CN103984675A

CN103984675A - 一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法

Info

Publication number: CN103984675A
Application number: CN201410191150.5A
Authority: CN
Inventors: 程春田; 冯仲恺; 廖胜利; 牛文静; 武新宇; 李刚; 申建建
Original assignee: Dalian University of Technology
Current assignee: Dalian University of Technology
Priority date: 2014-05-06
Filing date: 2014-05-06
Publication date: 2014-08-13

Abstract

本发明提出了一种基于正交试验设计和变尺度邻域搜索的正交逐次逼近方法，包括以下步骤：设置初始化参数，由所求问题维度和离散水平数选择合适的正交表；由初始点x⁰出发在可行域内开展正交试验，采用惩罚函数法评估计算各试验方案；从试验方案中选择新的迭代点，若x¹优于x⁰，则令x⁰＝x¹，同时扩大搜索步长增强全局搜索，否则缩小搜索空间加强局部寻优；重复上述步骤，反复迭代，逐次逼近全局最优解，直至满足收敛条件。本发明提出一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法，具有原理简单、计算参数少、收敛速度快等优点，可快速获取全局优化问题的最优解或其近似解。

Description

一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法

技术领域

本发明涉及一种把正交试验和邻域搜索相结合求解全局优化问题的正交逐次逼近方法，属于优化方法领域。

技术背景

全局优化问题是一类具有广泛工程应用背景的规划问题，其描述如下：

min f(x) (1)

s.t.g_i(x)≤0,i＝1,2,…,m (2)

h_j(x)＝0,j＝1,2,…,p (3)

x &Element; X &Subset; R^{n} - - - (4)

其中x＝(x₁,…,x_k,…,x_n)^T；用S表示可行域，即

S＝{x|g_i(x)≤0；h_j(x)＝0} (5)

实际工程问题通常包含复杂的约束条件，目标函数一般具有非线性、不连续、不可微等特点，无法获取其导数或梯度信息，难以直接利用基于梯度的传统优化方法进行求解。进化算法(如遗传算法、粒子群算法等)仅利用适应度函数信息，无需计算方向导数或对梯度进行有限差分近似，具有方法简单、鲁棒性强、适用范围广等特点，被广泛用于求解全局优化问题，但是存在早熟收敛、易陷入局部最优等问题，因此迫切需要开展新型高效优化方法。

发明内容

为实现快速获得全局优化问题的最优解，避免陷入局部最优，本发明提出一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法。

本发明的一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法，步骤为：

步骤1：设定初始点初始搜索步长终止精度ξ，邻域离散水平数t，扩张因子a₁(a₁≥1)、压缩因子a₂(0＜a₂＜1)及最大迭代次数I等计算参数。置计数器I＝1。

步骤2：由离散水平数t及维度n选择相应正交表。

步骤3：根据正交表构造以x⁰为中心的正交方案，并检查各因素水平是否越限，若越限则取为边界值。

构造公式如下：

x_{i}^{r} = \{\begin{matrix} {\underset{&OverBar;}{x}}_{i} & if (x_{i}^{r} < {\underset{&OverBar;}{x}}_{i}) \\ x_{i}^{r} & if ({\underset{&OverBar;}{x}}_{i} \leq x_{i}^{r} \leq {\overset{&OverBar;}{x}}_{i}) \\ {\overset{&OverBar;}{x}}_{i} & if (x_{i}^{r} > {\overset{&OverBar;}{x}}_{i}) \end{matrix}

其中为因素i的r水平相应取值；表示不大于x的最大整数；分别为因素i的上限与下限。

步骤4：利用惩罚函数法计算各试验方案指标值，并从中选择较优方案x¹，然后采用极差分析法统计获取较优解x'，若F(x')＜F(x¹)，则令x¹＝x'。

F (x) = f (x) + Σ_{i = 1}^{m} M_{i} \times \max {0, g_{i}^{2} (x)} + Σ_{j = 1}^{p} C_{j} \times h_{j}^{2} (x)

其中M_i为第i项不等式约束惩罚系数；C_j为第j项等式约束惩罚系数。

步骤5：若F(x¹)≤F(x⁰)，则令x⁰＝x¹，同时增大步长，h₀＝a₁×h₀，转至步骤3；否则缩小步长h₀＝a₂×h₀，转至步骤6。

步骤6：I＝I+1。

步骤7：若或则转至步骤8；否则转步骤3。

步骤8：停止计算，输出最优解x^*＝x⁰。

本发明具有突出的有益效果：正交逐次逼近方法具有操作简便、计算参数少、占用内存少、收敛速度快等优点，该发明将全局优化问题的求解视为在可行域内反复开展正交试验，采用惩罚函数法计算目标函数并将其视为试验指标，可行域S视为试验区域，n维变量视为n项试验因素，各变量在其邻域范围内均取相同离散数目。根据函数维度和离散数目选取相应正交表并依此开展正交试验，若搜索到较优点则扩大步长增强全局搜索，否则缩小步长加强局部搜索，反复迭代，逐次逼近全局最优解。

附图说明

图1为正交逐次逼近方法流程图。

图2为邻域全面搜索示意图。

图3为邻域正交搜索示意图。

图2和图3分别为3维3离散水平在邻域范围内的全面试验与正交试验示意，其中正交试验选用正交表，立方体由初始点x＝(x₁,x₂,x₃)为中心、各维离散步长为1/2边长构造得到，各顶点分别代表一种试验方案，显然全面试验需开展3³＝27次试验，而正交试验只需9次试验，且在不同交线、平面上数目相同，方案分布均衡。由此可知，本发明在邻域范围内开展正交试验，可有效选取“均衡分散，整齐可比”的“试验点”进行计算。

具体实施方式

为评估本发明性能，选取文献1：Leung Y W,Wang Y.An orthogonal genetic algorithm withquantization for global numerical optimization[J].Evolutionary Computation,IEEE Transactions on,2001,5(1):41-53，选中的14个高维Benchmark函数作为测试集，其中函数f₁～f₈和f₁₀～f₁₄的维度均为30，f₇～f₉的维度为100；函数f₁～f₈为多峰函数，均有多个局部最优解，f₇含有高达100！＝9.33×10¹⁵⁷个局部极值点，搜索过程极易陷入局部最优，可有效检验方法的全局优化性能和多峰搜索能力。

表4列出本发明与文献[1]中OGA/Q分别运行50次的平均函数评价次数，最优平均值和标准差，其中OGA/Q数据参见文献1。

可以看出，本发明方法均能搜索到各函数的全局最优解或其近似解，在复杂高维函数优化求解中显示出良好的全局收敛性能。其中，本发明在函数f₁～f₂和f₄～f₆的最优平均值、平均函数评价次数、标准差方面明显优于OGA/Q；对函数f₇～f₉，本发明的平均函数评价次数虽然较高，但解的质量和稳定性显著优于OGA/Q；对函数f₃和f₁₁～f₁₂，本发明的计算结果接近全局最优解，同时平均函数评价次数明显少于OGA/Q；对函数f₁₀和f₁₃～f₁₄，本发明在解的质量和标准差方面略差于OGA/Q，但已经十分接近全局最优解。由此可知，本发明是一种高效优化方法，对全局优化问题的求解具有良好的搜索效率和计算精度。

f_{1} = Σ_{i = 1}^{N} - x_{i} \sin (\sqrt{| x_{i} |}), - 500 \leq x_{i} \leq 500

f_{2} = Σ_{i = 1}^{N} (x_{i}^{2} - 10 \cos (2 π x_{i}) + 10), - 5.12 \leq x_{i} \leq 5.12

f_{3} = - 20 \exp (- 0.2 \sqrt{Σ_{i = 1}^{N} x_{i}^{2} / N}) - \exp (Σ_{i = 1}^{N} \cos (2 π x_{i}) / N) + 20 + \exp (1), - 32 \leq x_{i} \leq 32

f_{4} = Σ_{i = 1}^{N} x_{i}^{2} / 4000 - Π_{i = 1}^{N} \cos (x_{i} / \sqrt{i}) + 1, - 600 \leq x_{i} \leq 600

f_{5} = π / N {10 \sin^{2} (π y_{1}) + Σ_{i = 1}^{N - 1} {(y_{i} - 1)}^{2} [1 + 10 \sin^{2} (π y_{i})] + {(y_{N} - 1)}^{2}} + Σ_{i = 1}^{N} u (x_{i}, 10,100,4)

其中，

- 5.12 \leq x_{i} \leq 5.12, y_{i} = 1 + 0.25 (x_{i} + 1), u (x_{i,} a, k, m) = \{\begin{matrix} k {(x_{i} - a)}^{m} & x_{i} > a \\ 0 & - a \leq x_{i} \leq a \\ k {({- x}_{i} - a)}^{m} & x_{i} < - a \end{matrix}

f_{6} = 0.1 {\sin^{2} (3 π x_{1}) + Σ_{i = 1}^{N - 1} {(x_{i} - 1)}^{2} [1 + \sin^{2} (3 π x_{i})] + {(x_{N} - 1)}^{2} [1 + \sin^{2} (2 π x_{N})]} + Σ_{i = 1}^{N} u (x_{i}, 5,100,4), - 50 \leq x_{i} \leq 50

f_{7} = Σ_{i = 1}^{N} \sin (x_{i}) \sin^{20} ({ix}_{i}^{2} / π), 0 \leq x_{i} \leq π

f_{8} = Σ_{i = 1}^{N} (x_{i}^{4} - {16 x}_{i}^{2} + {5 x}_{i}) / N, - 5 \leq x_{i} \leq 5

f_{9} = Σ_{j = 1}^{N - 1} [100 {(x_{j}^{2} - x_{j + 1})}^{2} + {(x_{j} - 1)}^{2}] / N, - 5 \leq x_{i} \leq 10

f_{10} = Σ_{i = 1}^{N} x_{i}^{2} / N, - 100 \leq x_{i} \leq 100

f_{11} = Σ_{i = 1}^{N} x_{i}^{4} + random [0,1), - 1.28 \leq x_{i} \leq 1.28

f_{12} = Σ_{i = 1}^{N} | x_{i} | + Π_{i = 1}^{N} | x_{i} |, - 10 \leq x_{i} \leq 10

f_{13} = Σ_{i = 1}^{N} {(Σ_{j = 1}^{i} x_{j})}^{2}, - 100 \leq x_{i} \leq 100

f₁₄＝max{|x_i|,i＝1,2,…,N},-100≤x_i≤100

表1表3本发明、OGA/Q^[1]运行50次计算结果比较.

数值试验表明，正交逐次逼近方法具有原理简单、计算参数少、收敛速度快等优点，是一种求解全局优化问题的高效方法。

本发明的具体实施方式在各方面应被视为例示性而非限制性实施例，所有的改变只要合乎本发明权利要求书所定义的范围或为其技术实施方式等效者，均应包含在本发明的保护范畴中。

Claims

1.一种求解全局优化问题的正交逐次逼近方法，其特征包括如下步骤，

步骤1：设定初始点初始搜索步长终止精度ξ，邻域离散水平数t，扩张因子a₁(a₁≥1)、压缩因子a₂(0＜a₂＜1)及最大迭代次数置计数器I＝1；

步骤2：由离散水平数t及维度n选择相应正交表；

步骤3：根据正交表构造以x⁰为中心的正交方案，并检查各因素水平是否越限，若越限则取为边界值；

构造公式如下：

x_{i}^{r} = \{\begin{matrix} {\underset{&OverBar;}{x}}_{i} & if (x_{i}^{r} < {\underset{&OverBar;}{x}}_{i}) \\ x_{i}^{r} & if ({\underset{&OverBar;}{x}}_{i} \leq x_{i}^{r} \leq {\overset{&OverBar;}{x}}_{i}) \\ {\overset{&OverBar;}{x}}_{i} & if (x_{i}^{r} > {\overset{&OverBar;}{x}}_{i}) \end{matrix}

其中为因素i的r水平相应取值；表示不大于x的最大整数；分别为因素i的上限与下限；

步骤4：利用惩罚函数法计算各试验方案指标值，并从中选择较优方案x¹，然后采用极差分析法统计获取较优解x'，若F(x')＜F(x¹)，则令x¹＝x'；

F (x) = f (x) + Σ_{i = 1}^{m} M_{i} \times \max {0, g_{i}^{2} (x)} + Σ_{j = 1}^{p} C_{j} \times h_{j}^{2} (x)

其中M_i为第i项不等式约束惩罚系数；C_j为第j项等式约束惩罚系数；

步骤5：若F(x¹)≤F(x⁰)，则令x⁰＝x¹，同时增大步长，h₀＝a₁×h₀，转至步骤3；否则缩小步长h₀＝a₂×h₀，转至步骤6；

步骤6：I＝I+1；

步骤7：若或则转至步骤8；否则转步骤3；

步骤8：停止计算，输出最优解x^*＝x⁰。