CN107766644A - 一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法 - Google Patents

一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法 Download PDF

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白勇
李锦生
李佳
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Abstract

本发明提供了一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，包括：根据介质特性选择介质层材料；获取介质层材料的性能参数；设定玻纤增强柔性管的截面参数，包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度；检验玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，如不满足，重复第3步骤，直到满足设计要求为止。本发明通过检测玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，对包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度在内的玻纤增强柔性管的截面参数进行筛选，获得满足设计要求的玻纤增强柔性管的截面参数，使热塑性玻纤增强柔性管的设计方法应用于生产成为可能。

Description

一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法
技术领域
本发明涉及管道工程技术领域，特别是涉及一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法。
背景技术
我国最早使用柔性管是在边际油田开发领域，后来逐步发展到注水管线、输气管线，目前能够用于输油的柔性管仍处于尝试阶段。大部分输油的柔性管都是使用的国外产品。
国内几家高校曾对玻纤增强柔性管道开展过相关的理论和试验研究，如浙江大学白勇和王立忠利用有限元软件ABAQUS对热塑性玻纤增强柔性管的横截面属性做过分析和研究，包括横截面属性解析解分析，横截面属性有限元分析，得到了截面属性和几何参数的近似解。。大连理工大学岳前进团队曾对非粘接钢带增强柔性管的结构进行过优化设计，并用ANSYS进行了界面力学性能分析，得到了非粘接柔性管的层间作用机理。哈尔滨工程大学乔英杰团队曾经对复合柔性管的材料属性以及结构功能一体化特性进行过相应的研究和试验，也取得了显著的成果，在复合材料机理研究处于国内领先水平，并且掌握海洋深水管道用轻质保温隔热材料及其制备方法。但是，这些研究都没有形成系统的玻纤增强柔性管截面设计方法，很难应用于实际生产。
发明内容
为此，本发明提出了一种可以应用于生产的热塑性玻纤增强柔性管的设计方法。
本发明提供了一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，包括：
1)根据介质特性选择介质层材料；
2)获取介质层材料的性能参数；
3)设定玻纤增强柔性管的截面参数，包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度；
4)检验玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，如不满足，重复第3步骤，直到满足设计要求为止。
进一步地，所述玻纤增强柔性管的设计力学性能包括抗内压性能，抗外压性能，抗弯曲性能和抗轴拉性能。
本发明通过检测玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，对包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度在内的玻纤增强柔性管的截面参数进行筛选，获得满足设计要求的玻纤增强柔性管的截面参数，使热塑性玻纤增强柔性管的设计方法应用于生产成为可能。
本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。
附图说明
图1为本发明实施例的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法的流程图；
图2为本发明实施例的玻纤增强柔性管的整体坐标系图；
图3为本发明实施例的玻纤增强柔性管的局部坐标系图；
图4为本发明实施例的抗弯曲性能检测中数值计算过程的详细步骤图；
图5本发明实施例的一种热塑性玻纤增强柔性管的截面图；
图6为本发明实施例的抗外压性能检测中数值计算过程的详细步骤图；
图7为本发明实施例的层面间相互作用示意图；
图8为本发明实施例的计算屈服拉力的详细步骤图。
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。
本发明实施例提供了一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，如图1所示，包括：
1)根据介质特性选择介质层材料；
2)获取介质层材料的性能参数；
3)设定玻纤增强柔性管的截面参数，包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度；
4)检验玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，如不满足，重复第3步骤，直到满足设计要求为止。
其中，所述玻纤增强柔性管的设计力学性能包括抗内压性能，抗外压性能，抗弯曲性能和抗轴拉性能。
在本发明实施例的一个方面，如图2和图3所示，其中Z，θ，r分别为整体坐标系下玻纤增强柔性管的轴向、环向和径向。所述抗内压性能的检验步骤包括：
整体柱坐标系下，玻纤增强柔性管的位移场表示为
ur＝ur(r),uθ＝uθ(r,z),uz＝uz(z) (3-1)
式(3-1)中，ur，uθ和uz分别为径向，环向和轴向位移；
整体柱坐标系下，玻纤增强柔性管第k层的本构关系为
式(3-2)中，为off-axis刚度矩阵；
整体坐标系下，第k层应变-位移关系为
不考虑体积力的情况下，整体柱坐标系下的平衡方程表示为
将(3-1)式代入(3-3)式，得出玻纤增强柔性管第k层的应变-位移关系可简化为
将(3-1)，(3-2)和(3-5)式代入式(3-4)，得出平衡方程为
位移场为
将式(3-7)代入式(3-5)，可得出应变
玻纤增强层应变为
柱坐标系下，增强层第k层的本构关系如下
局部坐标系下，增强层第k层的本构关系如下
通过柱坐标系下式(3-10)和局部坐标系下式(3-11)计算出玻纤增强柔性管的抗内压性能。
设定边界条件为连续性边界条件，则边界应力条件为
玻纤增强柔性管径向接触面条件为
轴向力平衡方程为
扭转平衡方程为
式(4-2)，(4-4)，(4-5)和(4-7)在轴向对称载荷下是恒定的，通过连续边界条件可得到(2n+2)个方程，进而求出玻纤增强柔性管的爆破压力。
在本发明实施例的一个方面，所述抗弯曲性能的检验步骤包括：
根据虚功原理，管道在加载任意时刻都满足的平衡状态方程可表示为
∫VσijδεijdV＝δWe (5-1)
式中，右边代表外力所做的虚功，左边代表内力所做的虚功；
仅考虑轴向应力、环向应力、和沿壁厚的剪切应力，式(5-1)表示为如下增量形式
式中，如k表示玻纤增强柔性管管道壁厚第k层，k＝1～10，分别表示第k层径向坐标值，其中
当仅有纯弯荷载作用时，曲率在加载过程中是预先定义的，因此外力所做的虚功当仅有轴向拉力作用时，外力做的虚功增量为
为准确描述管道截面的位移变化，采用三角级数来近似表示，设定管道的环向、径向位移和沿壁厚的剪应变均为θ的函数，用以下级数展开式表示
玻璃纤维增强柔性软管数值求解方法为,将位移函数带入应变表达式并根据材料本构关系，可以得出应变增量、应力增量，并带入增量形式的平衡方程，得到任意荷载步下6N个关于的在纯弯曲时的非线性代数方程，本文采用Newton-Raphson方法求解，具体过程如下：
(1)确定管道的包括初始几何缺陷的几何尺寸、材料参数、截面单元划分、荷载步与荷载步增量，位移函数展开项数N；在计算中，采用高斯积分的数值方法，对管道截面进行单元划分，将截面沿环向和径向分布划分；沿壁厚方向将截面划分为13个单元，其中内层3个单元，加强层6个单元，外层4个单元，沿环向将截面划分为30个单元；
(2)估计位移函数中6N个未知量的初值：对于第一次计算过程各数值不做改变，之后的荷载步采用上一次荷载步的数值作为计算的初值；
(3)根据由式(5-2)至式(5-6)计算出各积分点应变增量
(4)根据各层材料的本构关系，求得各积分点的应力增量
(5)求解虚功方程：当获得各积分点的应力后，全截面的积分即可通过数值方法求得，由式(5-1)可以得出6N个非线性方程，采用Newton-Raphson方法迭代求解出未知量，通过收敛测试判断当前荷载步是否达到收敛；
一旦满足收敛条件，判断当前荷载步计算完成，并更新各参数值，同时求得当前荷载步所对应的弯矩：
且当σe≥σemax时，加载；当σe<σemax，卸载。图4示出了数值计算过程的详细步骤。
在本发明实施例的一个方面，所述抗外压性能的检验步骤包括：
如图5示出了玻纤增强柔性管的截面图，根据平截面假定，截面上任意一点的轴向应变可以表示为：
式中，为弯曲中性面处的轴向应变，ζ为变形后截面上任意点到弯曲中性面的距离，由式(7-2)计算得到
ζ＝(R+w)cosθ-vsinθ+zcosθ. (7-2)
环向应变表示为：
设定沿壁厚方向的剪应变为一阶线性，表示为：
γθr＝γθ (7-5)
虚功方程：为了得到外压载荷作用下玻纤增强柔性管的屈曲特性，基于非线性屈曲理论和虚功原理建立平衡状态方程(7-6)，式(7-3)作为方程组的附加方程，联立可以得到各个给定体积值下管道的外压值，以及相应状态时截面各点的位移、应力和应变，
数值计算：基于非线性屈曲理论和虚功方程，推导外压载荷下玻纤增强柔性管运动方程的求解办法，利用Newton-Raphson迭代求解。整个过程在MATLAB中编程求解，求解思路可以用图6表示。
在本发明实施例的一个方面，所述抗拉伸性能的检验步骤包括：
管变形：在光缆拉扭理论中，对绳结构变形前后的几何关系的描述，即玻璃纤维增强管的轴向变形表示为
Δu＝u1-u2 (8-2)
式(8-2)中，u1，u2分别代表管道两端的轴向位移；L代表管道的总长度；
若不考虑弯曲、压缩和扭转应变，在只考虑拉伸应变的情况下，轴向拉伸应变由式(8-3)表示
式(8-3)和式(8-5)中：αi和α′i代表绳结构变形前后的缠绕角度，Ri和R′i代表绳结构变形前后的螺距半径，所以βi能够反映螺距半径的变化；
截面变形：在拉伸荷载作用下，随着拉伸位移的增加，截面会不断收缩，玻纤螺旋绳结构会对管道截面产生径向挤压应力，设定P1和P2为内外玻璃纤维加强层中绳结构对管道截面产生的压力，则根据平衡关系及边界条件可以求出压强值为：
式(8-6)、式(8-7)中，N1＝E1ε1A1，N2＝E2ε2A2。
其中，N1和N2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的轴拉力，E1和E2分别代表玻璃纤维绳和HDPE绳的在弹性阶段的弹性模量，ε1和ε2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的轴向应变，A1和A2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的截面面积；
图7中层面间的相互作用推导原理类似，只有截面半径和边界条件不同。根据平面应变假设，即εz为常数，应用胡克定律和平衡方程，可以得到位移的微分方程为
求解位移的微分方程，将不同位置的边界条件带入求得截面不同位置的径向位移如下：
在内层r＝R1处，
在中间层r＝R1处，
在中间层r＝R2处，
在外层r＝R2处，
由反力互等定理可知，式(8-9)与式(8-10)数值相等，同理式(8-11)与式(8-12)数值也相等，求得层间相互作用力σ1和σ2，进而可以求得径向变形β1和β2如下
平衡方程：根据最小势能原理，当体系达到平衡时，体系的的应变能和势能之和为零，表示为
δU+δV＝0 (8-13)
式(8-13)中，U代表系统的应变能，V代表系统的势能。对于三层管道结构，系统的应变能和势能表示为：
δV＝-Tδ(Δu) (8-15)
式(8-15)中，Ui代表每一根绳的应变能，角标ic、mc、oc分别代表从内到外三层HDPE的应变能，则对式(8-13)～(8-15)进行求解，可得到拉伸力T为
式(8-16)中，α′i代表轴向变形后绳缠绕角度；
在Knapp光缆拉扭理论的基础之上，推导适用于玻纤增强柔性管的求解办法，联立管变形、截面变形和平衡方程，利用Newton-Raphson迭代求解。整个过程在MATLAB中编程求解，求解思路可以用图8表示。
在本发明的一个具体实施例中，以工作温度20℃，油介质，设计压力为20MPa，500米水深，6英寸的玻纤增强柔性管为例简要说明设计步骤。
第一次预设玻纤增强柔性管截面参数，选择内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度，如表7.1所示。
表7.1第一次假设的玻纤增强柔性管参数
参数 单位 数值
管子内径 mm 142
内管壁厚 mm 9
增强层层数 - 16
玻纤带厚度 mm 0.3
玻纤带缠绕角度 Deg 55
玻纤含量 mm 0.6
外管壁厚 mm 5.8
根据公式3-1到4-9编写内压Matlab程序，计算设计压力，设计压力为14.5MPa，小于要求的20MPa，重新设计。
调整增强层层数，其它参数保持不变，如表7.2所示。
表7.2第二次假设的RTP管截面参数
参数 单位 数值
管子内径 mm 142
内管壁厚 mm 9
增强层层数 - 24
玻纤带厚度 mm 0.3
玻纤带缠绕角度 Deg 55
玻纤含量 mm 0.6
外管壁厚 mm 5.8
根据公式3-1到4-9编写内压Matlab程序，计算设计压力，设计压力为20.4MPa，大于要求的20MPa，满足设计要求。根据公式7-1到7-8及图6编写外压Matlab程序，计算外压失稳压力，外压失稳压力为5.3MPa，大于要求的5MPa，满足设计要求。
根据公式5-1到6-1及图4编写最小弯曲半径Matlab程序，计算最小弯曲半径，最小弯曲半径为1.92m。根据公式8-1到8-16及图8编写屈服拉力Matlab程序，计算屈服拉力，屈服拉力为233.9KN。
本发明通过检测玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，对包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度在内的玻纤增强柔性管的截面参数进行筛选，获得满足设计要求的玻纤增强柔性管的截面参数，使热塑性玻纤增强柔性管的设计方法应用于生产成为可能。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (8)

1.一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，包括：
1)根据介质特性选择介质层材料；
2)获取介质层材料的性能参数；
3)设定玻纤增强柔性管的截面参数，包括内管壁厚，增强层层数，玻纤带厚度，玻纤带缠绕角度；
4)检验玻纤增强柔性管的设计力学性能是否满足设计要求，如不满足，重复第3步骤，直到满足设计要求为止。
2.如权利要求1所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，所述玻纤增强柔性管的设计力学性能包括抗内压性能，抗外压性能，抗弯曲性能和抗轴拉性能。
3.如权利要求2所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，所述抗内压性能的检验步骤包括：
整体柱坐标系下，玻纤增强柔性管的位移场表示为
ur＝ur(r),uθ＝uθ(r,z),uz＝uz(z) (3-1)
式(3-1)中，ur，uθ和uz分别为径向，环向和轴向位移；
整体柱坐标系下，玻纤增强柔性管第k层的本构关系为
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式(3-2)中，为off-axis刚度矩阵；
整体坐标系下，第k层应变-位移关系为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
不考虑体积力的情况下，整体柱坐标系下的平衡方程表示为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将(3-1)式代入(3-3)式，得出玻纤增强柔性管第k层的应变-位移关系可简化为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将(3-1)，(3-2)和(3-5)式代入式(3-4)，得出平衡方程为
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
位移场为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>z</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(3-7)代入式(3-5)，可得出应变
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
玻纤增强层应变为
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
柱坐标系下，增强层第k层的本构关系如下
<mrow> <msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>13</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>21</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>22</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>23</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>31</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>32</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>Q</mi> <mn>33</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
局部坐标系下，增强层第k层的本构关系如下
<mrow> <msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>13</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>23</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>31</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>33</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>T</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
通过柱坐标系下式(3-10)和局部坐标系下式(3-11)计算出玻纤增强柔性管的抗内压性能。
4.如权利要求3所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，设定边界条件为连续性边界条件，则边界应力条件为
<mrow> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
玻纤增强柔性管径向接触面条件为
<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
轴向力平衡方程为
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;pi;r</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
扭转平衡方程为
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(4-2)，(4-4)，(4-5)和(4-7)在轴向对称载荷下是恒定的，通过连续边界条件可得到(2n+2)个方程，进而求出玻纤增强柔性管的爆破压力。
5.如权利要求2所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，所述抗弯曲性能的检验步骤包括：
根据虚功原理，管道在加载任意时刻都满足的平衡状态方程可表示为
∫VσijδεijdV＝δWe (5-1)
式中，右边代表外力所做的虚功，左边代表内力所做的虚功；
仅考虑轴向应力、环向应力、和沿壁厚的剪切应力，式(5-1)表示为如下增量形式
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>F</mi> </munder> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </msubsup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>=</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，如k表示玻纤增强柔性管管道壁厚第k层，k＝1～10，分别表示第k层径向坐标值，其中
当仅有纯弯荷载作用时，曲率在加载过程中是预先定义的，因此外力所做的虚功当仅有轴向拉力作用时，外力做的虚功增量为
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>T</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为准确描述管道截面的位移变化，采用三角级数来近似表示，设定管道的环向、径向位移和沿壁厚的剪应变均为θ的函数，用以下级数展开式表示
<mrow> <mi>w</mi> <mo>&amp;cong;</mo> <msub> <mi>Ra</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>v</mi> <mo>&amp;cong;</mo> <mi>R</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>&amp;cong;</mo> <mi>R</mi> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
6.如权利要求5所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，玻璃纤维增强柔性软管数值求解方法为,将位移函数带入应变表达式并根据材料本构关系，可以得出应变增量、应力增量，并带入增量形式的平衡方程，得到任意荷载步下6N个关于的在纯弯曲时的非线性代数方程，本文采用Newton-Raphson方法求解，具体过程如下：
(1)确定管道的包括初始几何缺陷的几何尺寸、材料参数、截面单元划分、荷载步与荷载步增量，位移函数展开项数N；在计算中，采用高斯积分的数值方法，对管道截面进行单元划分，将截面沿环向和径向分布划分；沿壁厚方向将截面划分为13个单元，其中内层3个单元，加强层6个单元，外层4个单元，沿环向将截面划分为30个单元；
(2)估计位移函数中6N个未知量的初值：对于第一次计算过程各数值不做改变，之后的荷载步采用上一次荷载步的数值作为计算的初值；
(3)根据由式(5-2)至式(5-6)计算出各积分点应变增量
(4)根据各层材料的本构关系，求得各积分点的应力增量
(5)求解虚功方程：当获得各积分点的应力后，全截面的积分即可通过数值方法求得，由式(5-1)可以得出6N个非线性方程，采用Newton-Raphson方法迭代求解出未知量，通过收敛测试判断当前荷载步是否达到收敛；
一旦满足收敛条件，判断当前荷载步计算完成，并更新各参数值，同时求得当前荷载步所对应的弯矩：
<mrow> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>f</mi> </munder> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>1</mn> <mi>f</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>t</mi> <mn>2</mn> <mi>f</mi> </msubsup> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
且当σe≥σemax时，加载；当σe<σemax，卸载。
7.如权利要求2所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，所述抗外压性能的检验步骤包括：
根据平截面假定，截面上任意一点的轴向应变可以表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>&amp;zeta;</mi> <mi>&amp;kappa;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，为弯曲中性面处的轴向应变，ζ为变形后截面上任意点到弯曲中性面的距离，由式(7-2)计算得到
ζ＝(R+w)cosθ-vsinθ+zcosθ. (7-2)
环向应变表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>w</mi> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>w</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;kappa;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>w</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设定沿壁厚方向的剪应变为一阶线性，表示为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
虚功方程：为了得到外压载荷作用下玻纤增强柔性管的屈曲特性，基于非线性屈曲理论和虚功原理建立平衡状态方程(7-6)，式(7-3)作为方程组的附加方程，联立可以得到各个给定体积值下管道的外压值，以及相应状态时截面各点的位移、应力和应变，
<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>l</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>&amp;theta;</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>=</mo> <mi>&amp;delta;</mi> <msub> <mover> <mi>W</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>e</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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数值计算：基于非线性屈曲理论和虚功方程，推导外压载荷下玻纤增强柔性管运动方程的求解办法，利用Newton-Raphson迭代求解。
8.如权利要求2所述的一种热塑性玻纤增强柔性管的设计方法，其特征在于，所述抗拉伸性能的检验步骤包括：
管变形：在光缆拉扭理论中，对绳结构变形前后的几何关系的描述，即玻璃纤维增强管的轴向变形表示为
<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Δu＝u1-u2 (8-2)
式(8-2)中，u1，u2分别代表管道两端的轴向位移；L代表管道的总长度；
若不考虑弯曲、压缩和扭转应变，在只考虑拉伸应变的情况下，轴向拉伸应变由式(8-3)表示
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mi>q</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>cos</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>sin</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>R</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8-3)和式(8-5)中：αi和αi'代表绳结构变形前后的缠绕角度，Ri和Ri'代表绳结构变形前后的螺距半径，所以βi能够反映螺距半径的变化；
截面变形：在拉伸荷载作用下，随着拉伸位移的增加，截面会不断收缩，玻纤螺旋绳结构会对管道截面产生径向挤压应力，设定P1和P2为内外玻璃纤维加强层中绳结构对管道截面产生的压力，则根据平衡关系及边界条件可以求出压强值为：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;pi;R</mi> <mn>1</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>nN</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>tan&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>nN</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>tan&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;pi;R</mi> <mn>2</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>nN</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>tan&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>nN</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>tan&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>sin&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8-6)、式(8-7)中，N1＝E1ε1A1，N2＝E2ε2A2；
其中，N1和N2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的轴拉力，E1和E2分别代表玻璃纤维绳和HDPE绳的在弹性阶段的弹性模量，ε1和ε2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的轴向应变，A1和A2分别代表每根玻璃纤维绳和HDPE绳的截面面积；
根据平面应变假设，即εz为常数，应用胡克定律和平衡方程，可以得到位移的微分方程为
<mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dr</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>u</mi> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解位移的微分方程，将不同位置的边界条件带入求得截面不同位置的径向位移如下：
在内层r＝R1处，
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在中间层r＝R1处，
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在中间层r＝R2处，
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>G</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在外层r＝R2处，
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由反力互等定理可知，式(8-9)与式(8-10)数值相等，同理式(8-11)与式(8-12)数值也相等，求得层间相互作用力σ1和σ2，进而可以求得径向变形β1和β2如下
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>G</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>G</mi> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mi>G</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> <mi>G</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
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平衡方程：根据最小势能原理，当体系达到平衡时，体系的的应变能和势能之和为零，表示为
δU+δV＝0 (8-13)
式(8-13)中，U代表系统的应变能，V代表系统的势能，对于三层管道结构，系统的应变能和势能表示为：
<mrow> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>&amp;delta;U</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;U</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;U</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;U</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
δV＝-Tδ(Δu) (8-15)
式(8-15)中，Ui代表每一根绳的应变能，角标ic、mc、oc分别代表从内到外三层HDPE的应变能，则对式(8-13)～(8-15)进行求解，可得到拉伸力T为
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>cos&amp;alpha;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>-</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(8-16)中，αi'代表轴向变形后绳缠绕角度；
在Knapp光缆拉扭理论的基础之上，推导适用于玻纤增强柔性管的求解办法，联立管变形、截面变形和平衡方程，利用Newton-Raphson迭代求解。
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