CN108255784A - 多层量子d(4)小波包变换和逆变换实现量子线路设计的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种多层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法，属于量子信息处理领域，本发明是对现有的量子小波包变换实现技术的完善与改进，利用扩展的张量积和基本的量子比特门，分别构建了基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换、基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换、多层量子D⁽⁴⁾小波包变换和多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子线路。从量子D⁽⁴⁾小波包变换和量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路复杂度分析可知，对于一个2ⁿ个元素的数据集，多层量子D⁽⁴⁾小波包变换、多层量子D⁽⁴⁾小波逆变换线路的复杂度至多为O(n³)，这是其它的经典快速D⁽⁴⁾小波包变换无法达到的。适用于很多实际的信息处理应用的图像编码、去噪、模式匹配和图像水印等算法领域，并对量子计算理论完善和应用的推广有重大意义。

Description

多层量子D(4)小波包变换和逆变换实现量子线路设计的方法

技术领域

本发明涉及量子信息处理领域，具体的来说是涉及一种多层量子D(4)小波包变换和逆变换实现量子线路设计的方法。

背景技术

量子计算是量子力学和计算机科学相结合的产物，量子计算的并行性、叠加性及其测量的不确定性是量子计算机优于经典计算机的根本。

多贝西小波包变换(Daubechies wavelet packet transformation)是最常使用到的小波包变换之一。D⁽⁴⁾小波包变换是多贝西小波系列变换的一种比较简单变换，很容易经由快速小波包转换实现，因此在信息处理领域有着重要的应用。相应的量子D⁽⁴⁾小波包变换在图像编码、边缘检测、图像水印等算法中有着广泛应用。

在经典计算中，信息单元用比特(Bit)表示，它只有两个状态：0态或1态。在量子计算中，信息单元用量子比特(Qubit)表示，它有两个基本量子态|0〉和|1〉，基本量子态简称为基态(Basis State)。一个量子比特可以是两个基态的线性组合，常被称为叠加态(Superposition)，可表示为|ψ〉＝a|0〉+b|1〉。其中a和b是两个复数，满足|a|²+|b|²＝1，因此也被称为概率幅。张量积(tensorproduct)是将小的向量空间合在一起，构成更大向量空间的一种方法，用符号表示，它有如下的含义：

假设U是n×n和V是m×m两个复矩阵

那么

假设二个酉矩阵集合为：和中有m个n×n的矩阵， 中有n个m×m的矩阵。扩展的张量积是一个mn×mn的矩阵其中

量子线路可以由一序列的量子比特门构成，在量子线路的表示图中，每条线都表示量子线路的连线，量子线路的执行顺序是从左到右。一些基本量子比特门的名称和符号见图1。量子比特门可以方便的用矩阵形式表示，单量子比特门可以用一个2×2的酉矩阵U表示，即U+U＝I₂，其中U⁺是U的共轭转置矩阵，I₂是单位阵。X(非门)、H(Hadamard门)和Swap(交换门)是三个通用门，很多量子计算书籍对这三个门有详细的说明。是I₂的n次张量积。

P_n,m是mn×mn的均匀洗牌置换矩阵，(P_n,m)_k,l＝δ_v,z'δ_z,v'，其中k＝vn+z,l＝v'm+z'，0≤v,z'＜m,0≤v',z＜n，当x≠y，δ_x,y＝0，否者δ_x,y＝1。

和是两个特殊的均匀洗牌置换矩阵，它们的递归方程为：

其中Swap是图1中所示的交换门，的量子实现线路如图2所示，的量子实现线路如图3所示。

D⁽⁴⁾小波核矩阵定义为：

其中

由于现有的经典的经典的D⁽⁴⁾小波包变换实现电子线路设计的复杂度为Θ(n2ⁿ)，比较复杂，没能很好满足那些需要实时响应的应用需求。因此需要设计出复杂度更低的实现电子线路设计的方法。

发明内容

本发明提供一种多层量子D(4)小波包变换和逆变换实现量子线路设计的方法，解决现有经典的D⁽⁴⁾小波包变换实现电子线路设计的复杂度高的问题

本发明通过以下技术方案解决上述问题：

本发明充分量子并行性和量子叠加性等量子计算的独特性能，采用扩展张的张量积，首先实现基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换和基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的迭代公式，然后建立多层量子D⁽⁴⁾变换的迭代公式和相应的量子D⁽⁴⁾小波逆变换的迭代公式。并采用量子线路来实现量子D⁽⁴⁾小波包变换和相应的量子D⁽⁴⁾小波包逆变换。

一种多层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法，其中，所述方法将量子计算与经典D⁽⁴⁾小波包变换技术相结合得到量子D⁽⁴⁾小波包变换，基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换得到复杂度为O(n²)的量子实现线路，根据单层量子D⁽⁴⁾小波包变换进行多层量子D⁽⁴⁾小波包变换得到复杂度为O(n³)的量子实现线路。

所述单层量子D⁽⁴⁾小波包变换的具体过程为：

把D⁽⁴⁾小波核矩阵用张量积表示为

其中X和I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X；

对公式(2)中的求逆运算，得到

其中迭代初始值为(Q₂)^-1＝X；

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换可以定义为

利用公式(3),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路，然后设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路。

所述多层量子D⁽⁴⁾小波变换的实现线路的设计过程为：

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换，利用扩展的张量积，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包变换，为单层量子D⁽⁴⁾小波变换，迭代初始值为

设计出复杂度为O(n³)的k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换的量子实现线路。

一种多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换实现量子线路设计的方法，其中，所述方法将量子计算与经典D⁽⁴⁾小波包变换技术相结合得到量子D⁽⁴⁾小波包变换，基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换得到复杂度为O(n²)的量子实现线路，根据单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换进行多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换得到复杂度为O(n³)的量子实现线路。

所述单层量子D⁽⁴⁾小波逆变换的实现线路的设计过程为：

把D⁽⁴⁾小波核矩阵用张量积表示为

其中X和I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X；

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换可以定义为

对公式(6)中的求逆运算，得到

其中迭代初始值为(Q₂)^-1＝X；

对公式(6)中的求逆，可得到

对公式(7)求逆运算，可得到基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的迭代公式

利用公式(10),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路，然后设计出复杂度为O(n²)的基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路。

所述多层量子D⁽⁴⁾小波逆变换的实现线路的设计过程为：

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换，利用扩展的张量积，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包变换，为单层量子D⁽⁴⁾小波变换，迭代初始值为

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，对公式(11)求逆，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，迭代初始值为

设计出复杂度为O(n³)的k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路。

本发明的优点与效果是：

1、本发明与现有的量子D⁽⁴⁾小波包变换实现技术相比，本发明设计了多层量子D⁽⁴⁾小波包变换和多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路，从而构建一个相对完整的量子D⁽⁴⁾小波包变换体系。

2、本发明与经典的D⁽⁴⁾小波包变换实现技术相比，本发明利用量子线路实现的量子D⁽⁴⁾小波包变换是一种高效的变换方法，本发明设计的量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路复杂度都是O(n³)，而经典的快速D⁽⁴⁾小波包变换的实现复杂度为O(n2ⁿ)。

附图说明

图1为本发明基本量子门的表示图；

图2为本发明的量子实现线路图；

图3为本发明的量子实现线路图；

图4为本发明的量子实现线路图；

图5为本发明的量子实现线路图；

图6为本发明的量子实现线路图；

图7为本发明的量子实现线路图；

图8为本发明基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路图；

图9为本发明的量子实现线路图；

图10为本发明的量子实现线路图；

图11为本发明基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路图；

图12为本发明多层量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路图；

图13为本发明多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路图；

图14为本发明单层基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路图(n＝3)；

图15为本发明单层基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路图(n＝3)；

图16为本发明2层量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路图(n＝3)；

图17为本发明2层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路图(n＝3)；

具体实施方式

以下结合实施例对本发明作进一步说明。

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换的设计与实现

公式(1)中的用张量积表示为

其中X和I₂是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X。

利用公式(13),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路如图4所示，然后设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路如图5所示。

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换可以定义为

利用公式(14),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路如图7所示，然后设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路如图8所示。

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的设计与实现

公式(1)中的用张量积表示为

其中X和I₂是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X。

对公式(15)中的求逆运算，得到

其中迭代初始值为(Q₂)^-1＝X，量子实现线路如图6所示。

对公式(15)中的求逆，可得到

其中见公式(16)，量子实现线路如图9所示。

对公式(14)求逆运算，可得到基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的迭代公式

利用公式(18),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路如图10所示，然后设计出复杂度为O(n²)的基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路如图11所示。

多层量子D⁽⁴⁾小波包变换的设计与实现

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换，利用扩展的张量积，可得到：

其中I₂是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包变换，为单层量子D⁽⁴小波变换(见公式(14))，迭代初始值为

k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换的量子实现线路如图12所示，并可知量子实现线路的复杂度是O(n³)。

多层量子D⁽⁴⁾小波包变换的设计与实现

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，对公式(7)求逆，可得到：

其中I₂是图1中单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，迭代初始值为

k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路如图13所示，并可知量子实现线路的复杂度是O(n³)。

一种多层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法的单层量子D⁽⁴⁾小波变换的实现线路如图14所示。将n＝3代入公式(4),得到

实现公式(21)就得到图14中的量子线路。

二层量子D⁽⁴⁾小波包变换的实现线路如图16所示。将n＝3和k＝1代入公式(5),得到

实现公式(11)就得到图16中的量子线路。

一种多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换实现量子线路设计的方法单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的实现线路如图15所示。将n＝3代入公式(10),得到

实现公式(23)就得到图15中的量子线路。

二层量子D⁽⁴⁾小波逆变换的实现线路如图17所示。将n＝3和k＝1代入公式(12),得到

实现公式(24)就得到图17中的量子线路。

以上已对本发明创造的较佳实施例进行了具体说明，但本发明并不限于实施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明创造精神的前提下还可以作出种种的等同的变型或替换，这些等同的变型或替换均包含在本申请的范围内。

Claims (6)

1.一种多层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述方法将量子计算与经典D⁽⁴⁾小波包变换技术相结合得到量子D⁽⁴⁾小波包变换，基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换得到复杂度为O(n²)的量子实现线路，根据单层量子D⁽⁴⁾小波包变换进行多层量子D⁽⁴⁾小波包变换得到复杂度为O(n³)的量子实现线路。

2.根据权利要求1所述的一种基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法，其特征在于，所述单层量子D⁽⁴⁾小波包变换的具体过程为：

把D⁽⁴⁾小波核矩阵用张量积表示为

其中X和I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X；

对公式(2)中的求逆运算，得到

其中迭代初始值为(Q₂)^-1＝X；

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换可以定义为

利用公式(3),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路，然后设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路。

3.根据权利要求1所述的一种多层量子D⁽⁴⁾小波包变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述多层量子D⁽⁴⁾小波变换的实现线路的设计过程为：

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换，利用扩展的张量积，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包变换，为单层量子D⁽⁴⁾小波变换，迭代初始值为1≤k≤n-2；

设计出复杂度为O(n³)的k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换的量子实现线路。

4.一种多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述方法将量子计算与经典D⁽⁴⁾小波包变换技术相结合得到量子D⁽⁴⁾小波包变换，基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换得到复杂度为O(n²)的量子实现线路，根据单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换进行多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换得到复杂度为O(n³)的量子实现线路。

5.根据权利要求4所述的一种基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述单层量子D⁽⁴⁾小波逆变换的实现线路的设计过程为：

把D⁽⁴⁾小波核矩阵用张量积表示为

其中X和I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是两个旋转矩阵，迭代初始值为Q₂＝X；

基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包变换可以定义为

对公式(6)中的求逆运算，得到

其中迭代初始值为(Q₂)^-1＝X；

对公式(6)中的求逆，可得到

对公式(7)求逆运算，可得到基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的迭代公式

利用公式(10),先设计出复杂度为O(n²)的的量子实现线路，然后设计出复杂度为O(n²)的基于周期扩展的单层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路。

6.根据权利要求4所述的一种多层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换实现量子线路设计的方法，其特征在于：所述多层量子D⁽⁴⁾小波逆变换的实现线路的设计过程为：

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包变换，利用扩展的张量积，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包变换，为单层量子D⁽⁴⁾小波变换，迭代初始值为1≤k≤n-2；

令为k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，对公式(11)求逆，可得到：

其中I₂是单量子比特门，是张量积运算符号，是I₂的n次张量积，和是均匀洗牌置换矩阵，为k层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换，迭代初始值为1≤k≤n-2；

设计出复杂度为O(n³)的k+1层量子D⁽⁴⁾小波包逆变换的量子实现线路。