CN108242995B - 一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，通过引入分段函数，对分数阶混沌系统进行平移变换，并对参数进行设置，能够产生2(N+1)‑和2N+1‑个涡卷吸引子，分数阶平移混沌系统完善了由三维一次自治式常微分组成的分数阶混沌系统领域，若更改各子系统的参量设置，可以将子系统等价变换为其它已经存在的经典混沌系统，该系统的实用性可以应用在的领域有：混沌同步、密码学、电路电子、信号传输、信息处理等，与现有的系统相比较，分数阶更复杂，因此将分数阶应用于信号传输和密码学领域具有更强的保密性和抗干扰能力。

Description

一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法

技术领域

本发明涉及电子通信领域，尤其涉及一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法。

背景技术

1963年，E,N,Lorenz发现了第一个混沌系统，从而奠定了混沌理论研究的出发点和基石。相继很多学者提出自己的研究成果，其中典型成就如陈关荣同志提出Chen系统,吕金虎提出Lü系统，吕金虎又在2002年将上述系统完美融合到一起，提出统一混沌系统，等等。然而，上述多涡卷混沌系统都属于三维二次自治微分方程。1983年L.O.Chua在实验室创建了Chua电路，第一次将混沌理论应用于实际电路。1993年提出的Jerk系统。随后PachecoJ.M、Ronilson Rocha、陈关荣、Vandewalle J等许多学者开创了复杂多涡卷吸引子的研究方向，构造出多涡卷、多翅膀混沌系统等，并取得了大量成果。但是，上述成果以整数阶混沌系统为主，分数阶混沌系统相关成果较少，无法统一。

发明内容

针对上述缺陷或不足，本发明的目的在于提供一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法。

为达到以上目的，本发明的技术方案为：

一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，包括：

1)、在三维常微分方程中，根据分数阶微分定义，构造出分数阶混沌系统；其中，所述分数阶混沌系统中a₁₂ a₂₁＝0；

2)、通过分段函数对分数阶混沌系统进行平移变换，得到分数阶平移混沌系统；

3)、根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子。

所述分数阶混沌系统为：

设状态变量取值为x₁＝x，x₂＝y，x₃＝z，参量取值为a₁₁＝a，a₁₂＝r，a₂₃＝b，a₃₁＝p，a₃₂＝q，a₃₃＝c；所述分数阶混沌系统在原点O的Jacobian矩阵，描述如下：

所述分数阶平移混沌系统为：

其中，f(x)是非线性分段函数，为系统平移变换准则，α是分数阶的阶数，为非整数。

所述步骤3)根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子具体为：

(1)、设f₁(x)＝f(x)为第一平移变换准则，则产生2(N+1)个吸引子，公式如下：

设置参数A，a，p，q，r，b，c，m，N，生成不同个偶数的涡卷吸引子；

(2)、设f2(x)＝f(x)为第二个平移变换准则，则产生2N+1个吸引子，公式如下：

设置参数A，a，p，q，r，b，c，m，N，生成不同个奇数的涡卷吸引子。

所述分数阶平移混沌系统的平衡点查找步骤为：

产生2(N+1)个涡卷吸引子，平衡点位置在(±2nA,0,0)；

产生2N+1个涡卷吸引子，平衡点位置在(±[2n-(|n|/n)]A,0,0)。

与现有技术比较，本发明的有益效果为：

本发明提供了一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，通过引入分段函数，对分数阶混沌系统进行平移变换，并对参数进行设置，能够产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子，分数阶平移混沌系统完善了由三维一次自治式常微分组成的分数阶混沌系统领域，若更改各子系统的参量设置，可以将子系统等价变换为其它已经存在的经典混沌系统，该系统的实用性可以应用在的领域有：混沌同步、密码学、电路电子、信号传输、信息处理等，与现有的系统相比较，分数阶更复杂，因此将分数阶应用于信号传输和密码学领域具有更强的保密性和抗干扰能力。

附图说明

图1是本发明基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法流程图；

图2是本发明偶数个多涡卷混沌吸引子图，其中，(a)为N为0时多涡卷混沌吸引子图；(b)为N为3时多涡卷混沌吸引子图；

图3是本发明奇数个多涡卷混沌吸引子图，其中，(a)为N为0时多涡卷混沌吸引子图；(b)为N为3时多涡卷混沌吸引子图；

图4是本发明Lyapunov指数图；

图5是本发明Poincaré映射图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明做详细描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明的保护范围。

如图1所示，本发明提供了一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，根据分数阶微分定义，构造出分数阶平移混沌系统，指出与整数阶相比，分数阶系统具有更复杂的拓扑性质。其次，提出三种产生奇数个和偶数个涡卷吸引子的方法，具体包括：

1)、在三维常微分方程中，根据分数阶微分定义，构造出分数阶混沌系统；其中，所述分数阶混沌系统中a₁₂ a₂₁＝0；

所述分数阶混沌系统为：

设状态变量取值为x₁＝x，x₂＝y，x₃＝z，参量取值为a₁₁＝a，a₁₂＝r，a₂₃＝b，a₃₁＝p，a₃₂＝q，a₃₃＝c；所述分数阶混沌系统在原点O的Jacobian矩阵，描述如下：

目前，对分数阶微分定义尚未统一，但学术上普遍采用Riemann-Liouville定义，该定义主要分为积分定义和微分定义两部分，下面简要介绍一下：

设f∈C(0,+∞)，

μ＞0，n为大于等于α的最小正整数，即v＝n-α≥0，则称

为函数f(t)的α阶Riemann-Liouville微分，并且记为

如果

在区间J上连续，则称f(t)在J上为α阶连续可微函数，并且记为：

得α阶Riemann-Liouville微分：

其中，Γ(n-α)为伽马函数，α是分数阶的阶数，为非整数。

取上式的初值为零，对式(9)进行Laplace转换，则有

2)、通过分段函数对分数阶混沌系统进行平移变换，得到分数阶平移混沌系统；

所述分数阶平移混沌系统为：

其中，f(x)是非线性分段函数，为系统平移变换准则，α是分数阶的阶数，为非整数。

经验证，α＞0.88该系统出现混沌行为。可以使系统产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子。

3)、根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子。

所述步骤3)根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子具体为：

(1)f₁(x)＝f(x)为第一个平移变换准则，可以产生2(N+1)个吸引子，公式如下：

当A＝1，a＝0.4，p＝q＝1，r＝2，b＝1.2，c＝0.6，m＝0.2，N＝3(N∈R)时，系统生成8个涡卷吸引子，如下图2所示，其中，图2中的(a)为N为0时偶数个多涡卷混沌吸引子，图2中的(b)为N为3时偶数个多涡卷混沌吸引子。

(2)f₂(x)＝f(x)为第二个平移变换准则，可以产生2N+1个吸引子，公式如下：

当A＝1，a＝0.1，r＝2，p＝q＝1，b＝1.2，c＝0.6，m＝0.2，N＝3(N∈R)时，系统生成7个涡卷吸引子，如下图3所示，其中，图3中的(a)为N为0时奇数个多涡卷混沌吸引子，图3中的(b)为N为3时奇数个多涡卷混沌吸引子。

由于分数阶的微分算子在时域仿真中不能直接进行运算，可以使用标准的整数阶算子在逼近误差允许范围内的情况下对分数阶算子进行有效地逼近，从而实现对分数阶混沌行为的动力学特性分析。

进一步地，本发明中，所述分数阶平移混沌系统的平衡点查找步骤为：

产生2(N+1)个涡卷吸引子，平衡点位置在(±2nA,0,0)；

产生2N+1个涡卷吸引子，平衡点位置在(±[2n-(|n|/n)]A,0,0)。

李雅普诺夫指数：

本发明中，系统初值取(0.1，0.1，0.1)，取A＝1，p＝q＝1，a＝0.1，r＝2，b＝1.2，c＝0.6，m＝0.2，Lyapunov指数如下：

LE1＝0.04,LE2＝0,LE3＝-1.33，在一定时间间隔内，系统快速进入混沌状态，并显示出独特的混沌行为，如图4。基于LEs，可以得到Hausdroff维(即Lyapunov维)D_L＝2.97。

Poincaré映射：

Poincaré映射如图5所示。可以得到，它也是由一系列的孤立点组成，从图中可以看出平移混沌系统显然处于混沌状态。

对于本领域技术人员而言，显然能了解到上述具体事实例只是本发明的优选方案，因此本领域的技术人员对本发明中的某些部分所可能作出的改进、变动，体现的仍是本发明的原理，实现的仍是本发明的目的，均属于本发明所保护的范围。

Claims (2)

1.一种基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，其特征在于，包括：

1)、在三维常微分方程中，根据分数阶微分定义，构造出分数阶混沌系统；其中，所述分数阶混沌系统中a₁₂ a₂₁＝0；

2)、通过分段函数对分数阶混沌系统进行平移变换，得到分数阶平移混沌系统；

3)、根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子；所述N为整数；

所述分数阶混沌系统为：

设状态变量取值为x₁＝x，x₂＝y，x₃＝z，参量取值为a₁₁＝a，a₁₂＝r，a₂₃＝b，a₃₁＝p，a₃₂＝q，a₃₃＝c；所述分数阶混沌系统在原点O的Jacobian矩阵，描述如下：

所述分数阶平移混沌系统为：

其中，f(x)是非线性分段函数，为系统平移变换准则，α是分数阶的阶数，为非整数；

所述步骤3)根据分数阶平移混沌系统，产生2(N+1)和2N+1个涡卷吸引子具体为：

(1)、设f₁(x)＝f(x)为第一平移变换准则，则产生2(N+1)个吸引子，公式如下：

设置参数A，a，p，q，r，b，c，m，N，生成不同个偶数的涡卷吸引子；

(2)、设f₂(x)＝f(x)为第二个平移变换准则，则产生2N+1个吸引子，公式如下：

设置参数A，a，p，q，r，b，c，m，N，生成不同个奇数的涡卷吸引子。

2.根据权利要求1所述的基于分段函数法多涡卷混沌吸引子的实现方法，所述分数阶平移混沌系统的平衡点查找步骤为：

产生2(N+1)个涡卷吸引子，平衡点位置在(±2nA,0,0)；

产生2N+1个涡卷吸引子，平衡点位置在(±[2n-(|n|/n)]A,0,0)。

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