CN107632961A - 基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法及估计器 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法及估计器，方法包括以下步骤：1)对输入信号进行全相位FFT谱分析处理，搜索峰值谱位置；2)计算峰值谱两侧频点的全相位DTFT幅值、并进行内插迭代，获取频率估计结果；3)判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件；4)若不满足，计算频偏，调整峰值谱位置，重复步骤2)～3)；若满足，则结束迭代输出频率估计结果。估计器包括：对模拟的输入信号进行采样，把采样后的数字信号进行分段，把各段数据以及滤波器系数存入外部RAM中；DSP对上述输入数据进行全相位FFT、全相位DTFT、以及内插迭代处理，对频率进行估计，最后借助输出驱动及其显示模块显示出频率值。
Description
技术领域
本发明涉及多频信号频谱分析、频谱校正以及数字信号参数恢复领域，尤其涉及一种 基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法及估计器。
背景技术
频率估计的应用非常广泛(如多普勒效应检测[1]，振动学中的转速测量[2]都可转化为频 率估计问题)。相比于基于子空间分解(如多重信号分类法[3]、旋转不变参数估计法[4]等)的 频率估计算法，FFT(Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换)因其具有运算效率高的优势， 因而基于FFT的频率估计器一直是学术研究的热点问题。
文献[5]指出：给定有限长样本，最大似然意义上的频率估计值位于该序列的DTFT(Discrete Time Fourier Transform，离散时间傅里叶变换)的峰值位置，但是DTFT的理 想谱峰需要对频率做高分辨率扫描才可搜索得到，显然频率扫描会增加估计器的计算复杂 度。为降低复杂度，通常的做法是对序列做FFT(而不是DTFT)，进一步对FFT峰值谱附近 的谱线采取内插、迭代等措施，对FFT谱峰附近的谱值做进一步修正和细化来提升频率估 计精度。从而不同的内插算法就可以产生不同的频率估计器(如Quinn估计器[6]、能量重心 估计器[7]、Macleod估计器[8]、Jacobsen估计器[9]、Candan估计器[10]、相位差估计器[11-14]、 比值估计器[15]、AM谱估计器[16]、细化谱估计器[17]、Tsui估计器[18]等)。
需指出，对于单频信号的基于FFT的频率估计器，经过文献[6-18]的不断改进完善， 其精度几乎不存在可提升的空间(如文献[16]提出的AM估计器的频率估计方差仅为克拉美 -罗限(CRB)[19]的1.0147倍，而文献[18]提出的Tsui估计器的频率估计方差几乎逼近CRB。 但是当对多频信号做FFT谱分析时，由于FFT固有的谱泄漏，在各频率成分之间会严重的 谱间干扰，导致文献[6-18]的估计器精度大幅度降低。
发明内容
本发明提供了一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法及估计器，本发明 利用全相位谱分析抑制信号频谱泄漏，且估计出峰值谱附近频偏，实现多频信号的频率估 计；利用迭代措施提高频率估计的精度，详见下文描述：
一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，所述频率估计方法包括以下步 骤：
1)对输入信号进行全相位FFT谱分析处理，搜索峰值谱位置；
2)计算峰值谱两侧频点的全相位DTFT幅值、并进行内插迭代，获取频率估计结果；
3)判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件；
4)若不满足，计算频偏，调整峰值谱位置，重复步骤2)～3)；若满足，则结束迭代输出频率估计结果。
进一步地，所述频率估计结果具体为：
其中，为频率估计值；kc为频谱峰值位置；Δω为频率分辨率。
其中，所述判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件具体为：
其中，ωL和ωR分别为左右2个对称频点；Y(jωL)和Y(jωR)分别为左右2个对称频点 对应的全相位离散时间傅里叶变换值；ε为阈值；δ∈[-0.5,0.5)。
进一步地，所述频偏估计值为：
进一步地，所述调整峰值谱位置为：
其中，kc为全相位离散谱峰位置。
一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法的估计器，所述估计器包括：
对模拟的输入信号进行采样，把采样后的数字信号进行分段，把各段数据以及滤波器 系数存入外部RAM中，再将它们实时输入到DSP中；
DSP对上述输入数据进行全相位FFT、全相位DTFT、以及内插迭代处理，对频率进行估计，最后借助输出驱动显示及其显示模块显示出频率值。
本发明提出的基于全相位谱分析的多频内插迭代估计方法及估计器，若用于频率估计 及实际工程领域，可产生如下有益效果：
第一、引入全相位FFT谱分析方法，减少频谱泄漏。
本发明引入全相位FFT谱分析方法替代传统的FFT谱分析方法。由上文分析可知，全 相位FFT的谱幅值为传统FFT谱幅值的平方。因此全相位FFT的旁谱线相对于峰值谱线会出现大幅度的衰减，使得频谱泄漏减少。在多频信号估计中，低泄漏的谱分析方法可显著减少信号各成分之间的干扰，进而提高估计精度。
第二、利用全相位DTFT幅度内插推导频偏表达式。
本发明通过计算全相位FFT峰值谱左、右两侧相距0.5Δω处频点的全相位DTFT谱幅 值，并利用这两个值推导频偏的表达式。该计算过程仅利用全相位FFT的峰值谱和两个全 相位DTFT幅值，相比利用FFT峰值谱和次高谱线计算频偏的方法，引入的噪声相对较小，可以提高频偏估计值的精度。
第三、引入迭代的方法，提高估计精度。
为了进一步提高估计精度，本发明还引入了迭代的方法。根据真实峰值谱两侧谱线幅 度相等的原则，迭代是通过不断修正峰值谱位置的估计值，使两侧的全相位DTFT谱幅值 近似相等，从而获得接近真实峰值谱的估计值。
第四、仿真实验表明：给定同样数目的观测样本，本发明的估计器比Tsui估计器具有 更高的估计精度。由于工程应用中的多频信号情况比单频信号更为广泛，故本发明的估计 器具有较高的应用价值。
附图说明
图1为apFFT谱分析简化流程(N＝4)图；
图2为apDTFT谱分析的简化流程图；
图3为单频迭代估计流程图；
图4为信号apFFT与apDTFT示意图；
图5为apFFT、apDTFT谱图与FFT、DTFT谱图对比示意图；
图6为复合信号中的两个单频成分的RMSE(均方根误差)曲线(ω1＝5.25Δω, ω2＝9.15Δω)示意图；
图7为复合信号中的两个单频成分的RMSE曲线(ω1＝5.25Δω,ω2＝8.15Δω)示意图；
图8为复合信号中的两个单频成分的RMSE曲线(ω1＝5.25Δω,ω2＝7.15Δω)示意图；
图9为复合信号中的两个单频成分的RMSE曲线(ω1＝5.25Δω,ω2＝6.15Δω)示意图；
图10为本发明的硬件实施图；
图11为DSP内部算法流程图。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面对本发明实施方式作进一步地详 细描述。
因而，提升多频信号的频率估计精度的关键在于：选择比FFT具有更优良的抑制谱泄 漏性能的谱分析方法，基于此设计出具体的内插措施。
文献[20,21]指出，全相位FFT谱分析(all-phase FFT，apFFT)相比于传统FFT谱分析， 具有更优良的抑制谱泄漏性能，文献[22]还把离散的全相位FFT谱分析延伸到连续的全相 位DTFT谱分析(all-phase DTFT,apDTFT)领域，从而拓宽了其理论内涵。
故本发明实施例用全相位FFT替代传统FFT谱分析，通过挖掘信号的频偏值与峰值谱 附近apDTFT谱的内在联系，设计出一种新的迭代多频内插估计器。
实施例1
一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，参见图1-图3，该频率估计方 法包括以下步骤：
101：对输入信号进行全相位FFT谱分析处理，搜索峰值谱位置；
102：计算峰值谱两侧频点的全相位DTFT幅值、并进行内插迭代，获取频率估计结果；
103：判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件；
104：若不满足，计算频偏，调整峰值谱位置，重复步骤2)～3)；若满足，则结束迭代输出频率估计结果。
进一步地，步骤102中的频率估计结果具体为：
其中，为频率估计值；kc为频谱峰值位置；Δω为频率分辨率。
其中，步骤103中的判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件具 体为：
其中，ωL和ωR分别为左右2个对称频点；Y(jωL)和Y(jωR)分别为左右2个对称频点 对应的全相位离散时间傅里叶变换值；ε为阈值；δ∈[-0.5,0.5)。
进一步地，步骤104中的频偏估计值为：
进一步地，步骤104中的调整峰值谱位置为：
其中，kc为全相位离散谱峰位置。
综上所述，本发明实施例利用全相位谱分析抑制信号频谱泄漏，且估计出峰值谱附近 频偏，实现多频信号的频率估计；利用迭代措施提高频率估计的精度。
实施例2
下面结合附图、计算公式对实施例1中的方案进行进一步地介绍，详见下文描述：
一、全相位FFT谱分析
文献[23]提出的apFFT谱分析简化流程如图1所示：
图1的apFFT谱分析分为两个简单步骤：
步骤1：全相位数据处理，用长为2N-1的卷积窗wc(n)对输入数据x(n)加权，然后将间隔为N的数据两两叠加(中间元素除外)而形成N个数据y(0),y(1),...,y(N-1)；
步骤2：对y(0),y(1),...,y(N-1)做FFT即得全相位离散谱Y(k)。
图1中的卷积窗wc(n)是由长为N的窗f(n)和翻转的窗b(n)通过卷积得到，即
wc(n)＝f(n)*b(-n),n∈[-N+1,N-1] (1)
本发明实施例取f(n)＝b(n)＝RN，其中RN是长度为N的矩形窗。
令Δω＝2π/N，ω0＝βΔω＝(k*+δ)Δω，其中k*为apFFT变换后频谱峰值谱线位置； k*∈Z+,δ∈[-0.5,0.5)。文献[22]已证明，对于如下单频复指数信号：
其中，θ0为初相；A为幅值；x(n)为单频复指数信号。
其归一化的apFFT谱值为：
其中，Y(k)为信号x(n)的apFFT谱。
式(3)中的平方项保证了旁谱线Y(k),k≠k*,相对于峰值谱Y(k*)会出现大幅度衰减，从 而使得峰值谱更加突出，因而apFFT相比于传统FFT具有更优良的抑制谱泄漏特性[20,21]。
二、全相位DTFT谱分析
文献[22]提出全相位DTFT谱分析，其简化流程如图2所示。
图2的apDTFT输出为：
其中，ω为频率扫描变量。因而不同于离散的apFFT谱，apDTFT谱Y(jω)为连续谱。
文献[22]已证明，对于式中的单频复指数信号，其apDTFT谱的理论值Y(jω)为：
联立式(3)，式(5)，有：
Y(k)＝Y(jω)|ω＝kΔω,k＝0,...,N-1 (6)
因而apFFT谱Y(k)可看作是在ω∈[0,2π)内对apDTFT谱Y(jω)的等间隔离散采样结 果。两者都是全相位谱分析理论的重要组成部分[22]。
特别地，易证明在距离谱峰的两个对称频点ωL＝ω0-0.5Δω、ωR＝ω0+0.5Δω处的 apDTFT值同为：
其中，ωL和ωR分别为左右2个对称频点；Y(jωL)和Y(jωR)分别为左右2个对称频点 对应的apDTFT值。
三、全相位谱分析的迭代多频内插估计设计：
1、apDTFT峰值谱附近的频偏估计机理
由于apDTFT谱为连续谱，其理论谱峰位置ω0＝(k*+δ)Δω需要做高分辨率的频率扫 描才可精确得到。为避开频率扫描，不妨先搜索出其apFFT离散谱峰位置kc＝k*(对应于初 始频率估计)，再通过递归迭代，使得更新后的ωc逐步逼近期望的谱峰位置ω0＝(k*+δ)Δω。为设计出合理的递归迭代算法，需要研究ω0附近的apDTFT谱Y(jωc)与频偏值δ的内在关系。
为估计频偏值δ，不妨在距离apFFT谱峰的左、右两侧的0.5Δω分别取如下两个频点：
ωL＝kLΔω＝(kc-0.5)Δω (8)
ωR＝kRΔω＝(kc+0.5)Δω (9)
把式(8)和式(9)代入式(5)，可推导出这两个频点处的apDTFT谱幅值分别为：
联立式(10)和式(11)可得左谱线与右谱线幅值之比为：
因为δ∈[-0.5,0.5)，则式(12)等号右边去掉绝对值符号后可表示为：
当N足够大，根据无穷小关系：sin[(δ-0.5)π/N]～(δ-0.5)π/N，sin[(δ+0.5)π/N]～(δ+0.5)π/N，则式(13)可近似表示为：
利用上式可解得频偏估计值：
2、迭代估计过程
将式(8)～式(15)涉及的操作以递推迭代的方式进行，即可导出如图3所示的信号迭代估 计流程，其最终输出频率估计值为
从图3可看出，只在初始化阶段做了1次apFFT谱分析，而且迭代过程中也只涉及两个特殊频点ωL、ωR的apDTFT值的更新，从而绕开了apDTFT连续谱的频率扫描过程， 故图3流程复杂度低。
3、迭代趋势分析
搜索出apFFT峰值谱位置后，在第1次迭代中，两个频点ωL、ωR上的apDTFT谱不 外乎两种情况：|Y(jωL)|≤|Y(jωR)|和|Y(jωR)|＜|Y(jωL)|，其分布分别如图4(a)、4(b)所示。
对于图4(a)情况，由于|Y(jωL)|＜|Y(jωR)|，故根据式(15)，可推知经过后，更新后谱峰位置必然往右移，从而更靠近理想谱峰处；相应地，更新后的两个对称频 点ωL、ωR所对应的apDTFT谱幅值|Y(jωL)|、|Y(jωR)|的差异必然减小，根据式(15)，则 第2次迭代的频偏更新量也会减小，这保证了迭代过程稳步地进行，最终收敛到理想谱峰 位置ω0。类似地，对于图4(b)情况，也可以得到估计器可稳定地收敛到理想谱峰位置ω0的 结论。
理想情况下，由式(7)可推知|Y(jωL)|＝|Y(jωR)|成立。故对于图3迭代流程，可采用两 者相对差异的比例作为迭代终止条件。经验表明，将阈值取为ε∈(0.004，0.3)，则只需2 次迭代，即可获得高精度频率估计。
4、多频成分的频率估计
如果输入信号x(n)包含M≥2个频率成分ω1,...,ωM，则其apFFT谱会相应出现M个谱峰(令其谱峰位置分别为)。则逐个将这些谱峰位置替代图3单频估计器初始化阶段中的k*值，则可依次输出M个频率估计值
需指出，与单频成分不同的是，对于多频成分的情况，其频率估计误差来源除了外加 噪声和估计器本身的系统误差(如式(14)中等价无穷小引入的误差)外，各频率成分的谱间干 扰也是误差源的主要方面。由于apFFT谱分析具有比传统FFT谱分析更优良的抑制谱泄漏 性能，故谱间干扰更小，因而其多频估计器精度高于文献[6-18]中的估计器。
综上所述，本发明实施例利用全相位谱分析抑制信号频谱泄漏，且估计出峰值谱附近 频偏，实现多频信号的频率估计；利用迭代措施提高频率估计的精度。
实施例3
下面结合具体的试验对实施例1和2中的方案进行可行性验证，详见下文描述：
实例1：令N＝64,M＝3,ω1＝7.1Δω,ω2＝9.35Δω,ω3＝12.2Δω,对信号
n＝-N+1,...,N-1，分别进行64阶apFFT谱分析、apDTFT 谱分析及其127点的FFT谱分析和DTFT谱分析，其谱图分别如图5(a)、5(b)所示。并且 分别用本发明实施例1和2提出的频率估计器和文献[18]的Tsui估计器(选该估计器的原因 是：其误差方差逼近CRB，几乎是精度最高的FFT频率估计器)分别进行频率估计，表1 给出了这两个频率估计器的相对误差，其算式为：
其中，ηi为频率估计值与实际值的相对误差；为频率估计值；ωi为频率实际值。
表1 两种估计器相对误差对比
从图5明显可看出，apFFT、apDTFT的谱泄漏远小于FFT、DTFT的谱泄漏(即除3 个主峰外，前者的带外起伏比后者小得多)，这意味着对于3个成分间的谱干扰，前者也比 后者小得多。从表1数据也可看出，本发明实施例设计的估计器相对误差也远小于Tsui估 计器情况。
实例2：调研含噪情况下，不同频率间距的各成分的谱间干扰对频率估计器的影响。 不妨令N＝64,M＝2,输入信号为其中ξ(n)为加性高斯复噪声。固定ω1＝5.25Δω，ω2分别取值为9.15Δω，8.15Δω，7.15Δω，6.15Δω。图6～图9给出不 同信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)条件下，本发明实施例设计的估计器、Tsui估计器的 均方根误差以及CRB的平方根曲线。
从图6～图9的RMSE曲线，可得出如下结论：
1)在低信噪比区域(SNR<10dB)，本发明实施例设计的估计器的SNR阈值普遍比Tsui 估计器低，这意味着其抗噪鲁棒性强于Tsui估计器。这是因为对于Tsui估计器，多频信号 较大的谱间干扰削弱了抵御强噪声的能力。
2)在中、高信噪比区域(SNR>10dB)，对于Tsui估计器，其RMSE呈现出平坦的形状，与CRB曲线偏离非常远，而本发明实施例设计的估计器仅在两频率成分间距较小时(即图8、图9的情况)，才会与CRB曲线产生较大的偏离。这说明，在中、高信噪比情况，影响 估计器精度的主导因素，既不是外加噪声，也不是系统误差，而是各成分间的干扰，而全 相位谱分析的谱间干扰远小于传统谱分析情况，故其RMSE曲线更贴近于理论下限。
3)当频率间距过小时(低于1Δω，即对应图9的情况)，两个估计器的RMSE都变得很 大，这是因为无论全相位谱，还是传统FFT谱，其各成分谱的主瓣都相互重叠了，故频率估计失效。
综上所述，本发明实施例利用全相位谱分析抑制信号频谱泄漏，且估计出峰值谱附近 频偏，实现多频信号的频率估计；利用迭代措施提高频率估计的精度。
实施例4
本发明实施例提供了一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计器，该估计器是 与实施例1和2中的方法部分所对应，参见图10和图11，该估计器包括：
在图10中，首先对模拟的输入信号进行采样，把采样后的数字信号进行分段，把各段数据以及滤波器系数存入外部RAM中，再将它们实时输入到DSP中，经过DSP内部核 心算法，对信号进行全相位FFT，全相位DTFT、内插迭代等处理，对信号频率进行估计， 最后借助输出驱动及其显示模块显示出频率值。
其中，图10的DSP(Digital Signal Processor，数字信号处理器)为核心器件，在频率重 构的过程中，完成如下主要功能：
1)调用内部核心算法，对输入信号进行全相位FFT谱分析处理，搜索峰值谱位置；
2)计算峰值谱两侧频点的全相位DTFT幅值、并进行内插迭代；
3)将频率估计结果实时输出至驱动和显示模块。
需指出，由于采用了数字化的估计方法，因而决定图10系统的复杂度、实时程度和稳定性的主要因素并不是图中硬件的外围连接，而是DSP内部程序存储器所存储的核心估计算法。
其中，DSP器件的内部算法流程如图11所示。
本发明实施例将所提出的实施例1和2中的核心算法植入DSP器件内，基于此完成高 精度、低复杂度、高效的频率估计。
图11流程分为如下几个步骤：
1)首先将采样后的信号进行全相位FFT谱分析；
2)然后，搜索峰值谱位置，取左、右两侧距离峰值谱Δω的频点，计算其全相位DTFT 谱值，存入内部的缓存中；
3)判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件；
4)若不满足，则根据式(15)计算频偏，调整峰值谱位置，重复步骤2)～4)；
5)若满足，则结束迭代，通过DSP的输出总线输出至外部显示驱动设备，将频率估计结果进行数码显示。
需指出，由于采用了DSP实现，使得整个频谱估计器设计变得更为灵活快捷。由于本 发明实施例提供的估计器在有外界干扰的低信噪比环境仍能高精度地做频率估计，故在多 频信号估计领域有望得到更广泛的应用。
参考文献
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本发明实施例对各器件的型号除做特殊说明的以外，其他器件的型号不做限制，只要 能完成上述功能的器件均可。
本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号 仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则 之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (6)
1.一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，其特征在于，所述频率估计方法包括以下步骤：
1)对输入信号进行全相位FFT谱分析处理，搜索峰值谱位置；
2)计算峰值谱两侧频点的全相位DTFT幅值、并进行内插迭代，获取频率估计结果；
3)判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件；
4)若不满足，计算频偏，调整峰值谱位置，重复步骤2)～3)；若满足，则结束迭代输出频率估计结果。
2.根据权利要求1所述的一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，其特征在于，所述频率估计结果具体为：
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>k</mi>
<mi>c</mi>
</msub>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>&omega;</mi>
</mrow>
其中，为频率估计值；kc为频谱峰值位置；Δω为频率分辨率。
3.根据权利要求1所述的一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，其特征在于，所述判断两个全相位DTFT谱值的相对差异是否满足迭代终止条件具体为：
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>Y</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>j&omega;</mi>
<mi>L</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mo>-</mo>
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</mrow>
</mfrac>
</mrow>
其中，ωL和ωR分别为左右2个对称频点；Y(jωL)和Y(jωR)分别为左右2个对称频点对应的全相位离散时间傅里叶变换值；ε为阈值；δ∈[-0.5,0.5)。
4.根据权利要求3所述的一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，其特征在于，所述频偏估计值为：
<mrow>
<mover>
<mi>&delta;</mi>
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</mover>
<mo>=</mo>
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5.根据权利要求4所述的一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法，其特征在于，所述调整峰值谱位置为：
<mrow>
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<mi>k</mi>
<mi>c</mi>
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<mo>^</mo>
</mover>
</mrow>
其中，kc为全相位离散谱峰位置。
6.一种用于权利要求1-5中任一权利要求所述的一种基于全相位谱分析的多频内插迭代频率估计方法的估计器，其特征在于，所述估计器包括：
对模拟的输入信号进行采样，把采样后的数字信号进行分段，把各段数据以及滤波器系数存入外部RAM中，再将它们实时输入到DSP中；
DSP对上述输入数据进行全相位FFT、全相位DTFT、以及内插迭代处理，对频率进行估计，最后借助输出驱动显示及其显示模块显示出频率值。
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