CN108038828B - 一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，包括以下步骤：步骤1，建立加权全变差图像去噪模型；步骤2，对图像进行归一化处理；步骤3，构建矩阵对(u,v)，并对其进行初始赋值；步骤4，开始第k次迭代，依据矩阵对(u^k‑1,v^k‑1)的值自适应生成加权参数

和

的值；步骤5，获得第k次迭代的去噪图像x^k；步骤6，判断迭代次数k是否达到设定的迭代次数N，如果没有达到N，利用梯度投影算法得到矩阵对(u^k,v^k)，并令k＝k+1，重新进入步骤4；如果迭代次数k达到了设定的迭代次数N，获得最终的去噪图像x^N。

Description

一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，尤其涉及一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法。

背景技术

图像中包含着极其丰富的信息，是人类获取信息最直接、最有效的渠道。但图像在采集、传输、保存的过程中势必会参杂进一定程度的噪声，不仅降低了图像的质量，还对图像的后续分析处理带来了困难。因此，图像去噪在图像处理领域中是一项十分重要且必不可少的环节。

在众多的图像去噪算法中，全变差算法在去除图像噪声的同时还能有效地实现对图像边缘信息的保护，对于图像去噪取得了不错的效果，因此得到了极其广泛的应用。Beck等人将梯度投影算法应用到了全变差模型的图像去噪问题中，不仅在实现图像去噪的同时完成了对边缘信息的保护，还大大提高了收敛的速度(Amir Beck,Marc Teboulle.,Fastgradient-based algorithms for constrained total variation image denoising anddeblurring problems,IEEE Transactions on Image Processing,Vol.18,No.11,2009,pp.2419-2434.)。但该方法对于图像不同方向上的全变差加权参数完全相同，并不能针对不同方向上有着不同信息的图像进行特定全变差加权参数的设定。

综上所述，发明一种能够依据图像自身特点自适应地在不同方向上生成不同的全变差加权参数的方法显得尤为重要。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术中的不足，提供一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法。该方法可以根据每一次迭代取得的去噪图像自适应生成垂直方向和水平方向的加权参数，从而得到更好的图像去噪效果。

为解决上述技术问题，本发明公开了一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1：建立加权全变差图像去噪模型；

步骤2：对图像进行归一化处理；

步骤3：构建矩阵对(u,v)，并对其进行初始赋值；

步骤4：开始第k次迭代，依据矩阵对的值自适应生成第k次迭代的加权参数

和

的值；

步骤5：获得第k次迭代的去噪图像x^k；

步骤6：判断迭代次数k是否达到设定的迭代次数N(N的取值一般在50到100之间)，如果没有达到N，利用梯度投影算法得到第k次迭代的矩阵对(u^k,v^k)，并令k＝k+1，重新进入步骤4；如果迭代次数k达到了设定的迭代次数N，获得最终的去噪图像x^N。

步骤1包括如下步骤：

步骤1-1，建立如下所示大小为m×n的数字噪声图像f的数学模型：

f＝x+c (1)

公式(1)中，f∈R^m×n为含有噪声的数字图像，R^m×n代表大小为m行n列的矩阵，x∈R^{m ×n}为原始图像，c∈R^m×n为加入到原始图像中的加性噪声；

步骤1-2，建立如下全变差图像去噪模型：

公式(2)中，第一项是保真项，第二项是全变差正则项，TV(x)代表图像x的全变差，||·||₂是L2范数，μ＞0是正则化参数；

步骤1-3，建立如下加权全变差图像去噪模型：

公式(3)中，第一项是保真项，第二项是加权全变差正则项，WTV(x,w₁,w₂,)代表图像x的加权全变差，w₁和w₂分别是图像垂直方向上的加权参数和水平方向上的加权参数；

步骤1-4，建立如下加权全变差正则项数学模型：

公式(4)中，i代表图像中像素所在的行，j代表图像中像素所在的列，x_i，j代表图像x中第i行第j列像素，x_i+1，j代表图像x中第i+1行第j列像素，x_i，j+1代表图像x中第i行第j+1列像素，x_i，n代表图像x中第i行第n列像素，x_i+1，n代表图像x中第i+1行第n列像素，x_m，j代表图像x中第m行第j列像素，x_m，j+1代表图像x中第m行第j+1列像素，i＝1,…,m-1，j＝1,…,n-1，垂直方向加权参数的取值范围是0≤w₁≤1，水平方向加权参数的取值范围是0≤w₂≤1。

步骤2包括如下步骤：

对图像x中的每一个像素点进行灰度值的归一化处理，M位图像像素的灰度值范围是从0到2^M-1(例如8位图像像素的灰度值范围是从0到255)，对图像中所有像素的灰度值除以2^M-1，使得图像中所有像素的灰度值范围转换为0到1之间，可以大大减少后续的计算量。

步骤3包括如下步骤：

步骤3-1，建立一个函数T(·)，数学定义为：

T(x)＝(u,v) (5)

公式(5)中(u,v)是矩阵对，其中的u是大小为(m-1)×n的矩阵，v是大小为m×(n-1)的矩阵，数学定义如下所示：

公式(6)中，u∈R^(m-1)×n而v∈R^m×(n-1)，i代表矩阵u和v中元素所在的行，j代表矩阵u和v中元素所在的列，u_i,代表矩阵u中第i行第j列元素，v_i，j代表矩阵v中第i行第j列元素；矩阵u没有第0行和第m行，但为了方便后续计算设定u_0，j和u_m，j分别代表矩阵u的第0行和第m行，矩阵v没有第0列和第n行，但为了方便后续计算设定v_i，0和v_i，n分别代表矩阵v的第0列和第n行；

步骤3-2，对(u,v)进行初始赋值，公式如下所示：

(u⁰,v⁰)＝(0_(m-1)×n,0_m×(n-1)) (7)

公式(7)中，u⁰和v⁰分别代表第0次迭代后u的值和v的值，也就是u和v的初始值，0_(m-1)×n和0_m×(n-1)分别代表大小为(m-1)×n的零矩阵和大小为m×(n-1)的零矩阵。

步骤4包括：

第k次迭代的加权参数

和

的值计算方式如下所示：

公式(8)中，u^k-1和v^k-1分别代表第k-1次迭代后u的值和v的值，ε＞0是一个非常接近0的常数。

步骤5包括：

步骤5-1，联合公式(4)和公式(5)，将公式(4)表示成如下的数学形式：

公式(9)中，Tr代表矩阵的迹；

步骤5-2，联合公式(3)和公式(9)，将公式(3)表示成如下的数学形式：

公式(10)中，函数对于x是二阶凸函数，函数对于u、v、w₁和w₂是一阶凹函数；

步骤5-2，改变公式(10)函数中求最小值最大值的先后顺序，将公式(10)转变为：

步骤5-3，通过如下公式计算第k次迭代的去噪图像x^k：

步骤6包括：

当迭代次数k小于设定的迭代次数N(N的取值一般在50到100之间)时，利用梯度投影算法得到第k次迭代的矩阵对(u^k,v^k)的计算公式为：

公式(13)中，梯度为-2μT(x^k)，T(x^k)代表第k次迭代后的去噪图像x^k通过函数T(·)得到的矩阵对(u,v)，步长为

函数P＝(p,q)，其中p和q分别是大小为(m-1)×n的矩阵和大小为m×(n-1)的矩阵，函数P＝(p,q)的数学定义如下所示：

公式(14)中，

代表第k次迭代后，矩阵p中第i行第j列元素，

和

分别代表第k-1次迭代后矩阵u中第i行第j列元素和矩阵v中第i行第j列元素；

公式(15)中，

代表第k次迭代后，矩阵q中第i行第j列元素。

本发明公开了一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，与已有的技术相比，本发明的有益效果是：本发明充分利用了图像中像素与相邻像素之间的关系，在每一次迭代开始时都能够根据已有的去噪图像自适应生成垂直方向和水平方向上的加权参数。实验结果表明：通过本发明进行图像去噪，能够得到更好的去噪效果。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明做更进一步的具体说明，本发明的上述或其他方面的优点将会变得更加清楚。

图1是本发明公开的一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法的实现流程图；

图2a是“Lena”原始图像；

图2b是“Lena”噪声图像；

图2c是“Lena”采用全变差方法去噪图像；

图2d是“Lena”采用本发明方法去噪图像；

图3a是“Barbara”原始图像；

图3b是“Barbara”噪声图像；

图3c是“Barbara”采用全变差方法去噪图像；

图3d是“Barbara”采用本发明方法去噪图像；

图4a是“Cameraman”原始图像；

图4b是“Cameraman”噪声图像；

图4c是“Cameraman”采用全变差方法去噪图像；

图4d是“Cameraman”采用本发明方法去噪图像；

图5a是“Moon”原始图像；

图5b是“Moon”噪声图像；

图5c是“Moon”采用全变差方法去噪图像；

图5d是“Moon”采用本发明方法去噪图像。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

如图1所示，一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，包括以下步骤：

步骤1：建立加权全变差图像去噪模型。

大小为m×n的数字噪声图像f的数学模型如下所示：

f＝x+c(1)

公式(1)中，f∈R^m×n为含有噪声的数字图像，x∈R^m×n为原始图像，c∈R^m×n为加入到原始图像中的加性噪声。

全变差图像去噪模型如下所示：

公式(2)中，第一项是保真项，第二项是全变差正则项，||·||₂是L2范数，μ＞0是正则化参数。

加权全变差图像去噪模型如下所示：

公式(3)中，第一项是保真项，第二项是加权全变差正则项，μ＞0是正则化参数，w₁和w₂分别是图像垂直方向和水平方向上的加权参数。

加权全变差正则项数学模型如下所示：

公式(4)中，x∈R^m×n，i＝1,…,m-1，j＝1,…,n-1，垂直方向加权参数的取值范围是0≤w₁≤1，水平方向加权参数的取值范围是0≤w₂≤1。

步骤2：对图像进行归一化处理。

对图像x中的每一个像素点进行灰度值的归一化处理，M位图像像素的灰度值范围是从0到2^M-1(例如8位图像像素的灰度值范围是从0到255)，对图像中所有像素的灰度值除以2^M-1，使得图像中所有像素的灰度值范围转换为0到1之间，可以大大减少后续的计算量。

步骤3：构建矩阵对(u,v)，并对其进行初始赋值。

建立一个函数T(·)，数学定义为：

T(x)＝(u,v) (5)

公式(5)中(u,v)是矩阵对，数学定义如下所示：

公式(6)中，u∈R^(m-1)×n而v∈R^m×(n-1)。

对(u,v)进行初始赋值，公式如下所示：

(u⁰,v⁰)＝(0_(m-1)×n,0_m×(n-1)) (7)

步骤4：开始第k次迭代，依据矩阵对(u^k-1,v^k-1)的值自适应生成加权参数

和

的值。

第k次迭代的加权参数

和

的值计算方式如下所示：

公式(8)中，ε＞0是一个非常接近0的常数。

步骤5：获得第k次迭代的去噪图像x^k。

联合公式(4)和公式(5)，可以将公式(4)表示成如下的数学形式：

公式(9)中，Tr代表矩阵的迹。

联合公式(3)和公式(9),可以将公式(3)表示成如下的数学形式：

公式(10)中，函数对于x是二阶凸函数，函数对于u、v、w₁和w₂是一阶凹函数。

改变公式(10)函数中求最小值最大值的先后顺序，将公式(10)转变为：

x^k为第k次迭代的去噪图像，计算方式如下所示：

步骤6：判断迭代次数k是否达到设定的迭代次数N，如果没有达到N，利用梯度投影算法得到矩阵对(u^k,v^k)，并令k＝k+1，重新进入步骤4；如果迭代次数k达到了设定的迭代次数N，获得最终的去噪图像x^N。

当迭代次数k小于设定的迭代次数N时，利用梯度投影算法得到矩阵对(u^k,v^k)的计算公式为：

公式(13)中，梯度为-2μT(x^k)，T(x^k)代表第k次迭代后的去噪图像x^k通过函数T(·)得到的矩阵对(u,v)，步长为

函数P＝(p,q)，其中p和q分别是大小为(m-1)×n的矩阵和大小为m×(n-1)的矩阵，函数P＝(p,q)的数学定义如下所示：

实施例

下面的实验中采用峰值信噪比(Peak signal to noise ratio,PSNR)来对全变差图像去噪方法和本发明提出的一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法的图像去噪能力进行比较。

峰值信噪比的数学定义是：

公式(16)中，图像的大小为M×N，灰度值取值范围为L，x代表原始图像，y代表检测图像。

峰值信噪比代表的是原始图像与检测图像之间的差异程度，峰值信噪比的值越大，代表原始图像与检测图像之间差异程度越小越逼真。

将原始“Lena”、“Barbara”、“Cameraman”、“Moon”进行归一化处理，添加入正态分布均值为0.075的高斯白噪声。取μ＝0.1，ε＝0.0001，分别使用全变差方法和本发明方法对噪声图像“Lena”、“Barbara”、“Cameraman”、“Moon”进行去噪。图2a是“Lena”原始图像；图2b是“Lena”噪声图像；图2c是“Lena”采用全变差方法去噪图像；图2d是“Lena”采用本发明方法去噪图像。

图3a是“Barbara”原始图像；图3b是“Barbara”噪声图像；图3c是“Barbara”采用全变差方法去噪图像；图3d是“Barbara”采用本发明方法去噪图像。

图4a是“Cameraman”原始图像；图4b是“Cameraman”噪声图像；图4c是“Cameraman”采用全变差方法去噪图像；图4d是“Cameraman”采用本发明方法去噪图像。

图5a是“Moon”原始图像；图5b是“Moon”噪声图像；图5c是“Moon”采用全变差方法去噪图像；图5d是“Moon”采用本发明方法去噪图像。实验结果如表1所示：

图像	噪声图像	全变差方法	本发明方法
				Lena	22.832	26.861	27.135
Barbara	22.582	27.903	28.156
				Cameraman	22.812	28.060	28.368
Moon	24.242	29.497	29.608

表1给出了对分别使用全变差方法和本发明方法对噪声图像“Lena”、“Barbara”、“Cameraman”、“Moon”进行去噪后图像的峰值信噪比。可以看到在进行实验的所有图像中，本发明方法对于全变差方法在峰值信噪比上均有不同程度的提高。

实验结果证明了本发明方法相比全变差方法有着更好的去噪效果。

本发明提供了一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，具体实现该技术方案的方法和途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。

Claims (3)

1.一种基于自适应加权全变差的图像去噪方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：建立加权全变差图像去噪模型；

步骤2：对图像进行归一化处理；

步骤3：构建矩阵对(u,v)，并对其进行初始赋值；

步骤4：开始第k次迭代，依据矩阵对的值自适应生成第k次迭代的加权参数

和

的值；

步骤5：获得第k次迭代的去噪图像x^k；

步骤6：判断迭代次数k是否达到设定的迭代次数N，如果没有达到N，利用梯度投影算法得到第k次迭代的矩阵对(u^k,v^k)，并令k＝k+1，重新进入步骤4；如果迭代次数k达到了设定的迭代次数N，获得最终的去噪图像x^N；

步骤1包括如下步骤：

步骤1-1，建立如下所示大小为m×n的数字噪声图像f的数学模型：

f＝x+c(1)

公式(1)中，f∈R^m×n为含有噪声的数字图像，R^m×n代表大小为m行n列的矩阵，x∈R^m×n为原始图像，c∈R^m×n为加入到原始图像中的加性噪声；

步骤1-2，建立如下全变差图像去噪模型：

公式(2)中，第一项是保真项，第二项是全变差正则项，TV(x)代表图像x的全变差，||·||₂是L2范数，μ＞0是正则化参数；

步骤1-3，建立如下加权全变差图像去噪模型：

公式(3)中，第一项是保真项，第二项是加权全变差正则项，WTV(x,w₁,w₂,)代表图像x的加权全变差，w₁和w₂分别是图像垂直方向上的加权参数和水平方向上的加权参数；

步骤1-4，建立如下加权全变差正则项数学模型：

公式(4)中，i代表图像中像素所在的行，j代表图像中像素所在的列，x_i,j代表图像x中第i行第j列像素，x_i+1,j代表图像x中第i+1行第j列像素，x_i,j+1代表图像x中第i行第j+1列像素，x_i,n代表图像x中第i行第n列像素，x_i+1,n代表图像x中第i+1行第n列像素，x_m,j代表图像x中第m行第j列像素，x_m,j+1代表图像x中第m行第j+1列像素，i＝1,…,m-1，j＝1,…,n-1，垂直方向加权参数的取值范围是0≤w₁≤1，水平方向加权参数的取值范围是0≤w₂≤1；

步骤2包括：对图像x中的每一个像素点进行灰度值的归一化处理，M位图像像素的灰度值范围是从0到2^M-1，对图像中所有像素的灰度值除以2^M-1，使得图像中所有像素的灰度值范围转换为0到1之间；

步骤3包括如下步骤：

步骤3-1，建立一个函数T(·)，数学定义为：

T(x)＝(u,v) (5)

公式(5)中(u,v)是矩阵对，其中的u是大小为(m-1)×n的矩阵，v是大小为m×(n-1)的矩阵，数学定义如下所示：

公式(6)中，u∈R^(m-1)×n而v∈R^m×(n-1)，i代表矩阵u和v中元素所在的行，j代表矩阵u和v中元素所在的列，u_i,j代表矩阵u中第i行第j列元素，v_i,j代表矩阵v中第i行第j列元素；

步骤3-2，对(u,v)进行初始赋值，公式如下所示：

(u⁰,v⁰)＝(0_(m-1)×n,0_m×(n-1)) (7)

公式(7)中，u⁰和v⁰分别代表第0次迭代后u的值和v的值，也就是u和v的初始值，0_(m-1)×n和0_m×(n-1)分别代表大小为(m-1)×n的零矩阵和大小为m×(n-1)的零矩阵；

步骤4包括：

第k次迭代的加权参数

和

的值计算方式如下所示：

公式(8)中，u^k-1和v^k-1分别代表第k-1次迭代后u的值和v的值，ε＞0是一个接近0的常数。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤5包括：

步骤5-1，联合公式(4)和公式(5)，将公式(4)表示成如下的数学形式：

公式(9)中，Tr代表矩阵的迹；

步骤5-2，联合公式(3)和公式(9)，将公式(3)表示成如下的数学形式：

公式(10)中，函数对于x是二阶凸函数，函数对于u、v、w₁和w₂是一阶凹函数；

步骤5-2，改变公式(10)函数中求最小值最大值的先后顺序，将公式(10)转变为：

步骤5-3，通过如下公式计算第k次迭代的去噪图像x^k：

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，步骤6包括：

当迭代次数k小于设定的迭代次数N时，利用梯度投影算法得到第k次迭代的矩阵对(u^k,v^k)的计算公式为：

公式(13)中，梯度为-2μT(x^k)，T(x^k)代表第k次迭代后的去噪图像x^k通过函数T(·)得到的矩阵对(u,v)，步长为

函数P＝(p,q)，其中p和q分别是大小为(m-1)×n的矩阵和大小为m×(n-1)的矩阵，函数P＝(p,q)的数学定义如下所示：

公式(14)中，

代表第k次迭代后，矩阵p中第i行第j列元素，

和

分别代表第k-1次迭代后矩阵u中第i行第j列元素和矩阵v中第i行第j列元素；

公式(15)中，

代表第k次迭代后，矩阵q中第i行第j列元素。

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