CN107886200A

CN107886200A - 基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的gm（1，1）模型预测方法

Info

Publication number: CN107886200A
Application number: CN201711203100.4A
Authority: CN
Inventors: 包旭; 张山华; 周君; 李耘; 常绿; 夏晶晶; 朱胜雪; 单珏
Original assignee: Huaiyin Institute of Technology
Current assignee: Huaiyin Institute of Technology
Priority date: 2017-11-27
Filing date: 2017-11-27
Publication date: 2018-04-06

Abstract

本发明公开了基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，将三角函数融入处理函数，提出了一种初始序列基于c^‑tanx(c>1)函数变换的GM(1,1)模型，同时又对处理后的序列进行初值修正，两种优化方法的结合大大提高了预测精度。

Description

基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM（1， 1）模型预测方法

技术领域

本发明涉及数据预测技术领域，具体涉及一种初始序列基于c^-tanx函数变换与初值修正的组合优化灰色预测模型GM(1，1)优化方法。

背景技术

随着世界经济与贸易的发展，港口运输变得越来越重要，对于一个港口而言，港口吞吐量是港口的主要生产指标，对港口的规划、建设及运营具有重大影响。因此，对港口吞吐量进行科学而准确的预测是非常有现实意义的工作。

港口吞吐量的预测主要分为两个部分，定量预测法与定性预测法，定量预测法主要有BP神经网络、时间序列法、GM(1，1)预测法等；定性预测法主要有德尔菲法、主观概率法等。港口吞吐量通常受到腹地等不确定因素影响，属于灰色预测的范畴，可以采用灰色预测法进行港口吞吐量的预测。

然而经典的GM(1，1)模型存在很多缺陷，根据调查研究，初始序列的光滑度与初值的选取对预测精度的影响较大。

传统优化将初始序列经过幂函数、指数函数、对数函数等函数进行变换。也可通过使用不同的值作为初值进行预测计算。但它们都局限于使用一种优化方法，从而导致预测精度还有较大的提升空间。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，将三角函数融入处理函数，提出了一种基于指数函数与三角函数相结合的新型处理函数，通过证明基于该函数变换后初始序列的光滑度优于指数函数处理后初始序列的光滑度，同时对处理后的序列进行初值修正，两种优化方法的结合大大提高了预测精度。

为解决上述技术问题，本发明提供了基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤S1，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负数数据序列，记为X⁽⁰⁾；

步骤S2，对原始数据序列X⁽⁰⁾进行预处理，将所有数据转换到区间范围内，记为F⁽⁰⁾,预处理的公式如下式所示：

式中，x⁽⁰⁾(k)为初始序列X⁽⁰⁾中第k个值，M为控制参数，f⁽⁰⁾(k)为经过预处理后序列F⁽⁰⁾中第k个值；

步骤S3，对F⁽⁰⁾序列进行c^-tanx(c>1)函数变换，得到新的数据序列记为R⁽⁰⁾；

步骤S4，对序列R⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列R⁽¹⁾；

步骤S5，对一次累加序列R⁽¹⁾计算背景值z⁽¹⁾(k)与矩阵B,Y，并利用最小二乘法求出参数a、u；

步骤S6，基于求解出的参数a、u，建立初值修正函数并还原求解出序列的预测值

步骤S7，通过还原公式计算预测值的还原值

步骤S8，根据上一步求解出原始数据序列的预测值后，进行误差检验以判断GM(1，1)模型的预测精度。

进一步的，步骤S2中，控制参数M可通过下式解出M最小值：

进一步的，步骤S3中，新的数据序列R⁽⁰⁾计算公式如下式所示：

式中，r⁽⁰⁾(k)为经过c^-tanx(c>1)函数变换得到序列R⁽⁰⁾的第k个值。

进一步的，步骤S5中，z⁽¹⁾(k)通过下式进行计算：

矩阵B、Y与参数a、u通过下式进行计算：

(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY。

进一步的，步骤S6中，初值修正的预测值公式如下所示：

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值；

通过下式进行计算：

以任意一个元素r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)作为初始元素，进行步骤1-8的操作，每一个r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)将对应一个相对误差e_i，最终选取min(e_i)对应的r⁽¹⁾(i)作为初值。

进一步的，步骤S6中，将取r⁽¹⁾(1),r⁽¹⁾(2),…,r⁽¹⁾(n)中每一个元素都作为初值，并对初值添加一个修正项β，初值修正的预测值公式如下所示：

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值。

通过下式进行计算：

以任意一个元素r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)作为初始元素，进行步骤1-8的实验操作，每一个r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)将对应一个修正项β_i与相对误差e_i，最终选取min(e_i)对应的 r⁽¹⁾(i)作为初值。

进一步的，修正项β主要通过最小二乘法来计算，

将的计算公式带入，并关于β项求偏导后得到下式。

令偏导为零，从而解出β的表达式。

与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：本发明基于c^-tanx(c>1)函数变换与初值修正组合优化的GM(1,1)模型，相较于传统的指数函数c^-x(c>1)函数变换，本发明提出的变换模型能够再次提高初始序列的光滑度，通过实验证明提高了模型的预测精度；相较于传统的组合优化模型，能够有效适应各种数据变化类型，提高数据预测精度。

附图说明

图1是本发明GM(1，1)模型优化方法的流程图；

图2是本发明变换函数图像；

图3是对原始数据序列做一次累加处理的流程图；

图4是不同初值构造预测值函数的流程图；

图5是三种方法的拟合值与实际值的折线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

本发明提出的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1， 1)模型预测方法，基于指数函数与三角函数相结合的新型处理函数，并通过证明基于该函数变换后初始序列的光滑度优于指数函数处理后初始序列的光滑度，同时又对处理后的序列进行初值修正，两种优化方法的结合大大提高了预测精度。如图1所示，方法具体包括以下步骤：

步骤S1，根据预测目标选取预测模型所采用的原始数据序列，此原始数据序列为一组非负数数据序列，记为X⁽⁰⁾。

设原始数据序列为：

X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(1),…,x⁽⁰⁾(n)}

式中，x⁽⁰⁾(i)>0，i＝1,…,n。

步骤S2，对原始数据序列X⁽⁰⁾进行预处理，将所有数据转换在区间范围内，记为F⁽⁰⁾，预处理的公式如下式所示：

式中，x⁽⁰⁾(k)为初始序列中第k个值，M为控制参数，为了保证初始序列经过变换后满足区间范围内，f⁽⁰⁾(k)为经过预处理后序列中第k个值。

其中控制参数M有一个最小参数，可通过下式解出M最小值：

本发明实施例中以大于M的值进行试算，每一个M处理后的初始序列通过 GM(1，1)预测后可以得到相对误差值，随着M值增大，将会对应不同的相对误差值，最终选择相对误差最小值作为本发明的相对误差值。

步骤S3，对F⁽⁰⁾序列进行c^-tanx(c>1)函数变换得到序列R⁽⁰⁾。

本发明所使用的变换函数c^-tanx(c>1)具体图像如图2所示，计算公式如下式所示：

步骤S4，对序列R⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列R⁽¹⁾。

对序列R⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列R⁽¹⁾的具体过程参照图3，计算公式如下式所示：

式中，r⁽¹⁾(k)为原始数据r⁽⁰⁾(k)的一次累加序列，累加序列记为：

R⁽¹⁾＝{r⁽¹⁾(1),…,r⁽¹⁾(n)}。

步骤S5，对一次累加序列R⁽¹⁾采用背景值计算公式计算z⁽¹⁾(k)与矩阵B,Y，并利用最小二乘法求出参数a、u。

z⁽¹⁾(k)通过下式进行计算：

矩阵B、Y与参数a、u通过下式进行计算：

(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY

步骤S6，基于求解出参数a、u，建立初值修正函数并还原求解出序列的预测值

未使用初值修正的预测值计算公式如下所示。

原始计算公式中初值为r⁽¹⁾(1)，但经典的灰色预测并没有对初值取r⁽¹⁾(1)的相关理论证明，相反的，r⁽¹⁾(1)作为初值也是产生预测误差的一个重要因素。

方案一

此方案一中将取r⁽¹⁾(1),r⁽¹⁾(2),…,r⁽¹⁾(n)中每一个元素都作为初值，初值修正的预测值公式如下所示。

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值。

通过下式进行计算：

以任意一个元素r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)作为初始元素，进行步骤S1—步骤S8的实验操作，每一个r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)将对应一个相对误差e_i，最终选取min(e_i)对应的r⁽¹⁾(i)作为本方案的初值，相对误差值作为本发明的相对误差，具体操作参照图4。

方案二

此方案二中将取r⁽¹⁾(1),r⁽¹⁾(2),…,r⁽¹⁾(n)中每一个元素都作为初值，并对初值添加一个修正项β，初值修正的预测值公式如下所示：

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值。

通过下式进行计算：

修正项β主要通过最小二乘法来计算，

将的计算公式带入，并关于β项求偏导后得到下式。

令偏导为零，从而解出β的表达式。

以任意一个元素r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)作为初始元素，进行步骤S1—步骤S8的实验操作，每一个r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)将对应一个修正项β_i与相对误差e_i，最终选取min(e_i) 对应的r⁽¹⁾(i)作为本方案的初值。相对误差值作为本发明的相对误差，具体操作参照图4。

步骤S7，通过还原公式计算预测值的还原值

误差校验时相对误差的计算公式为：

式中n代表拟合信息的数量，相对误差越低，表示模型的拟合精度越高，进行预测所得结果的可靠性也会越大。

光滑度提高的理论证明

为了证明本发明可以提高初始序列的光滑度，本发明从光滑度的定义方面进行证明。

定义1.1设X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(k),k＝1,2,…,n}为非负数据序列，如果则称X⁽⁰⁾为光滑离散序列。

定理1.1X⁽⁰⁾＝{x⁽⁰⁾(k),k＝1,2,…,n}为光滑离散序列的充要条件是是k的递减函数。

定理1.2设有两种数据变换分别为F(x)和G(x),若对任意的非负序列x(k)均有：

则称变换F(x)提高序列的光滑度的效果优于变换G(x)。

证明1：经过c^-tanx(c>1)函数变换后的序列为光滑离散序列。

初始序列X⁽⁰⁾为非负单调递增函数，通过预处理使其满足区间的单调增函数序列F⁽⁰⁾，tanx在上为单调增函数，本发明所使用的变换函数具体图像如图1所示。

根据图1可知，本发明提供的变换函数为减函数，即有：

又因为函数都是大于零的，即有：

因为不等式两边都是大于零的数，将上面两个式子不等式两边进行相乘，不等式符号不变，得到下式：

进行调整后得下式：

根据定理1.1可知经过c^-tanx(c>1)函数变换后的序列为光滑离散序列。

证明2：经过c^-tanx(c>1)函数变换后的序列光滑度优于传统的变换方式。

引理2.1若x⁽⁰⁾(k)为递增数列，且x⁽⁰⁾(k)>e，则：

根据引理可知光滑度最高，下面将证明本发明提出的函数变换光滑度大于对幂函数的光滑度。

令，

对上式进行求导，得下式：

根据上式可知h'(x)<0，即证明h(x)为减函数，即有：

不等式两边进行整理后得到下式：

对1,…,k-1分别进行上式计算，不等号方向不变化，所有式子求和后得到如下：

将上式整理后得到下式：

根据定理1.2可知，c^-tanx(c>1)函数变换能够提升初始序列光滑度，且优于传统的指数变换。

实施例

为了证明本发明能够降低误差，将以青岛港2005-2010年港口吞吐量序列作为研究对象(单位：万吨)，使用本发明与两个现有技术的方法得出的相对误差的来比较分析优劣；

现有技术1：经典的灰色模型(参见文献1：邓聚龙.灰色系统基本方法[M]. 武汉:华中理工大学出版社,1987.)；

现有技术2：初始序列基于c^-x变换的GM(1，1)模型(参见文献2：灰色预测模型拓广方法研究[J].系统工程理论与实践，2002(9)：137-140)。

本发明提出方法的计算步骤：

(1)青岛港2005-2010年港口吞吐量的原始数据序列为：

X⁽⁰⁾＝{18727，22438，26507，30029，31668，35012}

(2)对初始序列X⁽⁰⁾进行预处理，将所有数据的范围控制在区间范围内，记为F⁽⁰⁾；

M的最小值可以通过下式计算得出：

通过上式计算出M的最小值为22290，本发明M分别取25000、30000、35000 进行初始序列的预处理，分别得到三个初始序列，本发明实施例以M取25000 时为例，得到的序列F⁽⁰⁾如下所示：

F⁽⁰⁾＝{0.74908，0.89752，1.06028，1.20116，1.26672，1.40048}

(3)对F⁽⁰⁾序列进行c^-tanx(c>1)函数变换，得到新的数据序列，记为R⁽⁰⁾，本实例中c取2；

式中，r⁽⁰⁾(k)为经过2^-tanx函数变换得到序列的第k个值，处理后的数据序列如下所示。

R⁽⁰⁾＝{0.524902186，0.41935386，0.29005593，0.1671236，0.10982978，0.01776836}

(4)对原始数据序列R⁽⁰⁾做一次累加处理，生成一次累加序列R⁽¹⁾，计算公式与所得序列如下所示：

R⁽¹⁾＝{0.52490219，0.94425605，1.23431197，1.40143558，1.51126535，1.52903372}

(5)对一次累加序列R⁽¹⁾采用背景值计算公式计算z⁽¹⁾(k)与矩阵B,Y，利用最小二乘法求出参数a、u；

z⁽¹⁾(k)通过下式进行计算：

矩阵B、Y与参数a、u通过下式进行计算：

(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY

(a,u)^T＝(0.4838,0.7929)^T

(6)基于求解出的参数a、u，建立初值为r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)与带有初值修正项β的GM(1，1)模型。

(7)通过还原公式计算预测值的还原值，记为还原公式如下式所示：

(8)根据上一步求解出原始数据序列的预测值后，进行误差检验以判断 GM(1，1)模型的预测精度。

方案一

本发明M分别取25000、30000、35000进行初始序列的预处理，并建立初值为r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)的灰色模型，计算结果如表1所示。

表1不同M取值下初值为r⁽¹⁾(i)对应的相对误差(单位：％)

初值项	M取25000	M取30000	M取35000
				r⁽¹⁾(1)	1.79	1.01	0.83
r⁽¹⁾(2)	1.5	0.9	0.75
				r⁽¹⁾(3)	2.92	1.12	0.78
r⁽¹⁾(4)	4.41	1.09	1.15
				r⁽¹⁾(5)	7.23	2.87	1.32
r⁽¹⁾(6)	2.79	1.17	0.82

根据表1实验，M取25000、30000、35000时，随着M取值变大相应的预测相对精度也在提高，同时无论M的取值，初值取r⁽¹⁾(2)此时得到的预测精度最高。M取35000、初值取r⁽¹⁾(2)本发明提出的最高预测精度为0.75％。

方案二

本发明M分别取25000、30000、35000进行初始序列的预处理，并建立初值为r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)并加上修正项β的灰色模型，计算结果如表2所示。

表2不同M取值下初值为r⁽¹⁾(i)加上修正项β的相对误差

初值项	M取25000	M取30000	M取35000
				r⁽¹⁾(1)	1.77	1	0.82
r⁽¹⁾(2)	1.77	1	0.82
				r⁽¹⁾(3)	1.77	1	0.82
r⁽¹⁾(4)	1.77	1	0.82
				r⁽¹⁾(5)	1.77	1	0.82
r⁽¹⁾(6)	1.77	1	0.82

根据表2实验，M取25000、30000、35000时，随着M取值变大相应的预测相对精度也在提高，同时无论M的取值，基于修正项β的GM(1，1)不受初值变化的影响，初值取不同时对应的相对误差值相同且精度提高明显，本发明提出的最高预测精度为0.82％。

两种预测方案对应的预测结果一览表如表3所示。

表3两种预测方案预测结果的一览表

通过表3可知，方案一拟合误差最低为0.75％，作为本发明的拟合相对误差。

文献1中邓聚龙教授提出的经典的GM(1，1)模型计算：

响应函数的确定：

预测值的还原：

文献2中初始序列基于函数c^-x变换的GM(1，1)模型计算：

(1)青岛港2005-2010年港口吞吐量的原始数据序列为：

X⁽⁰⁾＝{18727，22438，26507，30029，31668，35012}

(2)对初始序列X⁽⁰⁾进行预处理，为了避免原始数据在进行c^-x变换时都近似接近无穷小数，本实例将原始数据序列都除以30000，得到序列F⁽⁰⁾如下所示：

F⁽⁰⁾＝{0.624233333，0.74793333，0.88356667，1.00096667，1.0556，1.16706667}

(3)对F⁽⁰⁾序列进行c^-x(c>1)函数变换，得到新的数据序列，记为R⁽⁰⁾，本实例c取2；

式中，r⁽⁰⁾(k)为经过2^-x函数变换得到序列的第k个值，处理后的数据序列如下所示：

R⁽⁰⁾＝{0.64876445，0.5954559，0.54202576，0.49966509，0.4810971，0.44532587}

R⁽¹⁾＝{0.64876445，1.24422039，1.78624615，2.28591124，2.7670083，3.21233421}

(5)对一次累加序列R⁽¹⁾采用背景值计算公式计算z⁽¹⁾(k)与矩阵B,Y，利用最小二乘法求出参数a、u。

z⁽¹⁾(k)通过下式进行计算：

矩阵B、Y与参数a、u通过下式进行计算：

(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY

(a,u)^T＝(0.0712，0.6552)^T

(6)基于求解出的参数a、u，建立时间响应序列并还原求解出序列的预测值

通过下式进行计算：

通过上述三种计算方法(本发明方法和两个现有技术中方法)对青岛港 2005-2010年港口吞吐量进行拟合计算，计算结果如表4所示。

表4三种计算方法的拟合结果

根据上表所示，本发明提出的改进的GM(1，1)模型平均相对误差为0.75％，经典灰色模型的平均相对误差为2.06％，初始序列基于函数c^-x(c>1)变换的GM (1，1)模型相对误差为1.61％，因此本发明提出的改进的GM(1，1)方法误差较低，精度提升较为明显，拟合结果参照图5所示。根据实验证明，该方法不仅适用于青岛港吞吐量的预测，还可以运用到交通其他方面的预测上，具有良好的预测结果。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。

Claims

1.基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，包括以下步骤：

步骤S7，通过还原公式计算预测值的还原值

<mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>Inr</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

2.根据权利要求1所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S2中，控制参数M可通过下式解出M最小值：

3.根据权利要求1所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S3中，新的数据序列R⁽⁰⁾计算公式如下式所示：

4.根据权利要求1所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S5中，z⁽¹⁾(k)通过下式进行计算：

矩阵B、Y与参数a、u通过下式进行计算：

(a,u)^T＝(B^TB)^-1B^TY。

5.根据权利要求1所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S6中，初值修正的预测值公式如下所示：

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值；

通过下式进行计算：

6.根据权利要求1所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，步骤S6中，将取r⁽¹⁾(1),r⁽¹⁾(2),…,r⁽¹⁾(n)中每一个元素都作为初值，并对初值添加一个修正项β，初值修正的预测值公式如下所示：

式中，r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)，为预测值。

通过下式进行计算：

以任意一个元素r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)作为初始元素，进行步骤1-8的实验操作，每一个r⁽¹⁾(i),(i＝1,…,n)将对应一个修正项β_i与相对误差e_i，最终选取min(e_i)对应的r⁽¹⁾(i)作为初值。

7.根据权利要求6所述的基于指数函数与正切函数变换及初值修正组合优化的GM(1，1)模型预测方法，其特征是，修正项β主要通过最小二乘法来计算，

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将的计算公式带入，并关于β项求偏导后得到下式。

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令偏导为零，从而解出β的表达式。

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