CN108491683A - 一种青霉素发酵过程故障检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种青霉素发酵过程故障检测方法，主要步骤为：收集多种工况下的生产数据，包含正常生产数据、故障数据，每个工况收集多批次完整的生产数据；对收集的三维数据进行数据预处理；在主元分析理论的基础上，对数据进一步提炼并提取数据特征；所得特征空间用于检测数据投影和子空间分析；进而进行故障检测。故障检测的统计控制限由多批正常工况的完整批次数据制定。实际检测时，精细检测生产数据的子空间的统计量是否超过融合统计控制限，判断该批生产是否受到故障影响，从而完成故障检测。本发明检测方法采用融合统计控制限对青霉素发酵过程故障进行检测，能够更加精确地检测间歇生产过程中的故障，提高检测效率。

Description

一种青霉素发酵过程故障检测方法

技术领域

本发明属于工业过程故障检测技术领域，涉及间歇工业过程中的故障检测方法，具体涉及一种青霉素发酵过程故障检测方法。

背景技术

随着科学的发展和技术的进步，现代工业过程的规模和复杂程度都在日益提高。与此同时，人们对工业过程运行安全性能和产品质量也提出了更高的要求，过程监控和故障诊断技术尤其重要。故障检测与诊断技术通常用于基于计算机的自动化系统开发与设计，帮助人类解决诸多实际问题，如工业过程监控和疾病诊断等。

作为人们进行生活、生产活动最早使用的操作方式，间歇过程相对于连续过程存在很多优势，如：设备投资少、生产周期短、操作灵活等。考虑到投资成本与风险，企业往往选择一套多用途、多功能的设备来实现对多种产品的生产。这使得企业能够适应市场快速的变化，提离企业的竞争力。间歇过程生产方式的这些优点使得它在工业生产中占有越来越重要的地位，其占有的比重也不断提升，已被广泛应用于具有高附加值的专用化学品和生物医药中，特别是在医药、食品和饮料等行业。随着工业生产市场的不断扩大，国外甚至出现了大规模的、集中的间歇生产。此外，与人们日常生活相关的食品、化妆品、香料等产品的生产都越来越离不开间歇过程。为了满足市场的需求，提商企业竞争力，间歇生产过程也日益趋向于商效、大型和集成化的方向。在实际的故障检测中，以往的研究者更加注重对所采集原始数据的空间建模，如：研究三维数据的多样展开方式、在主元分析中引入高级函数等方法来提取数据特征，从而获得精确地故障检测统计量。但是对统计量合格的标准没有进行更加深入而精准的研究，例如：Q统计量和T²统计量监测的是生产过程中的不同方面，T²统计量表征主元空间特征，Q统计量表征残差空间，故T²统计量包含正常生产过程信号的大部分变化，Q统计量主要代表噪声。如图3所示，Q统计量主要衡量正常过程变量之间的相关性被改变的程度，显示异常的过程状况。T²统计量度量现有样本距离主元空间原点的距离。实际检测时，Q统计量和T²统计量不一定会同时越过各自的控制限，此时，故障难以辨识，降低了间歇生产过程检测故障的效率，使得精准的统计量没有发挥更好的效果。

发明内容

本发明为改善间歇工业过程故障检测中存在的统计控制限不精准、故障检测效果低的问题，提供一种更加高效、准确的统计控制限并应用于青霉素发酵过程故障检测方法，能够更加精确地检测间歇生产过程中的故障，提高检测效率。

为了达到上述目的，本发明提供了一种青霉素发酵过程故障检测方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤一：获取多批正常生产过程数据，I批正常生产的完整数据构成的数据集X(I×J×K)是一个三维数据结构。其中，I代表批次数，J代表过程变量数，K代表采样个数；将三维数据集沿时间轴方向依次向右展开构成一系列二维数据集合(I×JK)，得到K个时间片，即K个二维数据子空间模型Xi(i＝1,2,L,K)；二维数据子空间模型中，每一行元素包含某个批次某个时刻所有过程变量的过程数据；

步骤二：对步骤一中的K个二维数据子空间模型Xi(I×JK)分别进行数据标准化，具体方法为：求出二维数据子空间模型Xi中每一列元素的均值mean(Xi)和标准差std(Xi)，每一列元素减去相应的列均值且除以相应的列标准差；公式如下：

Xi'＝(Xi-mean(Xi))/std(Xi),i＝1,L,J (1)

经上述公式标准化后的数据Xi'，二维数据子空间满足单位方差且均值为0，避免了数据不同量纲的影响；

步骤三：对标准化后的二维数据子空间模型Xi'进行主元分析，提取此模型的统计控制限T2UCL和QUCL；假设标准化后的一个子数据空间模型为X₁'，主元分析步骤如下：

1)X₁'是一个I×J的数据矩阵，其中的每一列对应于一个变量，每一行对应一个样本，矩阵X₁'可以分解为J个向量的外积之和，即：

X₁'＝t₁p₁ ^T+t₂p₂ ^T+……+t_mp_m ^T＝TP^T (2)

在式(2)中，t_i∈R^I是得分向量，p_i∈R^J是负荷向量；各个得分向量之间相互正交，因此，各个负荷向量之间相互正交，同时，每个向量的长度都为1，即：

p_i ^Tp_j＝0,i≠j (3)

p_i ^Tp_j＝1,i＝j (4)

2)将式(2)两侧同时右乘,代入式(3)和式(4)得：

X₁'p_i＝t₁p₁ ^Tp_i+t₂p₂ ^Tp_i+L+t_ip_i ^Tp_i+L+t_Jp_J ^Tp_J (5)

X₁'p_i＝t_i (6)

3)T＝(t₁,t₂,K,t_J)是数据矩阵X₁'在和这个得分向量相对应的负荷向量方向上的投影，由P＝(p₁,p₂,K,p_J)张成的空间是主元子空间PCS，对主元子空间构造统计量T²如下：

T² _i＝t_iλ^-1t_i ^T (7)

式中，λ＝diag{λ₁,Lλ_J}，λ为X₁'主元分析过程中协方差矩阵S的特征值矩阵。

将式(6)代入式(7)得：

T² _i＝X₁'p_iλ^-1p_i ^T(X₁')^T (8)

将X₁'在P向量的方向上投影得到X₁'P，残差e为：

e＝X₁'-X₁'P (9)

由残差e张成的子空间称为残差子空间RS，对残差子空间构造统计量Q如下：

Q＝P(I-PP^T)X₁'P² (10)

标准样本X₁'被分解为在主元子空间上的投影X2和残差子空间上的投影X3，三者之间关系如下式：

X₁'＝X2+X3 (11)

X2＝PP^TX₁' (12)

X3＝(I-PP^T)X₁' (13)

故X2和X3关系如下：

由式(14)推理知：主元子空间主要反映正常数据变化的测度，残差子空间主要反映非正常数据噪声变化的情况；

通过分析主元子空间的T²统计量、残差子空间的Q统计量超出控制限的情况来获得故障检测结果，需先求出统计控制限；T²和Q统计量的控制限如下：

h₀＝1-2θ₁θ₃/3θ₁ ² (17)

式中，Ca为标准正态分布在置信水平α下的阈值，A为X₁'的主元模型中主元个数；

步骤四：按照步骤三的过程处理余下的K-1个数据子空间模型，共得到T2UCL的K个值和QUCL的K个值，即得到正常工况下，T2UCL和QUCL的对应时刻的阈值；

步骤五：合成T²统计量和Q统计量为

步骤六：合成T²统计量和Q统计量的控制限为ζ²：

ζ²＝gχ²h (21)

步骤七：进行故障检测，发生则认为过程发生了故障。

与现有技术相比，本发明检测方法采用融合统计控制限方式对青霉素发酵过程故障进行检测，能够更加精确地检测间歇生产过程中的故障，提高检测效率。

附图说明

图1为本发明一种实施例青霉素发酵过程故障检测方法的流程图。

图2为本发明一种实例三维数据展开方式图。

图3为本发明一种实施例青霉素发酵过程数据在PCS和RS的投影图。

图4为本发明一种实施例青霉素发酵过程流程图。

图5为本发明实施例50批正常生产过程数据展开方式图。

图6(a)为实施例故障1的T²统计量和Q统计量基于传统主元分析法的故障检测结果图。

图6(b)为实施例故障1基于本发明青霉素发酵过程故障检测方法的结果图。

图7(a)为实施例故障2的T²统计量和Q统计量基于传统主元分析法的故障检测结果图。

图7(b)为实施例故障2基于本发明青霉素发酵过程故障检测方法的结果图。

图8(a)为实施例故障3的T²统计量和Q统计量基于传统主元分析法的故障检测结果图。

图8(b)为实施例故障3基于本发明青霉素发酵过程故障检测方法的结果图。

具体实施方式

下面通过示例性的实施方式对本发明所述的青霉素发酵过程故障检测方法进行具体描述。

本发明提供一种青霉素发酵过程故障检测方法，具体步骤如下：

步骤一：采集多批正常生产过程数据，I批正常生产的完整数据构成数据集X(I×J×K)是一个三维数据结构，其中，I代表批次数目，J代表过程变量数目，K代表采样个数。如图2所示，将三维数据集沿时间轴方向依次向右展开构成一系列二维数据集合(I×JK)，得到K个时间片，即K个二维数据子空间模型Xi(i＝1,2,L,K)。二维数据子空间模型中，每一行元素包含某个批次某个时刻所有过程变量的过程数据。

步骤二：对步骤一中的K个二维数据子空间模型Xi(I×JK)分别进行数据标准化，具体方法为：求出二维数据子空间模型Xi中每一列元素的均值mean(Xi)和标准差std(Xi)，每一列元素减去相应的列均值且除以相应的列标准差。公式如下：

Xi'＝(Xi-mean(Xi))/std(Xi),i＝1,……,J (1)

经公式(1)标准化后的模型Xi'中，单位方差且均值为0，避免了数据的不同量纲的影响。

步骤三：将标准化后的二维数据子空间模型Xi'进行主元分析，提取此模型的统计控制限T2UCL和QUCL。i＝1时，子空间模型为X₁'，对X₁'进行主元分析，步骤如下：

1)X₁'是一个I×J的数据矩阵，其中的每一列对应于一个变量，每一行对应一个样本，矩阵X₁'可以分解为J个向量的外积之和，即：

X₁'＝t₁p₁ ^T+t₂p₂ ^T+……+t_mp_m ^T＝TP^T (2)

在式(2)中，t_i∈R^I是得分向量，p_i∈R^J是负荷向量；各个得分向量之间相互正交，因此，各个负荷向量之间相互正交，同时，每个向量的长度都为1，即：

p_i ^Tp_j＝0,i≠j (3)

p_i ^Tp_j＝1,i＝j (4)

2)将式(2)两侧同时右乘,代入式(3)和式(4)得：

X₁'p_i＝t₁p₁ ^Tp_i+t₂p₂ ^Tp_i+L+t_ip_i ^Tp_i+L+t_Jp_J ^Tp_J (5)

X₁'p_i＝t_i (6)

3)T＝(t₁,t₂,K,t_J)是数据矩阵X₁'在和这个得分向量相对应的负荷向量方向上的投影，由P＝(p₁,p₂,K,p_J)张成的空间是主元子空间PCS，对主元子空间构造统计量T²如下：

T² _i＝t_iλ^-1t_i ^T (7)

式中，λ＝diag{λ₁,Lλ_J}，λ为X₁'主元分析过程中协方差矩阵S的特征值矩阵。

将式(6)代入式(7)得：

T² _i＝X₁'p_iλ^-1p_i ^T(X₁')^T (8)

将X₁'在P向量的方向上投影得到X₁'P，残差e为：

e＝X₁'-X₁'P (9)

由残差e张成的子空间称为残差子空间RS，对残差子空间构造统计量Q如下：

Q＝P(I-PP^T)X₁'P² (10)

标准样本X₁'被分解为在主元子空间上的投影X2和残差子空间上的投影X3，三者之间关系如下式：

X₁'＝X2+X3 (11)

X2＝PP^TX₁' (12)

X3＝(I-PP^T)X₁' (13)

故X2和X3关系如下：

主元子空间主要反映正常数据变化的测度，残差子空间主要反映非正常数据噪声变化的情况。

通过分析主元子空间和残差子空间的监控统计量超出阈值的情况来获得故障检测结果，需先求出控制限。T²统计量控制限和Q统计量控制限如下：

h₀＝1-2θ₁θ₃/3θ₁ ² (17)

式中，λ为X₁'主元分析过程中协方差矩阵S的特征值矩阵，Ca为标准正态分布在置信水平α下的阈值，A为X₁'的主元模型中主元个数。

一般情况下T2UCL远远大于QUCL。如图3所示，数据在主元子空间和残差子空间的投影，其中，b为主元子空间方向，a与c为残差子空间方向。由图3知，主元子空间和残差子空间的一个区别是投影向量X2和X3的平稳性，T²统计量的平稳性相对较好。当两种监控统计量均超出其相应的控制限阈值，则表明此时在青霉素发酵过程中出现了故障。

步骤四：按照步骤三过程处理余下的K-1个数据子空间模型，共得到T2UCL的K个值和QUCL的K个值，即得到正常工况下，T2UCL和QUCL的对应采样点的阈值。

步骤五：合成T²统计量和Q统计量为

步骤六：合成T²统计控制限和Q统计控制限为ζ²：

ζ²＝gχ²h (21)

步骤七：进行故障检测，发生则认为过程发生了故障。

下面以具体实施例来论证本发明一种青霉素发酵过程故障检测方法。

青霉素发酵过程是一种典型的间歇生产过程，其发酵过程复杂多变。图4是青霉素发酵过程流程图，在生产过程中，需要不断地补充空气流量、搅拌，维持一定的温度和罐压，通过控制器FC控制酸、碱流量和冷、热水的阀门开度来调节发酵罐内的pH值，间歇或连续的加入葡萄糖以及铵盐等底物，以补进其他料液来促进青霉素生产。

用Pensim2.0仿真平台模拟上述青霉素发酵过程，选取建模所需的变量。青霉素发酵过程中的测量变量如表1所示。其中，输入变量有：空气流量、搅拌功率、底物流加速率等。输出变量即状态变量有六个：底物浓度、菌体浓度、产物浓度、溶解氧浓度、排气二氧化碳浓度、培养基体积。选取能够在线测量的变量：空气流量、搅拌功率、底物流加速率、底物进给温度、底物浓度、溶氧浓度、培养基体积，二氧化碳浓度、pH、产热10个变量作为建模依据。

表1建模选取的变量。

序号	变量	单位	序号	变量	单位
						1	空气流量	L/h	9	培养基体积	L
2	搅拌功率	W	10	发酵罐温度	K
						3	底物流加速率	L/h	11	冷水流量	L/h
4	底物浓度	g/L	12	热水流量	L/h
						5	菌体浓度	g/L	13	酸流量	mL/h
6	产物浓度	g/L	14	碱流量	mL/h
						7	溶解氧浓度	g/L	15	pH值	-
8	二氧化碳浓度	mol/L	16	产热量	cal/L

青霉素发酵过程测量变量的初始设定范围如表2所示，在变化范围之内，采集50批正常生产过程数据，构成原始的三维数据模型。仿真时间为400h，采样间隔0.1h。

表2选取的变量的初始设定范围

在Pensim仿真平台模拟青霉素发酵过程故障状态，采集各故障工况下的数据。设定青霉素发酵过程中的三种故障模式如表3所示。

表3青霉素发酵过程中的三种故障模式

故障编号	故障类型	故障描述
			1	空气流量故障	150h-200h，发生+10％阶跃变化
2	搅拌功率故障	150h-200h，发生+0.5/h斜坡变化
			3	底物流加速率故障	150h-200h，发生+20％阶跃变化

采用本发明一种青霉素发酵过程故障检测方法，对青霉素发酵过程进行故障检测，并将检测结果与传统的T²和Q统计控制限作比较。

本发明一种青霉素发酵过程故障检测方法，具体步骤如下：

步骤一：将50批正常工况的三维数据沿时间轴方向依次向右展开,如图5所示，得到4000个时间片，即4000个二维数据子空间模型。

步骤二：对步骤一中的二维数据子空间模型Xs(s＝1,2,…,4000)进行数据标准化，标准化方法为：每一列元素减去相应的列均值mean(Xs)且除以相应的列标准差std(Xs)。公式如下：

Xs'＝(Xs-mean(Xs))/std(Xs),s＝1,2,…,4000 (24)

最终，使得每个标准化后的子空间模型Xs'单位方差且均值为零，避免不同量纲带来的影响。

步骤三：标准化后的子空间模型Xs'内部进行主元分析，提取T²和Q统计量控制限，如下步骤所示：

1)Xs'是一个50×10的数据矩阵，其中的每一列对应于一个变量，每一行对应一个样本，矩阵Xs'可以分解为10个向量的外积之和，即：

X_j'＝t₁p₁ ^T+t₂p₂ ^T+……+t₁₀p₁₀ ^T＝TP^T (25)

在式(25)中，t_i∈R^I是得分向量，p_i∈R^J是负荷向量。各个得分向量之间正交，因此，各个负荷向量之间相互正交，同时，每个向量的长度都为1，即：

p_i ^Tp_j＝0,i≠j (26)

p_i ^Tp_j＝1,i＝j (27)

2)将式(25)两侧同时右乘p_i,代入(26)(27)得：

Xs'p_i＝t₁p₁ ^Tp_i+t₂p₂ ^Tp_i+L+t_ip_i ^Tp_i+L+t₁₀p₁₀ ^Tp₁₀ (28)

Xs'p_i＝t_i (29)

3)T＝[t₁,t₂,…,t₁₀]是数据矩阵Xs'在和这个得分向量相对应的负荷向量方向上的投影，由P＝[p₁,p₂,…,p₁₀]张成的空间是主元子空间PCS，对主元子空间构造统计量T²如下：

T² _i＝t_iλ^-1t_i ^T (30)

式中，将式(29)代入得：

T² _i＝X_iPλ^-1P^TX_i ^T (31)

式中，λ＝diag{λ₁,Lλ_J}，λ为Xs'主元分析过程中协方差矩阵S的特征值矩阵。

将Xs'在P向量的方向上投影得到Xs'P，残差e为：

e＝Xs'-Xs'P (32)

由残差e张成的子空间称为残差子空间RS，对残差子空间构造统计量Q如下：

Q＝P(I-PP^T)Xs'P² (33)

空间Xs'被分解为在主元子空间上的投影X2和残差子空间上的投影X3，如下式：

Xs'＝X2+X3 (34)

X2＝PP^TXs' (35)

X3＝(I-PP^T)Xs' (36)

故X2和X3关系如下：

T²和Q统计量控制限如下：

h₀＝1-2θ₁θ₃/3θ₁ ² (40)

式中，Ca为标准正态分布在置信水平α下的阈值，A为主元模型的主元个数。其中，主元个数的选取采用累积贡献率法，如式(41)所示，以累积贡献率W＝85％为限选取主元个数。

式中，λi(i＝1,2，…，10)，表示Xs'主元分析中的第i特征值，λ_总为特征值总和。

步骤四：余下的s-1个标准化后的子空间均按照步骤三的方式，求取该空间模型的T²和Q统计控制限，4000个子空间的统计控制限为：

T²UCL＝(T²UCL1,T²UCL2,…,T²UCL4000) (42)

QUCL＝(QUCL1,QUCL2,…,QUCL4000) (43)

步骤五：合成故障数据空间的T²统计量和Q统计量为

步骤六：合成式(42)T²统计控制限和式(43)Q统计控制限为：

ζ²＝gχ²h (46)

步骤七：进行青霉素发酵过程的故障检测，发生则认为过程发生了故障。

基于主元分析理论基础上采用传统的故障检测统计量和统计控制限，针对该50批正常工况的三维数据进行青霉素发酵过程中故障检测，分别计算3种故障发生时，生产过程中故障时间段的检出时间，记录在表4中。

表4传统检测方法3种故障发生时故障时间段的检出时间

故障编号	T2UCL	QUCL	ζ2
				1	155.4h	166.7h	150.5h
2	156.2h	168.7h	152.1h
				3	159.3h	162.5h	156.6h

下面对各个故障进行分析：

故障1：

图6(a)是基于主元分析理论基础上采样传统的统计量和统计控制限，针对青霉素发酵过程中出现空气流量故障进行故障检测。基于Pensim仿真平台模拟133h开始出现+10％阶跃变化的空气流量故障，采集完整生产数据，进行数据特征提取和故障检测，用传统的统计控制限QUCL和T2UCL检测该生产过程的故障情况。如图6(a)所示，在设定故障时间内，T²统计量在138.4h开始超出T2UCL，Q统计量在生产过程166.7h开始超出QUCL，表明138.4h时可能出现了故障，166.7h开始T²统计量和Q统计量均超出控制限，确定此时已经发生故障。检测时间比故障设定时间延迟了5.4h。

图6(b)是采用本发明青霉素发酵过程故障检测方法监测青霉素发酵过程中出现的+10％空气流量故障。如图6(b)所示，在设定故障时间内，133.5h开始出现统计量超过阈值的情况，即表明133.5h检测到开始出现故障。检测结果比设定故障时间延迟了0.5h，此结果相较于图6(a)，检测出故障的时间更为提前，检测效果较好。

故障2：

图7(a)是传统的统计控制限对搅拌功率故障的检测结果。如图7(a)所示，在设定故障时间内，139.2h开始出现T²统计量超过其统计控制限，168.7h开始才出现Q统计量超过其统计控制限，表明139.2h开始青霉素发酵过程可能出现了故障，168.7h开始确定发生了故障。检测时间比故障设定时间延迟了6.2h。

图7(b)所示为是采用本发明青霉素发酵过程故障检测方法监测青霉素发酵过程中对图7(a)中同一生产过程进行故障检测的结果。如图7(b)所示，在设定故障时间内，135.1h开始检测到出现故障，比故障设定开始时间延迟了2.1h，此检测结果比图7(a)结果更加提前，检测故障效果较好。

故障3：

图8(a)是传统的统计控制限对底物流加速率故障的检测结果。如图8(a)所示，在设定故障时间内，142.3h开始出现T²统计量超过其统计控制限，145.5h开始才出现Q统计量超过其统计控制限。结果表明，142.3h开始青霉素发酵过程可能出现了故障，145.5h开始确定发生故障。检测时间比故障设定时间延迟了9.3h。

图8(b)所示为是采用本发明青霉素发酵过程故障检测方法监测青霉素发酵过程中对图8(a)中同一生产过程进行故障检测的结果。如图8(b)所示，在设定故障时间内，139.6h开始检测到出现故障，比故障设定开始时间延迟了6.6h，此检测结果比图8(a)结果更加提前，检测故障效果更好。

针对青霉素发酵过程中三种故障的检测结果，表明是采用本发明青霉素发酵过程故障检测方法的检测结果比传统故障检测方法更加及时，检测效果更好。

以上所举实施例仅用为方便举例说明本发明，并非对本发明保护范围的限制，在本发明所述技术方案范畴，所属技术领域的技术人员所做各种简单变形与修饰，均应包含在以上申请专利范围中。

本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (1)

1.一种青霉素发酵过程故障检测方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤一：获取多批正常生产过程数据，I批正常生产的完整数据构成的数据集X(I×J×K)是一个三维数据结构。其中，I代表批次数，J代表过程变量数，K代表采样个数；将三维数据集沿时间轴方向依次向右展开构成一系列二维数据集合(I×JK)，得到K个时间片，即K个二维数据子空间模型Xi(i＝1,2,L,K)；二维数据子空间模型中，每一行元素包含某个批次某个时刻所有过程变量的过程数据；

步骤二：对步骤一中的K个二维数据子空间模型Xi(I×JK)分别进行数据标准化，具体方法为：求出二维数据子空间模型Xi中每一列元素的均值mean(Xi)和标准差std(Xi)，每一列元素减去相应的列均值且除以相应的列标准差；公式如下：

Xi'＝(Xi-mean(Xi))/std(Xi),i＝1,L,J (1)

经上述公式标准化后的数据Xi'，二维数据子空间满足单位方差且均值为0，避免了数据不同量纲的影响；

步骤三：对标准化后的二维数据子空间模型Xi'进行主元分析，提取此模型的统计控制限T2UCL和QUCL；假设标准化后的一个子数据空间模型为X₁'，主元分析步骤如下：

1)X₁'是一个I×J的数据矩阵，其中的每一列对应于一个变量，每一行对应一个样本，矩阵X₁'可以分解为J个向量的外积之和，即：

X₁'＝t₁p₁ ^T+t₂p₂ ^T+……+t_mp_m ^T＝TP^T (2)

在式(2)中，t_i∈R^I是得分向量，p_i∈R^J是负荷向量；各个得分向量之间相互正交，因此，各个负荷向量之间相互正交，同时，每个向量的长度都为1，即：

p_i ^Tp_j＝0,i≠j (3)

p_i ^Tp_j＝1,i＝j (4)

2)将式(2)两侧同时右乘,代入式(3)和式(4)得：

X₁'p_i＝t₁p₁ ^Tp_i+t₂p₂ ^Tp_i+L+t_ip_i ^Tp_i+L+t_Jp_J ^Tp_J (5)

X₁'p_i＝t_i (6)

3)T＝(t₁,t₂,K,t_J)是数据矩阵X₁'在和这个得分向量相对应的负荷向量方向上的投影，由P＝(p₁,p₂,K,p_J)张成的空间是主元子空间PCS，对主元子空间构造统计量T²如下：

T² _i＝t_iλ^-1t_i ^T (7)

式中，λ＝diag{λ₁,Lλ_J}，λ为X₁'主元分析过程中协方差矩阵S的特征值矩阵。

将式(6)代入式(7)得：

T² _i＝X₁'p_iλ^-1p_i ^T(X₁')^T (8)

将X₁'在P向量的方向上投影得到X₁'P，残差e为：

e＝X₁'-X₁'P (9)

由残差e张成的子空间称为残差子空间RS，对残差子空间构造统计量Q如下：

Q＝P(I-PP^T)X₁'P² (10)

标准样本X₁'被分解为在主元子空间上的投影X2和残差子空间上的投影X3，三者之间关系如下式：

X₁'＝X2+X3 (11)

X2＝PP^TX₁' (12)

X3＝(I-PP^T)X₁' (13)

故X2和X3关系如下：

由式(14)推理知：主元子空间主要反映正常数据变化的测度，残差子空间主要反映非正常数据噪声变化的情况；

通过分析主元子空间的T²统计量、残差子空间的Q统计量超出控制限的情况来获得故障检测结果，需先求出统计控制限；T²和Q统计量的控制限如下：

h₀＝1-2θ₁θ₃/3θ₁ ² (17)

式中，Ca为标准正态分布在置信水平α下的阈值，A为X₁'的主元模型中主元个数；

步骤四：按照步骤三的过程处理余下的K-1个数据子空间模型，共得到T2UCL的K个值和QUCL的K个值，即得到正常工况下，T2UCL和QUCL的对应时刻的阈值；

步骤五：合成T²统计量和Q统计量为

步骤六：合成T²统计量和Q统计量的控制限为ζ²：

ζ²＝gχ²h (21)

步骤七：进行故障检测，发生则认为过程发生了故障。