CN107608210A - 输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及输入饱和的航天器姿态终端滑模控制方法，属于航天器姿态调整技术领域，本发明为航天器设计了两个无退绕鲁棒有限时间控制方法，一是补偿已知有界法；二是双曲线正切函数和辅助系统控制法。补偿已知有界法可以补偿已知有界的外部干扰；而通过采用双曲线正切函数和辅助系统控制法，可以处理外部干扰和输入饱和问题。利用李雅普诺夫定理，证明整个闭环系统的有限时间稳定性和渐近稳定性。仿真结果表明，控制器可以使航天器在限的时间内跟踪一个时变的参考姿态信号。

Description

输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法

技术领域

本发明属于航天器姿态调整技术领域，具体的说，涉及输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法。

背景技术

航天器的姿态控制被广泛应用于空间任务中，如地球观测和交会对接领域，越来越多的专家学者对航天器的姿态控制表现出浓厚的兴趣。

Wen和Kreutz-Delgado提出了一种基于四元素分析刚体姿态跟踪控制问题的通用框架。

由于单位四元素描述姿态的不唯一性，导致系统退绕，最终导致额外的燃料消耗。当闭环系统接近期望的姿态平衡状态时，退绕使航天器额外飞行很长一段距离，然后才返回到期望姿态。

现有的控制方法是渐近稳定性和指数稳定性的，状态误差收敛到平衡时间接近无穷大。显然，在一些实时性要求高的任务中，无穷大的稳定时间标准是不可取的。

因此，能够提供更快收敛速度和更好控制性能的有限时间控制器得到了广泛的关注。Wu(2012)针对挠性航天器姿态机动存在惯性不确定性和外部干扰问题，采用TSM控制方法设计了鲁棒有限时间控制器。然而，传统的TSM控制器有两个缺点：一是当系统远离平衡状态时，TSM控制器比传统的线性超平面的滑模控制收敛速度慢；另外就是奇异问题，奇异往往造成控制输入无穷大。

虽然许多有限时间控制器针对外部干扰和不确定的惯性参数问题已经有了很大改进，但其中大部分控制器只使系统稳定到一个包含原点的小区域，且不能保证系统的渐近稳定性。

此外，在航天器控制系统的实际应用中，执行器输出幅值大小约束是一个非常重要且不可避免的问题。实际航天器的执行器都有输入幅值限制，如果不考虑控制器的输入饱和问题，会导致整个控制系统的控制性能下降，甚至导致整个系统不稳定。

因此，有必要提出一种新的控制方法，使其能够克服执行器饱和情况下的无退绕有限时间控制和有限时间稳定问题。

发明内容

为了克服背景技术中的问题，本发明提出输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法，其能通过补偿已知有界的控制器，能够鲁棒性的控制已知界限的时变外部干扰，实现在有限时间内能够收敛到零；设计双曲线正切函数和辅助系统的控制器，处理外部干扰的输入饱和问题。

输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法，其包括两种控制方法：

(1).补偿已知有界控制法；

(2).双曲线正切函数和辅助系统控制法；

其中，补偿已知有界控制法包括以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(1)-(3)所示：

ω∈R^3×1为航天器在本体坐标系中的角速度，R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵；

步骤2.考虑外部干扰姿态误差：

利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差，可以得到姿态误差的相对微分方程公式(4)-(6)

和分别表示旋转矩阵误差和角速度误差，其中，R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1表示参考坐标系中的参考姿态和参考角速度。

由于误差是一个矩阵，并不能直接用来设计控制器。构造了一个新的姿态误差函数

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(7)-(8)定义；

采用姿态误差公式(7)-(8)可以重新表示为公式(9)-(11)的形式，

其中，符号^∨表示将斜对称矩阵转移为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中，a∈R^3×1是一个向量，A是一个斜对称矩阵；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

并在集合中设计有限时间控制器，其中姿态误差向量和E采用Lee文献中的方法进行定义；

步骤3.为克服航天器外部干扰和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制：

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中，且E为可逆矩阵(Lee 2012)；

引理2：考虑系统(Hu 2014)

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (12)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(12)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(12)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定；

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(12)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果；

步骤4.进行有限时间设计：

假设1：假定d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

基于TSM方法，采用有限时间控制的思想设计一个航天器鲁棒控制器，快速终端滑动表面如公式(13)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数(Guo et al.2014)；

r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (17)

得如公式(15)所示航天器基于终端滑模控制所设计的有限时间收敛控制率，其中k₁,k₂,k₃和均为正常数；另外，k₁和k₃分别满足k₁-ρ＞0，k₃-ρ₁＞0,其中，ρ为正常数，ι_max为||EJ^-1d||的最大值；

对具有鲁棒性的有限时间稳定设计证明；

定理1：考虑满足步骤4中假设1条件且由公式(9)-(11)定义的航天器，如果按照公式(18)设计控制率，则有如下结论：

(i)吸引区域如公式(19)所示，其中*(0)是*的初始值；

(ii)S,和分别在有限时间内收敛到0；

证明：考虑设计公式(20)所示李雅普诺夫函数

沿系统(9)-(11)对所设计的李雅普诺夫函数(20)求导可得：

为了保证姿态误差向量在集合Υ中，设计函数必须满足公式(22)

那么，我们就得到了公式(19)，则(i)证明完毕；

从t₀到t对进行积分，可得：

解不等式(23)，得正定变量V₁满足

其中，

由于V₁(t)＝0，当t≥t^*时，滑模面S和收敛到0，从公式(13)可得，在有限时间内收敛到0；

则(ii)证明完毕，定理1证明完毕；

步骤6.将步骤5中的公式(18)的设计航天器控制器，用于补偿已知有界的外部干扰，解决外部扰动和输入饱和。

(2).双曲线正切函数和辅助系统控制法

其包括，以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(23)-(25)所示：

ω∈R^3×1为航天器在本体坐标系中的角速度，R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵；

步骤2.引入外部干扰姿态误差：

利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差，可以得到姿态误差的相对微分方程公式(26)-(28)

和分别表示旋转矩阵误差和角速度误差，其中，R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1表示参考坐标系中的参考姿态和参考角速度。

由于误差是一个矩阵，并不能直接用来设计控制器。构造了一个新的姿态误差函数；

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(29)-(30)定义；

采用姿态误差公式(29)-(30)可以重新表示为公式(31)-(32)的形式，

其中，符号^∨表示将斜对称矩阵转移为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中，a∈R^3×1是一个向量，A是一个斜对称矩阵；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

并在集合中设计有限时间控制器，其中姿态误差向量和E采用Lee文献中的方法进行定义；

步骤3.为克服航天器外部干扰和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制：

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中，且E为可逆矩阵(Lee 2012)；

引理2：考虑系统(Hu 2014)

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (34)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(34)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(34)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定；

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(34)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果；

步骤4.为克服执行器饱和输入的问题，引入双曲线正切函数和辅助系统控制

假设1：假定d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

基于TSM方法，采用有限时间控制的思想设计一个航天器鲁棒控制器，快速终端滑动表面如公式(35)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数(Guo et al.2014)；

r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (39)

利用双曲线正切函数和辅助系统控制法，由公式(40)-(42)给出了航天器在输入饱和情况下的控制律，k₁,k₂,k₃,k₄,ε₁和ε₂均为正常值，且k₅＞||EJ^-1d||；

u＝-k₁tanh(ε₁ζ)-k₂tanh(ε₂S) (40)

η＝S-ζ (41)

定理2：考虑满足假设1条件下且由公式(31)-(33)定义的航天器，按照公式(40)-(42)设计控制率，则可有如下结论：

(i)吸引域如公式(43)所示

(ii)S,和分别在有限时间内收敛到0

证明：设计如公式(44)所示李雅普诺夫函数

沿系统(31)-(33)对所设计的李雅普诺夫函数(45)求导可得：

为了保证姿态误差向量在集合Υ中，设计函数同时满足公式(46)；

由公式(46)可得公式(43)：

则(i)证明完毕：

从t₀到t对积分，可得

解不等式(47)可得：

其中，

由于V₂(t)＝0,当t≥t^*时，滑模面S和收敛到0；从公式可得，在有限时间内收敛到0：

则(ii)得证，定理2证明完毕，

步骤5.将步骤4中的公式(40)-(42)设计航天器控制器，以解决外部扰动和输入饱和问题。

本发明的有益效果：

本发明为航天器设计了两个无退绕鲁棒有限时间控制器，第一个为补偿已知有界控制法，对已知界限时变外部干扰具有鲁棒性，实现在有限时间内收敛到零；而通过采用双曲线正切函数和辅助系统控制法，可以处理外部干扰的输入饱和问题。

附图说明

图1为本发明的仿真示意图Ⅰ；

图2为本发明的仿真示意图Ⅰ；

图3位本发明的仿真示意图Ⅰ；

图4控制力矩结构示意图；

图5为本发明的仿真示意图Ⅱ；

图6为本发明的仿真示意图Ⅱ；

图7位本发明的仿真示意图Ⅱ；

图8控制力矩结构示意图

图9为ζ的仿真示意图；

图10为S的仿真曲线示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚、明白，下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的说明，以方便技术人员理解。

输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法，其包括两种控制方法：

(1).补偿已知有界控制法；

(2).双曲线正切函数和辅助系统控制法；

实施例1

其中，补偿已知有界控制法包括以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(1)-(3)所示：

ω∈R^3×1为航天器在本体坐标系中的角速度，R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵；

步骤2.考虑外部干扰姿态误差：

利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差，可以得到姿态误差的相对微分方程公式(4)-(6)

和分别表示旋转矩阵误差和角速度误差，其中，R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1表示参考坐标系中的参考姿态和参考角速度。

由于误差是一个矩阵，并不能直接用来设计控制器。所以，构造了一个新的姿态误差函数

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(7)-(8)定义；

采用姿态误差公式(7)-(8)可以重新表示为公式(9)-(11)的形式，

其中，符号^∨表示将斜对称矩阵转移为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中，a∈R^3×1是一个向量，A是一个斜对称矩阵；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

并在集合中设计有限时间控制器，其中姿态误差向量和E采用Lee文献中的方法进行定义；

步骤3.为克服航天器外部干扰和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制：

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中，且E为可逆矩阵(Lee 2012)；

引理2：考虑系统(Hu 2014)

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (12)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(12)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(12)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定。

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(12)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果。

步骤4.进行有限时间设计：

假设1：假定d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

基于TSM方法，采用有限时间控制的思想设计一个航天器鲁棒控制器，快速终端滑动表面如公式(13)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数(Guo et al.2014)；

r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (17)

得如公式(15)所示航天器基于终端滑模控制所设计的有限时间收敛控制率，其中k₁,k₂,k₃和均为正常数；另外，k₁和k₃分别满足k₁-ρ＞0，k₃-ρ₁＞0,其中，ρ为正常数，ι_max为||EJ^-1d||的最大值；

对具有鲁棒性的有限时间稳定设计证明；

定理1：考虑满足步骤4中假设1条件且由公式(9)-(11)定义的航天器，如果按照公式(18)设计控制率，则有如下结论：

(iii)吸引区域如公式(19)所示，其中*(0)是*的初始值；

(iv)S,和分别在有限时间内收敛到0。

证明：考虑设计公式(20)所示李雅普诺夫函数

沿系统(9)-(11)对所设计的李雅普诺夫函数(20)求导可得：

为了保证姿态误差向量在集合Υ中，设计函数必须满足公式(22)

那么，我们就得到了公式(19)，则(i)证明完毕；

从t₀到t对进行积分，可得：

解不等式(23)，得正定变量V₁满足

其中，

由于V₁(t)＝0，当t≥t^*时，滑模面S和收敛到0，从公式(13)可得，在有限时间内收敛到0；

则(ii)证明完毕，定理1证明完毕；

步骤6.将步骤5中的公式(18)的设计航天器控制器，用于补偿已知有界的外部干扰，解决外部扰动和输入饱和。

在本节中，通过仿真对理论结果进行分析说明。

为了验证所提出的有限时间控制器的有效性，设计航天器跟踪一个普通随时间变化的参考信号，数值仿真结果如下：

实施例1仿真分析：

补偿已知有界控制法的参数设置为：

航天器姿态动力学方程：ω(0)＝[0.1,0.1,0.1]rad/s；d＝2×10^-3[sin(0.1t),cos(0.2t),sin(0.2t)]^TN·m；

R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，J∈R^3×3为惯性矩阵；ω∈R^3×1＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T为航天器在本体坐标系中的角速度，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩。

引入外部干扰误差：满足吸引域公式(19)；

为克服航天器外部干扰和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制：

k₁＝1,k₂＝0.02 γ＝0.7,α＝0.005,β=0.075,(控制器中的参数)k₁和k₃分别满足k₁-ρ＞0，k₃-ρ₁＞0,其中，ρ为正常数，ι_max为||EJ^-1d||的最大值

u取值范围是根据航天器所携带的执行器来确定的，针对小型航天器一般可以选取5N以内；

航天器的期望姿态和速度定义如下：ω_d＝[0.1sin(t/40),-0.1cos(t/50),-0.1sin(t/60)]^Trad/s，R_d(0)＝I。

公式(10)中描述的外部干扰取值为：d＝2×10^-3[sin(0.1t),cos(0.2t),sin(0.2t)]^TN·m。

当S^TS＜0.01时，为了减少抖震，采用来代替

图1-3分别给出了和的仿真曲线，图4给出了控制力矩曲线，由图4可知，初始时刻控制力矩比较大。

从图1姿态误差和时间图中，可以看出知航天器收敛到稳定状态，机动调整时间可在10秒左右完成，并且由图1可以看出，i＝1,i＝2，i＝3，(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的姿态误差在10秒钟左右趋近与0，说明姿态机动调整控制在10秒内完成。

从图2姿态误差导数和时间图中，可以看出航天器机动在10s内收敛到稳定状态；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差导数的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的姿态误差导数在10秒内趋近于0，说明航天器机动在10秒内收敛到稳定。

从图3角速度误差和时间图中，可以看出航天器机动在10s内收敛到稳定状态；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中角速度的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的角速度误差在10秒内趋近于0，说明航天器机动在10秒内收敛到稳定。

从图4控制力矩和时间图，可以看出航天器机动在10s内收敛到稳定状态；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中控制力矩的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的控制力矩在10秒内趋近于0，说明航天器机动在10秒内收敛到稳定状态。

实施例2

双曲线正切函数和辅助系统控制法

其包括，以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(23)-(25)所示：

ω∈R^3×1为航天器在本体坐标系中的角速度，R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵。

步骤2.引入外部干扰姿态误差：

利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差，可以得到姿态误差的相对微分方程公式(26)-(28)；

和分别表示旋转矩阵误差和角速度误差，其中，R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1表示参考坐标系中的参考姿态和参考角速度。

由于误差是一个矩阵，并不能直接用来设计控制器。Lee构造了一个新的姿态误差函数；

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(29)-(30)定义；

采用姿态误差公式(29)-(30)可以重新表示为公式(31)-(32)的形式，

其中，符号^∨表示将斜对称矩阵转移为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A其中，a∈R^3×1是一个向量，A是一个斜对称矩阵；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

并在集合中设计有限时间控制器，其中姿态误差向量和E采用Lee文献中的方法进行定义；

步骤3.为克服航天器外部干扰和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制：

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中，且E为可逆矩阵(Lee 2012)；

引理2：考虑系统(Hu 2014)

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (34)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(34)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(34)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定；

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(34)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果；

步骤4.为克服执行器饱和输入的问题，引入双曲线正切函数和辅助系统控制

假设1：假定d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

基于TSM方法，采用有限时间控制的思想设计一个航天器鲁棒控制器，快速终端滑动表面如公式(35)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数(Guo et al.2014)；

r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (39)

利用双曲线正切函数和辅助系统控制法，由公式(40)-(42)给出了航天器在输入饱和情况下的控制律，k₁,k₂,k₃,k₄,ε₁和ε₂均为正常值，且k₅＞||EJ^-1d||；

u＝-k₁tanh(ε₁ζ)-k₂tanh(ε₂S) (40)

η＝S-ζ (41)

定理2：考虑满足假设1条件下且由公式(31)-(33)定义的航天器，按照公式(40)-(42)设计控制率，则可有如下结论：

(i)吸引域如公式(43)所示

(ii)S,和分别在有限时间内收敛到0

证明：设计如公式(44)所示李雅普诺夫函数

沿系统(31)-(33)对所设计的李雅普诺夫函数(45)求导可得：

为了保证姿态误差向量在集合Υ中，设计函数同时满足公式(46)；

由公式(46)可得公式(43)：

则(i)证明完毕：

从t₀到t对积分，可得

解不等式(47)可得：

其中，

由于V₂(t)＝0,，当t≥t^*时，滑模面S和收敛到0；从公式可得，在有限时间内收敛到0：

则(ii)得证，定理2证明完毕，

步骤5.将步骤4中的公式(40)-(42)设计航天器控制器，以解决外部扰动和输入饱和问题。

为了验证第二个控制器的效果，进行如下数值仿真。

航天器三个轴均有连续执行机构，且最大力矩为4N·m

航天器姿态动力学方程：ω(0)＝[0.1,0.1,0.1]rad/s；d＝2×10^-3[sin(0.1t),cos(0.2t),sin(0.2t)]^TN·m；

R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，J∈R^3×3为惯性矩阵；ω∈R^3×1＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T为航天器在本体坐标系中的角速度，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩。

引入外部干扰误差：满足吸引域(43)

为克服执行器饱和输入的问题，引入双曲线正切函数和辅助系统控制

利用双曲线正切函数和辅助系统控制法，由公式(40)-(42)给出了航天器在输入饱和情况下的控制律，k₁,k₂,k₃,k₄,ε₁和ε₂均为正常值，且k₅＞||EJ^-1d||

为k₁＝2,k₂＝2,k₃＝10,k₄＝0.0001,k₅＝0.01,ε₁＝20,ε₂＝20,α＝0.5,β＝0.75,η＝0.0001,

u取值范围是根据航天器所携带的执行器来确定的，针对小型航天器一般可以选取5N以内；

为了降低抖震，当η^Tη＜0.01时，采用代替

航天器在双曲线正切和辅助系统下的数值仿真如图5-10所示，由仿真结果可知航天器姿态机动在20秒内完成，且最大力矩为4N·m。图5-7分别给出了和的仿真曲线。

图5姿态误差与时间图，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差的三个分量的曲线)

三个方向上的姿态误差在20秒钟左右趋近与0，说明姿态机动调整控制在20秒内完成。

图6姿态误差导数和时间图，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差导数的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的姿态误差导数在20秒内趋近于0，说明航天器机动在20秒内收敛到稳定。

图7角速度误差和时间图，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中角速度误差的三个分量的曲线)

航天器三个方向上的角速度误差在20秒内趋近于0，说明航天器机动在20秒内收敛到稳定。

图8控制力矩和时间图，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中控制力矩的三个分量的曲线)

图9ζ和时间图可知，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中ζ的三个分量的曲线)

ζ的三个分量曲线20秒内趋近于0，说明航天器机动在20秒内收敛到稳定。

图10S和时间图可知，由图可知航天器姿态机动在20秒内完成；(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中S的三个分量的曲线)

ζ的三个分量曲线20秒内趋近于0，说明航天器机动在20秒内收敛到稳定。

与图1-4所得的仿真结果相比较可知，由于存在输入饱和，双曲线正切函数和辅助系统的动态特性比补偿已知有界控制法差。图8给出了控制力矩曲线，图9和图10分别给出了ζ和S的仿真曲线，由仿真结果可知，ζ和S可以在有限时间内收敛到0。

备注1：引理一的证明及各参数意义可以在Lee(2012)文献命题1中找到。

备注2：由定理1和定理2，可知吸引区域分别由公式(19)和(29)所定义，可以选择较大的函数来扩大吸引区域。

1.(引理1)Lee,T.(2012).“Exponential stability of an attitude trackingcontrol system on SO(3)for large-angle rotational maneuvers.”Syst.ControlLett.,61(1),231-237。

2.(引理2)Hu,Q.,Li,B.,and Qi,J.(2014).“Disturbance observer basedfinite-time attitude control for rigid spacecraft under input saturation.”Aerosp.Sci.Technol.,39,13-21。

3.(定理1，定理2)GuoY,Song S M,Li X H,et al.Terminal Sliding ModeControl forAttitude Tracking of Spacecraft under Input Saturation[J].JournalofAerospace Engineering,2016:06016006

最后说明的是，以上所述为本发明的优选实施方式，尽管通过上述优选实施例，已经对本发明进行了详细的说明，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种改变，而不偏离本发明的权利要求书所要求的范围。

Claims (1)

1.输入饱和的航天器姿态终端滑模跟踪控制方法，其特征在于：其包括两种控制方法：

(1).补偿已知有界控制法；

(2).双曲线正切函数和辅助系统控制法；

其中，补偿已知有界控制法包括以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(1)-(3)所示：

<mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>R&amp;omega;</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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ω∈R^3×1＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T为航天器在本体坐标系中的角速度，ω₁，ω₂，ω₃为ω的三个元素；R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵；

步骤2.引入外部干扰姿态误差：

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(4)-(5)定义；

<mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

采用姿态误差利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差可以表示为公式(6)-(8)的形式，

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其中，符号∨表示将斜对称矩阵转移为向量；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

步骤3.为克服航天器外部旋转矩阵误差和角速度误差和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中， 且E为可逆矩阵；

引理2：考虑系统

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (9)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(9)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(9)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定；

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(9)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，lim_t→T(x0)s_t(x₀)＝0，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果；

步骤4.进行有限时间稳定收敛设计：

假设1：d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

快速终端滑动表面如公式(10)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数；

<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;e</mi> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (14)

得如公式(15)基于终端滑模控制所设计的有限时间收敛控制率，其中k₁,k₂,k₃和均为正常数；另外，k₁和k₃分别满足k₁-ρ＞0，k₃-ρ₁＞0,其中，ρ为正常数，ι_max为||EJ^-1d||的最大值；

步骤5.将步骤4中的公式(15)控制率用于设计航天器控制器，用于补偿已知有界的外部干扰，解决外部扰动，保证有限时间收敛稳定；

(2)、双曲线正切函数和辅助系统控制法，其包括以下步骤：

步骤1.建立航天器姿态动力学方程；

航天器姿态动力学方程定义如公式(16)-(18)所示：

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ω∈R^3×1＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T为航天器在本体坐标系中的角速度，ω₁，ω₂，ω₃为ω的三个元素；R∈SO(3)为将本体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，u∈R^3×1和d∈R^3×1分别是控制力矩和外部干扰力矩，J∈R^3×3为惯性矩阵；

步骤2.引入外部干扰姿态误差：

姿态误差函数和姿态误差向量如公式(19)-(20)定义；

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采用姿态误差利用所定义的旋转矩阵误差和角速度误差可以表示为公式(21)-(23)的形式，

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其中，符号∨表示将斜对称矩阵转移为向量；

当时，航天器姿态动力学方程是有效的；

步骤3.为克服航天器外部旋转矩阵误差和角速度误差和惯性参数问题，引入航天器有限时间控制

引理1：当||x||≤π和时，存在x∈R³，在集合Υ中， 且E为可逆矩阵；

引理2：考虑系统

x(t)＝f(x(t)),x(0)＝0,f(0)＝0,x∈Rⁿ (24)

其中，f:U₀→Rⁿ在原点U₀的开放领域内是连续的，公式(24)描述的系统在前面所述的所有初始条件下具有一个唯一解，公式(24)描述系统的平衡点x＝0是Lyapunov稳定，且在有限时间内收敛到原点的一个领域内，则该系统为局部有限时间稳定；

有限时间收敛意味着存在一个函数T:U\{0}→(0,∞),使得公式(24)的解表示为s_t(x₀)，其中x₀为初始状态，当t∈[0,T(x₀)]时s_t(x₀)∈U\{0}；当t＞T(x₀)时，s_t(x₀)＝0，当U＝Rⁿ时，可以获得航天器有限时间稳定的结果；

步骤4.进行有限时间稳定收敛设计：

假设1：d,ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

快速终端滑动表面如公式(10)所示，其中0＜γ＜1,α,β,和η均为正常数；

<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;e</mi> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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r₁＝(2-γ)η^γ-1,r₂＝(γ-1)η^γ-2 (29)

步骤5.为克服执行器饱和输入的问题，引入双曲线正切函数和辅助系统控制：

由于公式(29)中u是没有物理限制的量，当输入饱和情况下，外部干扰对航天器的影响较大；

由公式(30)-(32)给出了航天器在输入饱和情况下的控制律，k₁,k₂,k₃,k₄,ε₁和ε₂均为正常值，且k₅＞||EJ^-1d||；

u＝-k₁tanh(ε₁ζ)-k₂tanh(ε₂S)

(30)

η＝S-ζ

(31)

步骤6.将步骤5中的公式(30)-(32)用于设计航天器的控制器，以解决外部扰动和输入饱和问题。