CN107870078A - 一种获得密封动力特性系数的方法 - Google Patents

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Abstract

一种获得密封动力特性系数的方法，采用瞬态法计算转子处于不同涡动轨迹时的刚度系数和阻尼系数，用于对几何形状比较复杂的密封模型进行模拟。

Description

一种获得密封动力特性系数的方法
技术领域
本发明涉及一种密封动力特性系数的计算方法，具体涉及一种采用瞬态法透计算密封动力特性系数的方法。
背景技术
随着透平机械向着高参数、大容量方向发展，气(汽)流激振越来越频繁，危害越来越大。研究表明，密封内流体流动是气流激振力的主要来源之一，人们通常采用八个刚度与阻尼系数来描述密封动力特性。
目前，对密封动力特性的识别基本上分为理论法、实验法和数值模拟法。然而，理论法和实验法都存在一些固有的弊端，例如，理论法中运用比较广泛的bulk-flow模型对实际问题假设过多，存在着使用条件范围的限制；实验法也往往受限于实验条件，很难模拟实际复杂工况，尤其是高参数在实验条件下是很难达到的，然而运用数值模拟法就很好解决以上提出的问题。
随着计算硬件的提升和计算流体力学方法的发展，数值模拟对透平机械密封的八个刚度与阻尼系数的识别已经被广泛的运用。目前运用数值模拟对密封动力特性识别的方法分为稳态法和瞬态法两类。稳态法的核心是在转子中心建立旋转坐标系，可将非稳态的运动转化为稳态。其缺点是不能应用于几何形状比较复杂的密封模型例如(蜂窝式密封，孔型密封和袋式密封)，而且稳态法中假设转子以不偏心的圆形轨迹涡动，但在实际情况中涡动轨迹存在椭圆形，偏心和不规则轨迹。瞬态法中可直接设置转子涡动运动轨迹来模拟实际流场，克服了运用稳态法时遇到的问题。瞬态法的计算过程比较复杂，一些学者为了简化计算采用了不合理的假设，如：(1)忽略涡动轨迹对动力特性系数的影响；(2)直接假设不同方向上的动力系数相等(或互为相反数)；(3)直接假设涡动轨迹为圆形等。以上3个假设直接影响了识别精度，甚至导致识别结果错误。
发明内容
本发明是为了解决瞬态法的计算过程复杂的问题，目的在于提供一种获得密封动力特性系数的方法。
本发明提供一种获得密封动力特性系数的方法，采用瞬态法计算转子处于不同涡动轨迹时的刚度系数和阻尼系数，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，以密封模型的密封中心O为原点，X为横坐标，Y为纵坐标，建立(X，Y)坐标系；以转子的中心O1'为圆心，η为横坐标，ξ为纵坐标，建立(η，ξ)坐标系；O1为转子的静平衡位置或涡动中心，以O1为原点，在(η，ξ)坐标系的基础上，绕点O1逆时针旋转θ度，此时e轴与椭圆轨迹长半轴重合，建立(e，α)坐标系；
步骤二，假设转子在任意偏心位置上以椭圆轨迹涡动，椭圆轨迹在(X，Y)坐标系下的参数方程如下：
在(e，α)坐标系中，椭圆轨迹的参数方程如下：
θ为椭圆轨迹倾斜角θ∈(0°，360°),a，b分别为椭圆轨迹的长、短半轴长度，t为时间变量(s)，Ω为涡动转速(rad/s)，O1为转子的涡动中心，O1'为转子的中心；
步骤三，在(e，α)坐标系中，对时间变量t进行求导，得转子的涡动速度，表示密封α方向上的涡动速度，表示密封e方向上的涡动速度，表达式如下：
步骤四，如转子以小轨迹进行涡动，可将转子和透平机械密封中的气膜的相互作用简化为弹簧-阻尼线性系统，表达式如下：
Fe表示透平机械密封中气封段的转子在e方向上受到的气流力，Fα表示气封段的转子在α方向上受到的气流力，表示当转子的中心处于涡动中心O1时，气封段的转子在e方向上受到的气流力，表示当转子的中心处于涡动中心O1时，气封段的转子在α方向上受到的气流力，Kee表示e方向直接刚度系数，Kαα表示α方向直接刚度系数，Keα表示e方向对α方向的交叉刚度系数，Kαe表示α方向对e方向的交叉刚度系，Cee表示e方向直接阻尼系数，Cαα表示α方向直接阻尼系数，Ceα表示e方向对α方向的交叉阻尼系数，Cαe表示α方向对e方向的交叉阻尼系数；
步骤五，将式(2)，(3)代入式(4)得：
步骤六，运用瞬态法可得到不同涡动频率下各时刻作用在转子上的力，模拟某一涡动转速Ω0的工况，记录下t＝0和t＝T/4时刻，转子分别在e方向和α方向的受力和
将t＝0代入方程(5)可得：
将t＝T/4代入方程(5)得：
步骤七，运用瞬态法求得不同涡动频率Ωi i＝1,2,3,4…n下任意时刻气封段的转子的受力情况，记录下t＝0和t＝T/4时刻，转子在e方向和α方向的受力根据定义求得和以涡动转速为横坐标，和为纵坐标，绘制被测的转子的受力和随涡动转速变化的曲线图，分别记作曲线1，曲线2，曲线3和曲线4；
步骤八，取微小区间(Ωα,Ωα+ΔΩ)，当ΔΩ→0时，微小段内的动力特性系数不随涡动转速变化而发生改变，即当涡动转速为Ωα和Ωα+ΔΩ时气封段的转子的动力特性系数Kee,Keα,Cee,Ceα,Kαe,Kαα,Cαe和Cαα不发生改变，将涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段的转子上的力和涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段的转子上的力代入式(6)得如下方程组：
对式(10)，(11)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
由式(12)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(12)求得的斜率值代入式(10)得-aKee，过曲线1上任意点作切线，切线斜率为式(6)中的系数-bCeα，解得Ceα即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉阻尼系数，切线在纵坐标上的截距即为式(6)中的常数项-aKee，解得Kee即切点横坐标对应的涡动转速下的直接刚度系数，
同理可得不同涡动转速下(e，α)坐标系上的动力特性系数Kαe，Cαα，Keα，Cee，Kαα和Cαe；
步骤9：采用水平和垂直方向的(η，ξ)坐标系来表达轴心涡动情况和气封段的转子受力，
相对应的扰动运动参数为力增量为(ΔFη，ΔFξ)，(η，ξ)坐标系上的动力特性系数为(Kηη，Kξξ，Kηξ，Kξη，Cηη，Cξξ，Cηξ，Cξη)，Fη表示η方向上转子受到的力，Fξ表示ξ方向上转子受到的力，Kηη表示η方向直接刚度系数Kξξ表示ξ方向的直接刚度系数，Kηξ表示η方向对ξ方向的交叉刚度系数，Kξη表示ξ方向对η方向的交叉刚度系数，Cηη表示η方向直接阻尼系数，Cξξ表示ξ方向直接阻尼系数，Cηξ表示η方向对ξ方向的交叉阻尼系数，Cξη表示ξ方向对η方向的交叉阻尼系数，表示密封ξ方向上的涡动速度，表示密封η方向上的涡动速度，
由于(e，α)坐标比(η，ξ)坐标超前一个θ角，故可知这二坐标间的关系为：
由步骤一中可得，化简得：
将式(14)用矩阵形式表示：
由步骤一中可得，用矩阵的形式表达ΔFe，ΔFα，ΔFη，ΔFξ之间的关系：
易得下式：
将式(17)用矩阵形式表示：
将式(15)与式(18)合并得：
阻尼系数的转换亦相仿，可得：
本发明提供的获得密封动力特性系数的方法，可以通过编程的方式得到对应的程序，在计算机上进行运算。
发明的作用与效果
本发明所涉及的密封动力特性系数的计算方法具有以下优点：
1.可计算转子在不同涡动转速以任意椭圆轨迹涡动时水平和垂直方向上的刚度系数。
2.基于弹簧-阻尼线性系统，运用微元的思想直接从转子受力情况随涡动转速变化曲线图中计算不同涡动转速下的动力特性系数。在计算的过程中，考虑了涡动轨迹对动力特性系数的影响，模拟情况与实际工况相吻合，提高了获得的动力特性系数的准确度。
3.由于本发明中的计算过程中充分考虑到了涡动轨迹的偏心位置和偏转角，因此还可拓展研究同一涡动转速下，涡动轨迹的偏心位置和偏转角对密封动力特性系数的影响。
附图说明
图1为(X，Y)坐标系、(e，α)坐标系、(e，α)坐标系、转子涡动轨迹、以及转子受力的示意图；
图2为密封模型的工程图。
具体实施方式
为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，以下实施例结合附图对本发明提供的获得密封动力特性系数的方法的组成、工作原理以及有益效果作具体阐述。
图1为(X，Y)坐标系、(e，α)坐标系、(e，α)坐标系、转子涡动轨迹、以及转子受力的示意图。
步骤1：如图1所示，建立坐标系。以密封模型的密封中心O为原点，X为横坐标，Y为纵坐标，建立(X，Y)坐标系；以转子的中心O1'为圆心，η为横坐标，ξ为纵坐标，建立(η，ξ)坐标系；O1为转子的静平衡位置或涡动中心，以O1为原点，在(η，ξ)坐标系的基础上，绕点O1逆时针旋转θ度，此时e轴与椭圆轨迹长半轴重合，建立(e，α)坐标系。
步骤2：假设转子在任意偏心位置上以椭圆轨迹涡动，涡动轨迹在(X，Y)坐标系下的参数方程如下：
其中，θ为椭圆轨迹倾斜角θ∈(0°，360°),a，b分别为椭圆轨迹的长、短半轴长度，t为时间变量(s)，Ω为涡动转速(rad/s)，O1为转子涡动中心，O1'为转子轴心。
在(e，α)坐标系中，椭圆轨迹的参数方程如下：
步骤3：在(e，α)坐标系中，对时间变量t进行求导，得转子涡动速度，表达式如下：
步骤4：如转子以小轨迹进行涡动，可将转子和气膜的相互作用简化为弹簧-阻尼线性系统，表达式如下：
Fe表示气封段转子在e方向上受到的
气流力。Fα表示气封段转子在α方向上受到的气流力。表示当转子中心处于涡动中心O1时，气封段转子在e方向上受到的气流力。表示当转子中心处于涡动中心O1时，气封段转子在α方向上受到的气流力。Kee表示e方向直接刚度系数，Kαα表示α方向直接刚度系数，Keα表示e方向对α方向的交叉刚度系数，Kαe表示α方向对e方向的交叉刚度系，Cee表示e方向直接阻尼系数，Cαα表示α方向直接阻尼系数，Ceα表示e方向对α方向的交叉阻尼系数，Cαe表示α方向对e方向的交叉阻尼系数。
步骤5：将式(2)，(3)代入式(4)得：
步骤6：运用瞬态法可得到不同涡动频率下各时刻作用在转子上的力。计算模拟某一涡动转速Ω0的工况，记录下t＝0和t＝T/4时刻，转子分别在e方向和α方向的受力和
将t＝0代入方程(5)可得：
将t＝T/4代入方程(5)得：
步骤7：运用瞬态法求得不同涡动频率Ωi(i＝1,2,3,4…n)下任意时刻，气封段转子的受力情况。记录下t＝0和t＝T/4时刻，转子在e方向和α方向的受力根据定义求得和以涡动转速为横坐标，和为纵坐标，绘制被测转子受力和随涡动转速变化的曲线图，记作曲线1，曲线2，曲线3和曲线4(拟合曲线的数据点数量越多拟合的精度越高得出结果越精确)。
步骤8：取微小区间(Ωα,Ωα+ΔΩ)，当ΔΩ→0时，微小段内动力特性系数不随涡动转速变化而发生改变，即当涡动转速为Ωα和Ωα+ΔΩ时气封的动力特性系数Kee,Keα,Cee,Ceα,Kαe,Kαα,Cαe和Cαα不发生改变。将涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段转子上的力和涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段转子上的力代入式(6)得如下方程组：
对式(10)，(11)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
由式(12)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(12)求得的斜率值代入式(10)得-aKee。过曲线1上任意点作切线，切线斜率即为式(6)中的系数-bCeα，解得Ceα即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉阻尼系数。切线在纵坐标上的截距即为式(6)中的常数项-aKee，解得Kee即切点横坐标对应的涡动转速下的直接刚度系数。
步骤9：将涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段转子上的力和涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段转子上的力代入式(7)得如下方程组：
对式(10)，(11)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
由式(15)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(15)求得的斜率值代入式(13)得-aKαe。过曲线2上任意点作切线，切线斜率即为式(7)中的系数-bCαα，解得Cαα即切点横坐标对应的涡动转速下的直接阻尼系数。切线在纵坐标上的截距即为式(7)中的常数项-aKαe，解得Kαe即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉刚度系数。
步骤10：将涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段转子上的力和涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段转子上的力代入式(8)得如下方程组：
对式(16)，(17)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
由式(18)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(18)求得的斜率值代入式(16)得-bKeα。过曲线3上任意点作切线，切线斜率即为式(8)中的系数aCee，解得Cee即切点横坐标对应的涡动转速下的直接阻尼系数。切线在纵坐标上的截距即为式(8)中的常数项-bKeα，解得Keα即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉刚度系数。
步骤11：将涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段转子上的力和涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段转子上的力代入式(9)得如下方程组：
对式(19)，(20)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
由式(21)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(21)求得的斜率值代入式(19)得-bKαα。过曲线4上任意点作切线，切线斜率即为式(9)中的系数aCαe，解得Cαe即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉刚度系数。切线在纵坐标上的截距即为式(9)中的常数项-bKαα，解得Kαα即切点横坐标对应的涡动转速下的直接刚度系数。
步骤12：除了用(e，α)坐标系表达轴心涡动情况和气封段转子受力外，也可以用水平和垂直方向的(η，ξ)坐标系来表达。(为了区别坐标X，Y此处用η，ξ来表示)此时相对应的扰动运动参数为力增量为(ΔFη，ΔFξ)，动力特性系数为(Kηη，Kξξ，Kηξ，Kξη，Cηη，Cξξ，Cηξ，Cξη)。Fη表示η方向上转子受到的力，Fξ表示ξ方向上转子受到的力，Kηη表示η方向直接刚度系数Kξξ表示ξ方向的直接刚度系数，Kηξ表示η方向对ξ方向的交叉刚度系数，Kξη表示ξ方向对η方向的交叉刚度系数，Cηη表示η方向直接阻尼系数，Cξξ表示ξ方向直接阻尼系数，Cηξ表示η方向对ξ方向的交叉阻尼系数，Cξη表示ξ方向对η方向的交叉阻尼系数，表示密封e方向上的涡动速度，表示密封ξ方向上的涡动速度，表示密封η方向上的涡动速度。
由于(e，α)坐标比(η，ξ)坐标超前一个θ角故，可知这二坐标间的关系为：
如图1所示，化简得：
将式(23)用矩阵形式表示：
如图1所示，用矩阵的形式表达ΔFe，ΔFα，ΔFη，ΔFξ之间的关系：
易得下式：
将式(26)用矩阵形式表示：
将式(24)与式(27)合并为：
阻尼系数的转换亦相仿，可得：
下结合实施例1来详细说明本实施例中的获得密封动力特性系数的方法的使用方法和工作原理。
实施例1
本实施例1中待测试的气封的具体尺寸与运行参数如表1所示。
表1测试密封尺寸与运行参数
图2为密封模型的工程图。
本实施例1中的密封模型的外形概况和密封齿处细节及具体尺寸如图2所示。
本实施例1在进行动力特性识别时假设转子涡动轨迹为不偏心斜椭圆。
椭圆涡动轨迹尺寸与位置：长轴a＝0.02ecc短轴b＝0.01ecc；涡动中心与密封中心重合；偏转角θ＝45°。涡动轨迹在(e，α)坐标系下表达式：
运用瞬态法按步骤7至步骤11进行操作，计算不同涡动频率39Hz、39.5Hz、40Hz、40.5Hz和41Hz时转子受力，并拟合转子在t＝0和T/4时转子受力随涡动频率变化的四条曲线，最后在各曲线横坐40Hz处作切线，得到各切线斜率和在纵坐标上的截距。求得：Kee，Keα，Kαe，Kαα，Cee，Ceα，Cαe，Cαα。
在(e，α)坐标系下，涡动频率为40Hz时动力特性系数识别结果如表2所示：
表2涡动频率为40Hz时的动力特性系数
按步骤12进行坐标转换，此处倾斜角θ＝45°，代入下式：
得到(η，ξ)坐标系下的动力特性系数：
Kηη，Kηξ，Kξη，Kξξ，Cηη，Cηξ，Cξη，Cηη。
当涡动频率为40Hz时，采用本实施例中的计算结果与ZhigangLi数值模拟(Zhigang Li,Jun Li,Xin Yan.Multiple Frequencies Elliptical Whirling OrbitModel and Transient RANS Solution Approach to Rotordynamic Coefficients ofAnnual Gas Seals Prediction[J].Journal of Vibration&Acoustics,2013,135(3):031005.)和Ertas实验(Ertas B H,Delgado A,Vannini G.Rotordynamic ForceCoefficients for Three Types of Annular Gas Seals With Inlet Preswirl andHigh Differential Pressure Ratio[C]//ASME 2011 Turbo Expo:Turbine TechnicalConference and Exposition.2012:302-320.)所得到的EXP值进行对比。
刚度系数对比结果如表3所示。
表3刚度系数对比结果
Zhigang Li数值模拟(Zhigang Li,Jun Li,Xin Yan.Multiple FrequenciesElliptical Whirling Orbit Model and Transient RANS Solution Approach toRotordynamic Coefficients of Annual Gas Seals Prediction[J].Journal ofVibration&Acoustics,2013,135(3):031005.)和Ertas实验(Ertas B H,Delgado A,Vannini G.Rotordynamic Force Coefficients for Three Types of Annular GasSeals With Inlet Preswirl and High Differential Pressure Ratio[C]//ASME 2011Turbo Expo:Turbine Technical Conference and Exposition.2012:302-320.)中指出了Kavg(Kavg＝(Kηη+Kξξ)/2)并假设Kηη≈Kξξ，Kηξ＝-Kξη，因此表3中取Kηη，Kξξ和Kavg/2相等。
阻尼系数对比结果如表4所示。
有效阻尼系数Ceff其定义Ceff＝Cηη-Kηξ/Ω，作为衡量密封系统稳定性的重要参数，在表4中加入作为对比。
表4阻尼系数对比结果
Zhigang Li数值模拟(Zhigang Li,Jun Li,Xin Yan.Multiple FrequenciesElliptical Whirling Orbit Model and Transient RANS Solution Approach toRotordynamic Coefficients of Annual Gas Seals Prediction[J].Journal ofVibration&Acoustics,2013,135(3):031005.)和Ertas实验(Ertas B H,Delgado A,Vannini G.Rotordynamic Force Coefficients for Three Types of Annular GasSeals With Inlet Preswirl and High Differential Pressure Ratio[C]//ASME 2011Turbo Expo:Turbine Technical Conference and Exposition.2012:302-320.)中指出了Cavg(Cavg＝(Cηη+Cξξ)/2)并假设Cηη≈Cξξ，表4中取Cηη，Cξξ和Cavg/2相等。表4中斜线处表示无参考数据。
虽然本实施例中对刚度的识别与实验数据相比将误差缩减到80％以内，而ZhigangLi提出的计算方法误差最高值达到了360％，交叉刚度的识别误差已经达到了50％以内。同样本实施例中对阻尼系数的识别误差已经能控制在70％以内，而ZhigangLi提出的方法误差最高值达到了150％。本法对影响气缸稳定性的重要参数，交叉刚度和直接阻尼系数的识别误差控制在50％以内，十分逼近实验值。由此可见本法是具有相当高的识别精度。
实施例的作用与效果
本实施例所涉及的密封动力特性系数的计算方法具有以下优点：
1.可计算转子在不同涡动转速以任意椭圆轨迹涡动时水平和垂直方向上的刚度系数。
2.基于弹簧-阻尼线性系统，运用微元的思想直接从转子受力情况随涡动转速变化曲线图中计算不同涡动转速下的动力特性系数。在计算的过程中，考虑了涡动轨迹对动力特性系数的影响，模拟情况与实际工况相吻合，提高了获得的动力特性系数的准确度。
3.由于本发明中的计算过程中充分考虑到了涡动轨迹的偏心位置和偏转角，因此还可拓展研究同一涡动转速下，涡动轨迹的偏心位置和偏转角对密封动力特性系数的影响。
述实施方式为本发明的优选案例，并不用来限制本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种获得密封动力特性系数的方法，采用瞬态法计算转子处于不同涡动轨迹时的刚度系数和阻尼系数，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一，以所述密封模型的密封中心O为原点，X为横坐标，Y为纵坐标，建立(X，Y)坐标系；以所述转子的中心O1'为圆心，η为横坐标，ξ为纵坐标，建立(η，ξ)坐标系；O1为所述转子的静平衡位置或涡动中心，以O1为原点，在所述(η，ξ)坐标系的基础上，绕点O1逆时针旋转θ度，此时e轴与椭圆轨迹长半轴重合，建立所述(e，α)坐标系；
步骤二，假设所述转子在任意偏心位置上以所述椭圆轨迹涡动，所述椭圆轨迹在所述(X，Y)坐标系下的参数方程如下：
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在所述(e，α)坐标系中，所述椭圆轨迹的参数方程如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
θ为所述椭圆轨迹倾斜角θ∈(0°，360°),a，b分别为所述椭圆轨迹的长、短半轴长度，t为时间变量(s)，Ω为涡动转速(rad/s)，O1为所述转子的涡动中心，O1'为所述转子的中心；
步骤三，在所述(e，α)坐标系中，对所述时间变量t进行求导，得所述转子的所述涡动速度，表示密封α方向上的所述涡动速度，表示密封e方向上的所述涡动速度，表达式如下：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>;</mo>
步骤四，如所述转子以小轨迹进行涡动，可将所述转子和所述透平机械密封中的气膜的相互作用简化为弹簧-阻尼线性系统，表达式如下：
<mrow> <mo>-</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;alpha;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Fe表示所述透平机械密封中气封段的所述转子在e方向上受到的气流力，Fα表示气封段的所述转子在α方向上受到的气流力，表示当所述转子的中心处于所述涡动中心O1时，气封段的所述转子在e方向上受到的气流力，表示当所述转子的中心处于所述涡动中心O1时，气封段的所述转子在α方向上受到的气流力，Kee表示e方向直接刚度系数，Kαα表示α方向直接刚度系数，Keα表示e方向对α方向的交叉刚度系数，Kαe表示α方向对e方向的交叉刚度系，Cee表示e方向直接阻尼系数，Cαα表示α方向直接阻尼系数，Ceα表示e方向对α方向的交叉阻尼系数，Cαe表示α方向对e方向的交叉阻尼系数；
步骤五，将式(2)，(3)代入式(4)得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
步骤六，运用瞬态法可得到不同涡动频率下各时刻作用在所述转子上的力，模拟某一所述涡动转速Ω0的工况，记录下t＝0和t＝T/4时刻，所述转子分别在e方向和α方向的受力和
将t＝0代入方程(5)可得：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将t＝T/4代入方程(5)得：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>/</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>T</mi> <mo>/</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
步骤七，运用瞬态法求得不同所述涡动频率Ωi i＝1,2,3,4…n下任意时刻气封段的所述转子的受力情况，记录下t＝0和t＝T/4时刻，所述转子在e方向和α方向的受力 根据定义求得和以所述涡动转速为横坐标，和为纵坐标，绘制被测的所述转子的受力 和随所述涡动转速变化的曲线图，分别记作曲线1，曲线2，曲线3和曲线4；
步骤八，取微小区间(Ωα,Ωα+ΔΩ)，当ΔΩ→0时，微小段内的所述动力特性系数不随所述涡动转速变化而发生改变，即当所述涡动转速为Ωα和Ωα+ΔΩ时气封段的所述转子的所述所述动力特性系数Kee,Keα,Cee,Ceα,Kαe,Kαα,Cαe和Cαα不发生改变，将所述涡动转速为Ωα时对应的作用在气封段的所述转子上的力和所述涡动转速为Ωα+ΔΩ时对应的作用在气封段的所述转子上的力代入式(6)得如下方程组：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(10)，(11)作差化简，并对ΔΩ取极值得：
<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;Omega;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>&amp;Omega;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(12)得拟合曲线横坐标为Ωα处切线的斜率，将由式(12)求得的斜率值代入式(10)得-aKee，过所述曲线1上任意点作切线，切线斜率为式(6)中的系数-bCeα，解得Ceα即切点横坐标对应的涡动转速下的交叉阻尼系数，切线在纵坐标上的截距即为式(6)中的常数项-aKee，解得Kee即切点横坐标对应的所述涡动转速下的直接刚度系数，
同理可得不同所述涡动转速下所述(e，α)坐标系上的所述动力特性系数Kαe，Cαα，Keα，Cee，Kαα和Cαe；
步骤9：采用水平和垂直方向的所述(η，ξ)坐标系来表达轴心涡动情况和气封段的所述转子受力，
相对应的扰动运动参数为力增量为(ΔFη，ΔFξ)，所述(η，ξ)坐标系上的所述动力特性系数为(Kηη，Kξξ，Kηξ，Kξη，Cηη，Cξξ，Cηξ，Cξη)，Fη表示η方向上所述转子受到的力，Fξ表示ξ方向上所述转子受到的力，Kηη表示η方向直接刚度系数Kξξ表示ξ方向的直接刚度系数，Kηξ表示η方向对ξ方向的交叉刚度系数，Kξη表示ξ方向对η方向的交叉刚度系数，Cηη表示η方向直接阻尼系数，Cξξ表示ξ方向直接阻尼系数，Cηξ表示η方向对ξ方向的交叉阻尼系数，Cξη表示ξ方向对η方向的交叉阻尼系数，表示密封ξ方向上的所述涡动速度，表示密封η方向上的所述涡动速度，
由于所述(e，α)坐标比所述(η，ξ)坐标超前一个θ角，故可知这二坐标间的关系为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由所述步骤一中可得，化简得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(14)用矩阵形式表示：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由所述步骤一中可得，用矩阵的形式表达ΔFe，ΔFα，ΔFη，ΔFξ之间的关系：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;Delta;</mi> <msub> <mi>F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
易得下式：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>e</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;F</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(17)用矩阵形式表示：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(15)与式(18)合并得：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
所述阻尼系数的转换亦相仿，可得：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;eta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
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