CN107900781A - 用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法。该标定装置包括夹持轴和L型装置主体；所述夹持轴为圆柱体，其一端用于车床卡盘装夹，另一端与L型装置主体长侧的顶端连接，夹持轴的中轴线与L型装置主体长侧的中心线共线；所述L型装置主体的底端开有阶梯孔和第一孔；所述第一孔的中轴线、夹持轴的中轴线和L型装置主体长侧的中心线共线并均与车床主轴的回转中心重合；所述阶梯孔由位于上方的通孔和位于下方的第二孔构成；通孔的中轴线和第二孔的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔和通孔的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向；通孔的中轴线和第一孔的中轴线平行；第一孔和通孔的半径相同。

Description

用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法
技术领域
本发明涉及数控装备技术领域，具体是一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法。
背景技术
为了提高工序前定位基准的定位精度和加工效率，触发式测头的在线检测技术已经被广泛应用于数控加工过程中。
然而，触发式测头的原理是依靠测球与被测工件接触产生的触发力来克服内部弹簧的预压力，进而使测头内部的闭合回路发生断路，最终发出触发信号。这样使得测球接触被测工件后要经过一段微小位移才能停止，这段位移被称作预行程误差。因此，需要在测量之前先对测头进行标定，以补偿其预行程误差。另外，由于两轴数控车床缺少一个移动自由度，因此所缺少的移动自由度方向上产生的安装误差不能用传统标定方法进行消除。
目前，传统用于测头标定的装置有标准球和环规。标定方法：将测球调整至可以和标定装置的最大外圆相碰，记录此时显示的测量值，再和标定装置的出厂尺寸对比，从而得出预行程误差。但是在两轴数控车床上，一方面，标准球或者环规都具有装夹不便的缺点；另一方面，即使装夹成功，也会由于车床缺少一个移动自由度，而导致在测头对刀和标定时测球不一定能碰撞到标定装置的最大外圆，因而导致标定不准确。
为纠正车床所缺移动自由度方向上的安装误差，常用以下措施：1、用直尺或卡尺等测量工具测量导轨到主轴回转中心的距离，并根据此距离调整垫片数量和厚度，使得测头系统的测球中心与主轴回转中心等高；2、使用定高尺，根据标尺显示的格数即可计算测头系统需要垫高的厚度。但是在使用触发式测头的过程中，这两种方式都不适用。前者精度不够，只是一种粗略的方法，不适合用于精确地调整车床所缺移动自由度方向上的安装误差；后者实际的测量对象是刀尖，相当于触发式测头的测球中心，也不能对其进行直接测量。申请号201210352231.X公开了一种回转体零件的截面尺寸测量方法，涉及到车床所缺移动自由度方向上的安装误差的纠正：首先利用千分尺测量回转体两不同半径截面处的精确半径；再利用所述车床测头标定其中一截面处半径，并测量出另一截面处的半径的测量值，进而得到该另一截面处测量值与实际值的误差；最后，利用该误差及两半径截面处的精确半径，计算得到测球中心的偏离误差。但是这种方法只能计算车床所缺移动自由度方向上的安装误差的径向分量，并不能计算出该移动自由度方向上的全部的安装误差，也不能进行测头的预行程误差标定。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明拟解决的技术问题是，提供一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法。
本发明解决所述标定装置技术问题的技术方案是，提供一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置，其特征在于该标定装置包括夹持轴和L型装置主体；所述夹持轴为圆柱体，其一端用于车床卡盘装夹，另一端与L型装置主体长侧的顶端连接，夹持轴的中轴线与L型装置主体长侧的中心线共线；所述L型装置主体的底端开有阶梯孔和第一孔；所述第一孔的中轴线、夹持轴的中轴线和L型装置主体长侧的中心线共线并均与车床主轴的回转中心重合；所述阶梯孔由位于上方的通孔和位于下方的第二孔构成；通孔的中轴线和第二孔的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔和通孔的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向；通孔的中轴线和第一孔的中轴线平行；第一孔和通孔的半径相同。
本发明解决所述标定方法技术问题的技术方案是，提供一种用于车床的接触式在线检测系统的标定方法，车床的机床坐标系是以机床原点O为坐标系原点，X轴方向水平沿工件径向，Z轴水平沿车床主轴方向，X轴、Z轴均以使工件远离刀具的方向为正，所缺少的Y轴根据右手笛卡尔坐标系确定，以竖直向下为正；其特征在于该方法标定包括以下步骤：
步骤1、将标定装置安装到车床上，其中第一孔的中轴线、夹持轴的中轴线和L型装置主体长侧的中心线共线并均与车床主轴的回转中心重合；通孔的中轴线和第二孔的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔和通孔的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向；夹持轴固定在车床的三爪卡盘上，将触发式在线检测系统的测头安装到刀台上某一刀号下；第一孔与通孔的孔心距为已知值2a，第一孔和通孔的半径为已知值R，第二孔半径为已知值r；r<R；
步骤2、在这一刀号下，通过第一孔进行初步的测头对刀，建立存在预行程误差的工件坐标系，工件坐标系原点O2'；
步骤3、将测球定位至工件坐标系原点O2'；测头测量理论测点A2；A2位于第一孔上，靠近第二孔的一侧，A2至L型装置主体底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；完成理论测点A2的测量后，测头返回至工件坐标系原点O2'；第一孔上的理论测点为A2，但实际测点为A2'，得到预行程误差，即理论测点A2和实际测点A2'之间的位移；
步骤4、测头在X方向的移动距离为2a，即测球定位至通孔的圆心处；使用测头测量通孔的半径，即测头测量通孔上的固定点B2；B2位于通孔上，靠近第一孔的一侧，B2至L型装置主体底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；由于预行程误差的存在，实际测量值为B2'点坐标；令m＝O2'B2'；
步骤5、测头返回之后，测球定位至第二孔的圆心处；使用测头测量第二孔的半径，即测头测量第二孔上的固定点B3；B3位于第二孔上，靠近第一孔的一侧，B3至L型装置主体底面的距离为通孔的深度与B2至L型装置主体底面的距离之和；由于预行程误差的存在，实际测量值为B3'点坐标；令n＝O2'B3'；
步骤6、测头返回至第二孔的圆心处，接着升至初始高度，完成全部测量过程；
步骤7、结合已知量R、r、a，根据下式求得预行程误差δ和Y向安装误差y：
步骤8、纠正Y向安装误差：若y＝0，则说明Y方向没有安装误差；若|y|＜H0，H0是一个垫片的厚度，则调整用于夹持测头的刀柄的顶丝；若|y|≥H0，则先调整垫片数目和厚度进行粗调，再通过顶丝进行微调；
步骤9、调整后重复步骤1-8，直至y＝0；
步骤10、记录y＝0时的δ值，即为该测头的X+向预行程误差。
与现有技术相比，本发明有益效果在于：
1、该标定装置在传统环规和标准球的基础上进行了改进，适用于两轴卧式数控车床的接触式在线检测系统，对结构进行了如下改进：
(1)设计一个阶梯孔(由通孔和第二孔构成)、第一孔和一个距离，其目的在于增加标定装置的已知尺寸，以便根据测量值和已知值之间的复杂几何关系，求解误差。而现有环规和标准球均只含有一个已知尺寸，在两轴数控车床上无法准确标定出X+向预行程误差，根本无法标定车床所缺移动自由度方向上的安装误差。
(2)设计L型装置主体为平面，而传统环规和标准球外轮廓为弧形，不便于存放。
(3)设计L型装置主体而非方体，可以减小占用的空间，节省材料，同时可以避免可能出现的干涉。
(4)设计圆柱形夹持轴，便于车床三爪卡盘夹持，解决了传统标定装置在两轴数控车床安装不便的问题。而传统环规在车床上安装时会破坏外圆表面的光洁度，传统标准球在车床上安装时必须借用磁力座，增加成本。
2、传统环规只含有一个安装后轴线与数控车床主轴的回转中心重合的孔，标定时只能构造一个方程，含有两个未知误差，显然不能满足标定要求。本发明在原有环规的结构形式上添加了一个阶梯孔。根据已知的孔径值、测头对孔的测量值以及一个阶梯孔和第一孔之间的几何关系，构建含有预行程误差和车床所缺移动自由度方向上的安装误差的方程并求解，从而获得测头的X+向预行程误差和车床所缺移动自由度方向上的安装误差。
附图说明
图1为本发明用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法一种实施例的标定装置轴测示意图；
图2为本发明用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法一种实施例的标定路径图；
图3为本发明用于车床的接触式在线检测系统的标定装置和标定方法一种实施例的标定装置标定原理图；(1、夹持轴；2、L型装置主体；21、L型装置主体长侧；22、L型装置主体短侧；3、通孔；4、第二孔；5、第一孔)
具体实施方式
下面给出本发明的具体实施例。具体实施例仅用于进一步详细说明本发明，不限制本申请权利要求的保护范围。
本发明提供了一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置(简称标定装置)，其特征在于该标定装置由一块材料整体加工而成，包括夹持轴1和L型装置主体2；所述夹持轴1为圆柱体，其一端用于车床卡盘装夹，固定在车床的三爪卡盘上，另一端与L型装置主体长侧21的顶端连接，夹持轴1的中轴线与L型装置主体长侧21的中心线共线；所述L型装置主体2的底端开有阶梯孔和第一孔5；所述第一孔5的中轴线、夹持轴1的中轴线和L型装置主体长侧21的中心线共线并均与车床主轴的回转中心(即Z向)重合；所述阶梯孔由位于上方的通孔3和位于下方的第二孔4构成；通孔3的中轴线和第二孔4的中轴线共线且与车床主轴的回转中心(即Z向)平行；第一孔5和通孔3的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向(即X向)；通孔3的中轴线和第一孔5的中轴线平行且孔心距为L型装置主体2的底端长度的一半；第一孔5和通孔3的半径相同。
本发明同时提供了一种用于车床的接触式在线检测系统的标定方法(简称标定方法)，车床的机床坐标系是以机床原点O为坐标系原点，遵循右手笛卡尔直角坐标系建立的由X、Y、Z轴组成的直角坐标系；在车床的机床坐标系中，X轴方向水平沿工件径向，Z轴水平沿车床主轴方向，X轴、Z轴均以使工件远离刀具的方向为正，所缺少的Y轴根据右手笛卡尔坐标系确定，以竖直向下为正；其特征在于该标定方法包括以下步骤：
步骤1、将标定装置安装到车床上，其中第一孔5的中轴线、夹持轴1的中轴线和L型装置主体长侧21的中心线共线并均与车床主轴的回转中心(即Z向)重合；通孔3的中轴线和第二孔4的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔5和通孔3的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向(即X向)；夹持轴1固定在车床的三爪卡盘上，将触发式在线检测系统的测头安装到刀台上某一刀号下；第一孔5与通孔3的孔心距为已知值2a，第一孔5和通孔3的半径为已知值R，第二孔4半径为已知值r(r<R)；
步骤2、在这一刀号下，通过第一孔5进行初步的测头对刀，建立存在预行程误差的工件坐标系，工件坐标系原点O2'；
步骤3、测头从初始高度沿路径S1，将测球定位至工件坐标系原点O2'；测头沿路径S2测量理论测点A2；A2位于第一孔5上，靠近第二孔4的一侧，A2至L型装置主体2底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；完成理论测点A2的测量后，测头沿路径S3返回至工件坐标系原点O2'；第一孔5上的理论测点为A2，但实际测点为A2'，得到预行程误差，即理论测点A2和实际测点A2'之间的位移；
步骤4、测头经过路径S4至S6，测头在X方向的移动距离为2a，即测球定位至通孔3的圆心处；使用测头测量通孔3的半径，即测头沿路径S7测量通孔3上的固定点B2；B2位于通孔3上，靠近第一孔5的一侧，B2至L型装置主体2底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；由于预行程误差的存在，实际测量值为B2'点坐标；令m＝O2'B2'；
步骤5、测头沿路径S8返回之后，经过路径S9测球定位至第二孔4的圆心处；使用测头测量第二孔4的半径，即测头沿路径S10测量第二孔4上的固定点B3；B3位于第二孔4上，靠近第一孔5的一侧，B3至L型装置主体2底面的距离为通孔3的深度与B2至L型装置主体2底面的距离之和；由于预行程误差的存在，实际测量值为B3'点坐标；令n＝O2'B3'；
步骤6、测头沿路径S11返回至第二孔4的圆心处，接着沿S12升至初始高度，完成全部测量过程；
步骤7、结合已知量R、r、a，根据下式求得预行程误差δ和Y向安装误差y：
步骤8、纠正Y向安装误差：若y＝0，则说明Y方向没有安装误差；若|y|＜H0，H0是一个垫片的厚度(测头在刀架上安装时，垫片垫在刀架与测头之间，通过调整刀架与测头间的厚度，就可以调整测头的位置)，则调整用于夹持测头的刀柄的顶丝；若|y|≥H0，则先调整垫片数目和厚度进行粗调，再通过顶丝进行微调；
步骤9、调整后重复步骤1-8，直至y＝0；
步骤10、记录y＝0时的δ值，即为该测头的X+向预行程误差；将δ写入测头测量宏程序，用于对于待测工件测量值的补偿。
一种用于车床的接触式在线检测系统的标定方法，其特征在于式10和式11的推导过程如下：将测球球心向XOY平面投影成为一个点，标定装置在XOY平面的投影为第一孔5、通孔3和第二孔4，将三维空间关系转换成成二维图形表示，其中A1、A1'、O1、O1'、B1和B1'在XOY平面内共线且平行于X向；O2'、A2、A2'、B2'、B2、B3'和B3在XOY平面内共线且平行于X向；
(1)若不存在Y向安装误差，在工件坐标系下，由于预行程误差的存在工件坐标系原点为O1'，而不是第一孔5的圆心O1，则点A1的X坐标测量值为O1'A1'，点B1的X坐标测量值为O1'B1'，由于测头具有高重复精度，因此每次产生的预行程误差δ均相等，即A1A1'＝B1B1'＝δ；同时，根据车床建系的规则，得O1'A1'＝O1A1＝R，O1A1'＝O1A1+A1A1'＝R+δ；
(2)当Y轴上存在安装误差y(0≤y＜R)时，其理论测点分别为A2、B2和B3，实际测点分别为A2'、B2'和B3'，所建工件坐标系原点为O2'；首先，测球与标定装置的三个孔碰撞时，接触力均是沿轴截面径向，因而产生的预行程误差不仅大小相同且均是沿轴截面径向，所以A2和A2'均在以第一孔5的圆心O1为圆心以R+δ为半径的圆周上，B2和B2'均在以通孔3的圆心O2为圆心以R+δ为半径的圆周上，B3和B3'均在以第二孔4的圆心O2为圆心以r+δ为半径的圆周上；其次，根据车床建系的规则，O2'A2'＝O1'A1'＝R；由以上关系得到式1和式2：
O2'B2'＝O2'A2'+A2'B2' (1)
O2'B3'＝O2'A2'+A2'B3' (2)
(3)在物理坐标系中，设点O1坐标为(a,0)，点O2坐标为(-a,0)，得到A2'所在圆的方程为式3，B2'所在方程为式4：
(x-a)2+y2＝(R+δ)2 (3)
(x+a)2+y2＝(R+δ)2 (4)
联立式3和式4可得式5：
(4)将式5代入式1，可得到式6：
其中，O2'B2'是测量值，R和a是已知值；
(5)同理，B3'所在方程为式7：
(x+a)2+y2＝(r+δ)2 (7)
联立式3和式7可得式8：
将式8代入式2，可得到式9：
(6)整理式6和式9，令m＝O2'B2',n＝O2'B3'，即可得到预行程误差δ如式10所示，Y向安装误差y如式11所示：
应用此标定装置和标定方法的车床优选CK6136S两轴卧式数控车床。
测头包括测球、测杆等；测球是测头中负责接触的部分。
本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (4)

1.一种用于车床的接触式在线检测系统的标定装置，其特征在于该标定装置包括夹持轴和L型装置主体；所述夹持轴为圆柱体，其一端用于车床卡盘装夹，另一端与L型装置主体长侧的顶端连接，夹持轴的中轴线与L型装置主体长侧的中心线共线；所述L型装置主体的底端开有阶梯孔和第一孔；所述第一孔的中轴线、夹持轴的中轴线和L型装置主体长侧的中心线共线并均与车床主轴的回转中心重合；所述阶梯孔由位于上方的通孔和位于下方的第二孔构成；通孔的中轴线和第二孔的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔和通孔的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向；通孔的中轴线和第一孔的中轴线平行；第一孔和通孔的半径相同。
2.根据权利要求1所述的用于车床的接触式在线检测系统的标定装置，其特征在于通孔和第一孔的孔心距为L型装置主体的底端长度的一半。
3.一种用于车床的接触式在线检测系统的标定方法，车床的机床坐标系是以机床原点O为坐标系原点，X轴方向水平沿工件径向，Z轴水平沿车床主轴方向，X轴、Z轴均以使工件远离刀具的方向为正，所缺少的Y轴根据右手笛卡尔坐标系确定，以竖直向下为正；其特征在于该方法标定包括以下步骤：
步骤1、将标定装置安装到车床上，其中第一孔的中轴线、夹持轴的中轴线和L型装置主体长侧的中心线共线并均与车床主轴的回转中心重合；通孔的中轴线和第二孔的中轴线共线且与车床主轴的回转中心平行；第一孔和通孔的孔中心的连线平行于车床的横向进给方向；夹持轴固定在车床的三爪卡盘上，将触发式在线检测系统的测头安装到刀台上某一刀号下；第一孔与通孔的孔心距为已知值2a，第一孔和通孔的半径为已知值R，第二孔半径为已知值r；r<R；
步骤2、在这一刀号下，通过第一孔进行初步的测头对刀，建立存在预行程误差的工件坐标系，工件坐标系原点O2'；
步骤3、将测球定位至工件坐标系原点O2'；测头测量理论测点A2；A2位于第一孔上，靠近第二孔的一侧，A2至L型装置主体底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；完成理论测点A2的测量后，测头返回至工件坐标系原点O2'；第一孔上的理论测点为A2，但实际测点为A2'，得到预行程误差，即理论测点A2和实际测点A2'之间的位移；
步骤4、测头在X方向的移动距离为2a，即测球定位至通孔的圆心处；使用测头测量通孔的半径，即测头测量通孔上的固定点B2；B2位于通孔上，靠近第一孔的一侧，B2至L型装置主体底面的距离大于测球直径，小于测杆长度；由于预行程误差的存在，实际测量值为B2'点坐标；令m＝O2'B2'；
步骤5、测头返回之后，测球定位至第二孔的圆心处；使用测头测量第二孔的半径，即测头测量第二孔上的固定点B3；B3位于第二孔上，靠近第一孔的一侧，B3至L型装置主体底面的距离为通孔的深度与B2至L型装置主体底面的距离之和；由于预行程误差的存在，实际测量值为B3'点坐标；令n＝O2'B3'；
步骤6、测头返回至第二孔的圆心处，接着升至初始高度，完成全部测量过程；
步骤7、结合已知量R、r、a，根据下式求得预行程误差δ和Y向安装误差y：
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步骤8、纠正Y向安装误差：若y＝0，则说明Y方向没有安装误差；若|y|＜H0，H0是一个垫片的厚度，则调整用于夹持测头的刀柄的顶丝；若|y|≥H0，则先调整垫片数目和厚度进行粗调，再通过顶丝进行微调；
步骤9、调整后重复步骤1-8，直至y＝0；
步骤10、记录y＝0时的δ值，即为该测头的X+向预行程误差。
4.根据权利要求3所述的用于车床的接触式在线检测系统的标定方法，其特征在于其特征在于式10和式11的推导过程如下：将测球球心向XOY平面投影成为一个点，标定装置在XOY平面的投影为第一孔、通孔和第二孔，将三维空间关系转换成成二维图形表示，其中A1、A1'、O1、O1'、B1和B1'在XOY平面内共线且平行于X向；O2'、A2、A2'、B2'、B2、B3'和B3在XOY平面内共线且平行于X向；
(1)若不存在Y向安装误差，在工件坐标系下，由于预行程误差的存在工件坐标系原点为O1'，则点A1的X坐标测量值为O1'A1'，点B1的X坐标测量值为O1'B1'，由于测头具有高重复精度，因此每次产生的预行程误差δ均相等，即A1A1'＝B1B1'＝δ；同时，根据车床建系的规则，得O1'A1'＝O1A1＝R，O1A1'＝O1A1+A1A1'＝R+δ；
(2)当Y轴上存在安装误差y时，其中0≤y＜R，其理论测点分别为A2、B2和B3，实际测点分别为A2'、B2'和B3'，所建工件坐标系原点为O2'；首先，测球与标定装置的三个孔碰撞时，接触力均是沿轴截面径向，因而产生的预行程误差不仅大小相同且均是沿轴截面径向，所以A2和A2'均在以第一孔的圆心O1为圆心以R+δ为半径的圆周上，B2和B2'均在以通孔的圆心O2为圆心以R+δ为半径的圆周上，B3和B3'均在以第二孔的圆心O2为圆心以r+δ为半径的圆周上；其次，根据车床建系的规则，O2'A2'＝O1'A1'＝R；由以上关系得到式1和式2：
O2'B2'＝O2'A2'+A2'B2' (1)
O2'B3'＝O2'A2'+A2'B3' (2)
(3)在物理坐标系中，设点O1坐标为(a,0)，点O2坐标为(-a,0)，得到A2'所在圆的方程为式3，B2'所在方程为式4：
(x-a)2+y2＝(R+δ)2 (3)
(x+a)2+y2＝(R+δ)2 (4)
联立式3和式4可得式5：
<mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(4)将式5代入式1，可得到式6：
<mrow> <msup> <msub> <mi>O</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>O</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，O2'B2'是测量值，R和a是已知值；
(5)同理，B3'所在方程为式7：
(x+a)2+y2＝(r+δ)2 (7)
联立式3和式7可得式8：
<mrow> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式8代入式2，可得到式9：
<mrow> <msup> <msub> <mi>O</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>O</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(6)整理式6和式9，令m＝O2'B2',n＝O2'B3'，即可得到预行程误差δ如式10所示，Y向安装误差y如式11所示：
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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