CN107834610A - 一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法，解决了大型互联电网全时域仿真速度慢的问题。当水轮机容量比重较高的电网中发生较大的负荷扰动时，水锤效应的存在使得电网中有功功率缺额进一步扩大，导致系统频率偏移量恶化，威胁电网的安全稳定运行，为了快速分析水锤效应对电网动态的影响，本发明基于水轮机调速器延时模型，合理地简化了水轮机‑调速器系统，推导了计及旋转备用和水锤效应的电网频率响应解析解，进一步分析了水锤效应对电网频率的影响。
Description
技术领域
本发明属于电力系统频率分析技术领域，具体涉及一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法的设计。
背景技术
电力系统频率作为衡量电力系统安全稳定运行的重要指标之一，其动态行为特性随着电网之间的互联而变的更加复杂。我国四川，西藏，云南等地区水电资源丰富，随着大型水电站和抽水蓄能电站的不断建成投运、远距离输电系统的增加以及全国互联电网的逐步形成，与水电站和抽水蓄能电站相关的安全稳定问题日趋复杂。当水电比重较高的电力系统中出现较大功率波动时，水轮机水锤效应的存在会进一步破坏电网中有功功率的不平衡，最终导致电网频率恶化。2016年3月28日，云南异步联网第一次系统性整体试验结果表明水轮机组水锤效应引起云南电网频率的超低频振荡，振荡周期约20s(振荡频率约为0.05Hz)；土耳其电网、哥伦比亚电网也出现过类似问题。因此水锤效应对电网频率的影响需要引起高度的重视。
在大型互联电网中，虽然考虑系统详细模型的全时域仿真能够用来高精度地分析水锤效应对电网电网频率的影响，但是计算量大，仿真速度慢，而水锤效应在扰动负荷发生后会立即产生，因此快速分析水锤效应对电网频率的影响显得尤为重要。
发明内容
本发明的目的是为了能够快速分析水轮机水锤效应对大型互联电网的频率动态的影响，提出了一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法。
本发明的技术方案为：一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法，包括以下步骤：
S1、对水轮机调速器进行简化，将水轮机导水叶打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建水轮机斜坡模型。
S2、根据水轮机斜坡模型计算水轮机组单机系统频率响应解析解。
S3、对汽轮机调速器进行简化，将汽轮机汽门打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建汽轮机斜坡模型。
S4、根据汽轮机斜坡模型计算汽轮机组单机系统频率响应解析解。
S5、根据水轮机组单机系统频率响应解析解和汽轮机组单机系统频率响应解析解计算包含水轮机和汽轮机的多机系统频率响应解析解。
本发明的有益效果是：本发明基于水轮机调速器延时模型，合理地简化了水轮机-调速器系统，推导了计及旋转备用和水锤效应的电网频率响应解析解，进一步分析了水锤效应对电网频率的影响。
附图说明
图1所示为本发明实施例提供的一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法流程图。
图2所示为本发明实施例提供的水轮机调速器模型示意图。
图3所示为本发明实施例提供的水轮机发电机组框图。
图4所示为本发明实施例提供的水轮机导水叶动作过程的延时模型原理图。
图5所示为本发明实施例提供的调速器简化模型示意图。
图6所示为本发明实施例提供的再热汽轮机-调速器模型示意图。
图7所示为本发明实施例提供的再热汽轮机组简化模型示意图。
图8所示为本发明实施例提供的EPRI36节点系统示意图。
图9所示为本发明实施例提供的简化解析模型和全时域模型仿真结果对比图。
图10所示为本发明实施例提供的不同水流时间常数下全时域仿真结果图。
图11所示为本发明实施例提供的不同水流时间常数下简化解析模型仿真结果图。
图12所示为本发明实施例提供的不同水轮机渗透率情况下全时域仿真结果图。
图13所示为本发明实施例提供的不同水轮机渗透率情况下简化解析模型仿真结果图。
具体实施方式
现在将参考附图来详细描述本发明的示例性实施方式。应当理解，附图中示出和描述的实施方式仅仅是示例性的，意在阐释本发明的原理和精神，而并非限制本发明的范围。
本发明实施例提供了一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法，如图1所示，包括以下步骤S1-S5：
S1、对水轮机调速器进行简化，将水轮机导水叶打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建水轮机斜坡模型。
根据公式(1)计算水轮机斜坡模型的斜率k：
其中ΔPL为扰动功率，M为发电机转动惯量，RT为下降率，μ为水轮机导水叶开度。
根据公式(2)计算水轮机斜坡段所需时间td：
其中D为发电机的等效阻尼系数，即考虑了负荷的频率特性，Δμ为导水叶开度变化量，Rp为永久下降率，TG为水轮机调速器主伺服时间常数，t1为导水叶开度保持稳定的时间。
根据公式(3)计算导水叶开度变化率σ0：
σ0＝kε(t-TG) (3)
其中ε(·)表示单位阶跃函数，t为时间变量。
则导水叶开度变化量Δμ随时间t的变化过程表示为：
Δμ＝σ0t-σ0(t-td)ε(t-td) (4)。
S2、根据水轮机斜坡模型计算水轮机组单机系统频率响应解析解。
对公式(4)进行Laplace变换，得到：
其中e为自然对数底，s为Laplace变换后的复变量。
根据公式(6)计算水轮机的输出功率变化量ΔPm：
其中Tw表示水流时间常数。
构建同步发电机的转子运动方程为：
其中ΔPe为发电机的输出功率的变化量，若不考虑系统损耗，那么ΔPe与电网中扰动功率ΔPL相等，Δω为频率偏差。
对公式(7)进行Laplace变换，得到：
式中，
当系统中负荷的有功功率发生阶跃函数形式的扰动且扰动幅值为ΔPe0时，ΔPe(s)＝ΔPe0/s，对公式(9)进行Laplace逆变换得到水轮机组单机系统频率响应解析解为：
Δω(t)＝Δω1(t)+Δω2(t)+Δω3(t) (10)
式中，
公式(8)～(11)中，Δω1的物理意义为水轮机无备用时扰动后的频率自由响应，Δω2的物理意义为水轮机旋转备用的释放对频率的影响，Δω3的物理意义为水轮机备用约束对频率的影响。
S3、对汽轮机调速器进行简化，将汽轮机汽门打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建汽轮机斜坡模型。
根据公式(12)计算汽轮机斜坡模型的斜率kq：
其中ΔPeL为扰动幅值，Δμq为汽轮机汽门开度变化量；
根据公式(13)计算汽轮机斜坡段所需时间tqd：
tqd＝M (13)。
S4、根据汽轮机斜坡模型计算汽轮机组单机系统频率响应解析解。
本发明实施例中，采用与步骤S2中计算水轮机组单机系统频率响应解析解相同的方法，计算得到汽轮机组单机系统频率响应解析解为：
Δωq(t)＝Δωq1(t)+Δωq2(t)+Δωq3(t) (14)
式中，
其中σq为汽轮机汽门打开速率，Fhp为高压缸做功比例，Fmp为中压缸做功比例，Fmp＝1-Fhp，Trh为再热效应常数，Ts为伺服时间常数；Δωq1的物理意义为汽轮机无备用时扰动后的频率自由响应，Δωq2的物理意义为汽轮机旋转备用的释放对频率的影响，Δωq3的物理意义为汽轮机备用约束对频率的影响。
将水轮机与汽轮机的频率响应解析解进行对比可以发现，两者的主要差别在于Δω2多项式的第三项与Δωq2多项式的第三项Δω2与Δωq2多项式主要反映了旋转备用释放对频率的影响，因此通过观察Δω2与Δωq2时域解可以分析发电机组出力的特点。在扰动负荷发生后，为负值，使得电网频率恶化，体现了水轮机水锤效应引起的功率缺额对电网频率的影响；而为正值，不会造成电网频率偏移量的进一步扩大。
S5、根据水轮机组单机系统频率响应解析解和汽轮机组单机系统频率响应解析解计算包含水轮机和汽轮机的多机系统频率响应解析解。
针对包含水轮机和汽轮机的多机系统，不考虑电网频率的时空分布特性，在全网频率统一的假设下，多机系统的总机械功率变化量ΔPhΣ为：
其中h＝m+n为总机组数，m为水轮机组数，n为汽轮机组数，水轮机组i、汽轮机组j的机械功率变化量ΔPmi、ΔPnj分别为水轮机组容量基准Si、汽轮机组容量基准Sj下的标幺值，系统的总机械功率变化量ΔPhΣ为系统容量基准Ssys下的标幺值。
ΔPhΣ在频域下的表达式为：
因此多机系统频率响应表示为：
其中ΔPed、Med和Ded分别为ΔPe、M和D基于Ssys的标幺值。
最终得到多机系统频率响应解析解为：
其中Δωd1(t)为多机系统无备用时扰动后的频率自由响应，Δω2i(t)和Δω3i(t)分别表示水轮机组i的旋转备用释放和旋转备用约束对频率动态的影响，Δωq2j(t)和Δωq3j(t)分别表示汽轮机组j的旋转备用释放和旋转备用约束对频率动态的影响。
下面结合图2～图13对本发明的应用原理及效果作详细的描述。
如图2所示，在水轮机调速器中，Tp为辅助阀和伺服电动机的时间常数；Ks为伺服增益；TG为主伺服时间常数；Rp为永久下降率；RT为下降率；ωref为角频率参考；ωr为实际角频率；TR为复位时间；Rmax open、Rmax close分别为导水叶最大打开和关闭速率；μmax、μmin分别为导水叶位置的最大、最小值；σ表示导水叶开度变化速率。上述参数均为以机组自身容量Sbase为基准时的标幺值。图2中的暂时下降率补偿的作用是为了抑制水锤效应，使得当水轮机的机械功率出现大的暂时下降时水轮机能够具有一个较长的复位时间。
如图3所示的是水轮发电机组的框图，调速器模型是图2中Tp＝0时的线性近似模型。
图4反映了传统的水轮机调速器延时模型等效过程。水轮机组简化等效后的延时模型可以快速估计扰动发生后机组频率偏差的极值及其对应的时刻，该延时模型是将图3所示水轮机组作如下3个近似处理：(1)将水轮机调速器部分的一节惯性模型1/(1+sTG)近似等效为延时模型(2)水轮机响应过程近似建模为纯时间延迟模型；(3)将导水叶的动作过程近似建模为纯时间延迟模型，如图4(c)所示。图4(a)表示扰动负荷增加后，导叶开度μ随时间变化的精确模型；图4(b)表示将导叶开度变化近似等效为斜坡形式；图4(c)是导水叶动作的延时模型，其中t0＝(TG+t1)/2，t1为导水叶开度保持稳定的时间。
图5是水轮机调速器简化模型。延时模型可以较为准确的估算出扰动发生后机组频率的极值及其对应的时刻，但是由于忽略了调速器及水轮机的响应过程而不能精确的反映出扰动发生后机组频率的动态响应过程。为了更加准确地描述扰动发生后水轮机组的动态过程，本发明实施例在水轮机组延时模型基础上做出改变，即水轮机响应过程不做等效处理并且导水叶动作过程采用图4(b)斜坡模型。
图6为汽轮机-调速器的典型结构模型。图6中，Δωq为系统频率偏差，P0为参考有功功率，K为调速器调差系数的倒数，Tg为调速器灵敏度系数，σq0和σqc为汽门调节速度上、下限，μqmax和μqmin分别为汽门开度上、下限，Tch为汽轮机容积效应常数，Trh为再热效应常数，Fhp为高压缸做功比例，中压缸做功比例Fmp＝1-Fhp，Pqm为机械功率。上述参数均以机组自身容量S为基准的标幺值。
将上述水轮机组调速器的简化原理应用于汽轮机组，即将汽轮机调速器模型等效为斜坡模型，则图6汽轮机模型可简化如图7所示，σq为汽轮机汽门开度的打开速率。
图8所示的是EPRI 36节点系统仿真示意图，系统包括8台发电机，36个节点母线，本发明将全时域仿真结果与多机系统电网频率响应解析模型的仿真结果进行对比验证，并且进一步分析水锤效应对电网频率的影响。动态仿真过程中，发电机G1～G3、G6～G8采用5阶模型的水轮发电机模型，其中水轮机调速器的参数Rp为0.05，Ks值为0.2pu/s，RT值为0.667，复位时间TR、伺服时间常数Ts、导水叶调速器时间常数TG以及水流惯性时间常数Tw分别为5s、5s、0.2s、1s；G4、G5采用5阶汽轮发电机模型，汽轮机调速器的静态调差系数δi为0.05，高压缸做功比例Fhp为1，蒸汽容积时间常数T0、伺服时间常数Ts、再热时间常数Trh分别为0.5s、5s、10s。上面仿真系统中的水轮机容量比率高达83.95％，因此整个仿真系统可代表水电系统。
图9所示的是EPRI 36节点系统在Bus16上的负荷增加0.2pu时情况下的全时域仿真与简化解析模型仿真的系统惯性中心频率响应曲线，从图9可以看出，水轮机频率响应简化解析模型都能够较好的模拟出系统频率偏移量较大时间段0～10s的频率动态过程以及稳态过程，两条曲线频率下跌以及上升的初始阶段、频率极值及其对应的时刻基本重合。相比全时域仿真，频率响应简化解析模型以数学公式的形式体现了电网扰动后的频率偏移随时间的变化过程，通过编程代入参数，便能很快得出仿真结果，大约只需0.1s，而全时域仿真时间需要3.7s左右，因此频率响应简化解析模型可以用来快速分析水电比例较高电网中扰动发生后的频率严重偏移段(0～10s)的动态过程。由于计算解析解时用到的发电机是二阶模型，推导的频率解析解精度还不够，并且在10s以后，影响电网安全运行的很多保护或控制措施开始动作，电网的行为变得很复杂，因此该解析模型不能准确地反映出电网频率在10s～40s这个时间段的动态过程，但是由于这个时间段内的电网频率波动幅值很小，并且在扰动发生后的前10s内存在着频率大幅度偏移，因此本发明的重点在于反映0～10s这个时间段内的频率动态过程。
刚性引水管道水锤效应的数学表达式为其中q为流量增量，Tw为水流时间常数，从该表达式可以看出，对于单机系统而言Tw是影响水锤效应的关键因素，进而影响系统频率动态响应，上述水轮机单机系统频率响应解析解也可反映出Tw是影响系统频率动态响应的主要因素之一。在扰动负荷为0.3pu的前提下，本文利用图8所示的仿真系统以及本发明推导的多机系统频率响应解析模型进行仿真，在Tw分别取0.5s、1s、1.5s、2s的时候仿真得出电网频率动态响应曲线如图10、图11所示。
从全时域仿真结果图10可以看出，水流时间常数Tw的增大，意味着水锤现象的加剧，电力系统频率的下跌就更严重，并且频率最低点出现的时间延迟。当Tw＝0.5s时，系统在t＝4.1s左右频率偏移量达到最大的0.13Hz；当Tw＝2s时，系统在t＝5s时频率最大偏移量达到0.15Hz，相比Tw＝0.5s时的频率最大偏移量增大了0.02Hz，接近频率偏移量的13.3％。因此当水轮机占比比较高的电力系统中，通过一些措施来抑制水锤效应带来的频率严重偏移显得非常重要。简化解析模型仿真结果图11与全时域仿真结果图10，在0～8s时间段的频率动态过程基本一致，证明了水轮机组频率响应简化解析模型的有效性。
对于电网来说，水轮机容量的占比会影响整个电网所呈现的水锤效应。从上面推导的多机系统频率响应解析解可以看出，水轮机的容量占比进一步影响着电网的频率动态。现利用EPRI 36节点系统，当负荷扰动为0.3pu，Tw＝2s时，仿真得出水轮机渗透率不同情况下的频率动态结果如图12所示。
从全时域仿真结果图12可以看出，在相同的负荷扰动情况下，随着电网水轮机容量的占比的提高，电网频率动态过程中的偏移量相对增大，当水轮机容量占比为30.41％的时候，频率最低点发生在t＝3s时刻，为49.90Hz；随着水电占比的增加，频率偏移量增大，当占比为83.95％时，频率最低点发生在t＝5s时刻，为49.84Hz，相比水轮机容量占比为30.41％的情况下频率偏移量增大0.06Hz，占频率偏移量的37.5％。因此，对一个大电网来说，当较大的扰动负荷发生时，过高的水电容量占比意味着水锤效应的增强，威胁着电网的安全稳定运行。简化解析模型仿真结果图13所示的电网频率严重下跌段0～8s的动态过程基本与全时域仿真结果图12一致，验证了水轮机组简化解析模型的有效性。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。
Claims (6)
1.一种考虑水轮机水锤效应的电网频率动态分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、对水轮机调速器进行简化，将水轮机导水叶打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建水轮机斜坡模型；
S2、根据水轮机斜坡模型计算水轮机组单机系统频率响应解析解；
S3、对汽轮机调速器进行简化，将汽轮机汽门打开/闭合的动作过程近似为斜坡，构建汽轮机斜坡模型；
S4、根据汽轮机斜坡模型计算汽轮机组单机系统频率响应解析解；
S5、根据水轮机组单机系统频率响应解析解和汽轮机组单机系统频率响应解析解计算包含水轮机和汽轮机的多机系统频率响应解析解。
2.根据权利要求1所述的电网频率动态分析方法，其特征在于，所述步骤S1具体为：
根据公式(1)计算水轮机斜坡模型的斜率k：
<mrow>
<mi>k</mi>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中ΔPL为扰动功率，M为发电机转动惯量，RT为下降率，μ为水轮机导水叶开度；
根据公式(2)计算水轮机斜坡段所需时间td：
<mrow>
<msub>
<mi>t</mi>
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<mi>&mu;</mi>
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<mrow>
<msub>
<mi>&Delta;P</mi>
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<mo>=</mo>
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<mo>(</mo>
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<mrow>
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<mo>+</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中D为发电机的等效阻尼系数，Δμ为导水叶开度变化量，Rp为永久下降率，TG为水轮机调速器主伺服时间常数，t1为导水叶开度保持稳定的时间；
根据公式(3)计算导水叶开度变化率σ0：
σ0＝kε(t-TG) (3)
其中ε(·)表示单位阶跃函数，t为时间变量；
则导水叶开度变化量Δμ随时间t的变化过程表示为：
Δμ＝σ0t-σ0(t-td)ε(t-td) (4)。
3.根据权利要求2所述的电网频率动态分析方法，其特征在于，所述步骤S2具体为：
对公式(4)进行Laplace变换，得到：
<mrow>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>&mu;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
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<mo>-</mo>
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<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中e为自然对数底，s为Laplace变换后的复变量；
根据公式(6)计算水轮机的输出功率变化量ΔPm：
<mrow>
<msub>
<mi>&Delta;P</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>-</mo>
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<mn>1</mn>
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<mn>0.5</mn>
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</mfrac>
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<mo>=</mo>
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<mn>0</mn>
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<mn>2</mn>
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<mn>1</mn>
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<mn>1</mn>
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<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mn>0.5</mn>
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<mi>w</mi>
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</mrow>
</mfrac>
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</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中Tw表示水流时间常数；
构建同步发电机的转子运动方程为：
<mrow>
<mi>M</mi>
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<mi>d</mi>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>&omega;</mi>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中ΔPe为发电机的输出功率的变化量，Δω为频率偏差；
对公式(7)进行Laplace变换，得到：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>&omega;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
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式中，
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
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<mi>&omega;</mi>
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</mtable>
</mfenced>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
当系统中负荷的有功功率发生阶跃函数形式的扰动且扰动幅值为ΔPe0时，ΔPe(s)＝ΔPe0/s，对公式(9)进行Laplace逆变换得到水轮机组单机系统频率响应解析解为：
Δω(t)＝Δω1(t)+Δω2(t)+Δω3(t) (10)
式中，
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>&Delta;&omega;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
公式(8)～(11)中，Δω1的物理意义为水轮机无备用时扰动后的频率自由响应，Δω2的物理意义为水轮机旋转备用的释放对频率的影响，Δω3的物理意义为水轮机备用约束对频率的影响。
4.根据权利要求3所述的电网频率动态分析方法，其特征在于，所述步骤S3具体为：
根据公式(12)计算汽轮机斜坡模型的斜率kq：
<mrow>
<msub>
<mi>k</mi>
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</msub>
<mo>=</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中ΔPeL为扰动幅值，Δμq为汽轮机汽门开度变化量；
根据公式(13)计算汽轮机斜坡段所需时间tqd：
tqd＝M (13)。
5.根据权利要求4所述的电网频率动态分析方法，其特征在于，所述步骤S4具体为：
采用与步骤S2中计算水轮机组单机系统频率响应解析解相同的方法，计算得到汽轮机组单机系统频率响应解析解为：
Δωq(t)＝Δωq1(t)+Δωq2(t)+Δωq3(t) (14)
式中，
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mrow>
<mi>q</mi>
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<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中σq为汽轮机汽门打开速率，Fhp为高压缸做功比例，Fmp为中压缸做功比例，Fmp＝1-Fhp，Trh为再热效应常数，Ts为伺服时间常数；Δωq1的物理意义为汽轮机无备用时扰动后的频率自由响应，Δωq2的物理意义为汽轮机旋转备用的释放对频率的影响，Δωq3的物理意义为汽轮机备用约束对频率的影响。
6.根据权利要求5所述的电网频率动态分析方法，其特征在于，所述步骤S5具体为：
针对包含水轮机和汽轮机的多机系统，不考虑电网频率的时空分布特性，在全网频率统一的假设下，多机系统的总机械功率变化量ΔPhΣ为：
<mrow>
<msub>
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<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中h＝m+n为总机组数，m为水轮机组数，n为汽轮机组数，水轮机组i、汽轮机组j的机械功率变化量ΔPmi、ΔPnj分别为水轮机组容量基准Si、汽轮机组容量基准Sj下的标幺值，系统的总机械功率变化量ΔPhΣ为系统容量基准Ssys下的标幺值；
ΔPhΣ在频域下的表达式为：
<mrow>
<msub>
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</mrow>
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<mi>&Delta;P</mi>
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因此多机系统频率响应表示为：
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其中ΔPed、Med和Ded分别为ΔPe、M和D基于Ssys的标幺值；
最终得到多机系统频率响应解析解为：
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其中Δωd1(t)为多机系统无备用时扰动后的频率自由响应，Δω2i(t)和Δω3i(t)分别表示水轮机组i的旋转备用释放和旋转备用约束对频率动态的影响，Δωq2j(t)和Δωq3j(t)分别表示汽轮机组j的旋转备用释放和旋转备用约束对频率动态的影响。
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