CN107592084A - 基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，包括依次连接的第一模拟数字转换器、现场可编程门阵列封装模块、数字模拟转换器、宽带功率放大器、定向耦合器、可变衰减器及第二模拟数字转换器，且第二模拟数字转换器与现场可编程门阵列封装模块相连接。提升了宽带功率放大器的建模精度和带外畸变补偿效果；降低了输入信号PAPR特征对畸变补偿效果的影响；降低了FPGA资源消耗，节约成本。

Description

基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置

技术领域

本发明属于电磁兼容技术领域，具体涉及一种基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置。

背景技术

现代无线通信技术的快速发展，不仅改变了人们的生活方式，也推动了军事通信宽带化、网络化和集成化的发展，特别是在舰艇编队、战车集群和飞机预警等不同复杂平台情况下，需要传输的信息种类增多(语音、数据、图像以及视频等)，导致无线业务大幅增加。为解决无线业务增加的需求，具有高频谱利用率的宽带通信成为当前及未来无线通信的主要技术手段。宽带通信在提升频谱利用效率的同时，也增加了信号的峰均功率比(Peak toaverage power ratio，PAPR)。功率放大器(Power Amplifier，PA)在放大宽带、高PAPR信号的时候，会引起严重的电磁兼容问题：一方面引起带内信号自身的畸变、降低信噪比，恶化接收机的误码率；另一方面会产生带外扩展频谱畸变，干扰邻道用户的正常通信。而且，功放在放大宽带信号的情况下，不仅存在传统的饱和压缩畸变，还会引起频率相关的记忆效应，加剧带外频谱干扰，因此，如何改善功率放大器引起的畸变问题是近年来电磁兼容领域的一个热点研究方向。

传统进行功率放大器畸变补偿的方法主要包括功率回退、前馈对消补偿、负反馈以及预失真等，这些方法都有各自的优缺点，存在一定适用范围。其中：

(1)功率回退补偿方法：该方法原理简单、操作方便，在早期功放线性化过程中得到了广泛的应用。但是该方法采用牺牲效率的方法换取线性度的改善，一方面浪费了能源、增加了设计成本，另一方面改善效果有限，通常只能改善10dB左右的效果，无法进一步优化，无法适应线性度和效率需求较高的应用环境。

(2)前馈补偿方法：该方法主要是采用畸变提取和畸变对消环路构成，在线性化输出端利用畸变信号等幅、反相对消的方法实现功放畸变参量的消除，理论上该方法可以消除任何畸变参量。但是该方法要求环路时延、幅度和相位的精确匹配，在窄带功放系统可以通过矢量正交分解很好地实现，但是在宽带系统很难做到精确匹配，导致补偿效果较差；另一方面，由于误差功放、耦合器等器件的引入，进一步降低了主功放的实际输出功率，导致功放系统效率的大幅降低。目前，该类方法主要应用在移动基站等对线性度要求苛刻的场所。

(3)负反馈补偿方法：由于反馈环路器件的限制，目前主要应用在窄带系统，无法适应宽带通信系统的需求。

(4)数字预失真补偿方法：该方法立足于发射信号的包络特征，在功放前段构建一个同功放具有相反特性的畸变系统，对输入信号的包络进行初步的预畸变处理，使畸变系统和功放系统的级联对外呈现线性放大效果。因为该方法可以在数字域实现，能够很方便的实现系统特性的建模和辨识。同时，便于对不同信号和不同系统的自适应处理，因此，成为目前宽带功放畸变补偿方法的首选方案，受到了研究人员和各大功放设计厂家的青睐。但是，目前的数字预失真畸变补偿方法对于宽带功放而言存在两个重要的不足：

(a)由于受宽带功放行为建模精度和输入信号峰均比较高的限制，宽带功放畸变的补偿效果较差，特别是带外畸变补偿效果无法满足宽带发射指标的需求(第一临道功率泄露比ACLR1<-60dBc)；

(b)现有的硬件系统多数采用FPGA+MCU方法实现，资源占用率较大、计算复杂，调试和时序分析困难，稳定性差，且带宽和实时性较差。

发明内容

本发明的目的就是针对上述技术的不足，解决现有技术中基于预失真的宽带功率放大器畸变补偿方法中存在的缺陷，提出一种节约FPGA成本、系统稳定性高、补偿效果好的基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置。

为实现上述目的，本发明所设计的基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，包括依次连接的第一模拟数字转换器、现场可编程门阵列封装模块、数字模拟转换器、宽带功率放大器、定向耦合器、可变衰减器及第二模拟数字转换器，且第二模拟数字转换器与现场可编程门阵列封装模块相连接；

其中，所述现场可编程门阵列封装模块包括自适应消波模块、信号预失真器畸变补偿模块、自适应系数提取模块及存储单元，第一模拟数字转换器的输出端连接自适应消波模块的输入端，自适应消波模块的输出端连接信号预失真器畸变补偿模块的输入端，信号预失真器畸变补偿模块的输出端连接数字模拟转换器的输入端，第二模拟数字转换器的输出端连接存储单元的输入端，存储单元的输出端连接自适应系数提取模块的输入端，且信号预失真器畸变补偿模块与自适应系数提取模块双向导通连接。

进一步地，所述自适应消波模块采用自适应迭代消波方法来降低输入数字编码信号的峰均功率比。

进一步地，所述信号预失真器畸变补偿模块的畸变函数采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型。

进一步地，所述自适应系数提取模块采用误差相关的变步长LMS算法进行动态权重多项式模型系数的递归提取。

进一步地，所述信号预失真器畸变补偿模块的畸变函数采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型，具体的表达式如下式所示：

其中，ω(|x(n)|)为瞬时输入信号幅值相关的动态权重函数，考虑到实际功放特性的平滑性，采用具有平滑过渡特性的双曲函数建立权值选择与瞬时输入信号幅度大小的函数关系，权重函数具体表达式为

其中，tan(·)为双曲正切函数，函数F(i)主要同传统记忆多项式模型的非线性阶数相关，可以表示为

F(i)＝i

为了满足ω_S∈[0,1]，且|x(n)|＝|x|_th时候，权重函数ω_S＝0.5，需要将|x|_th进行归一化处理，即

其中，x_{th_n}∈[0,1]，|x|_max为宽带功率放大器输入的最大瞬时电压值，x_{th_n}的取值主要取决于实际应用的宽带功率放大器特性。。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

1)提升了宽带功率放大器的建模精度和带外畸变补偿效果；采用输入信号功率大小相关的动态权重多项式函数，对各类输入信号具有加强的普适性，建模精度和畸变补偿效果得到了较大的改善：双音输入情况下三阶互调失真(IMD3)可以改善30dB；20MHz宽带LTE信号激励情况下，第一邻道功率比(ACPR1)可以达到-60dBc；第二邻道功率比(ACPR2)可以达到-70dBc。

(2)降低了输入信号PAPR特征对畸变补偿效果的影响；采用自适应消波方法在降低PAPR的同时，有效改善了系统的带内外畸变增加的缺陷。

(3)降低了FPGA资源消耗，节约成本；自适应系数提取模块采用误差相关的变步长LMS算法，执行简单、收敛速度快，由于该方法采用递推迭代的方式进行系数抽取，可以很方便的在FPGA中执行，且极大地节约了FPGA资源，而且不会影响系统的稳定性；同时，利用低成本FPGA也可以实现多通道宽带预失真畸变补偿。

附图说明

图1为本发明基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置原理结构框图

图2为本发明自适应系数提取模块提取流程框图；

图3为本发明的自适应双环学习结构框图；

图4为本实施例中20MHz宽带LTE信号激励功放的畸变补偿效果。

图中各部件标号如下：

第一模拟数字转换器1、现场可编程门阵列封装模块2、数字模拟转换器3、宽带功率放大器4、定向耦合器5、可变衰减器6、第二模拟数字转换器7；

自适应消波模块21、信号预失真器畸变补偿模块22、自适应系数提取模块23、存储单元24。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

如图1所示为基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，包括依次连接的第一模拟数字转换器(第一ADC)1、现场可编程门阵列封装模块(FPGA封装模块)2、数字模拟转换器(DAC)3、宽带功率放大器(PA)4、定向耦合器5、可变衰减器6及第二模拟数字转换器(第二ADC)7，并且第二模拟数字转换器7与现场可编程门阵列封装模块2相连接。即第一模拟数字转换器1的输出端连接现场可编程门阵列封装模块2的第一输入端，现场可编程门阵列封装模块2的输出端连接数字模拟转换器3的输入端，数字模拟转换器3的输出端连接宽带功率放大器4的输入端，宽带功率放大器4的输出端连接定向耦合器5的输入端，定向耦合器5的输出端连接可变衰减器6的输入端、可变衰减器6的输出端连接第二模拟数字转换器7的输入端，第二模拟数字转换器7的输出端连接现场可编程门阵列封装模块2的第二输入端。本实施例中，现场可编程门阵列封装模块2包括自适应消波模块(VFI-CFR)21、信号预失真器(DPD)畸变补偿模块22、自适应系数提取模块23及存储单元24，其中，第一模拟数字转换器1的输出端连接自适应消波模块21的输入端，自适应消波模块21的输出端连接信号预失真器畸变补偿模块22的输入端，信号预失真器畸变补偿模块22的输出端连接数字模拟转换器3的输入端，第二模拟数字转换器7的输出端连接存储单元24的输入端，存储单元24的输出端连接自适应系数提取模块23的输入端，且信号预失真器畸变补偿模块22与自适应系数提取模块23双向导通连接。

第一模拟数字转换器1将前级中频信号经低噪放送过来的信号采集为数字信号并进行编码生成数字编码信号，采用的采样位数为16bit，采样频率主要根据实际输入信号的中频信号载波频率f₀和带宽B₀确定，要求采样频率f≥2f₀，采样带宽B≥5B₀。

自适应消波模块21是实现数字编码信号削峰功能的模块，宽带调制数字编码信号具有高峰均比，其包络起伏变化剧烈，为了处理数字编码信号当中的峰值，就必须加大宽带功率放大器的输出回退，导致宽带功率放大器工作点偏离了最佳位置而影响了工作效率。因此，自适应消波模块21主要是采用自适应迭代消波方法来降低输入数字编码信号的峰均功率比(PAPR)，一方面，有效降低了带内畸变和带外扩展干扰，另一方面，减少了宽带功率放大器输出功率的回退量(即减少宽带功率放大器的输出回退)，提高了宽带功率放大器的工作效率。

信号预失真器畸变补偿模块22主要是对第一模拟数字转换器1输出的数字编码信号进行预畸变处理，使数字编码信号包络通过该信号预失真器畸变补偿模块22以后，对数字编码信号进行畸变补偿，畸变补偿后的数字编码信号具有与宽带功率放大器4相反的特性，从而改善宽带功率放大器的畸变，提高宽带功率放大器的线性度，即通过信号预失真器畸变补偿模块22和宽带功率放大器4级联的方式改善系统整体的线性度。本实施例中，信号预失真器畸变补偿模块22的畸变函数采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型，对宽带功率放大器的非线性畸变特性、特别是记忆效应的建模精度较高。

数字模拟转换器3是16bit模拟数字转换器，将现场可编程门阵列封装模块2送过来的畸变补偿后的数字编码信号还原成畸变补偿后的模拟信号。

宽带功率放大器4将预畸补偿后的数字编码信号进行功率放大。

自适应系数提取模块23为信号预失真器畸变补偿模块的系数更新模块，自适应系数提取模块23采用误差相关的变步长LMS算法进行动态权重多项式模型系数的递归提取，有效节省现场可编程门阵列逻辑资源，降低现场可编程门阵列硬件成本。该自适应系数提取模块基于畸变补偿精度和功率放大器模型系数的自适应更新，能够适应不同的变化环境和具有不同统计特性的输入信号，一旦功率放大器的性能发生变化，则自适应系数提取模块自动更新预失真的系数从而使互调补偿达到预期的效果。

信号预失真器畸变补偿模块22中采用的宽带功率放大器模型具体内容说明如下：

实际应用中，总是希望功率放大器的输入输出信号保持线性放大关系，但是随着输入功率的增加，功率放大器逐渐趋于饱和状态，导致功率放大器产生严重的压缩性畸变，随着输入功率的增加，压缩性畸变越严重，并产生严重的互调干扰；同时，对于宽带功率放大器而言，随着输入信号带宽的增加，宽带功率放大器的记忆畸变效应逐渐增强，电记忆效应产生于调制信号频带内的节点阻抗的不稳定，此不稳定的包络阻抗通常主要由偏置阻抗导致，它是造成电学记忆效应的主要原因。热记忆效应主要由芯片温度引起，它受到输入信号的调制。所以需要补偿宽带功率放大器的失真，必须构建数学模型对幅度、相位以及记忆效应失真进行预补偿，常用的数学模型是采用Volterra级数构建宽带功率放大器模型，考虑到的资源以及实际工程应用需要的性能，需要对传统Volterra级数模型进行简化，同时还要兼顾宽带功率放大器的记忆效应。因此，本发明采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型，具体的表达式如下式所示：

其中，ω(|x(n)|)为瞬时输入信号幅值相关的动态权重函数，考虑到实际功放特性的平滑性，采用具有平滑过渡特性的双曲函数建立权值选择与瞬时输入信号幅度大小的函数关系，本发明的权重函数具体表达式为

其中，tan(·)为双曲正切函数，函数F(i)主要同传统记忆多项式模型的非线性阶数相关，可以表示为

F(i)＝i

为了满足ω_S∈[0,1]，且|x(n)|＝|x|_th时候，权重函数ω_S＝0.5，需要将|x|_th进行归一化处理，即

其中，x_{th_n}∈[0,1]，|x|_max为功放输入的最大瞬时电压值，x_{th_n}的取值主要取决于实际应用的功放特性。

自适应系数提取模块23的具体学习结构采用图2所述的双环路结构。图2中给出了各个训练参量之间的相互关系。图3为参量训练的软件执行框图，通过该过程获取模型的系数参量。作为实例说明，图4为给出了在20MHz宽带LTE信号激励功放的畸变补偿效果，从图4中可以看出，在该信号的激励情况下，本发明能够将带外(上边带：210MHz-240MHz，下边带：160MHz-190MHz)畸变抑制25dB，基本上达到了发射的噪声水平。

以上实施方案主要是用来说明本发明的具体实现过程，并不限制本发明的技术方案，尽管部分实例进行了详细说明，但是对本发明进行修改或者等同替换，而不能脱离本发明的精神和范围的任何修改或者局部替换，其均应该涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (5)

1.一种基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，其特征在于：包括依次连接的第一模拟数字转换器、现场可编程门阵列封装模块、数字模拟转换器、宽带功率放大器、定向耦合器、可变衰减器及第二模拟数字转换器，且第二模拟数字转换器与现场可编程门阵列封装模块相连接；

其中，所述现场可编程门阵列封装模块包括自适应消波模块、信号预失真器畸变补偿模块、自适应系数提取模块及存储单元，第一模拟数字转换器的输出端连接自适应消波模块的输入端，自适应消波模块的输出端连接信号预失真器畸变补偿模块的输入端，信号预失真器畸变补偿模块的输出端连接数字模拟转换器的输入端，第二模拟数字转换器的输出端连接存储单元的输入端，存储单元的输出端连接自适应系数提取模块的输入端，且信号预失真器畸变补偿模块与自适应系数提取模块双向导通连接。

2.根据权利要求1所述基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，其特征在于：所述自适应消波模块采用自适应迭代消波方法来降低输入数字编码信号的峰均功率比。

3.根据权利要求1所述基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，其特征在于：所述信号预失真器畸变补偿模块的畸变函数采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型。

4.根据权利要求1所述基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，其特征在于：所述自适应系数提取模块采用误差相关的变步长LMS算法进行动态权重多项式模型系数的递归提取。

5.根据权利要求3所述基于动态建模的宽带功率放大器的畸变补偿装置，其特征在于：所述信号预失真器畸变补偿模块的畸变函数采用同输入信号功率大小相关的动态权重无记忆子模块和权重记忆子模块进行构建的宽带功率放大器模型，具体的表达式如下式所示：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>W</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>H</mi> <mi>S</mi> <mi>D</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </munderover> <munderover> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>l</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>o</mi> <mi>d</mi> <mi>d</mi> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>E</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </munderover> <munderover> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>q</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>p</mi> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mi>P</mi> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </munderover> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </munderover> <munderover> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>o</mi> <mi>d</mi> <mi>d</mi> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>M</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </munderover> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

其中，ω(|x(n)|)为瞬时输入信号幅值相关的动态权重函数，考虑到实际功放特性的平滑性，采用具有平滑过渡特性的双曲函数建立权值选择与瞬时输入信号幅度大小的函数关系，权重函数具体表达式为

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其中，tan(·)为双曲正切函数，函数F(i)主要同传统记忆多项式模型的非线性阶数相关，可以表示为

F(i)＝i

为了满足ω_S∈[0,1]，且|x(n)|＝|x|_th时候，权重函数ω_S＝0.5，需要将|x|_th进行归一化处理，即

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mo>_</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <msub> <mo>|</mo> <mi>max</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>

其中，x_{th_n}∈[0,1]，|x|_max为宽带功率放大器输入的最大瞬时电压值，x_{th_n}的取值主要取决于实际应用的宽带功率放大器特性。