CN109885887A

CN109885887A - 模拟瞬态温度场方程数值的方法

Info

Publication number: CN109885887A
Application number: CN201910060762.3A
Authority: CN
Inventors: 汪道兵; 塞尔吉奥·兹洛特尼克; 秦浩; 宇波; 孙东亮
Original assignee: Beijing Institute of Petrochemical Technology
Current assignee: Beijing Institute of Petrochemical Technology
Priority date: 2019-01-21
Filing date: 2019-01-21
Publication date: 2019-06-14
Anticipated expiration: 2039-01-21
Also published as: CN109885887B

Abstract

本发明实施例公开了一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，属于石油与天然气工程温度场数值模拟技术，克服相关技术中模拟温度场计算量大、效率低的问题，该方法在瞬态温度场方程两边同乘虚温度场，分部积分得出原瞬态温度场方程的变分形式；将所求温度场u分解为包含时间和空间函数乘积求和的形式；将分离形式解代入变分格式中，固定时间域，推导空间域上关于X的方程，固定空间域，推导时间域上关于T的方程；用交替方向迭代法对关于X的方程和关于T的方程求解，重复该过程得到每一项Xm和Tm的值，将每项Xm，Tm进行相乘累加，输出温度场u，该方法主要用于模拟瞬态温度场方程数值。

Description

模拟瞬态温度场方程数值的方法

技术领域

本发明属于石油与天然气工程温度场数值模拟技术领域，尤其涉及一种高效快速模拟瞬态温度场的PGD(Proper Generalized Decomposition)数值方法。

背景技术

温度场变化伴随着石油工程领域的钻井、采油和输运等过程中，因此，研究温度场数值计算方法具有重要的理论和实际意义，精确的预测石油开采中的温度场变化有助于提高最终油气采收率。

目前模拟温度场方程的方法有有限差分法、有限容积法和有限元法等，这些数值方法在时间域和空间域上对温度场进行统一处理，对于复杂的长时间温度场问题，计算量非常大，难以满足高效快速求解温度场的实际需求。

发明内容

为至少在一定程度上克服相关技术中模拟温度场计算量大、效率低的问题，本发明实施例提供一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，具体如下：

一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：给出瞬态温度场方程的数学表达式、边界条件和初始条件；

步骤2：在所述瞬态温度场方程两边同乘虚温度场，分部积分得出原瞬态温度场方程的变分形式；

步骤3：将所求温度场u分解为包含时间和空间函数乘积求和的形式；

步骤4：将步骤3中的分离形式解代入步骤2得出的变分格式中，固定时间域，推导空间域上关于X的方程；

步骤5：将步骤3中的分离形式解代入步骤2得出的变分格式中，固定空间域，推导时间域上关于T的方程；

步骤6：给定初始值X0，T0，用交替方向迭代法对步骤4中关于X的方程和步骤5中关于T的方程求解，输出X和T的大小；

步骤7：重复步骤6，得到每一项Xm和Tm的值，当满足预设停止准则时，输出项数m和Xm，Tm的值；

步骤8：将步骤7中得到的每项Xm，Tm进行相乘累加，输出温度场u。

进一步可选的，所述方法通过以下方式实现：

所述步骤1：给出瞬态温度场方程的数学表达式、边界条件和初始条件包括：

首先，在空间-时间区域Ω＝Ω_xy×Ω_t上，建立二维空间下瞬态温度场方程表达式为：

其中，k为岩石或其他介质的导数系数，常数；f为温度场的源项，常数；t为时间变量；x,y为空间变量，即横坐标和纵坐标；u为所求温度场，它是空间变量x,y和时间变量t的三元函数，即u＝u(x,y,t)；Ω_xy为空间区域；Ω_t为时间区域；

其次，瞬态温度场方程(1)的边界条件和初始条件为：

其中，Γ为空间区域Ω_xy的边界；

所述步骤2：定义虚温度场w，使所述虚温度场w满足在边界Γ上温度为零，将瞬态温度场方程两边同时乘以所述虚温度场w，并两边进行积分，再进行分部积分，得出瞬态温度场方程的有限元变分格式为：

所述步骤3：将所求温度场u分解为相互独立时间和空间函数乘积累加求和的形式，为：

其中，X_i(x,y)仅为空间变量x,y的二元函数，与时间变量t无关；T_i(t)仅为时间变量t的函数，与空间变量x,y无关；n为分解的项数，式(4)为温度场u的PGD形式解，下文采用省略X_n和T_n的下标，写成X和T形式；

所述步骤4：设步骤2中的虚温度场w＝X^*T，其中X^*为测试函数，是空间变量的函数，将w的分解形式w＝X^*T和式(4)代入式(3)可得：

将式(5)中空间-时间区域Ω＝Ω_xy×Ω_t积分写成时间域和空间域上积分乘积形式可得：

其中式(6)中的系数为，

所述步骤5：设步骤2中的虚温度场w＝X^*T，其中T^*为测试函数，是时间变量的函数，将w的分解形式w＝X^*T和式(4)代入式(3)可得：

将式(8)中空间-时间区域Ω＝Ω_xy×Ω_t积分写成时间域和空间域上积分乘积形式可得：

其中式(9)中的系数为，

所述步骤6：假定初始项X₀、T₀，应用交替方向迭代法求解X和T，即先固定T，根据式(6)和式(7)求解X；再根据计算获得的X，根据式(9)和式(10)求解T，当满足第一收敛准则时，停止迭代，其中第一收敛准则如下：

其中，ε为允许误差；p为迭代次数；分别是项X_m,T_m第p次迭代值；|| ||表示范数；

所述步骤7：重复循环步骤8，得到式(4)中每一项X_i,T_i(i＝1,2,...,n)，当满足以下第二准则时，退出循环，否则n＝n+1，其中第二准则如下：

||X_mT_m-X_m-1T_m-1||<δ (12)

其中，δ为允许误差；

所述步骤8：将步骤7中得到的每一项X_i,T_i(i＝1,2,...,n)进行乘积求和得到所求函数u的PGD形式解。

进一步可选的，所述边界条件为第一类边界条件、第二类边界条件和混合边界条件的任一种。

进一步可选的，各方程中所含导热系数为常数。

进一步可选的，所述方法用于温度场源项和导热系数随空间位置变化情况下的瞬态温度场方程数值模拟。

进一步可选的，给出瞬态温度场方程的数学表达式包括：在空间-时间区域上，建立一维、二维或三维空间下瞬态温度场方程表达式。

进一步可选的，所述第一类边界条件给出未知函数在边界上的数值。

进一步可选的，所述第二类边界条件给出未知函数在边界外法线的方向导数。

进一步可选的，所述混合边界条件给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合。

进一步可选的，各方程中所含导热系数为常数。

本发明的实施例提供的一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，利用PGD算法高效快速模拟瞬态温度场方程的方法，通过分解时间域和空间域分别求解，达到降阶处理的目的，从而实现了高效快速求解瞬态温度场问题。所用模拟方法为最佳广义正交分解法，将时间域和空间域分离开来提高计算速度。

应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本申请。

附图说明

此处的附图被并入说明书中并构成本说明书的一部分，示出了符合本申请的实施例，并与说明书一起用于解释本申请的原理。

图1是本发明实施例中一种模拟瞬态温度场方程数值的方法的流程示意图；

图2是利用本发明实施例中模拟瞬态温度场方程数值的方法进行温度场模拟计算结果效果图；

图3是本发明实施例中利用有限元方法(FEM)模拟瞬态温度场方程数值的结果效果图。

具体实施方式

这里将详细地对示例性实施例进行说明，其示例表示在附图中。下面的描述涉及附图时，除非另有表示，不同附图中的相同数字表示相同或相似的要素。以下示例性实施例中所描述的实施方式并不代表与本申请相一致的所有实施方式。相反，它们仅是与如所附权利要求书中所详述的、本申请的一些方面相一致的装置和方法的例子。

实施例一

本发明提供了一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，参见图1，该方法包括如下步骤：

101：给出瞬态温度场方程的数学表达式、边界条件和初始条件；

102：在所述瞬态温度场方程两边同乘虚温度场，分部积分得出原瞬态温度场方程的变分形式；

103：将所求温度场u分解为包含时间和空间函数乘积求和的形式；

104：将步骤103中的分离形式解代入步骤102得出的变分格式中，固定时间域，推导空间域上关于X的方程；

105：将步骤103中的分离形式解代入步骤102得出的变分格式中，固定空间域，推导时间域上关于T的方程；

106：给定初始值X0，T0，用交替方向迭代法对步骤104中关于X的方程和步骤105中关于T的方程求解，输出X和T的大小；

107：重复步骤106，得到每一项Xm和Tm的值，当满足预设停止准则时，输出项数m和Xm，Tm的值；

108：将步骤107中得到的每项Xm，Tm进行相乘累加，输出温度场u。

本发明的实施例提供的一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，利用PGD算法高效快速模拟瞬态温度场方程的方法，通过分解时间域和空间域分别求解，达到降阶处理的目的，从而实现了高效快速求解瞬态温度场问题。所用模拟方法为最佳广义正交分解法(Proper Generalized Decomposition)，将时间域和空间域分离开来提高计算速度。

实施例二

作为实施例一的一种改进，本发明实施例提供另一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，包括以下步骤：

步骤1：写出瞬态温度场方程的数学表达式、边界条件和初始条件。

首先，在空间-时间区域Ω＝Ω_xy×Ω_t上，二维空间下瞬态温度场方程表达式为：

其中，k为岩石或其他介质的导热系数，常数；f为温度场源项，常数；t为时间变量；x,y为空间变量，即横坐标和纵坐标；u为求解的温度，它是空间变量x,y和时间变量t的三元函数，即u＝u(x,y,t)；Ω_xy为空间区域；Ω_t为时间区域。

其次，瞬态温度场方程(1)的边界条件和初始条件为：

其中，为空间区域Ω_xy的边界。

可选的，边界条件可以为第一类边界条件、第二类边界条件和混合边界条件的任一种。其中，第一类边界条件给出未知函数在边界上的数值；第二类边界条件给出未知函数在边界外法线的方向导数；混合边界条件给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合。

需要说明的是，本实施例给出瞬态温度场方程的数学表达式不仅可以在二维空间下，也可以是在空间-时间区域上，建立一维或三维空间下瞬态温度场方程表达式。

步骤2：定义虚温度场w，它在边界Γ上温度为零。将瞬态温度场方程两边同时乘以虚温度场w，并两边进行积分，再进行分部积分，得出瞬态温度场方程的有限元变分格式为：

步骤3：设所求的温度场u可分解为一些相互独立时间和空间函数乘积累加求和的形式，即

其中，X_i(x,y)仅为空间变量x,y的二元函数，与时间变量t无关；T_i(t)仅为时间变量t的函数，与空间变量x,y无关；n为分解的项数。式(4)即为所求温度场u的PGD形式解。为方便起见，下文省略X_n和T_n的下标，直接写成X和T形式。

步骤4：设步骤2中的虚温度场w＝X^*T(其中X^*为测试函数，它仅是空间变量的函数)，将w的分解形式w＝X^*T和式(4)代入式(3)可得：

其中式(6)中的系数为，

步骤5：设步骤2中的虚温度场w＝XT^*(其中T^*为测试函数，它仅是时间变量的函数)，将w的分解形式w＝XT^*和式(4)代入式(3)可得：

其中式(9)中的系数为，

步骤6：假定初始项X₀、T₀，应用交替方向迭代法求解X和T，即先固定T，根据式(6)和式(7)求解X；再根据计算获得的X，根据式(9)和式(10)求解T，当满足一定的收敛准则时，停止迭代，其中收敛准则如下：

其中，ε为允许误差；p为迭代次数；分别是项X_m,T_m第p次迭代值；|| ||表示范数。

步骤7：重复循环步骤6，得到式(4)中每一项X_i,T_i(i＝1,2,...,n)，当满足以下准则时，退出循环，否则n＝n+1，直到满足条件(12)时结束。

||X_mT_m-X_m-1T_m-1||<δ (12)

其中，δ为允许误差。

步骤8：将步骤7中得到的每一项X_i,T_i(i＝1,2,...,n)进行乘积求和即得到所求温度场u的PGD形式解。

需要说明的是，上述实施例提供的模拟瞬态温度场方程数值的方法可以用于温度场源项和导热系数随空间位置变化情况下的瞬态温度场方程数值模拟。而且，各方程中所含导热系数可以均为常数。

本实施例提供的一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，利用PGD算法高效快速模拟瞬态温度场方程的方法，通过分解时间域和空间域分别求解，达到降阶处理的目的，从而实现了高效快速求解瞬态温度场问题。所用模拟方法为最佳广义正交分解法，将时间域和空间域分离开来提高计算速度。

为了便于读者理解及验证上述实施例的工程应用效果，下面通过一具体实例进行说明：

输入参数：导热系数k＝1，源项f＝1，温度场u的定义域为矩形[0,2]×[0,1]，即长度为2、宽度为1的长方形；在矩形四个边上，u＝0；初始时刻t＝0时，u＝0。按上述实施例提供的模拟瞬态温度场方程数值的方法，分别使用有限元法FEM和PGD法模拟了温度场u在矩形域上的值大小。

取时间步长为Δt＝0.01秒，使用相同的网格尺寸与参数，将PGD计算结果与有限元方法(FEM)的结果相比较，如图2、图3所示，可看出这两种方法得出的解相近，从而证实了PGD方法可靠，PGD方法的计算时间比有限元方法要少得多，如下面的时间对比表1可知结果。因此PGD算法模拟瞬态温度场方程要比用FEM有限元方法更快速，可以极大节约计算成本。

算法名称	网格h＝0.1	网格h＝0.075	网格h＝0.05	网格h＝0.025
					FEM	22.73秒	34.64秒	77.58秒	421.73秒
PGD	0.60秒	1.19秒	4.59秒	152.30秒

表1

可以理解的是，上述各实施例中相同或相似部分可以相互参考，在一些实施例中未详细说明的内容可以参见其他实施例中相同或相似的内容。

需要说明的是，在本申请的描述中，术语“第一”、“第二”等仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。此外，在本申请的描述中，除非另有说明，“多个”的含义是指至少两个。

流程图中或在此以其他方式描述的任何过程或方法描述可以被理解为，表示包括一个或更多个用于实现特定逻辑功能或过程的步骤的可执行指令的代码的模块、片段或部分，并且本申请的优选实施方式的范围包括另外的实现，其中可以不按所示出或讨论的顺序，包括根据所涉及的功能按基本同时的方式或按相反的顺序，来执行功能，这应被本申请的实施例所属技术领域的技术人员所理解。

应当理解，本申请的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。例如，如果用硬件来实现，和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。

本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。

此外，在本申请各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。

上述提到的存储介质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本申请的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管上面已经示出和描述了本申请的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本申请的限制，本领域的普通技术人员在本申请的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims

1.一种模拟瞬态温度场方程数值的方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述方法通过以下方式实现：

其次，瞬态温度场方程(1)的边界条件和初始条件为：

其中，Γ为空间区域Ω_xy的边界；

其中式(6)中的系数为，

所述步骤5：设步骤2中的虚温度场w＝XT^*，其中T^*为测试函数，是时间变量的函数，将w的分解形式w＝XT^*和式(4)代入式(3)可得：

其中式(9)中的系数为，

||X_mT_m-X_m-1T_m-1||<δ (12)

其中，δ为允许误差；

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述边界条件为第一类边界条件、第二类边界条件和混合边界条件的任一种。

4.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，各方程中所含导热系数为常数。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述方法用于温度场源项和导热系数随空间位置变化情况下的瞬态温度场方程数值模拟。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，给出瞬态温度场方程的数学表达式包括：在空间-时间区域上，建立一维、二维或三维空间下瞬态温度场方程表达式。

7.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述第一类边界条件给出未知函数在边界上的数值。

8.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述第二类边界条件给出未知函数在边界外法线的方向导数。

9.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述混合边界条件给出未知函数在边界上的函数值和外法线的方向导数的线性组合。

10.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，各方程中所含导热系数为常数。