CN108022298B - 一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，定义直纹面上的可展性目标函数，将可展性目标函数极小化，同时约束曲面的边界曲线逼近给定的目标曲线数据点，得到边界逼近给定曲线数据点的近似可展曲面，然后对目标数据点进行参数化，得到边界曲线插值给定数据点的近似可展曲面。本发明直接构造整体B样条曲面，无需利用独立的曲面片进行拼接来构造光滑曲面。

Description

一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法

技术领域

本发明涉及一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法。

背景技术

可展曲面可以不经拉伸展开到平面上，其高斯曲率处处为零,是一种单向弯曲的曲面。尤其在船体制造中，采用的薄板材料(如钢板、木板等)容易单向弯曲成形,但如果使用这些材料生成双向弯曲的形状,必须通过水火成形等复杂的加工技术，制造成本较高。

在船舶外形曲面设计等应用领域采用可展曲面形状构造船体外形是长久以来寻求的目标。在工程实践中,船体的外形通过能够反映船体曲面变化的型线表示,船体外形曲面通过构造插值型线的曲面得到。如何在相邻两条型线之间的插值曲面中找到可展性最佳的曲面，这是船体造型设计中的重要问题。

可展曲面建模的研究工作很多，一类方法利用B样条或者Bézier曲面作为可展曲面的表示方式，但这种方法有时候会产生不符合预期的曲面形状，另一类方法是研究了插值离散曲线或曲线上采样数据点的可展网格曲面的构造方法，给定两条曲线C₁和C₂后，首先在曲线C₁和C₂上进行采样，将两条曲线离散化，然后寻求采样点C₁(u_i)(i＝0,…,n)和C₂(t_j)(j＝0,…,m)之的对应关系，目标是找到在所有可能的网格中可展性最好的曲面，这类方法的缺点是：

1)采样点过少影响最后得到的曲面的质量,采样点过多则算法效率较低；

2)生成曲面的整体光顺性难以控制；

3)可展曲面上的自交曲线(regression curve)的位置难以控制；

4)严格的边界插值条件限制了造型的自由度，有些情况难以得到可展性满意的插值曲面。

综上所述，已有方法在给定边界曲线上有限采样点间构造可展网格曲面，结果强烈依赖于采样的方式和采样点个数，为了得到光滑曲面，已有方法在每一片网格片面上构造光滑曲面片，通过约束相邻曲面片之间的连续性来构造光滑的连续曲面，但是曲面可展性依然依赖边界曲线上的采样点及连接关系。

发明内容

本发明为了解决上述问题，提出了一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，本发明允许可展曲面的边界在目标曲线上滑动，并且直接构造整体B样条曲面，无需利用独立的曲面片进行拼接来构造光滑曲面。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，定义直纹面上的可展性目标函数，将可展性目标函数极小化，同时约束曲面的边界曲线逼近给定的目标曲线数据点，得到边界逼近给定曲线数据点的近似可展曲面，然后对目标数据点进行参数化，得到边界曲线插值给定数据点的近似可展曲面。

具体包括以下步骤：

(1)对代表两条空间曲线的目标数据点进行参数化，得到插值目标数据点的两条B样条曲线；

(2)基于插值数据的B样条曲线，寻找曲线之间可展性较好的连接线段，构造初始近似可展曲面；

(3)极小化衡量曲面可展性的目标函数，同时约束曲面的边界曲线逼近目标数据点；

(4)找到目标数据点在经过极小优化后的曲面的对应边界曲线上的垂足点，用垂足点的参数对数据点进行参数化，生成插值曲线，得到最终的边界插值的近似可展曲面。

进一步的，所述步骤(2)中，构造初始曲面的具体过程包括：假设C₁和C₂是插值给定数据点的曲线，现在要构造连接C₁和C₂上采样点的具有可展性的四边形网格，过程是寻找一个线段序列，作为初始近似可展曲面的母线，并把边界曲线的两端延长。

更进一步的，确定线段序列的具体步骤包括：

(2-1)确定第一个线段：考虑边界曲线C₁上的一个端点E₀，首先在C₂的对应端点附近取若干个采样点，计算该端点到各个采样点的线段的可展性函数，选取可展性函数值最小的连接作为初始可展曲面的第一条母线；

(2-2)确定其他线段，在上一条已经确定的线段的两个端点处沿着寻找方向在曲线上取若干个采样点，在采样点所有的连接可能中选取可展性函数值最小的连接作为确定的线段，持续这个过程，直到达到边界曲线的另一端。

所述步骤(3)中，对于B样条直纹曲面的曲面可展约束为：曲面上有限条母线的每一条母线的两端点具有同样的曲面法向量。

所述步骤(3)中，边界逼近约束为：目标数据点{X_i}到可展曲面对应的边界曲线D(u)的垂足点处边界曲线切线的距离。

所述步骤(3)中，通过控制曲面的两条边界曲线的光顺性，来控制曲面的光顺性，从而使曲面的形状较好且避免其内部出现自交。

所述步骤(3)中，采用L-BFGS优化算法求解极小化问题。

所述步骤(4)中，可展曲面的边界曲线长度可能超出目标曲线，在这种情况下，为目标曲线数据点集增加对应的可展曲面边界曲线的端点。

所述步骤(3)中，得到逼近可展曲面后，找出边界逼近误差大于给定阈值的数据点，用这些数据点在当前曲面边界的垂足代替这些目标数据点，然后求解插值曲线，进行多次迭代，直到得到可展性满足要求的曲面。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

本发明允许可展曲面的边界在目标曲线上滑动，提供了一种允许边界映射关系连续变化的策略；并且该方法直接构造整体B样条曲面，无需利用独立的曲面片进行拼接来构造光滑曲面。

附图说明

构成本申请的一部分的说明书附图用来提供对本申请的进一步理解，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。

图1(a)、(c)、(e)、(g)为展现本方法主要步骤的简单模型的逼近和插值结果的母线图；

图1(b)、(d)、(f)、(h)为展现本方法主要步骤的简单模型的逼近和插值结果的曲面图；

图2(a)、图2(b)为初始近似可展曲面构造示意图；

图3(a)、图3(b)为可展性约束与距离函数的示意图；

图4(a)-(d)为渔船模型1示意图；

图5(a)-(d)为渔船模型2示意图；

图6(a)-(c)为渔船模型2的profile-lower chine单片曲面模型示意图；

具体实施方式：

下面结合附图与实施例对本发明作进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本发明使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式。如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

在本发明中，术语如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”、“竖直”、“水平”、“侧”、“底”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，只是为了便于叙述本发明各部件或元件结构关系而确定的关系词，并非特指本发明中任一部件或元件，不能理解为对本发明的限制。

本发明中，术语如“固接”、“相连”、“连接”等应做广义理解，表示可以是固定连接，也可以是一体地连接或可拆卸连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连。对于本领域的相关科研或技术人员，可以根据具体情况确定上述术语在本发明中的具体含义，不能理解为对本发明的限制。

本发明允许可展曲面的边界在目标曲线上滑动，提供了一种允许边界映射关系连续变化的策略；并且该方法直接构造整体B样条曲面，无需利用独立的曲面片进行拼接来构造光滑曲面。

首先给出要解决的问题的数学描述:给定表示两条空间曲面的两组数据点X1，X2，目的是构造一个直纹面S(u,v)＝C₁(u)(1-v)+C₂(u)v，u∈[0,1]，v∈[0,1]，其中曲线C₁(u)和C₂(u)是分别插值给定数据点X1和X2的B样条参数曲线，要求该直纹面是近似可展曲面。

为了在两条给定曲线之间构造以这两条给定曲线为边界线近似可展曲面，我们采用首先定义在直纹面S(u，v)上的可展性目标函数，极小化该可展性目标函数，同时约束曲面的边界曲线逼近给定的目标曲线数据点，得到边界逼近给定曲线数据点的近似可展曲面，然后对目标数据点进行参数化，得到边界曲线插值给定数据点的近似可展曲面。

算法的主要步骤包括：

Step1：对数据点X1，X2进行参数化，得到插值数据点X1和X2的B样条曲线D1(u)和D2(u)。数据点的参数化可以采用弦长参数化等方法。

Step2：构造初始近似可展曲面，S(u,v)＝D₁(u)(1-v)+D₂(u)v，参数域为u∈[0,1]，v∈[0,1]。

Step3：极小化衡量曲面S可展性的目标函数，同时约束S的边界曲线D₁,D₂逼近目标数据点X1和X2。

Step4：找到数据点X1，X2在经Step3优化后的曲面S(u，v)的对应的边界曲线上的垂足点的参数，用垂足点的参数对数据点进行参数化，生成插值曲线D₁,D₂，曲面S(u,v)＝D₁(u)(1-v)+D₂(u)v即最终得到的边界插值的近似可展曲面。

1、构造初始近似可展曲面

本发明方法利用数值优化方法得到可展曲面，因此优化的结果依赖初始曲面。通过下述方法构造初始曲面。假设C₁和C₂是插值给定数据点的曲线，现在要构造连接C₁和C₂上采样点的具有较好可展性的四边形网格，过程是寻找一个线段序列L₀,L₁,…,L_k，作为初始近似可展曲面的母线。由于可展曲面的母线范围有可能超出给定的边界曲线范围，一般把边界曲线的两端稍微延长。

首先确定第一个线段L₀。从边界曲线的一个端点到另一条曲线上若干采样点的连接中寻找可展性最好的连接，如图2(a)所示。考虑边界曲线C₁上的一个端点E₀，首先在C₂的对应端点附近取几个采样点F₀,…,F_m，线段E₀F_i的可展性可以由以下函数来判断。

θ((F_i-E₀)×T₁(E₀),(F_i-E₀)×T₂(F_i)) (3)

θ是两个向量的夹角；T₁(P),T₂(P)分别表示曲线C₁和C₂上点P的切向量。θ值越小表示可展性越好。同样考虑边界曲线C₂的端点。在这些连接中选取函数θ值最小的连接作为初始可展曲面的第一条母线L₀。

确定母线L_i后，确定下一条母线L_i+1的方法如下。在L_i的两个端点处沿着寻找方向在曲线上取若干个采样点，如图2(a)所示。在采样点所有的连接可能中选取函数θ值最小的连接，作为L_i+1。持续这个过程，直到达到边界曲线的另一端。

该算法的输出是一个线段序列{(p₀,q₀),(p₁,q₁),…(p_k,q_k)}，如图2(b)所示。根据其构造的过程可知该线段序列生成的四边形网格是近似可展的。初始近似可展曲面的边界曲线是分别插值{p₀,p₁,…,p_k}，{q₀,q₁,…,q_k}的B样条曲线。假设p₀,p₁,…p_k和q₀,q₁,…,q_k的弧长参数化分别是s₀,s₁,…,s_k和t₀,t₁,…,t_k，则在构造两条插值曲线时采用参数化v₀,v₁,…,v_k，其中

B样条的节点矢量通过deBoor平均方法计算(式(2))。

2、构造边界逼近的可展曲面

这一步构造曲面S(u,v)＝D₁(u)(1-v)+D₂(u)v使其是近似可展曲面，并且该曲面的边界曲线逼近给定的数据点X1和X2。极小化定义在曲面S上的可展性衡量函数，求解边界曲线逼近给定数据点的可展曲面。下面讨论曲面优化中的主要约束，即曲面的可展性约束和边界曲线的逼近约束。

2.1曲面的可展约束

一个直纹面是可展曲面等价于曲面上每一条母线的两端点具有同样的曲面法向量。对于B样条直纹曲面，只需曲面上有限条母线具有这一性质。首先在曲线上取一些采样点，对应的参数为u₀,u₁,…,u_K。令参数u_j处的母线L(u_j)＝D₂(u_j)-D₁(u_j)；T₁(u_j)和T₂(u_j)分别是边界曲线D₁(u)和D₂(u)在参数u_j处的切矢量，如图3(a)所示。

曲面在两点D₁(u_j)和D₂(u_j)的法向量分别是

则可展性约束可以表示为：

N₁(u_j)-N₂(u_j)＝0,j＝0,…,K。(3)

这个函数比较复杂，引入一个函数N(u)代表可展曲面的法向量函数，约束(3)可以改写为如下等价条件。

如果将采样点处的法向量N_j＝N(u_j)作为优化变量，则该约束(式(4))是线性的。曲面法向量N_j的初始值取对应的母线两端曲面法向量的平均值的单位化。

2.2边界逼近约束

为了约束可展曲面边界曲线逼近给定的目标边界，在优化中要考虑给定边界曲线上的目标数据点{X_i}到可展曲面边界曲线D(u)的距离函数。将数据点X_i到曲线D(u)的距离线性化，即构造X_i到D(u)上垂足点F_i处的切线的距离函数

其中

的定义为:

其中，u_i是X_i到D(u)上的最近点F_i的参数，即D(u_i)＝F_i，T_i是D(u)在F_i处的单位切向量，如图3(b)所示。类似已有工作，在每次迭代中，将数据点在当前曲线上的垂足F_i对应的参数u_i和曲线单位切矢量T_i视为常量，因此距离误差

是线性的。

当一个数据点的最近点是目标曲线的端点时，位于端点切线上的数据点距离曲线端点的距离可能很远。对于这样的情况，需要考虑X_i到F_i的距离函数

其中

定义为

综合以上情况，采用的距离约束为

其中α_i是X_i-F_i与F_i处曲线切矢量T_i的夹角的余弦值的绝对值，即

F_i是数据点X_i在曲线上的最近点，当F_i不是曲线的端点时，X_i-F_i与曲线垂直。我们用牛顿法迭代计算F_i。牛顿法需要一个初始，在算法最初阶段，采用一个简单的方法为每一个数据点找到一个近似垂足。依据目标点集的大小将边界曲线的参数范围等分，得到一个参数序列；接着为目标点集中的每一个目标数据点找到在该参数序列中的最近点对应的参数作为初始垂足的参数。在后续的迭代中，采用上一次迭代的结果作为本次迭代的初始参数。

2.3曲面优化

为统一优化参数的调整，首先将数据放缩到单位包围盒中。优化的变量是边界曲线D₁和D₂的控制点以及曲面法矢量N_j,j＝0,…,K。求解边界插值可展曲面优化问题，构造目标函数

F＝F_dist+λF_fair+γF_develop+βF_regular，

其中

曲面S为直纹面，可以通过控制曲面的两条边界曲线的光顺性，来控制曲面的光顺性，从而使曲面的形状较好且避免其内部出现自交。曲面的光顺函数定义如下:

F_fair＝ω(∫|D₁'(u)|²du+∫|D₂'(u)|²du)+∫|D₁”(u)|²du+∫|D₂”(u)|²du

F_regular用来避免法向量的退化，定义为

采用L-BFGS优化算法求解极小化问题，算法所需要的导数信息解析求出。每次迭代中，需要更新目标数据点X_i到边界曲线的最近点F_i对应的参数u_i以及曲线在u_i处的单位切矢量T_i。优化的结果是新的曲面S(u,v)＝D₁(u)(1-v)+D₂(u)v以及法矢量N_j,j＝0,…,K。

3构造边界插值的可展曲面

假设目标数据点分别为p₀,p₁,…,p_n和q₀,q₁,…,q_n。可展曲面的边界曲线长度可能超出目标曲线，在这种情况下，为目标曲线数据点集增加对应的可展曲面边界曲线的端点，即目标数据点改为p-1＝D₁(0),p₀,p₁,…,p_n,p_n+1＝D₁(1)和q_-1＝D₂(0),q₀,q₁,…,q_n,q_n+1＝D₂(1)。

为计算插值曲线，首先需确定数据点的参数，希望得到的插值曲线与优化得到的曲面边界曲线S(u,0)和S(u,1)相差不大。数据点的参数取值为该数据点在当前边界曲线的垂足处的参数，即数据点p_i,i＝0,…,n(或q_i,i＝0,…,n)的参数是该点在曲线D₁(或D₂)上的最近点的参数，p_-1(或q_-1)的参数为0，p_n+1(或q_n+1)的参数是1。

求解线性方程组(5)得到插值B样条曲线，得到插值曲线并构造边界插值曲面S(u,v)。

假设数据点X_i,i＝0,…,n的参数分别是s_i,i＝0,…,n，其中s₀＝0，s_n＝1。B样条的节点矢量利用deBoor的平均化方法(式(5))计算。

曲线C(u)插值给定数据点，即要求

考虑三维空间中点的x，y，z分量，可以得到3个线性方程组。插值曲线的控制点P_i通过求解线性方程组(6)得到。已有工作表明方程组(6)有唯一解的条件是B样条曲线的控制点个数和数据点个数相等并且满足Schoenberg-Whitney条件。容易证明数据点的参数和B样条的节点满足式(5)则Schoenberg-Whitney条件得到满足。

生成插值曲线D₁,D₂，曲面S(u,v)＝D₁(u)(1-v)+D₂(u)v即最终得到的边界插值的近似可展曲面。

对有些数据，可能不存在插值给定曲线的可展性满足要求的曲面，在这种情况下，需要修改部分目标数据点，使得生成一个误差满足要求的边界曲线逼近给定数据的近似可展曲面。在得到逼近可展曲面后，找出边界逼近误差大于给定阈值的数据点，用这些数据点在当前曲面边界的垂足代替这些目标数据点，然后求解插值曲线。这个修改数据点和计算插值曲线的过程可以多次迭代，直到得到可展性满足要求的曲面。

图1(a)-(h)以一个简单的曲面为例，给出了算法的关键步骤及结果。

通过实验来验证本发明方法的效果。选取了两个渔船的船体模型来展示实验结果，船体由一系列型线定义，相邻的两个型线定义了一个曲面片。利用本发明方法在型线间构造出近似可展曲面，并研究结果曲面的可展性。实验平台是一台配置为Intel i5-5200U2.20GHz，8GB DDR3L的笔记本电脑。

本发明的曲面是直纹面，采用曲面母线两端点法向量的夹角θ(式(3))来定义曲面的可展性。已有工作表明金属可以承受6°的偏角。各个实验的可展误差都被记录了最大值和平均值。下文讨论的距离误差以实际误差与模型包围盒的百分比形式给出。

渔船模型1由三条型线定义的两片曲面片构成，图4(a)中给出了船体模型的型线，从上到下依次为sheer，chine和centre line。由于给定的型线数据是B样条曲线，所以算法可省去由型值点插值初始型线的步骤。图4(b)展示了用本发明方法在对应型线之间构造的边界插值可展曲面的母线。注意在型线端点附近的母线已经超出了给定边界曲线的范围。图4(c)给出了算法最终插值结果的可展误差颜色编码，由图可知母线两端曲面法向量的偏角θ均在金属材料的承受范围之内，其中最大的夹角为3.08°，所有采样母线端点法向偏角的平均值为0.45°。图4(d)为渲染后的模型。在本例中，构造的可展曲面的边界曲线采用10个控制点即可得到满意的结果，算法的运行时间大约为7.65秒。

表1:渔船模型2的型值点坐标

渔船模型2的原始型值点数据来源于参考文献Pérez F，Suárez J A。Quasi-developable B-spline surfaces in ship hull design[J]。Computer-Aided Design，2007，39(10):853-862中的型线图，根据型线图中的数据还原出的型值点的三维空间坐标在表1中给出。首先生成4条初始型线，见图5(a)，从上到下依次为main deck，upper chine，lower chine和profile。图5(b)展示了用本发明方法生成的可展曲面的母线，该结果是目标边界数据修改方法后得到的结果。图5(c)给出了结果曲面，其中母线端点法向量偏角的最大值为5.6°，采样母线的端点法向偏角的平均值为0.52°。图5(d)给出了模型的渲染结果。本例用时约66.4秒。

渔船模型2比渔船模型1复杂，尤其是曲线profile和lower chine之间的部分母线变化剧烈，这一部分是算法耗时最长的部分，约60.10秒。图6(a)给出得到的边界逼近的近似可展曲面，该曲面边界曲线上的采样点的距离误差平均值在模型大小的0.03％以内，最大误差约为模型大小的0.15％。图6(b)给出了不修改目标边界数据，严格插值给定边界数据的近似可展曲面，其中最大偏角是16°。图6(c)给出了修改目标边界数据后得到的近似可展曲面，其中最大偏角为5.6°，采样母线的偏角平均值为0.68°，满足金属材料的加工要求。

以上所述仅为本申请的优选实施例而已，并不用于限制本申请，对于本领域的技术人员来说，本申请可以有各种更改和变化。凡在本申请的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请的保护范围之内。

上述虽然结合附图对本发明的具体实施方式进行了描述，但并非对本发明保护范围的限制，所属领域技术人员应该明白，在本发明的技术方案的基础上，本领域技术人员不需要付出创造性劳动即可做出的各种修改或变形仍在本发明的保护范围以内。

Claims (8)

1.一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：定义直纹面上的可展性目标函数将可展性目标函数极小化，同时约束曲面的边界曲线逼近给定的目标曲线数据点，得到边界逼近给定曲线数据点的近似可展曲面，然后对目标数据点进行参数化，得到边界曲线插值给定数据点的近似可展曲面；

具体包括以下步骤：

(1)对代表两条空间曲线的数据点进行参数化，得到插值数据点的两条B样条曲线；

(2)基于插值数据的B样条曲线，寻找曲线之间可展性较好的连接线段，构造初始近似可展曲面；

(3)极小化衡量曲面可展性的目标函数，同时约束曲面的边界曲线逼近目标数据点；

(4)找到目标数据点在经过极小优化后的曲面的对应的边界曲线上的垂足点的参数，用垂足点的参数对数据点进行参数化，生成插值曲线，得到最终的边界插值的近似可展曲面。

2.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：所述步骤(2)中，构造初始近似可展曲面的具体过程包括：假设C1和C2是插值给定数据点的曲线，现在要构造连接C1和C2上采样点的具有可展性的四边形网格，过程是寻找一个线段序列，作为初始近似可展曲面的母线，把边界曲线的两端延长。

3.如权利要求2所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：确定线段序列的具体步骤包括：

(2-1)确定第一个线段：考虑边界曲线C1上的一个端点E0，首先在C2的对应端点附近取若干个采样点，计算该端点到各个采样点的线段的可展性函数，选取可展性函数值最小的连接作为初始可展曲面的第一条母线；

(2-2)确定其他线段，在上一条已经确定的线段的两个端点处沿着寻找方向在曲线上取若干个采样点，在采样点所有的连接可能中选取可展性函数值最小的连接作为确定的线段，持续这个过程，直到达到边界曲线的另一端。

4.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：所述步骤(3)中，对于B样条直纹曲面的曲面可展约束为：曲面上有限条母线的每一条母线的两端点具有同样的曲面法向量。

5.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：所述步骤(3)中，边界逼近约束为：给定目标数据点{X_i}到可展曲面边界曲线D(u)的垂足点处的切线的距离。

6.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：所述步骤(3)中，采用L-BFGS优化算法求解极小化问题。

7.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：所述步骤(4)中，可展曲面的边界曲线长度可能超出目标曲线，在这种情况下，为目标曲线数据点集增加对应的可展曲面边界曲线的端点。

8.如权利要求1所述的一种插值给定边界曲线的近似可展曲面设计方法，其特征是：得到逼近可展曲面后，找出边界逼近误差大于给定阈值的数据点，用这些数据点在当前曲面边界的垂足代替这些目标数据点，然后求解插值曲线，进行多次迭代，直到得到可展性满足要求的曲面。

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