CN107577145A - 编队飞行航天器反步滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及编队飞行航天器反步滑模控制方法，属于航天器姿态调整技术领域，本发明采用反步滑模的方法，设计两个分布式鲁棒一致性跟踪控制器。第一个鲁棒控制器可以补偿已知有界的外部干扰，控制器是连续的，没有抖振；为满足自适应控制的使用，第二个鲁棒有限时间控制器不需要已知外部干扰的上界。由于两个控制器都是基于旋转矩阵设计的，旋转矩阵表示的姿态具有全局唯一属性，可以克服系统退绕的缺点。通过李雅普诺夫定理，得到整体闭环系统是有限时间稳定的，仿真实验证明，不仅可以实现绝对姿态跟踪，同时可以保持编队成员姿态一致。

Description

编队飞行航天器反步滑模控制方法

技术领域

本发明属于航天器姿态调整技术领域，具体的说，涉及编队飞行航天器反步滑模控制方法。

背景技术

航天器编队飞行可以应用在许多空间任务中，通过在一组航天器上分配有效载荷的方式，使编队航天器具有低发射成本、高灵活性、高成功率等优势。

但是，由于链路故障和链路重新配置，通信链路信息交换过程中存在通信延迟和切换拓扑等问题，这会恶化编队飞行器的控制性能。基于李雅普诺夫函数，通过反步法和添加幂积分项方法给出了一个有限时间控制器。通过反步法为无干扰航天器设计了六自由度有限时间控制器。通过引入幂积分项方法，设计了一种基于四元数的无扰动航天器有限时间控制器。

但是，上述控制器是基于四元数和修正罗德里格斯参数，由于四元数不能描述姿态集的唯一性，导致系统可能产生退绕问题。退绕使航天器接近期望状态时，还需要额外飞行很长一段距离，然后才能返回到期望姿态。

由于MRP是由四元数定义的，它也有类似的问题。为了解决这一问题，采用旋转矩阵描述的控制器来解决姿态跟踪控制问题，采用旋转矩阵描述的控制器来解决编队协同控制问题。然而，这些协同控制器只具有渐近稳定性。

以往的研究工作大多难以扩展到编队飞行航天器有限时间协调控制的情况，尤其是在相邻飞行器之间没有交换控制信号的情况下。

因此，有必要提出一种新的控制方法，使其能够克服执行器有限时间协调控制情况下的编队飞行通信的问题。

发明内容

为了克服背景技术中的问题，本发明提出编队飞行航天器反步滑模控制方法，其中一种控制器通过补偿已知有界的外部干扰，能够控制已知界限的时变外部干扰，实现在有限时间内能够收敛到零；另一种控制器通过自适应的设计，其能补偿未知边界的外部干扰，能够控制未知边界的时变外部干扰，实现在有限时间内能够收敛到零。并设计新的虚拟角速度，使得相邻航天器之间控制信号交换变得不必要，减少了通讯负担。

编队飞行航天器反步滑模控制，其包括两个方法，第一种方法为包括以下步骤：

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速度，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(6)所示：

(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限收敛设计思想，设计了航天器姿态协调鲁棒控制器；

引理1：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等式成立；

引理3：假设其中α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a^ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

a_ij和l_ij是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

Q_d＝[ω_d，ω_d，…，ω_d]^T，

d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T，

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T. (20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(6)表达为下式：

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器

应用反步方法设计控制方案，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]^T (28)

r₁＝(2-γ)η^γ-1 (30)

r₂＝(γ-1)η^γ-2 (31)

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

命题1：对于方程(23)，如果虚拟角速度定义为方程(26)，当ω_d和均有界时，可得e_i，j，i＝1，2，…，n，j＝1，2，3在有限时间内收敛到|e_i，j|≤η；

证明：选择李雅普诺夫函数如方程(33)所示，应用方程(23)和方程(26)，可将V_1，i，j，i＝1，2，…n，j＝1，2，3的导数写成：

当|e_i，j|＞η时，可以写成：

当|e_i，j|≤η时，可以写成为：

由引理3可知，e_i，j可以在有限时间内收敛到|e_i，j|≤η。

至此，采用设计航天器姿态协调鲁棒控制器设计，矢量形式的滑动面方程如下：

基于滑模控制器，给出了编队飞行中的飞行器i^th的控制率方程：

定理1：考虑满足假设1的一组方程(23)-(25)描述的航天器，其中d_max是一个已知的正的常数，如果控制率由方程(35)定义，则可有如下结论：

(i)S_i，j和e_i，j在有限时间内分别收敛到区域|S_i，j|≤Δ和|e_i，j|≤Δe，c₁和c₂为小的正的常数，

(ii)误差在有限时间内收敛到区域，λ_max(·)表示矩阵的最大特征值

(iii)误差x₂在有限时间内收敛到区域||x₂||≤Δx₂

证明：选择如公式形式的李雅普诺夫函数，通过应用方程(35)和方程(23)-(25)，可得V_2，i，j的导数如下：

为了处理c₃，可以改写成公式(40)-(43)，分别讨论情形1-情形4；

情形1：假设η₂＝2^(γ+1)/2min(k₂，k₄)，则方程(40)可以改写成为：

如果η₁＞0，η₂＞0，则x_1，i将在有限时间内收敛到区域且S_i，j将在有限时间内收敛到0。

情形2：假设μ₁＝2min(k₁-c₁，k₃-c₂)，则方程(42)可以改写为：

如果μ₁＞0，μ₂＞0，x_1，i将在有限时间内收敛到区域S_i，j将在有限时间内收敛到0；

情形3：假设则方程(42)可改写为：

如果δ₁＞0，δ₂＞0，则e_i，j将在有限时间内收敛到0，S_i，j将在有限时间内收敛到区域

情形4：假设则公式(43)可改写为：

如果e_i，j将在有限时间内收敛到0，S_i，j将在有限时间内收敛到区域

结合情形1-情形4可知，e_i，j和S_i，j在有限时间内收敛到区域|e_i，j|≤Δe和|S_i，j|≤Δ；

(i)得证。

误差的稳定性分析如下：

从方程组(46)-(47)，我们可以发现，在有限的时间收敛到区域(ii)得证。

误差x₂的稳定性分析如下：

从方程组(48)-(49)，我们可以发现，x₂在有限时间收敛到区域||x₂||≤Δx₂

(iii)得证。

将(34)控制率用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。

2、第二种编队飞行航天器反步滑模控制方法，包括

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(6)所示：

(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限收敛设计思想，设计了航天器姿态协调鲁棒控制器；

引理1：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等式成立；

引理3：假设其中α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和，其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a_ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

a_ij和l_ij是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

Q_d＝[ω_d，ω_d，…，ω_d]^T，

d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T，

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T. (20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(6)表达为下式：

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器

应用反步方法设计控制方案，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]T (28)

r₁＝(2-γ)η^γ-1 (30)

r₂＝(γ-1)η^γ-2 (31)

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

由于定理1中，假设d_i是一个已知的有界干扰，为了处理未知的有界干扰，设计下式控制率方程；假设外部干扰d_i是有界的，满足不等式||d_i||≤d_Mi，d_Mi是一个未知正的常数，为d_Mi的估计值，

定理2在系统方程组(23)-(25)中引入方程(50)-(51)，当ω_d and均有界时，可得S和都是有界的；

证明：选择如方程(52)形式的李雅普诺夫函数，应用方程(50)-(51)和方程(23)-(25)，则V₃的导数可写成：

可以看出：如果k₁-||H₁||||E||＞0，则V₃是有界的，因此可知变量S和均有界；

注1定理2中不能在有限时间内收敛到零附近的区域，因此可知变量S和均有界；

注1定理2中不能在有限时间内收敛到零附近的区域，它只能保证有界。

为了便于在定理3中分析有限时间稳定性，假设θ_max是种最大的元素。

定理3考虑方程(23)-(25)所描述的航天器，由方程组(50)-(51)给出控制率，当ω_d和均有界时，可以得到以下结论：

(i)S_i，j和e_i，j分别再有限时间内收敛到区域|S_i，j|≤Δ₁和|e_i，j|≤Δe₁，c₄是小的正常数，

(ii)误差在有限时间内收敛到区域

(iii)误差x₂在有限时间内收敛到区域

证明：选择如公式形式的李雅普诺夫函数，根据方程(50)-(51)和方程(23)-(25)，则V₃的导数可写成：

和的稳定性分析与定理1类似。

定理3得证。

注：根据x₂的定义，我们可以从定理1-定理3的证明中确保由于系统的初始值需要满足因此系统是几乎全局有限时间稳定。

将(50)-(51)用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。

注：根据x₂的定义，我们可以从定理1-定理3的证明中确保由于系统的初始值需要满足

因此系统是几乎全局有限时间稳定。

本发明的有益效果：

本发明为编队飞行航天器在退绕过程中，其中一种控制器通过补偿已知有界的外部干扰，能够控制已知界限的时变外部干扰，实现在有限时间内能够收敛到零；另一种控制器通过自适应的设计，其能补偿未知边界的外部干扰，能够控制未知边界的时变外部干扰，实现在有限时间内能够收敛到零。并设计新的虚拟角速度，使得相邻航天器之间控制信号交换变得不必要，减少了通讯负担。

附图说明

图1为航天器间信息流的通信拓扑图；

图2为航天器的姿态曲线图；

图3为姿态误差导数曲线图；

图4系统控制转矩曲线区；

图5为姿态一致性的性能曲线图；

图6为航天器姿态误差曲线图；

图7为姿态误差导数曲线图Ⅱ；

图8为系统的控制转矩曲线图Ⅱ；

图9为扰动力与时间变化曲线图；

图10为系统没有协调项时的姿态一致性能曲线图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚、明白，下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的说明，以方便技术人员理解。

实施例1

为对于有界外部干扰，编队飞行航天器反步滑模控制方法

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速度，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(6)所示：

(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限收敛设计思想，设计了航天器姿态协调鲁棒控制器；

引理1(Lee，2012)：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2(Yu et al.，2005)：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等式成立；

引理3(Yu et al.，2005)：假设其中α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和，其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a_ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

a_ij和l_ij是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

Q_d＝[ω_d，ω_d，…，ω_d]^T，

d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T，

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T. (20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(6)表达为下式：

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器

应用反步方法设计控制方案，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]^T （28）

r₁＝(2-γ)η^γ-1 (30)

r₂＝(γ-1)η^γ-2 (31)

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

命题1：对于方程(23)，如果虚拟角速度定义为方程(26)，当ω_d和均有界时，可得e_i，j，i＝1，2,…，n，j＝1，2，3在有限时间内收敛到|e_i，j|≤η；

证明：选择李雅普诺夫函数如方程(33)所示，应用方程(23)和方程(26)，可将V_1，i，j，i＝1，2，…n，j＝1，2，3的导数写成：

当|e_i，j|≤η时，可以写成：

当|e_i，j|≤η时，可以写成为：

由引理3可知，e_i，j可以在有限时间内收敛到|e_i，j|≤η。

至此，采用设计航天器姿态协调鲁棒控制器设计，矢量形式的滑动面方程如下：

基于滑模控制器，给出了编队飞行中的飞行器i^th的控制率方程：

定理1：考虑满足假设1的一组方程(23)-(25)描述的航天器，其中d_max是一个已知的正的常数，如果控制率由方程(35)定义，则可有如下结论：

(i)S_i，j和e_i，j在有限时间内分别收敛到区域|S_i，j|≤Δ和|e_i，j|≤Δe，c₁和c₂为小的正的常数，

(ii)误差在有限时间内收敛到区域λ_max(·)表示矩阵的最大特征值

(iii)误差x₂在有限时间内收敛到区域||x₂||≤Δx₂

证明：选择如公式形式的李雅普诺夫函数，通过应用方程(35)和方程(23)-(25)，可得V_2，i，j的导数如下：

为了处理c₃，可以改写成公式(40)-(43)，分别讨论情形1-情形4；

情形1：假设，则方程(40)可以改写成为：

如果η₁＞0，η₂＞0，则x_1，j将在有限时间内收敛到区域且S_i，j将在有限时间内收敛到0。

情形2：假设μ₁＝2min(k₁-c₁，k₃-c₂)，则方程(42)可以改写为：

如果μ₁＞0，μ₂＞0，x_1，i将在有限时间内收敛到区域S_i，j将在有限时间内收敛到0；

情形3：假设δ₂＝2^(γ+1)/2min(k₂，k₄)，则方程(42)可改写为：

如果δ₁＞0，δ₂＞0，则e_i，j将在有限时间内收敛到0，S_i，j将在有限时间内收敛到区域

情形4：假设则公式(43)可改写为：

如果e_i，j将在有限时间内收敛到0，S_i，j将在有限时间内收敛到区域

结合情形1-情形4可知，e_i，j和S_i，j在有限时间内收敛到区域|e_i，j|≤Δe和|S_i，j|≤Δ；

(i)得证。

误差的稳定性分析如下：

从方程组(46)-(47)，我们可以发现，在有限的时间收敛到区域

(ii)得证。

误差x₂的稳定性分析如下：

从方程组(48)-(49)，我们可以发现，x₂在有限时间收敛到区域||x₂||≤Δx₂

(iii)得证。

将(34)控制率用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。

描述航天器间信息流的通信拓扑如图1所示，为了验证提出的编队控制策略的有效性，在本节中给出数值模拟。四个航天器需要跟踪随时间变化的参考信号，其中节点v_i(i＝1，2，3，4)代表编队内的航天器i^th，选择与通信拓扑相关的加权邻接矩阵A和对角矩阵f：

每个航天器的模型参数定义如下：

每个航天器的角速度和旋转矩阵的初始值设置如下：

ω_i(0)＝[0.1，0.1，0.1]^Trad/s，

航天器的期望速度和期望旋转矩阵初始值定义如下：

ω_d＝[0.1sin(t/40)，-0.1cos(t/50)，-0.1sin(t/60)¹rad/s，R_d(0)＝I

方程中(6)中的扰动力矩ω_d定义如下：

ω_d＝[0.1sin(t/40)，-0.1cos(t/50)，-0.1sin(t/60)]¹rad/s，R_d(0)＝I

方程(6)中的扰动力矩d_i定义如下：

d_i＝2×10^-3[sin(0.1t)，cos(0.2t)，sin(0.2t)]^TN·m

假定航天器具有最大转矩10N·m的连续执行器，(*)_l(l＝x，y，z)表示坐标系的l轴，i表示航天器i^th。为了说明该算法可以在姿态机动过程中实现姿态保持，定义姿态一致性函数为很明显，较小的A₁值，意味着姿态机动过程中更好的姿态保持性能。

第一个滑模控制器的参数选择如下：k₁＝0.03，k₂＝0.03，k₃＝0.3，k₄＝0.01，λ＝0.01，γ＝0.85，η＝0.001。

在第一控制器下的航天器系统仿真结果如图2-5所示：

从图中可以看出，姿态机动可以在不到20s内完成。

图2为航天器的姿态曲线图，图中，由于，第一滑模控制器控制率方程(35)为有效(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差导数的三个分量的曲线)。

图3和图4为给出了姿态误差导数的曲线和系统控制转矩曲线，由于控制器是连续的，姿态误差曲线和系统控制转矩曲线没有抖振是没有抖振的(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差导数e_i的三个分量的曲线)。

图5为姿态一致性的性能曲线，取消了系统协调项，通过观察发现，当绝对姿态跟踪执行时，与没有协调项的控制器相比较，第一种控制器控制率方程(35)可以得到更好的姿态一致性的性能。

实施例2对于边界未知的外部干扰，编队飞行航天器反步滑模控制方法

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^∨)^×＝A，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(6)所示：

(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限收敛设计思想，设计了航天器姿态协调鲁棒控制器；

引理1：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等式成立；

引理3：假设其中α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a_ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

a_ij和l_ij是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

Q_d＝[ω_d，ω_d，…，ω_d]^T，

d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T，

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T. (20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(6)表达为下式：

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器

应用反步方法设计控制方案，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]T (28)

r₁＝(2-γ)η^γ-1 (30)

r₂＝(γ-1)θ^γ-2 (31)

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

由于定理1中，假设d_i是一个已知的有界干扰，为了处理未知的有界干扰，设计下式控制率方程；假设外部干扰d_i是有界的，满足不等式||d_i||≤d_Mi，d_Mi是一个未知正的常数，为d_Mi的估计值，；

定理2在系统方程组(23)-(25)中引入方程(50)-(51)，当ω_d and均有界时，可得S和都是有界的；

证明：选择如方程(52)形式的李雅普诺夫函数，应用方程(50)-(51)和方程(23)-(25)，则V₃的导数可写成：

可以看出：如果k₁-||H₁||||E||＞0，，则V₃是有界的，因此可知变量S和均有界；

注1定理2中不能在有限时间内收敛到零附近的区域，因此可知变量S和均有界；

注1定理2中不能在有限时间内收敛到零附近的区域，它只能保证有界。

为了便于在定理3中分析有限时间稳定性，假设θ_max是种最大的元素。

定理3考虑方程(23)-(25)所描述的航天器，由方程组(50)-(51)给出控制率，当ω_d和均有界时，可以得到以下结论：

i)S_i，j和e_i，j分别再有限时间内收敛到区域|S_i，j|≤Δ₁和|e_i，j|≤Δe₁，c₄是小的正常数，

(ii)误差在有限时间内收敛到区域

(iii)误差x₂在有限时间内收敛到区域

证明：选择如公式形式的李雅普诺夫函数，根据方程(50)-(51)和方程(23)-(25)，则V₃的导数可写成：

和的稳定性分析与定理1类似。

定理3得证。

注：根据x₂的定义，我们可以从定理1-定理3的证明中确保tr(R_i)≠-1。由于系统的初始值需要满足tr(R_i)≠-1，因此系统是几乎全局有限时间稳定。

将(50)-(51)用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。

注：根据x₂的定义，我们可以从定理1-定理3的证明中确保由于系统的初始值需要满足tr(R_i)≠-1，因此系统是几乎全局有限时间稳定。

对第二个控制器进行验证：

选择第二种控制器与第一控制器相同的参数，为了避免抖振，采用饱和函数代替符号函数。

图6为航天器姿态误差曲线，从图中看出随着时间的增大，航天器姿态误差趋近于0(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图

中姿态误差的三个分量的曲线)。

图7和图8为姿态误差导数的曲线和系统的控制转矩曲线(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中姿态误差导数的三个分量的曲线)。

由图7可知姿态误差的导数随着时间增大逐渐趋近于0，说明姿态误差随着时间增大基本不变；

由图8控制系统的扭矩曲线随着时间增大趋近于0，说明随着时间增大航天器姿态趋近与控制目标，需要的外界力矩越来越小。

图9给出了扰动力的估计值(i＝1,i＝2，i＝3分别表示图中扰动力的三个分量的曲线)。

说明了控制系统在3秒钟左右，就可以估计出未知边界的外部干扰，系统响应快。

图10给出了系统没有协调项时的姿态一致性的性能曲线，从图中可以看出，当绝对姿态跟踪执行时，反步控制器控制率方程(50)可以得到更好的一致性的性能。

从图2和图6中可以看出，当安装反步控制器后，与第一种控制器相比，具有更高的精度。

如前所述引理及各式参数定义详见如下文献：

Lee,T.Y.(2012),“Exponential stability of an attitude tracking controlsystem on SO(3)for large-angle rotational maneuvers”,Systems and ControlLetters,Vol.61 No.1,pp.231-237。

Yu,S.H.,Yu,X.H.,Shirinzadeh,B.and Man,Z.H.(2005),“Continuous finite-time control for robotic manipulators with terminal sliding mode”,Automatica,Vol.41 No.11,pp.1957-1964。

最后说明的是，以上所述为本发明的优选实施方式，尽管通过上述优选实施例，已经对本发明进行了详细的说明，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种改变，而不偏离本发明的权利要求书所要求的范围。

Claims (2)

1.编队飞行航天器反步滑模控制方法，其特征在于：包括五个步骤，(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型、(2)引入航天器姿态误差、(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器、(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器；(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器：

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速度，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(8)所示：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限时间收敛设计思想，设计了航天器姿态协同鲁棒控制器；

引理1：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等式成立；

引理3：假设其中

α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>ln</mi> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>V</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图 表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a_ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

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a_ij和l_ij是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

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则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

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l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

<mrow> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

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Q_d＝[ω_d，ω_d，…，ω_d]^T，

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d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T，

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T.

(20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(6)表达为下式：

<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>v</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]^T (28)

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

r₁＝(2-γ)ηγ^-1 (30)

r₂＝(γ-1)η^γ-2 (31)

<mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>ln</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>ln</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

采用设计航天器姿态协同鲁棒控制器设计，矢量形式的滑动面方程如下：

<mrow> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

基于滑模控制器，给出了编队飞行中的飞行器i^th的控制率方程：

<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>F</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>JE</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mi>J</mi> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msup> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <mi>J</mi> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <mi>J</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>S</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将(34)控制率用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。

2.编队飞行航天器反步滑模控制方法，其特征在于：包括五个步骤，(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型、(2)引入航天器姿态误差、(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器、(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器、(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器：

(1)建立编队飞行航天器的姿态动力学模型

由于航天器建模为刚体，采用旋转矩阵进行描述：

R_i为将体坐标系转化为惯性坐标系的旋转矩阵，ω_i∈R^3×1为体坐标系中的角速度，u_i∈R^3×1和d_i∈R^3×1分别为控制力矩和外部干扰力矩，J_i∈R^3×3为惯性矩阵，描述航天器姿态动力学方程如下：

<mrow> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mi>J</mi> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open='[' close=']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow>

(2)引入航天器姿态误差

R_d∈SO(3)和ω_d∈R^3×1为参考坐标系中的参考姿态和角速，和分别是旋转矩阵误差和角速度误差，并且由于是矩阵，不能直接用来设计控制器，因此定义新的航天器姿态误差方程如下：

其中，映射∨将斜对称矩阵变换为向量，如(a^×)^∨＝a和(A^×)^∨＝A，其中a∈R^3×1和A为斜对称矩阵；

结合方程组(1)-(4)，航天器的运动方程如公式(5)和(8)所示：

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mi>I</mi> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>T</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;times;</mo> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mo>&amp;times;</mo> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(3)建立旋转矩阵的航天器姿态协同鲁棒控制器

采用有限时间收敛设计思想，设计了航天器姿态协同鲁棒控制器；

引理1：假设则存在x∈R³，||x||≤π，矩阵E_i的2-范数为此外，如果||x||≠π，则E_i为可逆矩阵，

引理2：假设α₁，α₂，…，α_n和0＜ρ＜2都是正数，则下面的不等

式成立；

引理3：假设其中α＞0，β＞0，0＜γ＜1，V(t)为连续正定函数，则系统在有限时间内收敛到平衡点：

<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>ln</mi> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>V</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

假设1：假定d，ω_d和分别满足||d||≤d_max和其中d_max和ω_dmax是已知正常数；

使用无向图来描述编队航天器之间的信息交换，一个节点集v＝{1，2，…，n}，加权邻接矩阵A＝[a_ij]∈R^n×n和一个边界集组成一个加权无向图 表示从节点j^th到节点i^th的信息传输，在无向图中，如果且i≠j，则元素A被定义为a_ij＝a_ji＞0；否则，a_ij＝0；

航天器i^th和航天器j^th之间的编队误差由方程组定义如下：

e_ij＝e_i-e_j (11)

<mrow> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

假设和是航天器i^th的总误差，由下面的方程组定义：

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </msubsup> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

a_ij和l_ij：是加权邻接矩阵A和图拉普拉斯矩阵l中的元素，f_i是对角矩阵f的元素，定义：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则方程(13)和(14)可以重写为下式方程：

<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>e</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

l是半正定矩阵，H₁和l+f是正定举证；

定义：

<mrow> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>n</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

<mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>R</mi> <mo>~</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow>

Q_d＝[ωd，ω_d，…ω_d]^T，

<mrow> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>,</mo> </mrow>

d＝[d₁，d₂，…，d_n]^T

F＝[F₁，F₂，…，F_n]^T，

u＝[u₁，u₂，…，u_n]^T.

(20)

根据上述变量的定义，动态方程(5)和(8)表达为下式：

<mrow> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>J</mi> <mover> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(4)建立反步姿态协同鲁棒控制器

应用反步方法设计控制方案，变量x₁和变量x₂定义如下列方程：

x₁＝e (23)

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>v</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>F</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>v</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据方程(23)，首先按下式设计所需的有限时间控制，其中0＜γ＜1，k₁，k₂，λ和η为正的常数，(*)_i，j是航天器i^th和j^th(j＝1，2，3)个元素；

f(e)＝[f(e₁)，f(e₂)，…，f(e_n)]^T (27)

f(e_i)＝[f(e_i，1)，f(e_i，2)，f(e_i，3)]T (28)

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

r₁＝(2-γ)η^γ-1 (30)

r²＝(γ-1)η^γ-2 (31)

<mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>ln</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>ln</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(5)建立航天器反步滑模姿态协同控制器

为了处理未知的有界干扰，设计下式控制率方程；假设外部干扰d_i是有界的，满足不等式||d_i||≤d_Mi，d_Mi是一个未知正的常数，为d_Mi的估计值，

<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>v</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <msub> <mover> <mover> <mi>x</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>M</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>g</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>J</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>S</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>50</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mover> <mover> <mi>d</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>M</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>h</mi> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>S</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msubsup> <mi>J</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>51</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将(50)-(51)用于设计航天器反步滑模姿态协同控制器。