r_bi表示非圆柱齿轮即椭圆的短半轴，i表示第i条等距圆环，通过公式(3)在每条等距曲线上均匀取j个点得到点集P_ij(x_ij,y_ij)。

上述方案中，步骤一中非圆柱齿轮固定在坐标系O₀-x₀y₀z₀上；坐标系O₁-x₁y₁z₁与插齿刀中心固定，其x轴通过插齿刀分度圆与非圆柱齿轮节曲线的切点，指向节曲线在该点的法线反方向；坐标系O_s-x_sy_sz_s固定在插齿刀上，相对于坐标系O₁-x₁y₁z₁转过的角度为θ；插齿刀中间坐标系O₁-x₁y₁z₁到非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀下的坐标变换矩阵为M₀₁，插齿刀固连坐标系O_s-x_sy_sz_s到中间坐标系O₁-x₁y₁z₁的坐标变换矩阵为M_1s；非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀到插齿刀坐标系O_s-x_sy_sz_s的坐标变换矩阵为：

M_n＝(M₀₁M_1s)′＝[(2t_y-n_x-n_y)*cosθ+(2t_x+n_x+n_y)*sinθ+x_n1+y_n1+1]′ (4)

其中n_x,n_y为非圆柱齿轮节曲线单位法向量的分量，t_x,t_y为非圆柱齿轮节曲线单位切向量的分量，(x_n1,y_n1)为坐标系O₁-x₁y₁z₁任一一点的坐标。

上述方案中，步骤二将非圆柱齿轮节曲线等距曲线族上的点P_ij(x_ij,y_ij)通过上述坐标变换关系转化成插齿刀坐标系下的点P_ij′(x_sij,y_sij)，并求出P_ij′点在插齿刀坐标系下的极角

与极径

上述方案中，步骤二中的所述判据为：

r_ij≤r (6)

其中sita表示每个齿对应的圆心角，ct₂表示齿顶圆上渐开线上展角，r表示为对应点与插齿刀圆心连线与插齿刀齿廓交点的距离。

上述方案中，步骤二中实际插齿加工过程中，上一步切除的点将不会再下一步切削加工中出现，所以还需要将原有的非圆柱齿轮等距线上的点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除上一步切削的点，被切除的点V是经过矩阵Mn变换而来的，为了使原点集P_ij(x_ij,y_ij)的点能够剔除掉，因此还需要将矩阵V经过逆矩阵M_n′变换得到V₁，再从原点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除V₁，插齿刀第一步的切屑点将在第二步中去除；具体的剔除编程如下；

其中，vpa(V₁,5)表示在矩阵V₁中每个元素精确到小数点5位，setdiff函数用来求矩阵V₁与矩阵N_ij中不同的元素；

通过以上判据公式(5)、(6)和剔除程序公式(7)筛选的点数为n，加工区域内每一点代表的面积为s，计算该步非圆柱齿轮插齿加工筛选的点的面积为a＝n*s；

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0；重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步筛选的点的面积，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止。

上述方案中，步骤三中所述插齿刀的齿顶圆等距离分布点的坐标为：

其中fail表示齿顶圆的范围角，r_a表示齿顶圆的半径，由于插齿刀齿顶圆上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(8)中的点变换后得到插齿刀齿顶圆上的横纵坐标(x₃,y₃)为：

步骤三中所述插齿刀的左渐开线上等距离分布点的坐标为：

由于插齿刀左渐开线上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(10)中的点变换后得到插齿刀左渐开线上点的横纵坐标(x₄,y₄)为：

其中，i₁表示插齿刀径向方向上与左渐开线的交点范围，p＝V₁(i₂,1)表示插齿刀左渐开线上点的极角，i2＝length(V₁)表示矩阵V₁的长度；用矩阵V₁把左渐开线上分布点的极角储存起来，表示为V₁＝[V₁；bi]；其中，插齿刀左渐开线上分布点在坐标系上的极角为bi＝(i3-0.25)*sita+ct-ct₁；插齿刀左渐开线上分布点在左渐开线上的展角为ct＝tan(a₁)-a₁；插齿刀等距圆与左渐开线上的交点的压力角为a₁＝acos(r_b/i₁)。

上述方案中，步骤三中所述插齿刀的右渐开线上等距离分布点的坐标为：

公式(12)中的点经过矩阵M_1S变换后得到插齿刀右渐开线上点的横纵坐标(x₅,y₅)为：

其中，p1表示插齿刀右渐开线上点的极角；

将公式(9)、(11)、(13)中的点集也即插齿刀齿顶圆、左右渐开线上分布的均匀点储存在矩阵V₂中，并用(x₆,y₆)表示插齿刀分布的点集的横纵坐标；

根据插齿刀齿顶圆、左右渐开线的长度均匀分布点，总长度为s₁，均匀分布的点数为n₁，每个点代表的长度为d＝s₁/n₁。

上述方案中，步骤四中所述根据插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离，筛选点的判据为：

p₁＜＝p₂ (14)

其中插齿刀齿廓上分布的点在工件坐标系上的极角a₁和长度P₁分别可以表示为：

在插齿刀齿廓上分布的点与工件圆心所在的直线上相交于工件齿顶曲线上一点，该点对应的极径P₂可以表示为：

P₂＝6*cos(2*a₁)+45.1 (16)

通过公式(14)、(15)、(16)中的判据筛选的点数为n₂，计算该步非圆柱齿轮插齿加工接触长度的大小为b＝n₂*d；

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0；重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步接触长度，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止。

实施本发明的非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法，具有以下有益效果：

本发明基于插齿加工包络原理，先将工件离散成有限个均匀的数据点，利用判据判断得出插齿加工非圆柱齿轮每一步的切屑面积和接触长度，进而预测求出切削力的大小，具有计算精度高、计算效率高等优点。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1为插齿刀加工非圆柱齿轮等距曲线的某一瞬时；

图2为非圆柱齿轮与插齿刀坐标位置关系示意图；

图3为插齿刀切削工件计算切屑面积时第一步筛选点的示意图；

图4为插齿刀切削工件计算切屑面积时第二步筛选点的示意图；

图5为插齿刀切削工件第二次径向进给筛选点的示意图；

图6为在插齿刀齿廓上分布均匀点集的模型图；

图7为插齿刀切削工件计算接触长度时第一步筛选点的示意图；

图8为插齿刀切削工件计算接触长度时第二次径向进给筛选点的示意图；

图9a-9c为插齿刀切削非圆柱齿轮工件切削方向、径向方向、轴向方向上的切削力图。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。

在此以一节曲线已知的非圆柱齿轮齿条传动为例，按照上述方法预测插齿加工非圆柱切削力。

齿轮的基本参数如表1所示：

表1非圆柱齿轮基本参数

非圆柱齿轮节曲线弧长

插齿刀相对转角

R为插齿刀分度圆半径。

插齿刀选用标准渐开线插刀，渐开线插齿刀基本参数为：模数m与计算出来的非圆柱齿轮模数一致，齿数为Z₀＝20，压力角α，节圆齿厚S，节圆半径R和基圆半径R_b。

请参见图1-图9c，本发明方法具体步骤如下：

步骤一，设计非圆柱齿轮的节曲线法向等距曲线族，并在曲线族上取足够多的数据点；计算非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的面积，并均匀分布足够多的数据点，根据非圆柱齿轮与插齿刀加工时的位置关系求解出坐标变换矩阵，将均匀分布的点经过坐标变换矩阵变换为插齿刀坐标系中的点。

步骤二，插齿刀每一步切削时，将坐标变换后的点进行判别，以插齿刀轮齿实体位置的极径与极角大小为判据，筛选出工件在插齿刀内的点，点的数量即为切屑面积的大小a。

步骤三，在插齿刀的齿顶圆和左、右渐开线上等距离地分布足够数量的点。

步骤四，插齿刀每一步切削时，将插齿刀与工件接触的点进行判别，以插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离为判据，筛选出插齿刀与工件接触的点，点的数量即为接触长度的大小b。

步骤五，基于单位切削力的公式F_t＝K_tca+K_teb，F_f＝K_fca+K_feb，F_r＝K_rca+K_reb，计算非圆柱齿轮插齿加工切削力的大小。

步骤一中所述非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的表达式为：

其中，(x₁,y₁)表示齿顶曲线坐标，(x₂,y₂)表示齿根曲线坐标，x表示变化角。

步骤一中在公式(1)、(2)接触区域内分布数据点的坐标方程式为：

其中，r_ai表示非圆柱齿轮即椭圆的长半轴，r_bi表示非圆柱齿轮即椭圆的短半轴，i表示第i条等距圆环，通过公式(3)在每条等距曲线上均匀取j个点得到点集P_ij(x_ij,y_ij)。

步骤一中非圆柱齿轮固定在坐标系O₀-x₀y₀z₀上。坐标系O₁-x₁y₁z₁与插齿刀中心固定，其x轴通过插齿刀分度圆与非圆柱齿轮节曲线的切点，指向节曲线在该点的法线反方向。坐标系O_s-x_sy_sz_s固定在插齿刀上，相对于坐标系O₁-x₁y₁z₁转过的角度为θ。插齿刀中间坐标系O₁-x₁y₁z₁到非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀下的坐标变换矩阵为M₀₁，插齿刀固连坐标系O_s-x_sy_sz_s到中间坐标系O₁-x₁y₁z₁的坐标变换矩阵为M_1s。非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀到插齿刀坐标系O_s-x_sy_sz_s的坐标变换矩阵为：

M_n＝(M₀₁M_1s)′＝[(2t_y-n_x-n_y)*cosθ+(2t_x+n_x+n_y)*sinθ+x_n1+y_n1+1]′ (4)

其中n_x,n_y为非圆柱齿轮节曲线单位法向量的分量，t_x,t_y为非圆柱齿轮节曲线单位切向量的分量，x_n1,y_n1为坐标系O₁-x₁y₁z₁任一一点的坐标。

步骤二将非圆柱齿轮节曲线等距曲线族上的点P_ij(x_ij,y_ij)通过上述坐标变换关系转化成插齿刀坐标系下的点P_ij′(x_sij,y_sij)，并求出P_ij′点在插齿刀坐标系下的极角

与极径

步骤二中所述判据为：

r_ij≤r (6)

其中sita表示每个齿对应的圆心角，ct₂表示齿顶圆上渐开线上展角，r表示为对应点与插齿刀圆心连线与插齿刀齿廓交点的距离。

步骤二中实际插齿加工过程中，上一步切除的点将不会再下一步切削加工中出现，所以还需要将原有的非圆柱齿轮等距线上的点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除上一步切削的点，被切除的点V是经过矩阵M_n变换而来的，为了使原点集Pij(x_ij,y_ij)的点能够剔除掉，因此还需要将矩阵V经过逆矩阵M_n′变换得到V₁，再从原点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除V₁，插齿刀第一步的切屑点将在第二步中去除。具体的剔除编程如下。

其中，vpa(V₁,5)表示在矩阵V₁中每个元素精确到小数点5位，setdiff函数用来求矩阵V₁与矩阵N_ij中不同的元素。

通过以上判据公式(5)、(6)和剔除程序公式(7)筛选的点数为17889，加工区域内每一点代表的面积为0.1312，计算该步非圆柱齿轮插齿加工筛选的点的面积为a＝0.1312n。

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0。重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步筛选的点的面积，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止。

步骤三中所述插齿刀的齿顶圆等距离分布点的坐标为：

其中fail表示齿顶圆的范围角，由于插齿刀齿顶圆上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(8)中的点变换后得到插齿刀齿顶圆上的横纵坐标(x₃,y₃)为：

步骤三中所述插齿刀的左渐开线上等距离分布点的坐标为：

由于插齿刀左渐开线上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(10)中的点变换后得到插齿刀左渐开线上点的横纵坐标(x₄,y₄)为：

其中，i₁表示插齿刀径向方向上与左渐开线的交点范围，p＝V₁(i₂,1)表示插齿刀左渐开线上点的极角，i2＝length(V₁)表示矩阵V₁的长度。用矩阵V₁把左渐开线上分布点的极角储存起来，表示为V₁＝[V₁；bi]。其中，插齿刀左渐开线上分布点在坐标系上的极角为bi＝(i3-0.25)*sita+ct-ct₁；插齿刀左渐开线上分布点在左渐开线上的展角为ct＝tan(a₁)-a₁；插齿刀等距圆与左渐开线上的交点的压力角为a₁＝acos(r_b/i₁)。

步骤三中所述插齿刀的右渐开线上等距离分布点的坐标为：

公式(12)中的点经过矩阵M_1S变换后得到插齿刀右渐开线上点的横纵坐标(x₅,y₅)为：

其中，p1表示插齿刀右渐开线上点的极角，计算极角p1的方法与上述左渐开线上点的极角计算方法类似。

将公式(9)、(11)、(13)中的点集也即插齿刀齿顶圆、左右渐开线上分布的均匀点储存在矩阵V₂中，并用(x₆,y₆)表示插齿刀分布的点集的横纵坐标。

根据插齿刀齿顶圆、左右渐开线的长度均匀分布点，总长度为17.4mm，均匀分布的点数为147，每个点代表的长度为d＝0.1186mm。

步骤四中所述根据插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离，筛选点的判据为：

p₁＜＝p₂ (14)

其中插齿刀齿廓上分布的点在工件坐标系上的极角a₁和长度P₁分别可以表示为：

在插齿刀齿廓上分布的点与工件圆心所在的直线上相交于工件齿顶曲线上一点，该点对应的极径P₂可以表示为：

P₂＝6*cos(2*a₁)+45.1 (16)

通过公式(14)、(15)、(16)中的判据筛选的点数为n₂，计算该步非圆柱齿轮插齿加工接触长度的大小为b＝0.1186n₂。

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0。重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步接触长度，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止。

步骤五，基于单位切削力的公式F_t＝K_tca+K_teb，F_f＝K_fca+K_feb，F_r＝K_rca+K_reb，即可求出切削力的大小。其中切削系数K_tc、K_fc、K_rc和边缘系数K_te、K_fe、K_re可以从切削实验中直接通过刀具-工件进行校核得到，都为一常数。经试验得到K_tc＝1636.88、K_fc＝455.48、K_rc＝0、K_te＝28、K_fe＝2.3、K_re＝0。

将上述得到的插齿加工非圆柱齿轮的切削面积a、接触长度b、切削系数、边缘系数代入步骤五的公式中，得到预测的切削方向F_t、径向方向F_f、轴向方向F_r上的切削力如下图9a-9c所示。

上面结合附图对本发明的实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (2)

1.一种非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、计算非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的面积，并均匀分布足够多的数据点，根据非圆柱齿轮与插齿刀加工时的位置关系求解出坐标变换矩阵，将均匀分布的点经过坐标变换矩阵变换为插齿刀坐标系中的点；

步骤二、插齿刀每一步切削时，将坐标变换后的点进行判别，以插齿刀轮齿实体位置的极径与极角大小为判据，筛选出工件在插齿刀内的点，点的数量即为切屑面积的大小a；

步骤三、在插齿刀的齿顶圆和左、右渐开线上等距离地分布数据点；

步骤四、插齿刀每一步切削时，将插齿刀与工件接触的点进行判别，以插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离为判据，筛选出插齿刀与工件接触的点，点的数量即为接触长度的大小b；

步骤五、基于单位切削力的公式：切削方向F_t＝K_tca+K_teb，径向方向F_f＝K_fca+K_feb，轴向方向F_r＝K_rca+K_reb，计算非圆柱齿轮插齿加工切削力的大小，其中K_tc、K_fc、K_rc为切削系数，K_te、K_fe、K_re为边缘系数；

步骤一中所述非圆柱齿轮与插齿刀加工时的接触区域的表达式为：

其中，(x₁,y₁)表示齿顶曲线坐标，(x₂,y₂)表示齿根曲线坐标，x表示变化角；

步骤一中在公式(1)、(2)接触区域内分布数据点的坐标方程式为：

其中，r_ai表示非圆柱齿轮即椭圆的长半轴，r_bi表示非圆柱齿轮即椭圆的短半轴，i表示第i条等距圆环，通过公式(3)在每条等距曲线上均匀取j个点得到点集P_ij(x_ij,y_ij)；

步骤一中非圆柱齿轮固定在坐标系O₀-x₀y₀z₀上；坐标系O₁-x₁y₁z₁与插齿刀中心固定，其x轴通过插齿刀分度圆与非圆柱齿轮节曲线的切点，指向节曲线在该点的法线反方向；坐标系O_s-x_sy_sz_s固定在插齿刀上，相对于坐标系O₁-x₁y₁z₁转过的角度为θ；插齿刀中间坐标系O₁-x₁y₁z₁到非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀下的坐标变换矩阵为M₀₁，插齿刀固连坐标系O_s-x_sy_sz_s到中间坐标系O₁-x₁y₁z₁的坐标变换矩阵为M_1s；非圆柱齿轮坐标系O₀-x₀y₀z₀到插齿刀坐标系O_s-x_sy_sz_s的坐标变换矩阵为：

M_n＝(M₀₁M_1s)′＝[(2t_y-n_x-n_y)*cosθ+(2t_x+n_x+n_y)*sinθ+x_n1+y_n1+1]′ (4)

其中n_x,n_y为非圆柱齿轮节曲线单位法向量的分量，t_x,t_y为非圆柱齿轮节曲线单位切向量的分量，(x_n1,y_n1)为坐标系O₁-x₁y₁z₁任意一点的坐标；

步骤二将非圆柱齿轮节曲线等距曲线族上的点P_ij(x_ij,y_ij)通过上述坐标变换关系转化成插齿刀坐标系下的点P′_ij(x_sij,y_sij)，并求出点P′_ij在插齿刀坐标系下的极角

与极径

步骤二中的所述判据为：

r_ij≤r (6)

其中sita表示每个齿对应的圆心角，ct₂表示齿顶圆上渐开线上展角，r表示为对应点与插齿刀圆心连线与插齿刀齿廓交点的距离；

步骤二中实际插齿加工过程中，上一步切除的点将不会再下一步切削加工中出现，所以还需要将原有的非圆柱齿轮等距线上的点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除上一步切削的点，被切除的点V是经过矩阵M_n变换而来的，为了使原点集P_ij(x_ij,y_ij)的点能够剔除掉，因此还需要将矩阵V经过逆矩阵M_n′变换得到V₁，再从原点集P_ij(x_ij,y_ij)中剔除V₁，插齿刀第一步的切屑点将在第二步中去除；具体的剔除编程如下；

其中，vpa(V₁,5)表示在矩阵V₁中每个元素精确到小数点5位，setdiff函数用来求矩阵V₁与矩阵N_ij中不同的元素；

通过以上判据公式(5)、(6)和剔除程序公式(7)筛选的点数为n，加工区域内每一点代表的面积为s，计算该步非圆柱齿轮插齿加工筛选的点的面积为a＝n*s；

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0；重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步筛选的点的面积，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止；

步骤三中所述插齿刀的齿顶圆等距离分布点的坐标为：

其中fail表示齿顶圆的范围角，r_a表示齿顶圆的半径，由于插齿刀齿顶圆上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(8)中的点变换后得到插齿刀齿顶圆上的横纵坐标(x₃,y₃)为：

步骤三中所述插齿刀的左渐开线上等距离分布点的坐标为：

由于插齿刀左渐开线上的点需要进行矩阵M_1S变换，公式(10)中的点变换后得到插齿刀左渐开线上点的横纵坐标(x₄,y₄)为：

其中，i₁表示插齿刀径向方向上与左渐开线的交点范围，p＝V₁(i₂,1)表示插齿刀左渐开线上点的极角，i2＝length(V₁)表示矩阵V₁的长度；用矩阵V₁把左渐开线上分布点的极角储存起来，表示为V₁＝[V₁；bi]；其中，插齿刀左渐开线上分布点在坐标系上的极角为bi＝(i3-0.25)*sita+ct-ct₁；插齿刀左渐开线上分布点在左渐开线上的展角为ct＝tan(a₁)-a₁；插齿刀等距圆与左渐开线上的交点的压力角为a₁＝acos(r_b/i₁)；

步骤三中所述插齿刀的右渐开线上等距离分布点的坐标为：

公式(12)中的点经过矩阵M_1S变换后得到插齿刀右渐开线上点的横纵坐标(x₅,y₅)为：

其中，p1表示插齿刀右渐开线上点的极角；

将公式(9)、(11)、(13)中的点集也即插齿刀齿顶圆、左右渐开线上分布的均匀点储存在矩阵V₂中，并用(x₆,y₆)表示插齿刀分布的点集的横纵坐标；

根据插齿刀齿顶圆、左右渐开线的长度均匀分布点，总长度为s₁，均匀分布的点数为n₁，每个点代表的长度为d＝s₁/n₁。

2.根据权利要求1所述的非圆柱齿轮插齿加工切削力的预测方法，其特征在于，步骤四中所述根据插齿刀齿廓上分布的等距离点到工件中心的距离，筛选点的判据为：

p₁<＝p₂ (14)

其中插齿刀齿廓上分布的点在工件坐标系上的极角a₁和长度P₁分别可以表示为：

在插齿刀齿廓上分布的点与工件圆心所在的直线上相交于工件齿顶曲线上一点，该点对应的极径P₂可以表示为：

P₂＝6*cos(2*a₁)+45.1 (16)

通过公式(14)、(15)、(16)中的判据筛选的点数为n₂，计算该步非圆柱齿轮插齿加工接触长度的大小为b＝n₂*d；

如果插齿刀沿工件的旋转的角度x≥2π，再进行径向进给，每次径向进给的距离k＝k+0.1，初始值k＝0；重复上述步骤，计算非圆柱齿轮插齿加工每一步接触长度，直到插齿刀加工完非圆柱齿轮为止。

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