CN108073731A - 一种地震波数值模拟的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及地震波波场数值模拟技术领域，本发明提出的针对复杂地表、复杂构造中的地震波数值模拟的方法，针对原算法中容易出现震源噪音等假波问题的原因，在原算法中强制采用更严格的数值流方式进行相邻单元间的波场交换，如局部Lax‑Friedrich数值流，同时通过引入惩罚因子来降低强制采用局部Lax‑Friedrich数值流带来的时间步长降低等影响，既保持基于蛙跳时间DGFEM地震数值模拟算法的大步长、低计算代价的优点，又可以实现高精度无假波数值模拟。
Description
技术领域
本发明涉及地震波波场数值模拟技术领域，尤其涉及复杂地表、复杂构造中的一种地震波数值模拟的方法。
背景技术
目前，在我国南方和西部地区，油气地震勘探的重点正转向丘陵、山前构造带等复杂地区。这些地区地表条件异常复杂，地形起伏剧烈，高差变化非常大，岩性速度变化大导致近地表结构不均匀性严重，同时地下构造复杂，如褶皱强烈、断层发育、构造陡峻、地层变化大等。它们导致了这些地区地震资料信噪比低及静校正难等各方面的问题。从根本上解决这些勘探问题，需要我们对起伏地表条件下地震波的传播规律和波场特征进行深入的认识，而有限元法是进行复杂地表和复杂构造地区地震波数值模拟最有效的技术手段。
间断Galerkin有限元法(DGFEM)是一种高阶有限元法。基于数值流理论的DG-FEM本质上是有限元法和有限体法的结合，在单元内部使用有限元法处理，单元边界上采用了有限体法中数值流的处理思想，因此它继承了有限元法的高阶和有限体法的局部特性等优点，同时也克服了这两个方法的一些缺陷，能够实现高精度、低频散、有效的数值模拟。它可以使用非结构网格单元(包括三角形或四面体网格)，能够根据介质的分布特征设计出最优的网格，因此，间断Galerkin有限元法特别适应起伏地表及复杂构造条件下地震波传播数值模拟。
将间断Galerkin有限元法应用于地震波全波场数值模拟涉及到空间离散格式、时间积分格式、边界条件实施等多个方面的问题。时间积分格式的选择对整个数值模拟算法的计算效率和有效性是比较关键的一步。经过空间离散后，还需要结合相应的时间积分格式形成完整的数值计算方法。目前，在DG-FEM中运用到的时间离散格式主要有三种：龙哥库塔(Rugge-Kutta)格式、任意高阶导数(ADEG)格式以及蛙跳(Leap-Frog)格式。龙哥库塔(Rugge-kutta)格式作为最早与DG-FEM结合的时间积分格式一直以来都受到了广泛关注。其中，低存储的Runge-kutta时间格式是一个主要发展方向，但精度阶数通常受到限制(不大于四阶)。任意高阶导数(ADEG)时间积分格式采用空间导数替换时间导数的思想，因此该方法在时间和空间上均可以达到任意高阶精度，但方法相对复杂。而leap-frog时间格式比较简单，但一般只有二阶精度。
在地震勘探领域，高阶时间积分格式通常并不适用，因为它往往也意味着更高的计算代价，因此蛙跳时间积分格式可以作为一个比较理性的选择。采用DGFEM结合蛙跳时间格式(LF-DG)求解一阶速度-应力方程时，速度分量和应力分量需要分别定义在整倍程时间格及半倍程时间格上。与二阶的强稳定性保持龙哥库塔时间格式(RK-DG)相比较，蛙跳时间格式在单个时间步长内只需要进行一次完整的空间求导过程(数值模拟的主要计算代价)，而二阶的强稳定性保持龙哥库塔时间格式单个时间步长内需要进行两次完整的右端空间导数项的计算，同时因为蛙跳时间格式在数学上的保辛特性，其时间步长比龙哥库塔时间格式大约50％，因此DGFEM结合蛙跳时间格式应用于地震波场数值模拟可以极大节约计算耗时。
但因为使用蛙跳时间格式时，速度分量和应力分量需要在时间轴上交错定义，所以在该算法中只能采用最简单的中心数值流通量形式作为单元边界两侧波场相互交流的方式。在使用基于蛙跳时间格式的DGFEM进行地震波场数值模拟时，在数值模拟结果中通常会观察到比较明显的震源噪音等假波问题。对于这些假波问题，通过采用进一步提高网格密度的方式来压制这种现象，但网格密度的提高也会反过来导致模拟计算量的提高。
发明内容
本发明针对基于蛙跳时间格式的间断Galerkin有限元法进行地震波场数值模拟时，在数值模拟结果中通常会观察到比较明显的震源噪音等假波问题，提出了一种地震波数值模拟的方法，该方法能够有效压制假波现象出现。
本发明提出了一种地震波数值模拟的方法，所述方法以蛙跳时间为基础，采用间断Galerkin有限元法进行地震波数值模拟，其中，采用第二局部Lax-Friedrich数值流进行相邻单元间的波场交换，所述第二局部Lax-Friedrich数值流表示为其中A、B为物性参数矩阵，I为单位矩阵，cp为纵波速度，nx、nz分别表示单元边界的外法向量，τ为惩罚因子，其中，惩罚因子的取值范围为0～1，惩罚因子的取值范围最好为0.1～0.3。
本发明提出的地震波数值模拟的方法，由于采用第二局部Lax-Friedrich数值流进行相邻单元间的波场交换，同时引入惩罚因子，能够有效压制假波现象的出现，尤其当惩罚因子取值范围为0.1～0.3时，既保持了基于蛙跳时间DGFEM地震波数值模拟算法的大步长、低计算代价的优点，又可以实现高精度无假波的地震波传播数值模拟。
作为对本发明的进一步说明，本发明提出的地震波数值模拟的方法，具体步骤包括：
(1)根据模拟采用的空间阶数设置网格剖分密度，按照网格密度对模型计算区域进行非结构网格剖分。
(2)应用间断Galerkin有限元法的基本原理推导弹性波一阶速度-应力方程对应的积分方程(有限元方程)，实现相邻网格单元的解耦，其中选择第一局部Lax-Friedrich数值流作为相邻单元间的波场交换方式，采用配点微分法求内积的方式将解耦积分方程数值化，获得第一空间离散方程。
(3)将速度分量和应力分量交错定义在时间轴上，速度分量定义在整倍程时间格上，而应力分量定义在半倍程时间格上。
(4)使用第一局部Lax-Friedrich数值流通量需要使用到同一时刻的速度分量和应力分量，因此这里采用反向替代的方式，使用整倍程时间格上的速度分量替代半倍程时间格上的速度分量，使用半倍程时间格上的应力分量作为整倍程时间格上的应力分量，从而强制使用第一局部Lax-Friedrich数值流通量，获得第三空间离散方程。
(5)强制采用反向替代的方式使用第一局部Lax-Friedrich数值流会导致时间步长的明显降低，为了降低这种影响，在第一局部Lax-Friedrich数值流中引入惩罚因子，得到第二局部Lax-Friedrich数值流，得到第四空间离散方程，惩罚因子的取值区间为[0，1]，最好为[0.1，0.3]，根据惩罚因子设置稳定的模拟时间步长，
惩罚因子的值是通过模拟试验统计分析不同所述惩罚因子对所述时间步长的影响获得的，标准时间步长的表达式如下：
其中，Δt表示标准时间步长，p表示空间阶数，r表示单元内切圆半径，
最大稳定时间步长与标准时间步长的关系式如下：
Δtstable＝α·Δt
其中，Δtstable表示单元内切圆半径能够达到稳定模拟的最大稳定时间步长，α表示最大稳定时间步长与标准时间步长之间的比例因子。
比例因子α与所述惩罚因子τ满足如下关系：
(6)施加震源条件，交替更新速度分量和应力分量，获得最终模拟结果。
本发明针对使用基于蛙跳时间的间断Galerkin有限元地震波数值模拟算法时容易产生震源噪音等假波的问题，将算法中采用的简单中心数值流通量(相邻单元间的波场交换方式)强制替换为更严格的数值流方式，如第一局部Lax-Friedrich数值流等，同时为了降低强制采用第一局部Lax-Friedrich数值流带来的时间步长降低等影响，引入了包含有惩罚因子的第二局部Lax-Friedrich数值流，采用第二局部Lax-Friedrich数值流进行相邻单元间的波场交换，既保持基于蛙跳时间DGFEM地震数值模拟算法的大步长、低计算代价的优点，又实现了高精度无假波数值模拟。
附图说明
在下文中将基于实施例并参考附图来对本发明进行更详细的描述。其中：
图1为2D速度模型及模拟配置；
图2为为网格密度为0.9时，基于中心数值流的蛙跳时间格式的间断Galerkin有限元地震波数值模拟方法(LF-DG)在400ms时的波场快照结果；
图3为网格密度为0.9时，图3的LF-DG模拟的地表单道结果；
图4为网格密度为0.9时，基于中心数值流的蛙跳时间格式的间断Galerkin有限元地震波数值模拟方法(图左)与本发明提出的方法(图右)在400ms时的波场快照结果对比图；
图5为网格密度为0.9时，基于龙哥库塔时间格式的间断Galerkin有限元地震数值模拟算法(RK-DG：图左)与本发明提出的方法(图右)在400ms时的波场快照结果对比图；
在附图中，相同的部件使用相同的附图标记。附图并未按照实际的比例。
具体实施方式
下面将结合附图，对本发明的具体实施方式作出清楚完整的说明。
本实施例中，模型计算区域为三角形区域。根据模型速度分布以及地震波有限元法的空间采样需求定义网格密度函数其中，vs为横波速度，fmax为模拟中所用子波的最大频率，N表示一个最短横波波长内所需的采样点数，采用空间二阶时，N取1.9，空间三阶时，N取0.9。
应用间断Galerkin有限元法的基本原理推导弹性波一阶速度-应力方程对应的积分方程(有限元方程)，实现相邻网格单元的解耦，其中采用第一局部Lax-Friedrich数值流通量进行相邻单元间的波场交换，采用配点微分法求内积的方式将解耦积分方程数值化，得到第一空间离散方程(第一空间离散方程的详细推导过程见地球物理学报2014，Vol.57，Issue(4)：1209-1223)，第一空间离散方程可以简写为：
其中，L表示离散空间计算算子，σ和v分别表示应力分量和速度分量，第一局部Lax-Friedrich数值流通量定义为中心数值流通量定义为其中A、B为物性参数矩阵，I为单位矩阵，cp为纵波速度，nx、nz分别表示单元边界的外法向量。
将速度分量和应力分量交错定义在时间轴上，速度分量vn+1定义在整倍程时间格上，而应力分量σn+1/2定义在半倍程时间格上，其中n为非负整数。如果使用中心数值流通量时，采用蛙跳时间格式得到第二空间离散方程：
为了压制震源噪音等假波问题，在采用蛙跳时间格式时，采用更严格的数值流方式，如强制采用第一局部Lax-Friendrich数值流通量。使用第一局部Lax-Friedrich数值流通量需要使用到同一时刻的速度分量和应力分量，因此这里采用反向替代的方式，使用整倍程时间格上的速度分量替代所需半倍程时间格上的速度分量vn≈Vn+1/2，使用半倍程时间格上的应力分量作为整倍程时间格上的应力分量σn+1/2≈σn+1，采用蛙跳时间格式得到第三空间离散方程：
强制采用反向替代的方式使用第一局部Lax-Friedrich数值流会导致时间步长的明显降低，为了降低这种影响，在第一局部lax-Friedrich数值流中引入惩罚因子，得到第二局部lax-Friedrich数值流，其表示为τ为惩罚因子，因此，得到第四空间离散方程：
惩罚因子的取值区间为[0，1]，当取值为1时，第二局部lax-Friedrich数值流与第一局部Lax-Friedrich数值流相等，当取值为0时，第二局部lax-Friedrich数值流与第二空间离散方程采用的中心数值流相等。
合适的惩罚因子取值通过采用模拟试验统计分析不同惩罚因子对时间步长的影响来经验获得。为了更定量的分析不同大小惩罚因子对时间步长的影响，设
Δtstable＝α·Δt
其中，p为空间阶数，r为单元内切圆半径，Δtstable为单元内切圆半径能够达到稳定模拟的最大时间步长，α表示最大稳定时间步长与标准时间步长之间的比例因子。表格1中统计了不同空间阶数(＜＝3)下，不同大小惩罚因子τ对应的α值，τ通常取0.1～0.3。
表格1 不同阶数下，不同的惩罚因子对应的α(p)值
最后，施加震源条件，交替更新速度分量和应力分量，获得最终模拟结果。
图1为2D速度模型及模拟配置。
图2为网格密度为0.9时，基于中心数值流的蛙跳时间格式的间断Galerkin有限元地震数值模拟算法(LF-DG)在400ms时的波场快照结果，从图2中可以看出，箭头所指处有很强的震源噪音。
图3为网格密度为0.9时，基于中心数值流的LF-DG模拟的地表单道结果。从图3上我们可以看到，在箭头所指出存在明显的类似频散的假波问题。对于基于中心数值流的蛙跳时间格式的DG-FEM要获得比较清晰干净的结果，当使用p＝2阶多项式展开时，网格密度需要达到每个最小横波波长内有大约2-3～2-5个网格单元，而当使用p＝3阶多项式展开时，网格密度需要达到每个最小横波波长内有大约1.3～1.5个网格单元。
图4为网格密度为0.9时，基于中心数值流的蛙跳时间格式的间断Galerkin有限元地震数值模拟算法(图左)与本发明提供的方法(图右)在400ms时的波场快照结果对比图，从图中可以看出，图左的箭头所指出有很强的震源噪音，图右的箭头所指处震源噪音相对弱很多。
图5为网格密度为0.9时，基于龙哥库塔时间格式的间断Galerkin有限元地震数值模拟算法(RK-DG：图左)与本发明提出的方法(图右)在400ms时的波场快照结果对比图。RK-DG的模拟结果可以理解为标准结果，通过图5可以看出，本发明提出的方法所取得的结果与标准结果基本一致。本发明提出的方法有效压制了原基于中心数值流格式的蛙跳时间格式存在的严重频散和假波现象。
最后说明的是，以上实施例仅用于说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。
Claims (10)
1.一种地震波数值模拟的方法，所述方法以蛙跳时间格式为基础，采用间断Galerkin有限元法进行地震波数值模拟，
其中，采用第二局部Lax-Friedrich数值流进行相邻单元间的波场交换，所述第二局部Lax-Friedrich数值流表示为其中A、B为物性参数矩阵，I为单位矩阵，cp为纵波速度，nx、nz分别表示单元边界的外法向量，τ为惩罚因子。
2.根据权利要求1所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述惩罚因子τ的取值范围为0～1。
3.根据权利要求2所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述惩罚因子τ的取值范围为0.1～0.3。
4.根据权利要求1～3中任一项所述的地震波数值模拟的方法，包括如下步骤：
(1)依据网格密度对模型计算区域进行非结构网格剖分；
(2)对相邻网格单元进行解耦，获得第一空间离散方程；
(3)分别将速度分量和应力分量交错定义在时间轴上，所述速度分量定义在整倍程时间格上，所述应力分量定义在半倍程时间格上，获得第二空间离散方程；
(4)采用第一局部Lax-Friedrich数值流通量和反向替代的方式，并基于蛙跳时间格式获得第三空间离散方程；
(5)采用第二局部Lax-Friedrich数值流通量，并基于蛙跳时间格式，获得第四空间离散方程，同时设置稳定的模拟时间步长，其中第四空间离散方程表达式为
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其中，L表示离散空间计算算子，σ和v分别表示应力分量和速度分量，τ为惩罚因子，n为非负整数；
(6)施加震源条件，交替更新所述速度分量和所述应力分量，获得最终模拟结果。
5.根据权利要求4所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述步骤(2)中采用间断Galerkin有限元法获得弹性波一阶速度-应力方程对应的积分方程，实现对相邻网格单元的解耦，采用第一局部Lax-Friedrich数值流进行相邻单元间的波场交换；采用配点微分法求内积的方式将解耦积分方程数值化，获得所述第一空间离散方程。
6.根据权利要求4所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述步骤(3)中采用中心数值流通量进行相邻单元间的波场交换，获得所述第二空间离散方程。
7.根据权利要求4所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，步骤(4)中，所述反向替代的方式是使用整倍程时间格上的速度分量替代半倍程时间格上的速度分量，使用半倍程时间格上的应力分量替代整倍程时间格上的应力分量。
8.根据权利要求4所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，步骤(5)中，所述第二局部Lax-Friedrich数值流中设置有惩罚因子τ。
9.根据权利要求8所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述惩罚因子的值是通过采用模拟试验统计分析不同所述惩罚因子对所述时间步长的影响获得的，标准时间步长的表达式如下：
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其中，Δt表示标准时间步长，p表示空间阶数，r表示单元内切圆半径，cp表示纵波速度；
最大稳定时间步长与标准时间步长的关系式如下：
Δtstable＝α·Δt
其中，Δtstable表示单元内切圆半径能够达到稳定模拟的最大稳定时间步长，α表示最大稳定时间步长与标准时间步长之间的比例因子。
10.根据权利要求9所述的地震波数值模拟的方法，其特征在于，所述比例因子α与所述惩罚因子τ满足如下关系：
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| GR01 | Patent grant | ||
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