CN108197358A - 一种高效快速模拟水力压裂的方法 - Google Patents
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Abstract
一种高效快速模拟水力压裂的方法，包括以下步骤：1)根据有限元变分原理，得出水力压裂方程组的弱形式；2)根据方程组弱形式，通过伽辽金有限元离散化方法，并对流体方程中关于时间的一阶导数采用有限差分近似，得出有限元离散格式；3)对流体方程的刚度矩阵进行奇异值分解，分解时间域和空间域；4)将PGD解代入到离散格式中，分别得到时间域和空间域分解的离散方程；5)用交替方向迭代法进行求解得到X和T的大小；6)重复步骤4)和5)，得到PGD解中每一项Xm和Tm；7)将第6步得到的每一项Xm和Tm相乘并求和，得到压力场PGD解；8)对流体方程进行不动点迭代；9)输出压力场p，再根据固体离散方程得到位移场u；10)计算裂缝几何参数。
Description
技术领域
本发明属于水力压裂数值模拟技术领域，尤其涉及一种高效快速模拟水力压裂的PGD (Proper Generalized Decomposition)数值方法。
背景技术
水力压裂是大幅提高低渗透油井气产量的重要技术手段。由于水力压裂问题以强非线性、 流固耦合、瞬时、动边界等为特征，数值模拟水力压裂过程时往往计算成本较高、计算时间 较长。目前模拟水力压裂的主要数值方法包括：有限元法(FEM)、离散元法(DEM)、边界 元法(BEM)、数值流形法(Numerical Manifold Method)和相场(Phase Field)等，但是这 些方法计算时未分解时间域和空间域，特别是针对复杂裂缝扩展时，计算迭代时间较长，难 以满足现场实时快速裂缝扩展的需要。
发明内容
PGD(Proper Generalized Decomposition，最佳广义分解法)是一种新的降维处理方法 (Reduced Order Modelling)，可满足高效快速数值模拟水力压裂问题。
为了实现上述目的，本发明提供了一种高效快速模拟水力压裂的方法，该方法包括如下 模拟步骤：
步骤1)、根据有限元变分原理，得出水力压裂方程组的弱形式，包括固体应力平衡方程 的弱形式和流体压力方程的弱形式；建模过程具体如下：
首先，对于固体应力平衡方程部分：
σe＝Dε(2)
其中，上述式(1)-式(3)为固体方程及相关关系式，σ为地层岩石的总应力张量，单位为 MPa；ε为地层岩石的应变张量，其为百分数或小数；σe为岩石骨架的有效应力张量，单位为 MPa；u为地层岩石的位移向量，单位为m；D为岩石骨架的线弹性本构张量，单位为MPa；T 表示矩阵的转置符号；
固体方程边界条件定义如下：
其中σH、σh分别为远场最大、最小水平主应力，单位为MPa；pf(s,t)为作用在裂缝面上的流体压力大小，单位为MPa；nt、nf为远场外边界、裂缝内边界的法向量；s为裂缝位 置，单位为m；t为时间，单位为s；
根据有限元变分原理，以上固体方程对应的弱形式为：
其次，对于流体方程部分：
水力裂缝内流压方程如下：
其中w为裂缝宽度，单位为m；Q0为流入液体的排量，单位为m3/s；δ(s)为Dirac函数；μ为液体粘度，单位为Pa·s；
流体方程边界条件定义如下：
其中，2L为裂缝长度，单位为m；-L和L分别对应裂缝的两个尖端部；
根据有限元变分原理，以上流体方程对应的弱形式为：
综上，式(5)和式(8)分别是得到的水力压裂问题的弱形式；
步骤2)、根据步骤1)得到的固体应力平衡方程的弱形式与流体压力方程的弱形式，根 据伽辽金(Galerkin)有限元离散化方法，并对上一步中得到的流体压力方程的弱形式中关于 时间的一阶导数采用有限差分近似，得出有限元离散格式；具体如下：
其中，式(9)中的矩阵定义为：其中式(10)中的矩阵定义为：
Nu、Np为有限元形函数，为每个有限元网格节点值组成的向量。
步骤3)、对流体方程的刚度矩阵Kf进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空间域；由于 流体方程中的立方项具有非线性，对矩阵进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空 间域，得到如下：
其中
步骤4)、将PGD(Proper Generalized Decomposition，最佳广义分解法)解代入到有限元离 散格式中，分别得到时间域和空间域分解的离散方程；具体如下：
设所求压力场的PGD解具有如下形式：
由式(9)可知，如果求解压力场p，很容易得到位移场u的PGD解，因此只需对流体压力 方程部分进行PGD求解即可；
将上式(12)所求的PGD解代入到步骤2)的式(10)中分别得到：
首先固定T，得到关于X的线性代数方程：
其中式中各系数定义如下：
再固定式(13)刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程：
其中式中各系数定义如下：
步骤5)、用交替方向迭代法进行求解即首先固定T，得到关于X的线性代数方程，再利 用刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程，当满足一定收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止；具体如下：
假定初始项X0、T0，应用交替方向迭代法对方程(13)和方程(15)进行交替迭代，当满足下 述收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止准则如下：
其中ε为允许误差；
步骤6)、重复上述步骤4)和步骤5)，得到上式(11)中每一项Xm和Tm，当满足以下迭代 停止准则时，退出循环，否则m＝m+1，直到满足条件(18)时结束；
||XmTm-Xm+1Tm+1||<ε (18)
步骤7)、将步骤6)得到的每一项X和T相乘并求和，得到当前压力场的PGD解；
步骤8)、对流体方程进行不动点迭代，迭代格式如下：
当满足以下迭代准则时，停止迭代：
||pδ+1-pδ||<ε (20)
步骤9)、输出最终压力场p，再根据式(9)的固体离散方程得到位移场u；
步骤10)、根据得到的位移场u，计算裂缝的几何参数。
优选地，所述裂缝几何参数包括缝宽和缝长；其中，缝宽为裂缝面两侧位移的差值，缝 长为两个裂缝尖端点间的距离。
采用本发明所述模拟方法的有益效果如下：
本发明利用PGD算法高效快速模拟水力压裂的方法，通过分解时间域和空间域分别求解， 达到降维处理的目的，从而实现了高效快速模拟水力压裂问题，满足现场实时模拟水力裂缝 扩展的需求。
附图说明
图1为采用PGD方法与采用FEM方法模拟结果比较的对比图。
其中，横坐标为网格尺寸大小，单位为米；纵坐标为缝宽，单位为毫米。
图2(a)为最大压力随网格尺寸变化的半对数曲线。
其中，横坐标为网格尺寸大小，单位为米；纵坐标为最大压力，单位为千帕。
图2(b)为最大缝宽随网格尺寸变化的半对数曲线。
其中，横坐标为网格尺寸大小，单位为米；纵坐标为最大缝宽，单位为毫米。
图3(a)为裂缝内流体压力与裂缝长度关系的关系曲线。
其中，横坐标为裂缝长度，单位为米；纵坐标为压力，单位为千帕。
图3(b)为裂缝宽度与裂缝长度的关系曲线。
其中，横坐标为裂缝长度，单位为米；纵坐标为裂缝宽度，单位为毫米。
具体实施方式
输入参数：岩石弹性模量17000兆帕，泊松比0.2，液体粘度1帕·秒，外边界地应力为 3.7兆帕，注入时间101秒，分别使用网格尺寸为0.25米、0.125米、0.0625米和0.03125米， 按发明内容部分的10个步骤，分别使用FEM和PGD模拟了水力压裂裂缝参数。
使用相同的网格尺寸与参数，将PGD计算结果与有限元方法(FEM) 的结果相比较，如图1所示，可看出这两种方法得出的解相近，从而证实了PGD 方法可靠，但是PGD方法的计算时间比有限元方法要少得多，如下面的时间对 比表1可知结果。因此PGD算法模拟水力压裂过程要比有限元方法快速，可以 极大节约计算成本。
表1采用不同处理方法的时间对比表
| 名称 | h | h/2 | h/4 | h/8 |
| FEM | 1分钟 | 5分钟 | 30分钟 | 4小时 |
| PGD | 30秒 | 2分钟 | 10分钟 | 1.5小时 |
使用不同的网格尺寸(h、h/2、h/4和h/8)，取h＝0.25米，使用网格尺寸分别为0.25米、 0.125米、0.0625米和0.03125米，绘制了缝内最大压力与最大缝宽(均在井筒原点处最大， 即裂缝中心)与网格尺寸的半对数曲线，单元使用双线性四边形网格，根据表2稳定性分析 对比的结果绘制如图图2a、2b所示。可以看出，随着网格尺寸越来越小，最大压力与最大缝 宽逐渐变小，并呈现稳定趋势。因此，可以说明，PGD解在网格尺寸达到一定值后，其数值 解将趋于稳定。说明水力压裂PGD算法模拟结果的解收敛性较好。
表2稳定性分析对比
| 名称 | h | h/2 | h/4 | h/8 |
| 最大缝宽(毫米) | 0.179 | 0.173 | 0.171 | 0.169 |
| 最大压力(兆帕) | 4.90 | 4.55 | 4.30 | 4.20 |
模拟了不同网格尺寸下对应的裂缝节点上的压力与缝宽分布，如图3a、3b所示，可以看 出它们均在裂缝中心节点达到最大值，即对应注入点处。随着缝长的逐渐延伸，压力和缝宽 变得越来越小；在裂缝尖端处，其值达到最小值。说明此模拟结果与先前结果相符。再次验 证了PGD算法解的可靠性。
Claims (2)
1.一种高效快速模拟水力压裂的方法，该方法包括如下模拟步骤：
步骤1)、根据有限元变分原理，得出水力压裂方程组的弱形式，包括固体应力平衡方程的弱形式和流体压力方程的弱形式；建模过程具体如下：
首先，对于固体应力平衡方程部分：
σe＝Dε (2)
其中，上述式(1)-式(3)为固体方程及相关关系式，σ为地层岩石的总应力张量，单位为MPa；ε为地层岩石的应变张量，其为百分数或小数；σe为岩石骨架的有效应力张量，单位为MPa；u为地层岩石的位移向量，单位为m；D为岩石骨架的线弹性本构张量，单位为MPa；T表示矩阵的转置符号；
固体方程边界条件定义如下：
其中σH、σh分别为远场最大、最小水平主应力，单位为MPa；pf(s,t)为作用在裂缝面上的流体压力大小，单位为MPa；nt、nf为远场外边界、裂缝内边界的法向量；s为裂缝位置，单位为m；t为时间，单位为s；
根据有限元变分原理，以上固体方程对应的弱形式为：
其次，对于流体方程部分：
水力裂缝内流压方程如下：
其中w为裂缝宽度，单位为m；Q0为流入液体的排量，单位为m3/s；δ(s)为Dirac函数；μ为液体粘度，单位为Pa·s；
流体方程边界条件定义如下：
其中，2L为裂缝长度，单位为m；-L和L分别对应裂缝的两个尖端部；
根据有限元变分原理，以上流体方程对应的弱形式为：
综上，式(5)和式(8)分别是得到的水力压裂问题的弱形式；
步骤2)、根据步骤1)得到的固体应力平衡方程的弱形式与流体压力方程的弱形式，根据伽辽金(Galerkin)有限元离散化方法，并对上一步中得到的流体压力方程的弱形式中关于时间的一阶导数采用有限差分近似，得出有限元离散格式；具体如下：
其中，式(9)中的矩阵定义为：Ks＝∫ΩBTDBdΩ、其中式(10)中的矩阵定义为：Mf＝(Ms)T、Nu、Np为有限元形函数，为每个有限元网格节点值组成的向量。
步骤3)、对流体方程的刚度矩阵Kf进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空间域；由于流体方程中的立方项具有非线性，对矩阵进行奇异值分解(SVD)，分解时间域和空间域，得到如下：
其中
步骤4)、将PGD(Proper Generalized Decomposition，最佳广义分解法)解代入到有限元离散格式中，分别得到时间域和空间域分解的离散方程；具体如下：
设所求压力场的PGD解具有如下形式：
由式(9)可知，如果求解压力场p，很容易得到位移场u的PGD解，因此只需对流体压力方程部分进行PGD求解即可；
将上式(12)所求的PGD解代入到步骤2)的式(10)中分别得到：
首先固定T，得到关于X的线性代数方程：
其中式中各系数定义如下：
再固定式(13)刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程：
其中式中各系数定义如下：
步骤5)、用交替方向迭代法进行求解即首先固定T，得到关于X的线性代数方程，再利用刚求出的X，得到关于T的一阶常微分方程，当满足一定收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止；具体如下：
假定初始项X0、T0，应用交替方向迭代法对方程(13)和方程(15)进行交替迭代，当满足下述收敛准则时，即可得到X和T的大小，迭代停止准则如下：
其中ε为允许误差；
步骤6)、重复上述步骤4)和步骤5)，得到上式(11)中每一项Xm和Tm，当满足以下迭代停止准则时，退出循环，否则m＝m+1，直到满足条件(18)时结束；
||XmTm-Xm+1Tm+1||<ε (18)
步骤7)、将步骤6)得到的每一项X和T相乘并求和，得到当前压力场的PGD解；
步骤8)、对流体方程进行不动点迭代，迭代格式如下：
当满足以下迭代准则时，停止迭代：
||pδ+1-pδ||<ε (20)
步骤9)、输出最终压力场p，再根据式(9)的固体离散方程得到的位移场u；
步骤10)、根据得到的位移场u，计算裂缝的几何参数。
2.如权利要求1所述的高效快速模拟水力压裂的方法，其特征在于：所述裂缝几何参数包括缝宽和缝长；其中，缝宽为裂缝面两侧位移的差值，缝长为两个裂缝尖端点间的距离。
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