CN112464467B - 一种三维编织结构的计算机仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三维编织结构的计算机仿真方法，所述方法包括如下步骤：步骤一、初始轨迹生成；步骤二、增加内芯边界约束；步骤三、纱线轨迹压缩；步骤四、纱线拉紧。本发明参考真实编织结构的特征，利用纺线的几何关系来构造纺线运动轨迹。该方法对基于携纱器运动产生的纱线位置的运动轨迹C^*进行简化，同时保持不同纱线轨迹之间的结构关系，计算出接近真实编织效果的纱线轨迹C。本发明得到的纺线路径的精确度和仿真度都较高，对于编织材料的仿真计算和性能预测、新型编织机中携纱器运动规则设计以及编织参数的设置等都有重要的作用。

Description

一种三维编织结构的计算机仿真方法

技术领域

本发明涉及一种编织仿真方法，具体涉及一种基于计算几何原理的多层编织机的纺线路径仿真方法。

背景技术

利用纤维纱线进行编织是一种复合材料制备方法，通过编织机上携纱器的旋转运动带动纱线旋转，纱线可以在相邻的携纱器之间传递，所有携纱器的运动使得纱线缠绕在一个芯模上，形成编织结构，在芯模的外层形成一层复合材料保护层。

三维编织机的运动仿真和数字化编织结构的生成是研究编织机装备设计和制造以及基于编织技术的复合材料性质的重要计算机辅助方法。利用计算机技术进行编织仿真是验证编织机的编织规则，进行编织物性能仿真计算的前提。在真实的编织机运动中，纱线在携纱器的运动带动下产生的初始轨迹，在纱线张力以及纱线和柱芯的相互作用下，形成覆盖柱芯表面的编织轨迹。因此一种纱线编织结构的数字化生成方法是基于纺线的弹性力学性质和纺线和柱芯的碰撞检测建立微分方程，计算出纺线的真实轨迹。基于这种方法的编织仿真过程计算复杂，计算时间较长。

相对于基于力学方程的方法，基于几何学的编织仿真方法具有计算量小的优点，这种方法的关键问题之一是如何生成几何形状逼真并且拓扑正确的编织结构。传统的基于计算几何的方法只适用于具有单层结构编织机的编织结构生成，因为这种情况下携纱器的运动轨迹和真实纺织结构比较近似。

发明内容

本发明的目的是提供一种三维编织结构的计算机仿真方法，该方法面向的编织机具有多层携纱器的结构。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种三维编织结构的计算机仿真方法，包括如下步骤：

步骤一、初始轨迹生成

假设携纱器A_i的运动轨迹为(X_i(t),Y_i(t))，其中t是时间参数；假设纱线上升的高度用Z(t)表示，则携纱器A_i生成的纱线的空间轨迹参数方程如下：

C^*(t)＝(X_i(t),Y_i(t),Z(t))。

步骤二、增加内芯边界约束

为了使纱线拉紧贴近芯模，在内芯的表面附近增加若干隐藏纺线轨迹，假设柱芯是一个旋转体，它的半径表示为R(z)，其中z是沿柱芯轴线的高度，一根纱线的顶点数目是H+1，隐藏纺线轨迹中第i条轨迹上顶点的集合定义如下：

式中，

是表示隐藏纺线轨迹排列疏密程度的参数；φ表示某一条隐藏纺线轨迹中点分布的疏密程度；n是整数，表示顶点的序号；

步骤三、纱线轨迹压缩

假设初始纺线C^*上的一点的空间坐标为(x,y,z)，则压缩后的点的坐标为：

((x R(z))*θ+R(z),(R(z))*θ+R(z),z)；

其中，θ表示压缩程度的参数。

步骤四、纱线拉紧

交替执行删点操作和割角操作，具体操作步骤描述如下：

(1)关于一个顶点的删点操作

a、假设有N+1条纱线轨迹，每一条轨迹表示为一个空间中点的序列，假设一条轨迹上有M+1个顶点，则轨迹L_i(i＝0,…,N)的顶点序列为P_i,0,…,P_i,M；

b、判断轨迹L_i上的一个顶点P_i,k(P_i,k不包括轨迹的首尾顶点)是否能删除，需要检查三角形△P_i,k-1P_i,k P_i,k+1和其它所有的轨迹L_j上的线段P_j,p,P_j,p+1的关系；

c、如果存在一个线段P_j,p,P_j,p+1与三角形△P_i,k-1P_i,k,P_i,k+1相交，则点P_i,k不能删除，否则可以删除顶点P_i,k，更新轨迹，返回步骤a；

(2)关于一个顶点的割角操作

割角操作指删除一个顶点，同时在该顶点相邻的两条边上分别增加一个顶点，具体步骤如下：

假设d是一个轨迹线段与三角形△fbe所在平面的交点，当d点位于三角形△fbe内时，则不能进行割角；反之，当d点位于三角形△fbe外部时，进行割角，即删除b点，同时增加f和e点，完成一次割角操作。

本发明的方法的核心是利用空间线段之间的位置关系来对纺线进行几何上的变换，用于仿真力学系统下对纺线的拉伸。实际上，本发明的方法是力学收紧法的缩减版。纯力学收紧法是利用受力数据去计算受力后的运动方向；而本发明的方法则回避了受力数据的计算问题，从收缩结果上去处理此类问题。所以，本发明的方法具有力学收紧法的近似原理，但是计算量更小，生成结果的速度更快。当然，本发明的方法也只是对力学拉伸的近似模拟，与真实情况仍然存在一定的区别。本发明的方法主要应用于更加复杂的交织情况，更快地提供给用户一个可供参考的可视化结构模型。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

本发明得到的纺线路径的精确度和仿真度都较高，对于编织材料的仿真计算和性能预测、新型编织机中携纱器运动规则设计以及编织参数的设置等都有重要的作用。

附图说明

图1为三维编织结构的计算机仿真流程图；

图2为三角形和线段相交；

图3为三角形和线段不相交；

图4为符合割角条件的示例；

图5为不符合割角条件的示例；

图6为空间三角形和点投影到水平面；

图7为芯模上的隐藏纺线轨迹；

图8为纺线运动轨迹；

图9为纺线压缩轨迹；

图10为纺线仿真结构。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本发明提供了一种三维编织结构的计算机仿真方法，参考真实编织结构的特征，利用纺线的几何关系来构造纺线运动轨迹。该方法对基于携纱器运动产生的纱线位置的运动轨迹C^*进行简化，同时保持不同纱线轨迹之间的结构关系，计算出接近真实编织效果的纱线轨迹C。如图1所示，具体包括如下步骤：

一、初始轨迹生成

携纱器的运动是一个位于平面上的周期运动，假设携纱器A_i的运动轨迹为(X_i(t),Y_i(t))，其中t是时间参数。假设纱线上升的高度用Z(t)表示，则携纱器A_i生成的纱线的空间轨迹参数方程如公式(1)所示：

C^*(t)＝(X_i(t),Y_i(t),Z(t)) (1)；

对公式(1)中的轨迹进行优化调整的方法如下描述。

二、增加内芯边界约束

由于实际编织过程中，纱线受到内芯的阻挡，根据内芯形状在不同高度上的不同半径位置上形成编织结构。本发明的方法基于内芯模型的半径定义若干隐藏纺线轨迹作为约束条件。

隐藏纺线轨迹均匀分布在柱芯的外表面上，如图7所示。隐藏纺线轨迹中第i条轨迹上分布点的集合定义如下：

在公式(2)中，

是表示隐藏纺线轨迹排列疏密程度的参数；φ表示某一条隐藏纺线轨迹中点分布的疏密程度；h表示的是柱芯的高度；n是整数，表示顶点的序号；H+1是一条纱线上顶点的数目。

三、纱线轨迹压缩

在携纱器的带动下生成的纱线位置轨迹C^*(图8)的运动可以分解为两类运动。一种运动是缠绕柱芯的运动，另一种运动是在柱芯内层和外层方向上的位置移动。第二种运动来自编织机模拟系统中齿轮半径的作用，使得纺线的运动轨迹在环形编织内外层方向上产生位移。在真实编织过程中，这个位移会在纺线拉紧的作用力下被消除。本发明利用几何方法移除内外层的位移，得到向柱芯内部方向进行压缩的纺线轨迹。

假设柱芯是一个旋转体，它的半径表示为R(z)，其中z是沿柱芯轴线的高度。假设初始纺线C^*上的一点的空间坐标为(x,y,z)，则压缩后的点的坐标为：

((x R(z))*θ+R(z),(R(z))*θ+R(z),z) (3)；

其中，θ表示压缩程度的参数。

四、纱线拉紧

经过压缩的纺线轨迹一般存在很多弯曲和折叠(图9)，本发明提出一种几何方法模拟纺线的拉紧，尽量减少纺线轨迹上的弯曲和折叠。假设有N+1条纱线轨迹，每一条轨迹表示为一个空间中点的序列。假设一条轨迹上有M+1个顶点，则轨迹L_i(i＝0,…,N)的顶点序列为P_i,0,…,P_i,M。该方法分为两个基本操作：删点操作和割角操作。

(1)关于一个顶点的删点操作

通过删除轨迹上的顶点可以减少轨迹的长度，起到拉紧轨迹的作用。删除一个顶点需要保证该点的删除不会改变轨迹的结构，即不会改变不同轨迹的内外层关系。

拉紧纱线轨迹的一种操作是删除轨迹上满足一定条件的顶点，轨迹的首尾顶点不进行删除。判断轨迹L_i上的一个顶点P_i,k是否能删除，(P_i,k不包括轨迹的首尾顶点)，需要检查三角形△P_i,k-1P_i,k P_i,k+1和其它所有的轨迹L_j上的线段P_j,p,P_j,p+1的关系，如果存在一个线段P_j,p,P_j,p+1与三角形△P_i,k-1P_i,k,P_i,k+1相交(图2)，则点P_i,k不能删除，否则可以删除顶点P_i,k(图3)，更新轨迹。

(2)关于一个顶点的割角操作

割角操作指删除一个顶点，同时在该顶点相邻的两条边上分别增加一个顶点。这个操作可以使轨迹变得更加光顺。参考图4和图5，这里需要判断是否可以对顶点b进行割角操作，即删除点b，同时增加点f和点e。这需要检查三角形△fbe与其它轨迹上的线段是否相交。假设d是一个轨迹线段与三角形△fbe所在平面的交点。当d点位于三角形△fbe内时，则不能进行割角；反之，当d点位于三角形△fbe外部时，可以进行割角，即删除b点，同时增加f和e点。e和f的位置可以取三角形的边上靠近d点的边的长度的1/3的位置。该取值主要考虑在对一根纺线连续割角时，应尽量保持纺线拉伸效果的均匀。

三角形和线段相交的判断方法：

纱线拉紧算法的删点操作和割角操作都需要判断是否存在一个纺线中的线段和当前关注的三角形相交。假设要判断顶点b是否可以删除或者进行割角，点b和它前后的两个顶点，点a和点c构成的三角形△abc，且点a、点b、点c的高度(z值)依次下降。为了判断点b是否能够删除或者割角，需要考虑所有其它轨迹上的线段与三角形△abc是否相交。在所有其它轨迹上的线段中与三角形△abc没有交点的线段中，有一些可以通过简单的策略进行识别和排除，从而减少计算时间。

判断是否存在一个纺线轨迹线段和当前的三角形相交的步骤如下：

步骤1、排除不在当前三角形高度范围内的线段

与三角形△abc可能相交的线段具有以下属性：该线段中上端点不低于c点的高度，并且该线段中下端点不高于a点的高度。因此在考虑b点时，当遍历某一条其它纺线时，可以采用二分法先找到离b点在高度上最近的点P，再以此点P为判断线段的下端向上遍历直至达到高于a点的高度。之后，以此点P为判断线段的上端向下遍历直至达到低于c点的高度。该查找对于一个点P的操作次数为

次。

步骤2、排除两个端点在三角形平面同一侧的线段

如果一个线段的两个端点位于三角形所在平面的同一侧，则该线段和三角形不存在交点，判断方法如下：

假设三角形的三个顶点坐标分别为：a＝(x_a,y_a,z_a)，b＝(x_b,y_b,z_b)，c＝(x_c,y_c,z_c)，轨迹线段的两个端点的坐标分别为：e＝(x_e,y_e,z_e)，f＝(x_f,y_f,z_f)，则三角形△abc所在平面方程为：

(y_a*z_b-y_b*z_a)(x-x_c)+(x_a*z_b-x_b*z_a)(y-y_c)+(x_a*y_b-x_b*y_a)(z-z_c)＝0

设：

W＝(y_a*z_b-y_b*z_a)(x-x_c)+(x_a*z_b-x_b*z_a)(y-y_c)+(x_a*y_b-x_b*y_a)(z-z_c)(4)

将e和f的坐标带入方程(4)中，得到

若W_e*W_f＞0，则线段ef和三角形△abc所在平面不存在交点。若W_e*W_f≤0，则表示线段ef穿过平面，此时W_f＝0或者W_e＝0意味线段ef位于三角形△abc平面内，需要特殊处理。

步骤3、线段和三角形是否相交的判断

参考图2和图3，图中点a和点c是点b所在的纺线前后的点。需要遍历其它纺线在同一高度的部分是否穿过了由a,b,c构成的三角形△abc，分为以下几种情况：

情况1：一般情况

参考图6，D是直线和平面的交点，为了判断空间中一个线段是否在一个三角形△ABC内部，将点D和三角形△ABC投影到水平面(平面方程为z＝0)，得到平面上的点H和三角形△EFG。由平面上点D与三角形△EFG的位置关系得到它们在空间中的关系。计算λ₁、λ₂、λ₃：

其中

·表示向量的点乘，×表示向量的叉乘。如果λ₁λ₂>0且λ₂λ₃>0，则H点在三角形EFG内，即D点在三角形ABC内；否则，H点在三角形EFG外，即D点在三角形ABC外。

情况2：三角形是竖直面

在线段和三角形是否相交的判断中，有可能出现三角形所在的平面是竖直面的情况。以图2为例，当三角形△abc的一个竖直面时，在水平面投影面上，a,b,c三点的投影点位于一条直线上。此时若有条位于水平面上的直线段，即使该直线与三角形没有交点，但是在投影面上也会有交点。为了处理这种情况，需要每次对三角形△abc所在平面的法向量进行判断，当法向量的z轴坐标为0时，则需要选择非水平面作为投影面。

情况3：线段在平面内

以图2为例，一种特殊情况是轨迹线段正好位于三角形△abc所在平面内，这对应W_f＝0或者W_e＝0。在该情况下，计算线段与三角形△abc所在平面的交点将导致出现无穷多解的情况。

为了处理这种情况，首先判断线段与三角形△abc的三条边是否相交，如果线段与至少一条三角形的边相交，则不能执行删点操作；否则，需判断线段两端点是否都位于空间三角形范围内，如果线段的两个端点都位于三角形内部，则不能执行删点操作；否则可以执行删点操作。

参考图1，纱线拉紧算法的步骤如下：在纱线拉紧的过程中，隐藏纺线轨迹不参与割角和删点，只作为其它纺线轨迹割角或删点的参考对象。

定义操作计数变量Count1等于0，Count2等于0。

步骤1：遍历所有的纺线(隐藏纺线除外)，判断纺线上的顶点(首尾顶点除外)是否符合删点的条件，如果符合则进行删点操作,Count1计数增加1。

步骤2：如果步骤1中进行了删点操作(即Count1大于0)，则Count1赋值为0，执行步骤1，否则执行步骤3。

步骤3：遍历所有的纺线(隐藏纺线除外)，判断纺线上的顶点(首尾顶点除外)是否符合割角条件，如果符合则进行割角操作，Count2计数增加1。

步骤4：如果步骤3中进行了割角操作(Count2大于0)，则Count2赋值0，执行步骤3，否则如果步骤1中执行了删点操作(Count1>0),则执行步骤1，否则退出算法。

该方法产生纺线被不断拉紧的效果，使纺线轨迹逐渐趋近于拉紧的编织结构。

本步骤中，隐藏纺线轨迹不参与顶点的删点操作和割角操作，只作为判断其他纺线轨迹上的顶点是否符合删点和割角条件的参考轨迹。

效果演示：

以一种六边形编织机的编织仿真为例。图8是携纱器运动引起的纱线原始轨迹，图9展示了将纺线运动轨迹压缩到柱芯模型的表面附近的结果；图10展示了利用本发明的方法得到的最终的纱线编织仿真结构。

1、一种三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一、初始轨迹生成

假设携纱器A_i的运动轨迹为(X_i(t),Y_i(t))，其中t是时间参数；假设纱线上升的高度用Z(t)表示，则携纱器A_i生成的纱线的空间轨迹参数方程如下：

C^*(t)＝(X_i(t),Y_i(t),Z(t))；

步骤二、增加内芯边界约束

为了使纱线拉紧贴近芯模，在内芯的表面附近增加若干隐藏纺线轨迹，假设柱芯是一个旋转体，它的半径表示为R(z)，其中z是沿柱芯轴线的高度，一根纱线的顶点数目是H+1，隐藏纺线轨迹中第i条轨迹上顶点的集合定义如下：

式中，

是表示隐藏纺线轨迹排列疏密程度的参数；φ表示某一条隐藏纺线轨迹中点分布的疏密程度；n表示顶点的序号；

步骤三、纱线轨迹压缩

假设初始纺线C^*上的一点的空间坐标为(x,y,z)，则压缩后的点的坐标为：

((x R(z))*θ+R(z),(R(z))*θ+R(z),z)；

其中，θ表示压缩程度的参数；

步骤四、纱线拉紧

迭代执行两个基本操作：关于一条纺线轨迹上一个顶点的删点操作和割角操作，具体操作步骤如下：

(1)关于一个顶点的删点操作

a、假设有N+1条纱线轨迹，每一条轨迹表示为一个空间中点的序列，假设一条轨迹上有M+1个顶点，则轨迹L_i的顶点序列为P_i,0,…,P_i,M，i＝0,…,N；

b、判断轨迹L_i上的一个顶点P_i,k是否能删除，P_i,k不包括轨迹的首尾顶点，需要检查三角形△P_i,k-1P_i,k P_i,k+1和其它所有的轨迹L_j上的线段P_j,p,P_j,p+1的关系；

c、如果存在一个线段P_j,p,P_j,p+1与三角形△P_i,k-1P_i,k,P_i,k+1相交，则点P_i,k不能删除，否则删除顶点P_i,k，更新轨迹；

(2)关于一个顶点的割角操作

假设d是一个轨迹线段与三角形△fbe所在平面的交点，当d点位于三角形△fbe内时，则不能进行割角；反之，当d点位于三角形△fbe外部时，进行割角，即删除b点，同时增加f和e点，完成一次割角操作。

2、根据权利要求1所述的三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述步骤四中，隐藏纺线轨迹不参与顶点的删点操作和割角操作，只作为判断其他纺线轨迹上的顶点是否符合删点和割角条件的参考轨迹。

3、根据权利要求1所述的三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述步骤四中，判断是否存在一个纺线轨迹线段和当前的三角形相交的步骤如下：

步骤1、排除不在当前三角形高度范围内的线段

假设要判断顶点b是否可以删除或者进行割角，点b和它前后的两个顶点，点a和点c构成的三角形△abc，且点a、点b、点c的高度依次下降；

在考虑b点时，当遍历某一条其它纺线时，采用二分法先找到离b点在高度上最近的点P，再以此点P为判断线段的下端向上遍历直至达到高于a点的高度；

以此点P为判断线段的上端向下遍历直至达到低于c点的高度；

步骤2、排除两个端点在三角形平面同一侧的线段

如果一个线段的两个端点位于三角形所在平面的同一侧，则该线段和三角形不存在交点；

步骤3、线段和三角形是否相交的判断

情况1：一般情况

D是直线和平面的交点，将点D和三角形△ABC投影到水平面，得到平面上的点H和三角形△EFG，由平面上点D与三角形△EFG的位置关系得到它们在空间中的关系，计算λ₁、λ₂、λ₃：

其中

·表示向量的点乘，×表示向量的叉乘。如果λ₁λ₂>0且λ₂λ₃>0，则H点在三角形EFG内，即D点在三角形ABC内；否则，H点在三角形EFG外，即D点在三角形ABC外；

情况2：三角形是竖直面

当三角形△abc的一个竖直面时，在水平面投影面上，a,b,c三点的投影点位于一条直线上，每次对三角形△abc所在平面的法向量进行判断，当法向量的z轴坐标为0时，则选择非水平面作为投影面；

情况3：线段在平面内

判断线段与三角形△abc的三条边是否相交，如果线段与至少一条三角形的边相交，则不能执行删点操作；否则，判断线段两端点是否都位于空间三角形范围内，如果线段的两个端点都位于三角形内部，则不能执行删点操作；否则执行删点操作。

Claims (3)

1.一种三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述方法包括如下步骤：

步骤一、初始轨迹生成

携纱器A_i的运动轨迹为(X_i(t),Y_i(t))，其中t是时间参数；纱线上升的高度用Z(t)表示，则携纱器A_i生成的纱线的空间轨迹参数方程如下：

C^*(t)＝(X_i(t),Y_i(t),Z(t))；

步骤二、增加内芯边界约束

为了使纱线拉紧贴近芯模，在内芯的表面附近增加若干隐藏纺线轨迹，假设柱芯是一个旋转体，它的半径表示为R(z)，其中z是沿柱芯轴线的高度，一根纱线的顶点数目是H+1，隐藏纺线轨迹中第i条轨迹上顶点的集合定义如下：

式中，

是表示隐藏纺线轨迹排列疏密程度的参数；φ表示某一条隐藏纺线轨迹中点分布的疏密程度；n表示顶点的序号；

步骤三、纱线轨迹压缩

假设初始纺线C^*上的一点的空间坐标为(x,y,z)，则压缩后的点的坐标为：

((x R(z))*θ+R(z),(R(z))*θ+R(z),z)；

其中，θ表示压缩程度的参数；

步骤四、纱线拉紧

迭代执行两个基本操作：关于一条纺线轨迹上一个顶点的删点操作和割角操作，具体操作步骤如下：

(1)关于一个顶点的删点操作

a、假设有N+1条纱线轨迹，每一条轨迹表示为一个空间中点的序列，假设一条轨迹上有M+1个顶点，则轨迹L_i的顶点序列为P_i,0,…,P_i,M，i＝0,…,N；

b、判断轨迹L_i上的一个顶点P_i,k是否能删除，P_i,k不包括轨迹的首尾顶点，需要检查三角形△P_i,k-1P_i,k P_i,k+1和其它所有的轨迹L_j上的线段P_j,p,P_j,p+1的关系；

c、如果存在一个线段P_j,p,P_j,p+1与三角形△P_i,k-1P_i,k,P_i,k+1相交，则点P_i,k不能删除，否则删除顶点P_i,k，更新轨迹；

(2)关于一个顶点的割角操作

假设d是一个轨迹线段与三角形△fbe所在平面的交点，当d点位于三角形△fbe内时，则不能进行割角；反之，当d点位于三角形△fbe外部时，进行割角，即删除b点，同时增加f和e点，完成一次割角操作。

2.根据权利要求1所述的三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述步骤四中，隐藏纺线轨迹不参与顶点的删点操作和割角操作，只作为判断其他纺线轨迹上的顶点是否符合删点和割角条件的参考轨迹。

3.根据权利要求1所述的三维编织结构的计算机仿真方法，其特征在于所述步骤四中，判断是否存在一个纺线轨迹线段和当前的三角形相交的步骤如下：

步骤1、排除不在当前三角形高度范围内的线段

假设要判断顶点b是否可以删除或者进行割角，点b和它前后的两个顶点，点a和点c构成的三角形△abc，且点a、点b、点c的高度依次下降；

在考虑b点时，当遍历某一条其它纺线时，采用二分法先找到离b点在高度上最近的点P，再以此点P为判断线段的下端向上遍历直至达到高于a点的高度；

以此点P为判断线段的上端向下遍历直至达到低于c点的高度；

步骤2、排除两个端点在三角形平面同一侧的线段

如果一个线段的两个端点位于三角形所在平面的同一侧，则该线段和三角形不存在交点；

步骤3、线段和三角形是否相交的判断

情况1：一般情况

D是直线和平面的交点，将点D和三角形△ABC投影到水平面，得到平面上的点H和三角形△EFG，由平面上点D与三角形△EFG的位置关系得到它们在空间中的关系，计算λ₁、λ₂、λ₃：

其中

·表示向量的点乘，×表示向量的叉乘，如果λ₁λ₂>0且λ₂λ₃>0，则H点在三角形EFG内，即D点在三角形ABC内；否则，H点在三角形EFG外，即D点在三角形ABC外；

情况2：三角形是竖直面

当三角形△abc的一个竖直面时，在水平面投影面上，a,b,c三点的投影点位于一条直线上，每次对三角形△abc所在平面的法向量进行判断，当法向量的z轴坐标为0时，则选择非水平面作为投影面；

情况3：线段在平面内

判断线段与三角形△abc的三条边是否相交，如果线段与至少一条三角形的边相交，则不能执行删点操作；否则，判断线段两端点是否都位于空间三角形范围内，如果线段的两个端点都位于三角形内部，则不能执行删点操作；否则执行删点操作。

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