CN105550463A - 钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法，包括如下步骤：采集钢板感应加热过程数据、计算集肤深度、计算加热过程换热系数、获取感应加热内热源模型、利用有限元基本原理，计算四边形等参单元的形函数N、B矩阵和雅克比矩阵、采用一维变带宽存储法求解线性方程组获得钢板电磁感应加热过程瞬态温度场。本发明在提高计算效率的情况下，将内热源模型带入瞬态温度场求解线性方程组，实现了电磁感应加热过程瞬态温度场求解。本发明适用于有限元法求解钢板电磁感应加热过程温度场。

Description

钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法

技术领域

本发明属于温度场预测领域，特别涉及一种钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法。

背景技术

电磁感应加热是指将块状金属置于交变磁场中，或在非均匀的磁场中运动,则在金属内会产生感应电动势，由于金属电阻很小，所以引起强大感应电流即涡流，涡流产生要消耗能量，这部分能量转化为热能，使得金属升温。

电磁感应加热技术相比其它热加工工艺具有加热速度快、可控性好、低能耗等优点广泛应用于钢板加热和淬火热处理。感应加热过程温度场分布计算对钢板组织演变和力学性能有重要影响。电磁感应加热是电磁能量转化，一直没有确切的数学模型预测瞬态过程温度，所以经常采用现场测试进行确定，现场测试的温度需要逐一测试，耗费较多人力，增加了成本，精度也较低。

现有的由于受实际条件和主观因素，极大限制了感应加热过程温度预测精度和温度分布信息。

发明内容

(一)要解决的技术问题

本发明要解决的技术问题是：提出一种新的基于内热源模型预测瞬态温度场的有限元方法，其目的是预测钢板感应加热过程瞬态温度场。

(二)技术方案

为了解决上述技术问题，本发明提供一种钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：采集钢板感应加热过程数据

采集的数据包括：感应加热参数，材料热物性参数，材料电磁性能参数，单元划分信息；

感应加热参数包括：工作频率，电流密度，线圈与钢板表面距离，加热时间，工件宽度，工件厚度，工件初始温度，环境温度；

材料热物性参数包括：热传导系数，黑度，比热，密度；

材料电磁性能参数包括：空气磁导率，真空磁导率，材料相对磁导率，材料电阻率，材料电导率；

单元划分信息包括：宽度单元数和厚度单元数；

步骤二：计算集肤深度δ

根据钢板电磁性能参数计算集肤深度：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\π\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_{r}f}}---\left(1\right)$

其中，ρ为电阻率，μ₀为真空磁导率，单位亨利/米，μ_r为相对磁导率，单位亨利/米，f为工作频率，单位Hz；

依据单元划分数据、钢板宽度和厚度尺寸及集肤深度对钢板横端面进行网格划分，靠近网格模型边界的3层网格长度L要小于等于集肤深度，L≤δ；集肤深度单位m；

步骤三：计算加热过程换热系数h

钢板在感应加热过程中，辐射系数表述为：

h＝σ·ε·(T+T_air)(T²+T_air ²)(2)

其中：h为辐射系数，σ为Stefan-Boltzman常数，σ＝5.67×10^-8W/(m²·K⁴)；ε为黑度系数，ε与温度的关系式为ε＝0.125(T/1000)²-0.38(T/1000)+1.1；(T为钢板表面温度，单位℃,Tair为环境温度，单位℃)

步骤四：感应加热内热源模型

钢板在感应加热过程的单元内热源模型表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{q}=A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}---\left(3\right)$

式中：为感应加热热生成率，I为电流密度，f为工作频率，g为间隙，ζ为集肤深度内任一单元到表面的距离，A，B为常数；

步骤五：利用有限元基本原理，计算四边形等参单元的形函数N、B矩阵和雅克比矩阵J；

步骤六：以二维热传导基本方程为基础，利用欧拉方程建立等效泛函，确定感应加热过程瞬态温度场有限元求解方程

以热力学第一定律为依据建立瞬态温度场求解的二维热传导微分方程为：

$k(\frac{{\∂}^{2}T}{\∂x^2}+\frac{{\∂}^{2}T}{\∂y^2})-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T}{\∂t}+\stackrel{\·}{q}=0---\left(4\right)$

其中：

T-瞬时温度(K)

ρ-材料密度(kg/m³)

c-材料比热(J/(kg·K))

t-时间(s)

k-热传导系数(W/(m·K))

利用欧拉方程将二维热传导问题方程(4)变为等效泛涵：

$I^{\left(e\right)}=\frac{1}{2}\∫{\∫}_{S^e}\[k\[{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂y}\right)}^2\]-2(\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂t})T^{\left(e\right)}\]dS+\frac{1}{2}{\∫}_{l^e}h(T^{\left(e\right)}-T_{\mathrm{\∞}})dl---\left(5\right)$

根据热传导问题的变分原理，对泛函式(5)求一阶偏导数并置零，得到二维有限元法求解温度场的系统方程：(S^e表示热传导和内热源作用单元面积单位m²，l^e,为对流换热作用单元长度单位为m)

$\[K_T\]\left\{T\right\}+\[K_3\]\left\{\frac{\∂T}{\∂t}\right\}=\left\{p\right\}---\left(6\right)$

利用二点向后差分格式，将系统方程转化为瞬态温度场求解的线性方程组，

将系统方程(6)中的温度对时间偏导数表示为二点向后差分格式：

$\frac{\∂T}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}(T_t-T_{t-\mathrm{\Δ}t})---\left(7\right)$

将时间向后差分格式(7)带入系统方程式(6)得到温度场求解的线性方程组：

$(\[K_T\]+\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]){\left\{T\right\}}_t=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]{\left\{T\right\}}_{t-\mathrm{\Δ}t}+\left\{p\right\}---\left(8\right)$

其中：[K_T]-温度刚度矩阵，[K₃]-变温矩阵，{p}-常数项列式，{T}-温度列式；E-单元总数；上标e表示每个单元；

对每个单元，带入感应加热产生的内热源后，刚度矩阵、变温矩阵和常数项可以通过下式求解：

$K_{1ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}k(\frac{\∂N_i}{\∂x}\·\frac{\∂N_j}{\∂x}+\frac{\∂N_i}{\∂y}\·\frac{\∂N_j}{\∂y})dS$

$K_{2ij}^{\left(e\right)}={\∫}_{L^e}{\mathrm{hN}}_i{N}_{j}dL$

$K_{3ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}{\mathrm{\ρcN}}_i{N}_{j}dS$

${\left\{p_i\right\}}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}\left[\begin{array}{c}A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}\right]N_{i}dS+{\∫}_{L^e}{\mathrm{hT}}_{\mathrm{\∞}}{N}_{i}dL$

其中：

k热传导系数(W/(m·K))；

ρ材料密度(kg/m³)；

c材料比热(J/(kg·K))；

h换热系数，N形函数；

i，j节点编号；

步骤七：采用一维变带宽存储法求解线性方程组(8)，获得钢板电磁感应加热过程瞬态温度场。

(三)有益效果

上述技术方案具有如下优点：本发明在提高计算效率的情况下，将内热源模型带入瞬态温度场求解线性方程组，实现了电磁感应加热过程瞬态温度场求解。本发明适用于有限元法求解钢板电磁感应加热过程温度场。

附图说明

图1为本发明一种实施例的网格模型图；

图2为本发明一种实施例的计算流程图；

图3为本发明一种实施例的具体实施例结果图。

图2中：t计算的过程时间，t1感应加热时间

图3中：A11-实测温度，B11-模型计算温度

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。以下实施例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

实现本发明目的技术解决方案如下：

1、采集钢板感应加热过程数据，包括：感应加热参数，材料热物性参数，材料电磁性能参数，单元划分信息。

感应加热参数：工作频率，电流密度，间隙(线圈与钢板表面距离)，加热时间，工件宽度，工件厚度，工件初始温度，环境温度。

材料热物性参数：热传导系数，黑度，比热，密度。

材料电磁性能参数：空气磁导率，真空磁导率，材料相对磁导率，材料电阻率，材料电导率。

单元划分信息：宽度单元数和厚度单元数。

2、计算集肤深度δ

根据钢板电磁性能参数计算集肤深度：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\π\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_{r}f}}---\left(1\right)$

其中，ρ为电阻率，μ₀为真空磁导率，μ_r为相对磁导率，f为工作频率。

依据单元划分数据、钢板宽度和厚度尺寸及集肤深度对钢板横端面进行网格划分，建立网格模型(见图1)。其中，为保证温度场计算精度，靠近网格模型边界的3层网格长度L要小于等于集肤深度，L≤δ。

3、加热过程换热系数h。

钢板在感应加热过程中，其表面换热方式主要为辐射，辐射系数表述为：

h＝σ·ε·(T+T_air)(T²+T_air ²)(2)

其中：h为辐射系数，σ为Stefan-Boltzman常数，σ＝5.67×10^-8W/(m²·K⁴)；ε为黑度系数，ε与温度的关系式为ε＝0.125(T/1000)²-0.38(T/1000)+1.1。

4、感应加热内热源模型Q

钢板在感应加热过程的单元内热源模型表示为：

$\begin{array}{c}Q=A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}---\left(3\right)$

式中：Q为感应加热热生成率，I为电流密度(大于10⁵)，f为工作频率，g为间隙(小于150mm)，ζ为集肤深度内任一单元到表面的距离，A，B为常数。

5、利用有限元基本原理，计算四边形等参单元的形函数N、B矩阵和雅克比矩阵J。

局部坐标系内任一点(ξ,η)映射到整体坐标系中,其形函数N可以通过下式计算：

$N_1=\frac{1}{4}(1-\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})$

$N_2=\frac{1}{4}(1-\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})$ (4-1)这里，形函数N表示为：

$N_3=\frac{1}{4}(1+\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})$

$N_4=\frac{1}{4}(1+\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})$

[N]＝[N₁N₂N₃N₄](5-1)

B矩阵表示为：

$B_i=\left[\begin{array}{cc}{b}_i& 0\\ 0& c_i\\ c_i& b_i\end{array}\right]---(6-1)$

其中： $b_i=\frac{\∂N_i}{\∂x},c_i=\frac{\∂N_i}{\∂y},(i=1,2,...4)$

雅克比矩阵J表示为：

$\[J\]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ζ}}& \frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ζ}}\\ \frac{\∂x}{\∂\mathrm{\η}}& \frac{\∂y}{\∂\mathrm{\η}}\end{array}\right]---(7-1)$

其中，x，y为整体坐标系中的坐标。

6、以二维热传导基本方程为基础，利用欧拉方程建立等效泛函，确定感应加热过程瞬态温度场有限元求解方程。

以热力学第一定律为依据建立瞬态温度场求解的二维热传导微分方程为：

$k(\frac{{\∂}^{2}T}{\∂x^2}+\frac{{\∂}^{2}T}{\∂y^2})-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T}{\∂t}+Q=0---\left(4\right)$

其中：

T-瞬时温度(K)

ρ-材料密度(kg/m³)

c-材料比热(J/(kg·K))

t-时间(s)

k-热传导系数(W/(m·K))

利用欧拉方程将二维热传导问题方程(4)变为等效泛涵：

$I^{\left(e\right)}=\frac{1}{2}\∫{\∫}_{S^e}\[k\[{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂y}\right)}^2\]-2(Q-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂t})T^{\left(e\right)}\]dS+\frac{1}{2}{\∫}_{l^e}h(T^{\left(e\right)}-T_{\mathrm{\∞}})dl---\left(5\right)$

根据热传导问题的变分原理，对泛函式(5)求一阶偏导数并置零，得到二维有限元法求解温度场的系统方程：

$\[K_T\]\left\{T\right\}+\[K_3\]\left\{\frac{\∂T}{\∂t}\right\}=\left\{p\right\}---\left(6\right)$

利用二点向后差分格式，将系统方程转化为瞬态温度场求解的线性方程组。

将系统方程(6)中的温度对时间偏导数表示为二点向后差分格式：

$\frac{\∂T}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}(T_t-T_{t-\mathrm{\Δ}t})---\left(7\right)$

将时间向后差分格式(7)带入系统方程式(6)得到温度场求解的线性方程组：

$(\[K_T\]+\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]){\left\{T\right\}}_t=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]{\left\{T\right\}}_{t-\mathrm{\Δ}t}+\left\{p\right\}---\left(8\right)$

其中：[K_T]-温度刚度矩阵，[K₃]-变温矩阵，{p}-常数项列式，{T}-温度列式；E-单元总数；上标e表示每个单元。

对每个单元来说，带入感应加热产生的内热源后，刚度矩阵、变温矩阵和常数项可以通过下式求解：

$K_{1ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}k(\frac{\∂N_i}{\∂x}\·\frac{\∂N_j}{\∂x}+\frac{\∂N_i}{\∂y}\·\frac{\∂N_j}{\∂y})dS$

$K_{2ij}^{\left(e\right)}={\∫}_{L^e}{\mathrm{hN}}_i{N}_{j}dL$

$K_{3ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}{\mathrm{\ρcN}}_i{N}_{j}dS$

${\left\{p_i\right\}}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}\left[\begin{array}{c}A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}\right]N_{i}dS+{\∫}_{L^e}{\mathrm{hT}}_{\mathrm{\∞}}{N}_{i}dL$

其中：

k热传导系数(W/(m·K))；

ρ材料密度(kg/m³)；

c材料比热(J/(kg·K))；

h换热系数，N形函数；

i，j节点编号。

7、采用一维变带宽存储法求解线性方程组(8)，可以获得钢板电磁感应加热过程瞬态温度场。

8、计算时间加上时间步长，根据计算时间和设定感应加热时间判断程序计算是否结束，如果计算时间大于感应加热设定时间退出，否则继续返回计算。根据感应加热时间判断求解过程是否结束，并将内热源模型应用到感应加热瞬态温度场的有限元求解过程。

以下结合一实施例对本发明的方法进行详细描述：

选择一钢板感应加热过程温度变化进行预测分析，计算结果和实测结果进行比较。

例：计算条件见表1。

表1计算条件

图3所示为一钢板感应加热30min过程中表面温度变化预测和实测值比较。可以看出在整个感应加热过程中，该方法预测的温度值和实测值相对误差不超过4％，预测精度较高。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和替换，这些改进和替换也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：采集钢板感应加热过程数据

采集的数据包括：感应加热参数，材料热物性参数，材料电磁性能参数，单元划分信息；

感应加热参数包括：工作频率，电流密度，线圈与钢板表面距离，加热时间，工件宽度，工件厚度，工件初始温度，环境温度；

材料热物性参数包括：热传导系数，黑度，比热，密度；

材料电磁性能参数包括：空气磁导率，真空磁导率，材料相对磁导率，材料电阻率，材料电导率；

单元划分信息包括：宽度单元数和厚度单元数；

步骤二：计算集肤深度δ

根据钢板电磁性能参数计算集肤深度：

$\mathrm{\δ}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\π\μ}}_0{\mathrm{\μ}}_{r}f}}---\left(1\right)$

其中，ρ为电阻率，μ₀为真空磁导率，单位亨利/米，μ_r为相对磁导率，单位亨利/米，f为工作频率，单位Hz；

依据单元划分数据、钢板宽度和厚度尺寸及集肤深度对钢板横端面进行网格划分，靠近网格模型边界的3层网格长度L要小于等于集肤深度，L≤δ；集肤深度单位m；

步骤三：计算加热过程换热系数h

钢板在感应加热过程中，辐射系数表述为：

h＝σ·ε_·(T+T_air)(T²+T_air ²)(2)

其中：h为辐射系数，σ为Stefan-Boltzman常数，σ＝5.67×10^-8W/(m²·K⁴)；

ε为黑度系数，ε与温度的关系式为ε＝0.125(T/1000)²-0.38(T/1000)+1.1；T为钢板表面温度，单位℃,T_air为环境温度，单位℃；

步骤四：获取感应加热内热源模型

钢板在感应加热过程的单元内热源模型表示为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{q}=A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}---\left(3\right)$

式中：为感应加热热生成率，I为电流密度(A/mm²)，f为工作频率，单位Hz,g为间隙,单位为米，ζ为集肤深度内任一单元到表面的距离，A，B为常数；

步骤五：利用有限元基本原理，计算四边形等参单元的形函数N、B矩阵和雅克比矩阵J；

步骤六：以二维热传导基本方程为基础，利用欧拉方程建立等效泛函，确定感应加热过程瞬态温度场有限元求解方程

以热力学第一定律为依据建立瞬态温度场求解的二维热传导微分方程为：

$k(\frac{{\∂}^{2}T}{\∂x^2}+\frac{{\∂}^{2}T}{\∂y^2})-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T}{\∂t}+\stackrel{\·}{q}=0---\left(4\right)$

其中：

T-瞬时温度(K)

ρ-材料密度(kg/m³)

c-材料比热(J/(kg·K))

t-时间(s)

k-热传导系数(W/(m·K))

利用欧拉方程将二维热传导问题方程(4)变为等效泛涵：

$I^{\left(e\right)}=\frac{1}{2}\∫{\∫}_{S^e}\[k\[{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂x}\right)}^2+{\left(\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂y}\right)}^2\]-2(\stackrel{\·}{q}-\mathrm{\ρ}c\frac{\∂T^{\left(e\right)}}{\∂t})T^{\left(e\right)}\]dS+\frac{1}{2}{\∫}_{l^e}h(T^{\left(e\right)}-T_{\mathrm{\∞}})dl---\left(5\right)$

其中，S^e表示热传导和内热源作用单元面积，单位m²，l^e,为对流换热作用单元长度，单位为m，根据热传导问题的变分原理，对泛函式(5)求一阶偏导数并置零，得到二维有限元法求解温度场的系统方程：

$\[K_T\]\left\{T\right\}+\[K_3\]\left\{\frac{\∂T}{\∂t}\right\}=\left\{p\right\}---\left(6\right)$

利用二点向后差分格式，将系统方程转化为瞬态温度场求解的线性方程组，

将系统方程(6)中的温度对时间偏导数表示为二点向后差分格式：

$\frac{\∂T}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}(T_t-T_{t-\mathrm{\Δ}t})---\left(7\right)$

将时间向后差分格式(7)带入系统方程式(6)得到温度场求解的线性方程组：

$(\[K_T\]+\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]){\left\{T\right\}}_t=\frac{1}{\mathrm{\Δ}t}\[K_3\]{\left\{T\right\}}_{t-\mathrm{\Δ}t}+\left\{p\right\}---\left(8\right)$

其中：[K_T]-温度刚度矩阵，[K₃]-变温矩阵，{p}-常数项列式，{T}-温度列式；E-单元总数；上标e表示每个单元；

对每个单元，带入感应加热产生的内热源后，刚度矩阵、变温矩阵和常数项可以通过下式求解：

$K_{1ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}k(\frac{\∂N_i}{\∂x}\·\frac{\∂N_j}{\∂x}+\frac{\∂N_i}{\∂y}\·\frac{\∂N_j}{\∂y})dS$

$K_{2ij}^{\left(e\right)}={\∫}_{L^e}{\mathrm{hN}}_i{N}_{j}dL$

$K_{3ij}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}{\mathrm{\ρcN}}_i{N}_{j}dS$

${\left\{p_i\right\}}^{\left(e\right)}=\∫{\∫}_{S^e}\left[\begin{array}{c}A\·(3.27\×{10}^{-7}\·I^2+7.28\×{10}^{-4}\·I-2235.73)\\ \·\left(\frac{f}{1000}\right)\·(1.02-2.18\·g)\·\exp (-\frac{\mathrm{\ζ}}{B\·\mathrm{\δ}})\end{array}\right]N_{i}dS+{\∫}_{L^e}{\mathrm{hT}}_{\mathrm{\∞}}{N}_{i}dL$

其中：

k热传导系数(W/(m·K))；

ρ材料密度(kg/m³)；

c材料比热(J/(kg·K))；

h换热系数，N形函数；

i，j节点编号；

L^e换热界面单元边界长度；

步骤七：采用一维变带宽存储法求解线性方程组(8)，获得钢板电磁感应加热过程瞬态温度场。

2.根据权利要求1所述的钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法，其特征在于，还根据计算时间和设定感应加热时间判断程序计算是否结束的步骤，如果计算时间大于设定感应加热设定时间，则退出，否则继续返回计算。

3.根据权利要求1所述的钢板电磁感应加热过程温度场的预测方法，其特征在于，利用有限元基本原理，计算四边形等参单元的形函数N、B矩阵和雅克比矩阵J的过程如下：

局部坐标系内任一点(ξ,η)映射到整体坐标系中,其形函数N可以通过下式计算：

$N_1=\frac{1}{4}(1-\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})$

$N_2=\frac{1}{4}(1-\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})$ (4-1)这里，形函数N表示为：

$N_3=\frac{1}{4}(1+\mathrm{\ξ})(1-\mathrm{\η})$

$N_4=\frac{1}{4}(1+\mathrm{\ξ})(1+\mathrm{\η})$

[N]＝[N₁N₂N₃N₄](5-1)

B矩阵表示为：

$B_i=\left[\begin{array}{cc}{b}_i& 0\\ 0& c_i\\ c_i& b_i\end{array}\right]---(6-1)$

其中： $b_i=\frac{\∂N_i}{\∂x},c_i=\frac{\∂N_i}{\∂y},(i=1,2,...4)$

雅克比矩阵J表示为：

$\[J\]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ζ}}& \frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ζ}}\\ \frac{\∂x}{\∂\mathrm{\η}}& \frac{\∂y}{\∂\mathrm{\η}}\end{array}\right]---(7-1)$

其中，x，y为整体坐标系中的坐标。