CN108470214B - 一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，涉及工业过程的系统建模技术领域。该方法包括：选取样本的非线性模型，获取该模型区间系统的实际观测值、有界误差的区间范围和待估计参数初始搜索范围；利用最小二乘思想，确定目标函数；利用基于进化策略的区间优化算法对目标函数进行寻优，得到待估计参数的区间解。本发明提供的一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，该方法抛弃常规的有界误差参数辨识问题的寻找满足误差范围的不确定参数集合的方法，将点进化策略作为加速工具，对传统的区间二分法进行剪枝，舍弃单调性原则，广泛适用于工业过程中的系统建模，如微生物发酵，随动跟踪系统等不可微的目标函数。

Description

一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法

技术领域

本发明涉及工业过程的系统建模技术领域，具体涉及一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法。

背景技术

在多数实际运行的控制系统中，或多或少存在不确定的因素，如物理元器件的测量误差、生物菌体生长情况、存储器有限字长的影响和外界干扰等，因此若想精确获得控制系统的数学模型十分困难。为了更加符合真实情况的控制过程，可以在控制系统中添加不确定性，引入区间数来建立不确定数学模型。建立参数不确定系统模型的常用方法有随机方法、模糊方法以及区间方法。其中区间方法是在信息缺乏的情况下，把参数看作是在一定区间范围内变化的数值，这种以区间方法描述的参数不确定系统即为区间系统。

系统参数估计是用某种方法根据实验取的实际样本数据来进行系统中某些待定参数的辨识。常规的参数估计方法有很多种，如最小二乘估计、极大似然估计等，其采用的方法都是将参数估计问题转化为优化某一目标函数问题，利用优化方法，如牛顿法、单纯形法或者遗传算法等求解优化问题，但这些经典的优化方法都无法处理区间参数，因此需要一种区间优化算法进行区间系统的参数估计，而现有的常规方法是寻找满足误差范围的不确定参数集合，如SIVIA算法，但所得区间解的宽度无法指定精度。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明提供一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，该方法将点进化策略作为加速工具，对传统的区间二分法进行剪枝，舍弃单调性原则，广泛适用于工业过程中的系统建模，如微生物发酵，随动跟踪系统等不可微的目标函数。

为了实现上述目的，一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，包括以下步骤：

步骤1：选取工业过程中样本的非线性模型，获取该模型在工业区间系统的实际观测值、有界误差的区间范围和待估计参数初始搜索范围；

步骤2：利用最小二乘思想，将实际观测值与非线性模型输出值的偏差平方和作为目标函数；

步骤3：利用基于进化策略的区间优化算法对步骤2中的目标函数进行寻优，得到待估计参数的区间解，具体方法如下：

步骤3.1：设置进化策略区间优化算法的参数，包括进化策略初始迭代次数g＝1、进化策略最大迭代次数gen、总初始迭代次数G＝1、每个子区间随机产生个体数K、所得解区间的宽度δ；

步骤3.2：沿最大边方向N等分待估参数初始搜索域Ω，得到初始搜索集合I＝{I¹,…,Iⁱ,…,I^N}，i＝1,...,N，且i为正整数，其中

D为第i个子区间的待估参数个数，j＝1,...,D，且j为正整数，

为第i个子区间的第j个待估参数；初始化种群集合

初始化满足精度的解集合

步骤3.3：在初始搜索集合I中的每个子区间随机产生K个点个体，形成种群集合X，X＝{x¹,...,xⁱ,...x^N}，

则

且

其中k＝1,...,K，

为在第i个子区间的第j个待估参数所产生的第k个点个体；

步骤3.4：计算在第i个子区间产生的第k个点个体的适应度值

并存储，将I中所有子区间内的所有点个体的适应度值按照由小到大排序；

步骤3.5：设置截断阈值T＝size(x)/K*0.5，利用截断选择删除不可能是最优解的点个体，保留优良的点个体x＝x_rest；其中，size(x)表示点个体x的个数；

步骤3.6：判断当前进化策略迭代次数g与进化策略最大迭代次数gen的关系，若g<gen，则令g＝g+1，通过变异操作产生新的个体，使得新种群总数为K×N，返回步骤3.4；否则，转步骤3.7；

步骤3.7：统计I中每个子区间所包含的优良的点个体x的数目，将标记点个体数目最多的子区间记为I^*，同时删除子区间中不包含任何点个体的子区间；

步骤3.8：对I中所有子区间进行自然区间扩张，标记扩张后区间第i个子空间的下界值L(Iⁱ)和第i个子空间中点值m(Iⁱ)均最小的子区间所对应的原子区间I^p，其中

其中，q为不等于p的任意正整数，且q≤N；

步骤3.9：判断子区间I^*与I^p之间的关系，若I^*＝I^p，则将子区间I^*进行四等分，继续步骤3.10；否则，将子区间I^*和I^p进行二等分，继续步骤3.10；

步骤3.10：对重新切分的I中所有子区间进行自然区间扩张，得到新的第i个子空间的上界U(Iⁱ)与第i个子空间的下界L(Iⁱ)，令

若L(Iⁱ)＞τ，则该子区间内不包含最优解，从区间I内删除，即I＝I-Iⁱ；

步骤3.11：判断第i个子区间的宽度w(Iⁱ)与解区间的宽度δ之间的关系，若w(Iⁱ)≤δ，则将该子区间加入解集合中，令I＝I-Iⁱ，S＝S∪Iⁱ，算法输出待估参数的区间解，否则，令G＝G+1，转步骤3.3。

本发明的有益效果：

本发明提出一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，抛弃常规的有界误差参数辨识问题的寻找满足误差范围的不确定参数集合的方法，利用最小二乘思想将参数辨识问题转化为优化问题，利用基于进化策略的区间优化算法寻优，得到指定宽度的区间解，能够保证将待估参数的区间解带回区间系统模型中得到的模型输出值在实际观测值的有界误差范围内，保证了估计模型输出值的准确性。

附图说明

图1为本发明实施例中基于区间优化算法的有界误差参数估计方法流程图；

图2为本发明实施例中菌体生长实际观测图；

图3为本发明实施例中基于区间优化算法的有界误差参数估计方法步骤3流程图；

图4为本发明实施例中菌体生长实际观测与模拟拟合对比图；

图5为本发明实施例中菌体生长实际观测与模拟拟合区间对比图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优势更加清晰,下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明,并不用于限定本发明。

一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，流程如图1所示，具体方法如下所述：

步骤1：选取工业过程中样本的非线性模型，获取该模型在工业区间系统的实际观测值、有界误差的区间范围和待估计参数初始搜索范围。

本实施方式中，所选取谷氨酸棒状杆菌菌体生长的非线性模型y(t)＝k/(1+e^{a -rt})，y₀＝k/(1+e^a)，获得2-21时刻的菌体数量的实际观测值y(t)，如表1所示，菌体生长的实际观测图如图2所示，获取模型的有界误差区间范围

获取待估参数r、a、k的初始搜索范围[p]＝[0,6]×[0,6]×[0,5]。

表1 2-21时刻菌体数量实际观测值

步骤2：利用最小二乘思想，将实际观测值与模型输出值的偏差平方和作为目标函数。

本实施方式中，根据实际观测值与模型输出值并利用最小二乘思想，可得寻优的目标函数为

其中Y_i是实际观测值y_i加上有界误差

后的一个区间[y_i-e,y_i+e]，

是参数区间解带入目标函数所求的自然区间扩张，将实际观测值加上有界误差后的区间值与所得区间解带回模型中的模型输出区间值的比较结果如表2所示，目标函数中所涉及到的运算法则也是对应的区间的运算法则，显然所得到的目标函数的值是区间数。

表2模型输出区间值比较结果

步骤3：利用基于进化策略的区间优化算法对步骤2中的目标函数进行寻优，得到待估计参数的区间解，流程如图3所示，具体方法如下：

步骤3.1：设置进化策略区间优化算法的参数，包括进化策略初始迭代次数g＝1、进化策略最大迭代次数gen、总初始迭代次数G＝1、每个子区间随机产生个体数K、所得解区间的宽度δ。

本实施方式中，设置进化策略区间优化算法的参数gen＝4，K＝4，δ＝0.1。

步骤3.2：沿最大边方向N等分待估参数初始搜索域Ω，得到初始搜索集合I＝{I¹,…,Iⁱ,…,I^N}，i＝1,...,N，且i为正整数，其中

D为第i个子区间的待估参数个数，j＝1,...,D，且j为正整数，

为第i个子区间的第j个待估参数；初始化种群集合

初始化满足精度的解集合

本实施方式中，设进化策略区间优化算法的置待估参数切分份数N＝7。

步骤3.3：在初始搜索集合I中的每个子区间随机产生K个点个体，形成种群集合X，X＝{x¹,...,xⁱ,...x^N}，

则

且

其中k＝1,...,K，

为在第i个子区间的第j个待估参数所产生的第k个点个体。

步骤3.4：计算在第i个子区间产生的第k个点个体的适应度值

并存储，将I中所有子区间内的所有点个体的适应度值按照由小到大排序。

步骤3.5：设置截断阈值T＝size(x)/K*0.5，利用截断选择删除不可能是最优解的点个体，保留优良的点个体x＝x_rest；其中，size(x)表示点个体x的个数。

步骤3.6：判断当前进化策略迭代次数g与进化策略最大迭代次数gen的关系，若g<gen，则令g＝g+1，通过变异操作产生新的个体，使得新种群总数为K×N，返回步骤3.4；否则，转步骤3.7。

步骤3.7：统计I中每个子区间所包含的优良的点个体x的数目，将标记点个体数目最多的子区间记为I^*，同时删除子区间中不包含任何点个体的子区间。

步骤3.8：对I中所有子区间进行自然区间扩张，标记扩张后区间第i个子空间的下界值L(Iⁱ)和第i个子空间中点值m(Iⁱ)均最小的子区间所对应的原子区间I^p，其中

其中，q为不等于p的任意正整数，且q≤N。

步骤3.9：判断子区间I^*与I^p之间的关系，若I^*＝I^p，则将子区间I^*进行四等分，继续步骤3.10；否则，将子区间I^*和I^p进行二等分，继续步骤3.10。

步骤3.10：对重新切分的I中所有子区间进行自然区间扩张，得到新的第i个子空间的上界U(Iⁱ)与第i个子空间的下界L(Iⁱ)，令

若L(Iⁱ)＞τ，则该子区间内不包含最优解，从区间I内删除，即I＝I-Iⁱ。

步骤3.11：判断第i个子区间的宽度w(Iⁱ)与解区间的宽度δ之间的关系，若w(Iⁱ)≤δ，则将该子区间加入解集合中，令I＝I-Iⁱ，S＝S∪Iⁱ，算法输出待估参数的区间解，否则，令G＝G+1，转步骤3.3。

本实施方式中，寻优得到的待估参数区间解结果为k∈[0.9051,0.9052]，a∈[1.7410,1.7545],r∈[0.3885,0.3886]。将参数取中点值带回菌体生长模型中，可得到菌体生长实际观测与模拟拟合对比图，如图4所示，将待估参数区间解结果与菌体生长实际观测数据加上±0.5的误差之后得到的区间值对比，如图5所示。

从图4可以看出，除了菌体生长初期，拟合数据与实际数据误差较大之外，其余时间段都具有较高的拟合度；从图5可以看出，实际数据完全包含拟合数据，即本算法得到的结果完全包含在误差范围之内。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解；其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；因而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明权利要求所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于区间优化算法的有界误差参数估计方法，其特征在于适用于发酵过程中菌体生长情况观测，包括以下步骤：

步骤1：选取菌体发酵过程中样本的非线性模型y(t)＝k/(1+e^a-rt)，获取菌体数量的实际观测值、有界误差的区间范围e(t)和待估计参数k、r、a的初始搜索范围；

步骤2：利用最小二乘思想，将发酵过程中菌体数量的实际观测值与非线性模型输出的菌体数量的预测值的偏差平方和作为目标函数：

其中Y_i是实际观测值y_i加上有界误差

后的一个区间[y_i-e_i,y_i+e_i]，

是参数k、r、a的区间解带入非线性模型所求的自然区间扩张，n为实际观测值或非线性模型输出预测值的数量，即样本个数；

步骤3：利用基于进化策略的区间优化算法对步骤2中的目标函数进行寻优，得到k、r、a的区间解；

步骤3.1：设置进化策略区间优化算法的参数，包括进化策略初始迭代次数g＝1、进化策略最大迭代次数gen、总初始迭代次数G＝1、每个子区间随机产生个体数K、解区间的宽度δ；

步骤3.2：沿最大边方向N等分待估计参数k、r、a初始搜索域Ω，得到初始搜索集合I＝{I¹,…,Iⁱ,…,I^N}，i＝1,...,N，且i为正整数，其中

D为第i个子区间的待估参数个数，j＝1,...,D，且j为正整数，

为第i个子区间的第j个待估参数；初始化种群集合

初始化满足精度的解集合

步骤3.3：在初始搜索集合I中的每个子区间随机产生K个点个体，形成种群集合X，X＝{x¹,...,xⁱ,...x^N}，

则

且

其中k'＝1,...,K，

为在第i个子区间的第j个待估参数所产生的第k’个点个体；

步骤3.4：计算在第i个子区间产生的第k’个点个体的适应度值

并存储，将I中所有子区间内的所有点个体的适应度值按照由小到大排序；

步骤3.5：设置截断阈值T＝size(x)/K*0.5，利用截断选择删除不可能是菌体发酵过程中样本的非线性模型最优解的点个体，保留优良的点个体x_rest；其中，size(x)表示点个体x的个数；

步骤3.6：判断当前进化策略迭代次数g与进化策略最大迭代次数gen的关系，若g<gen，则令g＝g+1，通过变异操作产生新的个体，使得新种群总数为K×N，返回步骤3.4；否则，转步骤3.7；

步骤3.7：统计I中每个子区间所包含的优良的点个体x的数目，将标记点个体数目最多的子区间记为I^*，同时删除子区间中不包含任何点个体的子区间；

步骤3.8：对I中所有子区间进行自然区间扩张，标记扩张后区间第i个子空间的下界值L(Iⁱ)和第i个子空间的中点值m(Iⁱ)的适应度值均最小的子区间所对应的原子区间I^p，其中

q为不等于p的任意正整数，且q≤N；

步骤3.9：判断子区间I^*与I^p之间的关系，若I^*＝I^p，则将子区间I^*进行四等分，继续步骤3.10；否则，将子区间I^*和I^p进行二等分，继续步骤3.10；

步骤3.10：对重新切分的I中所有子区间进行自然区间扩张，得到新的第i个子空间的上界U(Iⁱ)与第i个子空间的下界L(Iⁱ)，令

若L(Iⁱ)＞τ，则该子区间内不包含菌体发酵过程中样本的非线性模型最优解，从区间I内删除，即I＝I-Iⁱ；

步骤3.11：判断第i个子区间的宽度w(Iⁱ)与解区间的宽度δ之间的关系，若w(Iⁱ)≤δ，则将该子区间加入解集合中，令I＝I-Iⁱ，S＝S∪Iⁱ，算法输出k、r、a的区间解，否则，令G＝G+1，转步骤3.3。

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