CN107696048A - 一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指及其感知方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于机器人智能感知领域，并公开了一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指及其感知方法。该机械手指包括指骨、柔性关节和拉绳，拉绳将指骨串联，柔性关节介于指骨之间，柔性关节中设置有应变片。本发明还公开了机械手指力位感知的方法，该方法包括：(a)初始条件的设定；(b)通过弹簧片的动力学方程求解弹簧片的应变分布；(c)利用应变分布求解手指的变形形状；(d)利用力矩平衡方程获得机械手指指尖的正接触力。通过本发明，机械手指制作简单，功能集成程度高，可靠性高，成本低，实现形状传感、触觉传感和力传感的功能。
Description
技术领域
本发明属于机器人智能感知领域，更具体地，涉及一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指及其感知方法。
背景技术
随着自动化程度和生活质量的不断提高，越来越多的机械手被应用于工业和军事的生产活动以及人类的生活服务中。机械手的需求不断增大，但是传统的刚性机械手却有着结构复杂、控制困难、自适应差等缺点，往往只能应用于特定的工况和环境。因此，与之相对的，柔性机构已经在精密制造、仿生机器人和医疗康复领域得到了广泛的应用，柔性机械手的研究和应用正在持续发热。柔性机械手具有重量轻、制作简单、高自适应性的特点，不需要特殊保护就能在恶劣环境中工作。但是由于柔性材料具有自由度高等特点，以及对柔性结构研究的不足，所以目前柔性机械手具有传感困难的特点，很难对柔性机械手进行精确的感知和控制。
现有技术中已经提出一些通过控制或柔性材料实现抓取柔顺性的机械手。CN106903682公开了一种末端轨迹可控的模块化欠驱动手指，包括动力驱动部分和关节部分，通过锁紧机构、缆绳和回弹机构，提供对关节额外的约束，实现指尖的轨迹控制。然而，该机械手指的关节仍然是刚性铰接关节，不具备柔性关节先天的柔顺性的特点，且结构复杂，制作相对困难。此外，一些研究团队设计的柔性机械手，用一体成型制作，具有较好的柔顺性，但是未能准确建立柔性机械手的模型，不能很方便地得到柔性手指的形状信息和受力信息，因此未能很好地应用在仿人机械手上。
综上所述，由于柔性机械手传感和建模困难，导致现有柔性机械手的应用受到了一定的限制。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指及其感知方法，通过机械手指结构的设置，以及对其力位感知方法的设计，由此解决柔性机械手传感和建模困难的技术问题。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指，该机械手指包括指骨、柔性关节和拉绳，其特征在于，
所述指骨通过所述拉绳串联，相邻的指骨之间通过柔性关节连接，该柔性关节上设置有应变传感器，拉绳拉动所述指骨运动，从而带动所述柔性关节运动，然后通过所述应变传感器测量该柔性关节的应变，以此获得机械手指的形变；
其中，所述柔性关节包括弹簧片、应变片和保护橡胶，所述弹簧片用于反映所述柔性关节的状态，所述应变片设置在所述弹簧片上，所述保护橡胶用于隔离所述应变片和弹簧片与外界直接接触，此外，所述弹簧片的两端设置有定位孔，用于固定所述柔性关节的位置。
按照本发明的另一个方面，还提供了一种利用上述所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：
(a)初始状态设定，初始状态是指拉绳未施加作用力及机械手指未受外力的状态
(a1)在弹簧片上建立坐标系，该坐标系中X轴沿弹簧片中心轴方向，中心O是弹簧片的端点,Z轴垂直于弹簧片所在平面，记录应变片位置和拉绳作用点到弹簧片的距离，同时，将所述初始状态下应变片的应变值作为应变初始值；
(a2)给机械手指拉绳添加拉力使其变形，并在指尖施加正接触力作为接触阻力，选取距离机械手指指尖最近的柔性关节作为处理对象，并将该柔性关节上的每个应变片对应的测量点编号；
(b)求解弹簧片的应变分布
(b1)将弹簧片作为等截面悬臂梁构建动力学方程，利用该弹簧片的边界条件求解该动力学方程，获得弹簧片的不同位移模态；
(b2)根据位移模态、曲率和应变之间的关系，利用步骤(b1)中获得的位移模态计算获得弹簧片上不同测量点的曲率和应变模态；
(b3)采集每个测量点的应变值，建立弹簧片总应变与每个测量点应变值的关系，然后根据最小二乘法获得每个测量点应变叠加系数，将该应变叠加系数作为应变模态叠加系数，将步骤(b2)获得的不同测量点的应变模态分别与其相应的模态叠加系数相乘后求和，由此获得弹簧片的应变分布；
(c)根据应变和曲率的关系，由步骤(b3)获得的应变分布计算得到弹簧片的曲率分布，对该曲率分布积分获得弹簧片的变形形状，即柔性关节的变形形状；
(d)在每个测量点处构建力矩平衡方程，分别求解所述平衡方程得到不同测量点的指尖接触力，将所述不同测量点的指尖接触力取平均值即为待求解的指尖正接触力，其中，通过利用步骤(c)获得的柔性关节变形形状，由几何关系获得每个测量点的力矩，同时，利用步骤(b2)获得的不同测量点的曲率，然后由曲率和力矩的关系分别获得不同测量点的力矩。
进一步优选地，在步骤(b1)中，所述动力学方程优选采用下列表达式，
其中，EI是关节弹簧片的刚度，z(x,t)是弹簧片上横坐标为x的点在t时刻的纵向位移，ρ是弹簧片的线密度，x是横坐标，t是时间。
进一步优选地，在步骤(b1)中，所述边界条件是弹簧片起始端固定，末端自由，即：
z(0)＝z'(0)＝z”(l)＝z”'(l)＝0
其中，z(0)是起始端纵向位移，z(l)是末端纵向位移，l是弹簧片的长度。
进一步优选地，在步骤(b2)中，所述应变模态优选按照下列表达式进行，
其中，ε(x)是关于横坐标为x的应变模态，κ(x)是横坐标为x的弯曲曲率，h是柔性关节基底厚度。
进一步优选地，在步骤(c)中，所述弹簧片的变形形状优选采用下列表达式，
其中，θ(s)是关节弹簧片的转角，x(s)是弹簧片上点的横向坐标，z(s)是弹簧片上点的纵向坐标，θ0、x0、z0分别是弹簧片初始角度、初始横向坐标、初始纵向坐标，s是弹簧片的长度。
进一步优选地，在步骤(d)中，所述力矩方程优选采用下列表达式，
其中，i是测量点的编号，Fdi是在测量点i处的拉绳作用力，d2i是在测量点i处的拉绳作用力的力臂长度，FNi是在测量点i处的指尖接触力，d1i是在测量点i处的手指作用力的力臂长度。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：
1、本发明通过柔性材料沉积成型的方式制作嵌有力位传感器的柔性手指，制作时可以方便地调节手指关节的刚度，并能较好地保护关节传感器，使得柔性关节稳定可靠；
2、本发明通过将柔性关节和刚性指骨一体成型，省去了螺钉和装配结构，重量轻，制作简单，固定牢固可靠；
3、本发明通过采集若干点的应变并用模态叠加法得到关节形状，并通过在应变测量点建立力矩平衡方程求手指受力，可方便地得到机械手指的形状和受力信息，整个形状和力的测量过程仅需要采集若干点的应变信息，不需要外装传感器，成本简单。
附图说明
图1是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指的侧视图结构示意图；
图2是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指的立体图结构示意图；
图3是按照本发明的优选实施例所构建的柔性关节制作过程示意图；
图4是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指制作过程示意图；
图5是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指力位感知流程图。
在所有附图中，相同的附图标记用来表示相同的元件或结构，其中：
1-近掌端指骨 2-近掌端柔性关节 3-中指骨 4-远端柔性关节 5-远端指骨 6，7，8-应变片 9-拉绳 10-传感器基底弹簧片 11-成型磨具 12-沉积成型填充块 13-模具块14，16，18-指骨型腔 15，17-关节型腔 20-缆绳槽 19-导线出口 21-气孔 22-缆绳出口
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
图1是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指的侧视图结构示意图，图2是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指的立体图结构示意图，如图1和2所示，该柔性机械手指由左往右分别是近掌端指骨1、近掌端柔性关节2、中指骨3、远端柔性关节4、远端指骨5组成。在每个柔性关节中，内嵌着3个应变片传感器6、7、8，两个关节的应变片传感器通过导线传导出来，送到应变采集芯片进行处理。拉绳9连接着三个刚性指骨，驱动机构如电机等拉动缆绳输入拉力，拉动柔性关节产生变形，使得手指发生形变。本刚柔耦合机械手指结构简单，只需要内嵌的若干个应变片即可完成触觉、形状感知、力感知功能。不需要额外的弹簧或其他复位或锁紧机构即可完成柔性手指的功能。
图3是按照本发明的优选实施例所构建的柔性关节制作过程示意图，如图3所示，在实际应用中，关节需要和指节、手掌装配在一起，关节可能接触各种环境，这要求关节上有定位的结构和保护的结构。关节由三部分组成：传感器基底弹簧片10，应变片8和保护橡胶。传感器基底弹簧片为关节的敏感部件，使用弹簧片的状态表示关节的状态，通过测量重构弹簧片形状和边界条件来实现整个柔性关节的测量和重构。同时弹簧片上有定位孔10，可以保证装配后关节的位置进而确定其边界条件。关节上布置有三个应变片，用于测量弹簧片表面沿长度方向上的应变，根据选择的应变片尺寸较大，可以采用同一面布置三个应变或者正面一个、背面两个的方案。保护橡胶包裹弹簧片有效工作部分和应变片，宽度与弹簧片定位部分相同，其作用是保护应变片和基底弹簧片不直接与外部接触和增强关节的刚度。柔性关节加工采用的是形状沉积成型技术，首先切削加工好成型模具，然后将填充块和贴好应变片的弹簧片装配好放入模具的槽中，再灌入橡胶密封，最后等橡胶固化后就可以取出加工好的关节。第一步是采用激光切割得到设计形状的弹簧片，第二步粘贴应变片，涂保护硅胶，粘贴接线端子和导线。第三步装配填充块后将弹簧片放入成型模具，然后灌入橡胶。第四步取出成型完成后的关节。
在本实施例中，弹簧片采用的是65Mn弹簧钢，厚度为0.1mm的钢片激光切割而成；应变片选取的是箔式电阻应变片，BX120-5AA，敏感栅尺寸为3mm×3mm，基底尺寸为8mm×5mm，阻值为120Ω，粘接剂为502快干胶，完全固化时间为1min。应变片保护硅胶为702电子胶水，固化时间约4小时；成型模具11的材料为机加工蓝蜡，其具有润滑作用好，开模容易的特点；沉积成型填充块12为采用ABS树脂3D打印而成；保护橡胶由聚氨酯PU-8400调配而成，该树脂分A，B，C三种原液，按不同的配比可以得到不同硬度的橡胶，在关节的加工中采用了两种配比(A:B:C)分别是100:100:75和100:100:100，分别用于手指的远端关节和近端关节，这种橡胶混合后的完全固化时间约为三个小时。
图4是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指制作过程示意图，如图4所示，本优选实施例的刚柔耦合手指采用一体成型技术制作完成。一体成型的机械手指，可以免除额外的固定结构，重量轻，制作简单，且稳定性好。刚柔耦合机械手指制作的第一步，先要制作机械手指的模具。模具可以用3D打印或者机加工的方式制作，主要包括模具块13，三个指骨型腔14、16和18，两个关节型腔15、17，缆绳槽20，导线出口19，气孔21以及缆绳出口22组成。第二步将柔性关节和缆绳放置模具中，将配备好的聚氨酯树脂PU-8017溶液倒入到模具中，等树脂固化后就可以取出加工好的刚柔耦合机械手指。
在本实施例中，模具采用的是机加工蓝蜡，并用数控铣床加工模具槽制作而成。制备指骨用的是聚氨酯树脂PU-8017，该树脂由A、B两种原液组成，按1:1的体积进行配比，溶液混合后90秒内需完成搅拌-注入-密封的过程，大约30～40分钟后即可完成成型，具有肖氏硬度70度。该聚氨酯树脂材料PU-8017不会损坏制备关节用的聚氨酯橡胶溶液PU-8400，且具有较好的粘附性。采用一体成型的刚柔耦合机械手指具有制作周期短，可靠性高，质量轻的优点。
当机械手指的末端指骨受到一个正接触力时，通过计算远端柔性关节上每个应变片对应的测量点的受力，即可获得机械手指的受力。结合图4说明本实施方式，本优选实施例的刚柔耦合手指采用模态叠加和力矩平衡分析的方法，进行形状重构和力测量。传统传感器和测量方法无法方便地获得柔性关节的形状信息，在本发明中，创新地将模态叠加法应用于柔性关节大变形，即应变的分布可以由应变模态叠加而来。首先测量若干点的应变信息，用最小二乘法求得模态叠加系数，然后用若干阶应变模态叠加得到整个关节的应变分布；根据应变和曲率的关系，可以由应变分布得到曲率的分布；最后，由曲率积分即可得到关节变形后的形状。
图5是按照本发明的优选实施例所构建的机械手指力位感知流程图，如图5所示，手指的受力通过柔性关节的弹簧片上的受力反映，故需要计算每个关节上每个应变片对应的测量点的受力，下面将针对一个关节介绍该关节上整个过程分为以下4个步骤：
(a)在本实施例中，有三个应变片，每个应变片对应一个测量点，故测量点为三个，建立坐标系，弹簧片的轴向为X轴，有效长度的端点为中心O点，Z轴垂直于弹簧片所在平面，首先测量三个应变片在弹簧片上的X轴坐标分别为(d1,d2,d3)、拉绳作用点到弹簧片的距离dL等尺寸信息。此外，记录关节自然舒展状态下的应变值(εs1,εs2,εs3)，作为应变的零偏自然舒展状态是在机械手指不受外力，且拉绳上不施加力的状态。
(b)构建弹簧片的动力学方程，并利用边界条件求解该方程，由此获得关节不同的振动模态；接着根据振动模态和应变之间的关系，求解弹簧片的应变模态；再利用模态叠加法重构不同模态的权重系数，由此获得关节的应变分布；最后根据应变分布得到弹簧片的曲率分布。
(b1)首先，将关节弹簧片看成是等截面悬臂梁，其动力学方程为：
其中，EI表示关节弹簧片的刚度，z(x,t)表示弹簧片上初始位置为x的点在t时刻的纵向位移，ρ表示弹簧片的线密度。
令：
其中，ω是振动频率。因为该系统具有与时间无关的确定的振型，所以可以对动力学方程(1)进行分离变量后求解，可得通解的形式为：
z(x)＝C1coshλx+C2sinhλx+C3cosλx+C4sinλx (2)
根据手指的受力情况，可以将手指关节等效成悬臂梁，因此长度为l的关节边界条件为起始端固定，末端自由，即：
z(0)＝z'(0)＝z”(l)＝z”'(l)＝0 (3)
将边界条件代入通解中，可以得到关系(4)：
矩阵左边的行列式必须为0，化简后可以得到下述关系：
cosλl·coshλl＝-1
上式有无穷个解，将λl回代到(4)中，可以得到以下关系：
不同的λl对应的z(x)即为关节的不同振动模态。
(b2)在本实施例中，柔性关节的传感基底采用的是65Mn弹簧钢，其弹性模量E＝207GPa，长度l＝15mm，界面尺寸是b×h＝8mm×0.1mm，其中b表示关节基底宽度，h表示关节基底厚度，密度线密度根据这些参数和λl的值可以计算出柔性关节前三阶振型，其前三阶的振动频率分别为328.7Hz，2059.8Hz，5765.4Hz。
用κ表示关节中性层弯曲曲率，曲率可由下式计算：
此外，由于柔性关节基底上表面的应变和曲率存在以下关系：
因此可以由关节的形状模态得到应变模态。
(b3)得到关节的应变模态后，可以由应变模态叠加得到整个关节的应变分布：
其中ε(x)为变形后的应变函数，εi(x)为第i阶模态的应变分布函数，qi为第i阶应变模态线性叠加系数，n为应变测量点的个数，本发明中，有3个应变片，故测量点为3。
(b4)采集若干点的应变，根据最小二乘法求得模态叠加系数，即可由应变模态叠加得到关节的应变分布。
由上式方程组很容易得出叠加系数q0,q1,q2，因此关节弹簧片的应变分布为：
ε(x)＝q0ε0(x)+q1ε1(x)+q2ε2(x)
(c)将上述获得的应变分布按照曲率和应变的关系计算，获得柔性关节的曲率分布，然后对曲率进行积分，得到柔性关节的变形情况，从而得到整个机械手的形状。
(c1)曲率和应变的关系为：
(c2)通过步骤2中的应变分布和上述关系式可以得到曲率分布，对曲率用下式进行积分，可以得到关节的变形形状：
其中，θ为挠角，θ0,x0,z0为初始的角度和位置信息。
(d)根据上述获得的曲率分布，利用力矩和曲率之间的关系计算获得关节的力矩；对应变测量点做力矩平衡方程，求解该方程该测量点受力情况；由于关节力矩与曲率是一个线性的关系：
力矩平衡方程表示如下：
Fdi·d2i-FNi·d1i＝Mi
其中，i表示应变测量点的编号，Fdi在测量点i处的拉绳作用力，通过测力仪可直接测量可获得；d2i是在测量点i处的拉绳作用力的力臂长度，FNi是在测量点i处的指尖接触力，该FNi并不意味着指尖正接触力的作用点在该测量点i处，只是在该测量点i处求解得到的指尖接触力，FN是机械手指的指尖正接触力；d1i是在测量点i处的手指作用力的力臂长度，已知关节的形状和机械手指的尺寸，根据几何关系计算求得d1i和d2i，因此平衡方程中只有FN这个未知量，故可由力矩平衡方程得到该测量点的受力。
重构得到的关节变形和受力情况，可以用来做机械手指的控制。综上可以看到，一体成型的柔性手指，具有制作简单，功能集成程度高，可靠性高等优点，传感器只需要6个应变片，成本低，却实现了形状传感、触觉传感和力传感的功能。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (7)
1.一种具有力位传感的刚柔耦合机械手指，该机械手指包括指骨、柔性关节和拉绳，其特征在于，
所述指骨通过所述拉绳串联，相邻的指骨之间通过柔性关节连接，该柔性关节上设置有应变传感器，拉绳拉动所述指骨运动，从而带动所述柔性关节运动，然后通过所述应变传感器测量该柔性关节的应变，以此获得机械手指的形变；
其中，所述柔性关节包括弹簧片、应变片和保护橡胶，所述弹簧片用于反映所述柔性关节的状态，所述应变片设置在所述弹簧片上，所述保护橡胶用于隔离所述应变片和弹簧片与外界直接接触，此外，所述弹簧片的两端设置有定位孔，用于固定所述柔性关节的位置。
2.一种利用权利要求1所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：
(a)初始状态设定，初始状态是指拉绳未施加作用力及机械手指未受外力的状态
(a1)在弹簧片上建立坐标系，该坐标系中X轴沿弹簧片中心轴方向，中心O是弹簧片的端点,Z轴垂直于弹簧片所在平面，记录应变片位置和拉绳作用点到弹簧片的距离，同时，将所述初始状态下应变片的应变值作为应变初始值；
(a2)给机械手指拉绳添加拉力使其变形，并在指尖施加正接触力作为接触阻力，选取距离机械手指指尖最近的柔性关节作为处理对象，并将该柔性关节上的每个应变片对应的测量点编号；
(b)求解弹簧片的应变分布
(b1)将弹簧片作为等截面悬臂梁构建动力学方程，利用该弹簧片的边界条件求解该动力学方程，获得弹簧片的不同位移模态；
(b2)根据位移模态、曲率和应变之间的关系，利用步骤(b1)中获得的位移模态计算获得弹簧片上不同测量点的曲率和应变模态；
(b3)采集每个测量点的应变值，建立弹簧片总应变与每个测量点应变值的关系，然后根据最小二乘法获得每个测量点应变叠加系数，将该应变叠加系数作为应变模态叠加系数，将步骤(b2)获得的不同测量点的应变模态分别与其相应的模态叠加系数相乘后求和，由此获得弹簧片的应变分布；
(c)根据应变和曲率的关系，由步骤(b3)获得的应变分布计算得到弹簧片的曲率分布，对该曲率分布积分获得弹簧片的变形形状，即柔性关节的变形形状；
(d)在每个测量点处构建力矩平衡方程，分别求解所述平衡方程得到不同测量点的指尖接触力，将所述不同测量点的指尖接触力取平均值即为待求解的指尖正接触力，其中，通过利用步骤(c)获得的柔性关节变形形状，由几何关系获得每个测量点的力矩，同时，利用步骤(b2)获得的不同测量点的曲率，然后由曲率和力矩的关系分别获得不同测量点的力矩。
3.如权利要求2所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，在步骤(b1)中，所述动力学方程优选采用下列表达式，
<mrow>
<mi>E</mi>
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<mfrac>
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<msup>
<mi>t</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
其中，EI是关节弹簧片的刚度，z(x,t)是弹簧片上横坐标为x的点在t时刻的纵向位移，ρ是弹簧片的线密度，x是横坐标，t是时间。
4.如权利要求2或3所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，在步骤(b1)中，所述边界条件是弹簧片起始端固定，末端自由，即：
z(0)＝z'(0)＝z”(l)＝z”'(l)＝0
其中，z(0)是起始端纵向位移，z(l)是末端纵向位移，l是弹簧片的长度。
5.如权利要求2-4任一项所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，在步骤(b2)中，所述应变模态优选按照下列表达式进行，
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
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<mo>=</mo>
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<mfrac>
<mn>3</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</msup>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，ε(x)是关于横坐标为x的应变模态，κ(x)是横坐标为x的弯曲曲率，h是柔性关节基底厚度。
6.如权利要求2-5任一项所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，在步骤(c)中，所述弹簧片的变形形状优选采用下列表达式，
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
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<mo>=</mo>
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>,</mo>
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<mo>&Element;</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>0</mn>
<mo>,</mo>
<mi>l</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，θ(s)是关节弹簧片的转角，x(s)是弹簧片上点的横向坐标，z(s)是弹簧片上点的纵向坐标，θ0、x0、z0分别是弹簧片初始角度、初始横向坐标、初始纵向坐标，s是弹簧片的长度。
7.如权利要求2-6任一项所述的机械手指进行力位感知的方法，其特征在于，在步骤(d)中，所述力矩方程优选采用下列表达式，
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>i</mi>
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<mi>M</mi>
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<mo>=</mo>
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<mo>&CenterDot;</mo>
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<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，i是测量点的编号，Fdi是在测量点i处的拉绳作用力，d2i是在测量点i处的拉绳作用力的力臂长度，FNi是在测量点i处的指尖接触力，d1i是在测量点i处的手指作用力的力臂长度。
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