CN107947588A - 具有自然均压特性的isop系统及其控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种具有自然均压均流特性的ISOP系统及其控制方法，系统包括n个由Boost和LLC谐振变换器组成的子模块，其中，n为大于等于2的自然数；每个子模块中，Boost变换器为前级，LLC谐振变换器为后级；Boost变换器的输出作为LLC谐振变换器的输入，两个变换器通过中间母线电容连接；n个子模块的Boost变换器的输入端依次串联，输入电压源的正极接到1# Boost变换器的输入正端，负极接到n# Boost变换器的输入负端；n个子模块的LLC谐振变换器的输出端并联在一起，分别接到输出电阻的正、负端。本发明无需增加任何额外的措施，便可实现ISOP系统的输入均压和输出均流，并且均压均流效果受模块间参数不一致的影响较小。本发明实现方法简单，能够大大提高系统的可靠性。
Description
技术领域
本发明涉及高压直流变换器领域，尤其涉及一种具有自然均压特性的ISOP系统及其控制方法。
背景技术
在轨道交通、舰船等高压输入低压输出的中大功率场合，为了降低变换器中开关管的电压应力，常常采用多个变换器在输入侧串联和输出侧并联，这就是输入串联输出并联(Input-Series-Output-Parallel，ISOP)系统。ISOP系统的优点是：可以实现模块化设计；每个模块的输出功率只有系统总输出功率的1/n(n为ISOP系统中的模块个数)，有利于降低设计难度；每个变换器的输入电压为系统输入电压的1/n，这样开关管的电压应力也降为原来的1/n，便于选取合适的开关管。
对于ISOP系统来说，保证其正常运行的关键是要实现各模块之间的输入均压以及输出均流。Kasemsan Siri的专利U.S.Patent7773395-Uniform Converter Input VoltageDistribution Power System公开了一种具有容错功能的民主均压控制策略，各模块输入电压采样信号分别通过一个二极管连接至均压母线，这样输入电压最高的模块自动成为主模块，其输入电压作为均压母线信号。将各模块的输入电压采样信号与均压母线信号分别进行比较，其偏差信号叠加到系统输出电压环的输出，从而调节各模块的输出功率，最终实现输入均压。Xinbo Ruan等人于2009年4月发表在IEEE Transactions on IndustrialElectronics上的论文“Control Strategy for Input-Series-Output-ParallelConverters”[输入串联输出并联变换器控制策略]则分别将各模块的输入电压采样信号与其基准值进行比较，其误差值送到各自的输入均压调节器中，从而调节各模块的占空比信号。在n个模块中，只需要n-1个输入均压环，对于第n个模块来说，系统输出电压调节器输出与前n-1个模块的输入均压调节器输出相加后以调节该模块的占空比信号。该方法实现了各模块输入均压闭环与系统输出电压闭环之间的解耦，有利于各闭环参数的优化设计。Deshang Sha等人于2010年11月在IEEE Transactions on Power Electronics[电力电子期刊]上发表的论文“Cross-Feedback Output-Current-Sharing Control for InputSeries Output Parallel Modular DC-DC Converters”[输入串联输出并联模块化DC-DC变换器输出电流均分交叉反馈控制]提出了一种各模块输出电流交叉反馈控制策略，其特点是各模块的电流内环反馈信号不是单独每个子模块的输出电流，而是其余模块电流之和。
以上各种方案都需要采样各个模块的输入电压或者输入/输出电流，对检测元件的耐压等级、精度和响应速度的要求较高，价格昂贵。而且，随着模块数量的增加，整个变换器的控制较为复杂。
为了简化控制的复杂度，Ramesh Giri等人于2006年7月发表在IEEETransactions on Industry Applications[电力电子期刊]上的论文“Common-Duty-RatioControl of Input-Series Connected Modular DC-DC Converter with Active InputVoltage and Load-Current Sharing”[自动均压均流的输入串联直流变换器的共同占空比控制]提出了共用占空比的输入均压控制策略。由于各个模块共用同一个占空比信号，因此输入电压高的模块的输入电流大，使其输入电压降低；而输入电压低的模块的输入电流小，使其输入电压升高，从而自动实现各模块的输入均压，而无需其他额外措施。但是，共用占空比的方法要求所有模块的参数是一致的，这样才能实现很好的输入均压效果。在实际电路中，电感、电容和变压器等参数很难做到完全一致，因此其均压效果不佳。
发明内容
针对上述技术问题，本发明提供一种具有自然均压均流特性的ISOP系统及其控制方法。
为了实现上述目的，本发明采取的具体的技术方案如下：
具有自然均压均流特性的ISOP系统，包括n个由Boost和LLC谐振变换器组成的子模块，其中，n为大于等于2的自然数；
每个子模块中，Boost变换器为前级，LLC谐振变换器为后级；Boost变换器的输出作为LLC谐振变换器的输入，两个变换器通过中间母线电容连接；
n个子模块的Boost变换器的输入端依次串联，输入电压源的正极接到1#Boost变换器的输入正端，负极接到n#Boost变换器的输入负端；n个子模块的LLC谐振变换器的输出端并联在一起，分别接到输出电阻的正、负端。
各子模块中，Boost变换器包括输入电感Lbk、开关管Qbk、升压二极管Dbk以及中间母线电容Cbk；各子模块中，LLC谐振变换器包括开关管Qk1～Qk4、串联谐振电容Crk、串联谐振电感Lrk、励磁电感Lmk、变压器Trk、副边整流二极管Dk1～Dk4、输出滤波电容Cok和输出电阻RLd，其中，k代表子模块序号，k＝1,2,…n。
该系统还包括传感器(LV25-P)和控制器，传感器分别采集输入电压和输出电压信号并输出经控制器，控制器的信号输出端分别与每个子模块的开关管连接，实现控制。控制器可以采用模拟电路或DSP(TMS320F2812)实现。
本发明为了使ISOP系统自动实现输入均压和输出均流，采用的控制方法为：
各子模块中LLC谐振变换器的开关管采用固定频率和固定占空比的开环控制，工作在DCX方式，用于实现电压隔离和电压匹配；Boost变换器采用闭环控制，各模块共用同一占空比，用于调节输出电压。其具体控制过程为：
1)对于各子模块的LLC谐振变换器，通过控制器中的PWM模块直接给出固定频率(该频率为LLC谐振变换器的开关频率)和脉宽(0.5)的占空比信号，控制每个LLC谐振变换器斜对角的两对开关管分别同时开通和关断，同一桥臂的上下两管为180°互补导通。
2)对于Boost变换器：首先，采样ISOP系统的输出电压，与输出参考电压做差，其差值输入至PID调节器；其次，采样输入电压源输入电压，乘以输入电压前馈系数Gff后，其输出叠加到上述PID调节器，其中Gff＝－1/(2VCb)，VCb为Boost变换器输出电容两端电压；最后，PID的输出分别与n个交错360/n度频率和幅值相等的锯齿波交截，得到n个大小相等、相位相差360/n度的占空比信号，分别驱动n个子模块的Boost变换器的开关管，实现对每个Boost变换器的控制。
本发明控制方法还包括对LLC谐振变换器的设计，LLC谐振变换器工作在DCX方式，其开关频率固定在略低于谐振频率处，谐振槽路的参数设计步骤为：
步骤S1：励磁电感Lm的设计。励磁电感的值根据开关管实现ZVS来确定，其表达式为
其中，tc表示开关管结电容CQ的充放电时间，用tf表示开关管的下降时间，则tc一般取(3～5)tf，CQ和tf可在开关管的数据手册上查得；fr表示谐振频率，一般取略高于开关频率fs，即fr＝(1～1.2)fs。
步骤S2：串联谐振电感Lr的设计。根据上步确定的励磁电感，串联谐振电感Lr的选择取决于λ(励磁电感与串联谐振电感的比值)的大小。设电压增益最大偏差为δ(根据性能指标可知)，则电压增益M满足
其中，fn＝fs/fr，λ＝Lm/Lr，Q为品质因数，空载时，Q＝0，电压增益最高。通常λ>1，根据式(2)可得λ的最小值
由此得到串联谐振电感Lr的最大值为
为了使LLC谐振变换器的电压增益特性曲线在fn略小于1处尽可能平坦，以呈现直流变压器的特性，Lr在其取值范围内应尽可能的小，因此可以采用变压器的漏感实现。
步骤S3：串联谐振电容Cr的设计。根据上步确定的串联谐振电感，串联谐振电容Cr可以根据谐振频率fr得到，其表达式为
本发明与现有技术相比，其主要优点和显著效果如下：
1)本发明提出的基于Boost+LLC谐振变换器的ISOP系统，通过控制LLC谐振变换器工作在DCX方式，而各个Boost变换器共用同一占空比，便可以实现系统的输入均流和输出均压，而不需要任何额外的措施，大大提高的系统的可靠性。
2)本发明中，LLC谐振变换器工作在DCX状态，其电压增益在开关频率略低于谐振频率处变化不明显，因此在实际应用中，当模块间参数存在一定的误差范围，尤其是LLC谐振变换器的变压器的漏感、寄生电容等参数不一致时，其增益基本不变，系统仍能获得较好的均压均流效果，大大提高了系统的可靠性。
3)本发明将LLC谐振变换器设计在DCX状态，其开关频率略低于谐振频率，相比于变频控制的LLC谐振变换器来说，其可以在全负载范围内实现原边开关管的ZVS和副边整流二极管的ZCS，获得更高的变换效率；此外，磁性元件的利用率也大大提高，其设计方法大大简化。
4)本发明中前级Boost变换器通过采用交错的控制技术，在电感电流脉动不变的情况下，电感量至少可以减小到原来的1/n，这大大提高的系统的功率密度。
附图说明
图1是本发明实施例一n个子模块组成的ISOP系统的功率输出电路图。
图2是本发明实施例一n个子模块组成的ISOP系统的控制框图。
图3是本发明实施例二2个子模块组成的ISOP系统的功率输出电路图。
图4是本发明实施例二2个子模块组成的ISOP系统的控制框图。
图5是本发明应用实施例三的稳态波形图。
图6是本发明应用实施例三的输入跳变动态波形图。
图7是本发明应用实施例三的负载跳变动态波形图。
图8是本发明实施例四3个子模块组成的ISOP系统的功率输出电路图。
图9是本发明实施例四3个子模块组成的ISOP系统的控制框图。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明的具体实施方式进行说明。
实施例一：
图1、图2为n个子模块组成的ISOP系统的电路原理图及其控制方法，其中Boost变换器的输入串联，LLC谐振变换器的输出侧并联。
实例二：
下面以含有两个Boost+LLC谐振变换器模块的ISOP系统为实施例进行说明：
本实施例的ISOP系统包含两个Boost+LLC谐振变换器模块，两个模块在输入侧串联，输出侧并联，系统中两个LLC谐振变换器设计参数相同，两个Boost变换器设计参数相同。如图3和图4所示为一种具有自然均压均流特性的ISOP系统及其控制方法，包括以下步骤：
步骤S1：通过DSP产生固定频率和脉宽的占空比信号，通过驱动电路后，用于控制LLC谐振变换器。其中每个LLC谐振变换器斜对角的两对开关管分别同时开通和关断，同一桥臂的上下两管为180°互补导通，其开关频率略低于谐振频率，每个开关管的占空比大小为0.5。
步骤S2：通过霍尔电压传感器采样ISOP系统输出端的电压Vo，将ISOP系统的参考电压Vref与输出电压Vo相减后，其偏差信号作为PID调节器Gv(s)的输入；同时，为了抑制输入电压扰动对输出电压的影响，引入了输入电压前馈，通过霍尔电压传感器采样ISOP系统输入端的电压Vin，乘以输入电压前馈系数Gff后与PID调节器Gv(s)输出信号相加，得到占空比调节参考值vc，其中Gff＝－1/(2VCb)，VCb为Boost变换器输出电容两端电压。
步骤S3：将vc与DSP产生的两路相位相差180度、频率和幅值相等的三角波交截后产生两路PWM驱动信号，分别驱动两个Boost变换器的开关管。
因此，对于该系统来说，LLC谐振变换器采用固定频率固定占空比的开环控制，工作在DCX状态，ISOP系统的输出电压由Boost变换器调节。
下面，根据以上步骤，详细描述ISOP系统自动实现均压均流的过程。
由于LLC谐振变换器呈现出直流变压器的特性，工作在开关频率略低于谐振频率处，因此，不论两个LLC谐振变换器传输的功率是否相等，均有
VCb1≈VCb2≈NVo (1)
其中，VCb1和VCb2分别为两个模块的中间母线电压，N为变压器原副边匝比，Vo为系统输出电压。对于该系统来说，实现两个中间母线电压均压也就保证了每个Boost变换器中的开关管具有相同的电压应力，升压二极管也具有相同的电压应力。
对于输入串联的Boost变换器来说，其输入电流相等。由于两个Boost变换器的占空比Dy相等，那么两个Boost变换器的输出电流相等，即：
Io_bst1＝(1-Dy)Iin＝Io_bst2 (2)
其中，Iin为ISOP系统的输入电流。由于中间母线电容Cb1和Cb2的平均电流为零，那么两个LLC谐振变换器的输入电流相等，即：
Iin_LLC1＝Iin_LLC2 (3)
结合式(1)和式(3)可以得到，两个LLC谐振变换器的输入功率相等，即：
Pin1＝VCb1gIin_LLC1＝VCb2gIin_LLC2＝Pin2 (4)
上式也可以写成，
其中，Io1和Io2分别为两个模块的输出电流，η1和η2分别为两个模块的变换效率。对于ISOP系统来说，由于各模块采用的是相同的拓扑和电路元器件，其效率基本相等，并且由于各模块输出并联，其输出电压也相等，因此有：
Io1＝Io2 (6)
也就是说，系统实现了输出均流。
实施例三：
下面将实施例二基于上述ISOP系统，给出一个应用实例的设计方法及实验结果。该实例的输入电压Vin为1000V～2000V，输出电压Vo为700V，输出功率Po为12kW，其详细设计步骤如下：
1)Boost升压电感的设计
对于单个Boost变换器来说，其输入电压Vin_bst为系统输入电压的一半，即500V～1000V，其最小值为Vin_bstmin＝500V。因此，从开关管选型和变换器效率两个方面考虑，选择Boost变换器的输出电压VCb略高于其输入电压最大值，为1200V，升压电感按照下式计算，
其中，fsb为Boost变换器的开关频率，此处取10kHz，Po_bst为单个Boost变换器的输出功率，其值为6kW。根据式(7)求得Lb≥8.32mH。由于两个Boost变换器采用180°交错控制，在电感电流脉动相同的情况下，电感值至少可以减小一半，因此，这里取Lb＝4.2mH。
2)LLC谐振变换器的参数设计
对于LLC谐振变换器来说，变换器工作在开关频率略低于谐振频率处，电压增益满足：
由此解得变压器原副边匝比N＝1.714。
励磁电感的计算可以根据下式得到
查阅手册，开关管的结电容CQ＝3.3nF；用tf表示开关管的下降时间，通常，结电容充放电时间tc取(3～5)tf，此处取tc＝1.75μs；变换器工作在开关频率略低于谐振频率处，此处开关频率为30kHz，因此取fr＝36kHz，解得Lm＝1.91mH，取Lm＝2mH。
当励磁电感Lm确定以后，串联谐振电感的选择取决于λ的大小。假设电压增益允许最大偏差为0.01，将δ＝0.01和fn＝fs/fr＝0.83代入式(10)，可得Lr<45μH。
为了保证LLC谐振变换器的电压增益尽可能平坦，Lr应尽量取小一些，实际制作的变压器漏感为20μH，因此串联谐振电感用变压器漏感实现。
串联谐振电感确定以后，串联谐振电容的取值可以根据式(11)确定，可得Cr＝0.97μF，实际取Cr＝1μF。
该具体实施例的波形图如图5～7所示。
图5给出了ISOP系统的稳态均压均流实验结果。其中vCb1和vCb2分别是两个模块的中间母线电压，io1和io2分别是两个模块的输出电流。从波形可以看出ISOP系统实现了中间母线电压均压以及输出均流。
图6和图7分别是ISOP系统的输入电压vin在1000V和2000V之间跳变和负载iRLd在半载和满载之间跳变时的实验波形。从波形可以看出，系统在输入电压跳变和负载跳变时，两个模块的中间母线电压vCb1、vCb2以及输出电压vo具有迅速的动态响应速度和较小的超调量，同时，系统实现了良好的动态均压效果。
表1和表2所示分别两个子模块中LLC谐振变换器的励磁电感和谐振电感不一致时中间母线电压的对比。可以看出，当励磁电感和谐振电感分别在±20％变化时，两个模块中间母线电压的最大偏差为4.9V，占额定电压的比例为0.41％，此偏差在可接受范围内。也就是说，即使两个模块参数不一致，该系统仍能自动实现中间母线均压。
表1谐振电感不同时中间母线电压对比
表2励磁电感不同时中间母线电压对比
实施例四：
就模块数量而言，此系统的模块数量可以根据实际需求做拓展，比如：
图8、图9为3个子模块组成的ISOP系统的电路原理图及其控制方法，与上述实例不同的是，该实例含有三个Boost+LLC谐振变换器模块，控制器得到的占空比调节参考值vc将与DSP产生的三路交错120度的三角波交截后产生三路PWM驱动信号，分别驱动三个Boost变换器的开关管。
Claims (6)
1.具有自然均压均流特性的ISOP系统，其特征在于：包括n个由Boost变换器和LLC谐振变换器组成的子模块，其中，n为大于等于2的自然数；
每个子模块中，Boost变换器为前级，LLC谐振变换器为后级；Boost变换器的输出作为LLC谐振变换器的输入，两个变换器通过中间母线电容连接；
n个子模块的Boost变换器的输入端依次串联，输入电压源的正极接到1#Boost变换器的输入正端，负极接到n#Boost变换器的输入负端；n个子模块的LLC谐振变换器的输出端并联在一起，分别接到输出电阻的正、负端。
2.根据权利要求1所述具有自然均压均流特性的ISOP系统，其特征在于：各子模块中，Boost变换器包括输入电感Lbk、开关管Qbk、升压二极管Dbk以及中间母线电容Cbk；各子模块中，LLC谐振变换器包括开关管Qk1～Qk4、串联谐振电容Crk、串联谐振电感Lrk、励磁电感Lmk、变压器Trk、副边整流二极管Dk1～Dk4、输出滤波电容Cok和输出电阻RLd，其中，k代表子模块序号，k＝1,2,…n。
3.根据权利要求2所述具有自然均压均流特性的ISOP系统，其特征在于：该系统还包括传感器和控制器，传感器分别采集输入电压和输出电压信号并输出经控制器，控制器的信号输出端分别与每个子模块的开关管连接，实现控制。
4.根据权利要求3所述具有自然均压均流特性的ISOP系统，其特征在于：控制器采用模拟电路或DSP实现。
5.根据权利1-4任一所述的具有自然均压均流特性的ISOP系统的控制方法，其特征在于：其具体控制过程为：
1)对于各子模块的LLC谐振变换器，通过控制器中的PWM模块直接给出固定频率和脉宽的占空比信号，控制每个LLC谐振变换器斜对角的两对开关管分别同时开通和关断，同一桥臂的上下两管为180°互补导通；
2)对于Boost变换器：
首先，采样ISOP系统的输出电压，与输出参考电压做差，其差值输入至PID调节器；
其次，采样输入电压源输入电压，乘以输入电压前馈系数Gff后，其输出叠加到上述PID调节器，其中Gff＝－1/(2VCb)，VCb为Boost变换器输出电容两端电压；
最后，PID的输出分别与n个交错360/n度、频率和幅值相等的锯齿波交截，得到n个大小相等、相位相差360/n度的占空比信号，分别驱动n个子模块的Boost变换器的开关管，实现对每个Boost变换器的控制。
6.根据权利要求5所述的具有自然均压均流特性的控制方法，其特征在于：各子模块的LLC谐振变换器均工作在DCX方式，其开关频率固定在略低于谐振频率处，谐振槽路的参数设计步骤为：
步骤S1：励磁电感Lm的设计。励磁电感的值根据开关管实现ZVS来确定，其表达式为
<mrow>
<msub>
<mi>L</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>t</mi>
<mi>c</mi>
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<mrow>
<mn>8</mn>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msub>
<mi>C</mi>
<mi>Q</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，tc表示开关管结电容CQ的充放电时间，用tf表示开关管的下降时间，则tc一般取(3～5)tf；fr表示谐振频率，用fs表示开关频率，一般取fr＝(1～1.2)fs。
步骤S2：串联谐振电感Lr的设计：根据上步确定的励磁电感，串联谐振电感Lr的选择取决于λ，设电压增益最大偏差为δ，则电压增益M满足
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<msup>
<mi>Q</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&lambda;</mi>
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<mo>-</mo>
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<mn>1</mn>
<mrow>
<msubsup>
<mi>&lambda;f</mi>
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<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
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<mn>2</mn>
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</mrow>
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</mfrac>
<mo>&le;</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>&delta;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，fn＝fs/fr，λ＝Lm/Lr，Q为品质因数，空载时，Q＝0，电压增益最高。通常λ>1，根据式(2)可得λ的最小值
<mrow>
<msub>
<mi>&lambda;</mi>
<mi>min</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msubsup>
<mi>f</mi>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
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</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&delta;</mi>
</mfrac>
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</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由此得到串联谐振电感Lr的最大值为
<mrow>
<msub>
<mi>L</mi>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mi>m</mi>
<mi>a</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>L</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>&lambda;</mi>
<mi>min</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>L</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msubsup>
<mi>f</mi>
<mi>n</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&delta;</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
Lr在其取值范围内应尽可能的小，因此采用变压器的漏感实现；
步骤S3：串联谐振电容Cr的设计：根据上步确定的串联谐振电感，串联谐振电容Cr可以根据谐振频率fr得到，其表达式为
<mrow>
<msub>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>&pi;f</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<msub>
<mi>L</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
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