CN107466069A - 无线网络中基于双连接与非正交多址接入的能效优化方法 - Google Patents

无线网络中基于双连接与非正交多址接入的能效优化方法 Download PDF

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Abstract

无线网络中基于双连接与非正交多址接入的能效优化方法，包括：(1)MU通过双连接技术获得来自mBS和sAP的数据流量服务，同时mBS和sAP通过NOMA技术发送数据；(2)分析系统特性对问题进行等价转化；(3)根据转化后的问题，证明转化后的问题是一个严格的凸优化问题，因此可以做到高效求解；(4)将求得的转化问题的解迭代回原问题，求得原问题的最优解；(5)验证原问题可行性。本发明提供了一种既保障MU的数据需求，又满足sAP回程容量，同时最小化系统总功耗的可行且高效的优化方法，以提高系统能量利用率，优化系统资源的配置。

Description

无线网络中基于双连接与非正交多址接入的能效优化方法
技术领域
本发明涉及无线网络中，一种基于双连接与非正交多址接入(NOMA)的能效优化方法。
背景技术
随着移动数据服务的快速增长，可用频谱资源的有限性使得频谱拥塞的问题日益突出。第三代合作伙伴项目(the third Generation Partnership Project,3GPP)提出“双连接”(Dual-Connectivity)技术,该技术使得每个移动终端用户能够同时连接宏蜂窝基站(marco Base Station,mBS)和其他辅助网络接入点(Access Point,AP)，因此双连接技术在实现高效的数据流量调度方面有着明显的优势。
在第5代移动通信技术中为了获得高频谱效率和大规模连接，非正交多址接入(Non-Orthogonal Multiple Access,NOMA)技术被提出来，与传统的正交多址接入(Orthogonal Multiple Access,OMA)技术不同，NOMA通过非正交资源分配可以服务更多的用户，通过使大量用户同时共享同一频段信道和采用连续干扰消除机制(SuccessiveInterference Cancellation,SIC)消除同频干扰可以明显提高频谱效率。因此，NOMA很好的契合未来5G蜂窝网络的最终目标，可以提供超高吞吐量和超密集的连接。
发明内容
本发明要克服现有技术上的缺点，提供一种无线网络中基于双连接与非正交多址接入(NOMA)的能效优化方法。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
一种无线网络中基于双连接与非正交多址接入(NOMA)的能效优化方法，包括以下步骤：
(1)在mBS的覆盖范围下总共有T个移动用户(Mobile Users,MU)，同时部署一个小蜂窝辅助网络接入点(small Access Point,sAP)通过“双连接”为MU提供数据分流服务。在该情况下，mBS和sAP使用NOMA技术来发送数据。考虑到NOMA的技术特性，引入两个索引集分别表示T个MU，对于mBS端引入对于sAP端引入
首先，考虑mBS与MU部分，由于连续干扰消除机制(SIC)，我们对mBS到所有MU的信道增益按照从大到小进行排序，故有以下顺序：
gB1>gB2>…>gBj>gBi>…>gBT (1)
其中gBi表示mBS到第i个MU的信道增益，在接下来的说明中我们提到的第i个MU(或第j个MU)均是在索引集中的。
然后考虑sAP与MU部分，同样由于SIC对sAP到所有MU的信道增益按照从大到小进行排序，有以下顺序：
其中表示sAP到第m个MU的信道增益，在接下来的说明中我们提到的第m个MU(或第n个MU)均是在索引集中的。
因为索引集和的存在，每个MU都有一个二维索引(i,m)，也就是说，某个特定的MU对于mBS来说是在第i个，对于sAP来说是在第m个。我们引入一个映射：m＝Φ(i)将i与m联系起来。mBS可以通过与sAP进行数据交互获得Φ(i)。我们用Φ(i)来确保每个MU通过双连接获得的总吞吐量满足它的需求。
(2)在mBS端，每个MU的瞬时信道增益都是已知的。基于NOMA，mBS会将所有的数据叠加在同一频段上发送给每个MU。在MU端，使用SIC消除MU之间的相互干扰。以MUi、MUk和MUj为例说明SIC的工作原理，对于MUi，在接收数据中首先解码MUk(k>i，即特指MUk是排列在MUi后面)的数据，然后将解码后的数据从接收数据中删除(具体的操作顺序是k＝T,T-1,T-2,…,i+1)，同时将MUj(j<i，即特指MUj是排列在MUi前面)的数据信号视为噪声，根据以上的解码机制，由mBS到MUi的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pBi：mBS到MUi的发射功率；
RBi：mBS到MUi的吞吐量；
WB：mBS的总带宽；
nB：mBS的背景噪声。
相似的，在sAP端使用NOMA发送数据。因此由sAP到MUm的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pSm：sAP到MUi的发射功率；
RSm：sAP到MUi的吞吐量；
WS：sAP的总带宽；
nS：sAP的背景噪声。
(3)在本专利中我们考虑单个mBS和单个sAP使用不同频段信道进行数据分流的情形，因此在这两者之间不存在相互干扰。通过使用双连接技术，每个MU可以同时从mBS和sAP获得数据流量。为满足每个MU的数据流量需求设置了如下的限制条件：
其中RSΦ(i)就是RSm，表示MUi的数据流量需求。
同时，考虑到sAP的回程容量限制，添加了如下的限制条件：
其中表示sAP的回程容量。
在无线网络中，宏蜂窝基站(mBS)和辅助网络接入点(sAP)通过非正交多址接入(NOMA)发送数据，并且应用连续干扰消除机制(SIC)在mBS端和sAP端消除移动用户(MU)共用信道而产生的部分干扰，在保证每个MU数据需求之和不超过sAP回程容量，和满足所有移动用户(MU)数据流量需求的情况下最小化系统总功率消耗(Total Power Minimization,TPM)的优化问题描述为如下所示：
其中相关参数定义如下：
符合问题要求的系统功耗的最优值；
mBS的总功率；
sAP的总功率。
该问题是两端的功率分配问题，问题的最优解也就是在满足MU数据需求的情况下系统功率消耗的最小值。
注：本专利参数符号中出现的上标“*”表示参数在优化问题中的最优值。
(4)问题(TPM)是一个非凸优化问题，等价转化为凸优化问题求解。我们引入βBi来表示mBS到MUi的信号与干扰加噪声比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)，即：
在此假设是给定的，通过以上公式我们就可以递归计算出mBS到MUi的最小发射功率，表示如下：
根据此式可获得mBS端最小总功率消耗表示如下：
其中假设gB0是一个足够大的值，因此
相似的，sAP端也有相似的结论，即：
对于给定的也相似的给出sAP对MUm的最小发射功率：
故sAP端最小总功率消耗表示如下：
其中假设hS0是一个足够大的值，因此
(5)将与视为变量，同时应用mBS端和sAP端最小总功率表达式，便可以将TPM问题等价转化为如下的速率分配(Rate-Splitting,RS)问题：
RS问题表示如何合理分配MU对mBS和sAP的数据需求，为了更详细的反应该点，我们引入如下两个变量：
借助{xBi}和{ySm}对RS问题进行转化，记为RS-E：
考虑到和RS-E问题就是一个速率分配问题，也就是说，将MUi的数据需求划分为两部分(WBxBi,WSySΦ(i))来最小化mBS和sAP的总功率消耗。
(6)RS-E问题的目标函数是一个严格的凸函数，并且该问题中的两个限制条件：和 构成了一个凸可行域。因此，RS-E问题是一个严格的凸优化问题，故可以高效的求解该问题。将底层问题的解迭代回原问题，同样可以高效的求解原问题，设计的算法详细步骤描述如下：
步骤6.1：利用RS-E问题的凸性求解该问题，获得最优解和
步骤6.2：利用xBi＝log2(1+βBi)和可获得
步骤6.3：利用和可获得
步骤6.4：同理，获得
按照以上步骤便完整的求解了原TPM问题。
(7)判断原TPM问题可行性。对RS-E问题做简单的修改，并通过求解修改后的问题来验证原TPM问题的可行性，修改后的问题表示如下：
同样的与RS-E问题相似，Fea-Check问题的目标函数是一个严格的凸函数，同时限制条件：构成了一个凸可行域。因此，Fea-Check问题是一个严格的凸优化问题，可以高效的求解该问题获得V*。对于Fea-Check问题的最优解V*，如果有那么在给定的条件下，原TPM问题就是可行的，反之，则原TPM问题不可行。在ySm＝0,的情况下，Fea-Check问题总是可行的。
本发明的技术构思为：首先，在无线网络中，有T个移动用户(MU)通过双连接技术获得来自mBS和sAP的数据流量，从而缓解mBS的数据压力。在此处，mBS和sAP使用非正交多址接入(NOMA)发送数据，可以进一步提升频谱效率。接着，应用连续干扰消除机制(SIC)消除部分同频干扰。然后，在满足所有移动用户(MU)数据流量需求和考虑回程容量受限的情况下最小化整个系统总功耗。该问题是一个非凸优化问题，因此直接求解是困难的。通过对原问题进行特性分析，将该问题转化为凸的速率分配问题，最后进行高效求解。
本发明的有益效果主要表现在:1、对于整体系统而言，引入双连接技术和NOMA技术可以提升频谱效率，同时降低系统总功耗；2、对于mBS而言，因为引入双连接技术则可以缓解mBS提供数据流量的压力；3、对于MU而言，通过双连接可以获得mBS和sAP的数据服务，视网络路径状况可以灵活选择数据来源，同时能够满足自身的数据需求。
附图说明
图1是使用本发明方法的无线网络中包含一个宏蜂窝基站(mBS)，一个辅助网络接入点(sAP)以及若干移动用户(MU)的示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
参照图1，一种无线网络中基于双连接与NOMA的能效优化方法，使用该方法能够在满足MU数据需求和sAP回程容量限制的条件下，最小化系统总功率消耗，同时提升能效。本发明应用于无线蜂窝网络中(如图1所示)，mBS和sAP使用NOMA发送数据，引入SIC消除部分同频干扰。针对该问题提出的能效优化方法有如下的步骤：
(1)在mBS的覆盖范围下总共有T个移动用户(Mobile Users,MU)，同时部署一个小蜂窝辅助网络接入点(sAP)通过“双连接”为MU提供数据分流服务。在该情况下，mBS和sAP使用NOMA技术来发送数据。考虑到NOMA的技术特性，引入两个索引集分别表示T个MU，对于mBS端引入对于sAP端引入
首先，考虑mBS至MU部分，由于连续干扰消除机制(SIC)，我们对mBS到所有MU的信道增益按照从大到小进行排序，故有以下顺序：
gB1>gB2>…>gBj>gBi>…>gBT (1)
其中gBi表示mBS到第i个MU的信道增益，在接下来的说明中我们提到的第i个MU(或第j个MU)均是在索引集中的。
然后我们考虑sAP与MU部分，同样由于SIC我们对sAP到所有MU的信道增益按照从大到小进行排序，有以下顺序：
其中表示sAP到第m个MU的信道增益，在接下来的说明中我们提到的第m个MU(或第n个MU)均是在索引集中的。
因为索引集和的存在，每个MU都有一个二维索引(i,m)，也就是说，某个特定的MU对于mBS来说是在第i个，对于sAP来说是在第m个。我们引入一个映射：m＝Φ(i)将i与m联系起来。mBS可以通过与sAP进行数据交互获得Φ(i)。用Φ(i)来确保每个MU通过双连接获得的总吞吐量满足它的需求。
(2)在mBS端，每个MU的瞬时信道增益都是已知的。基于NOMA，mBS会将所有的数据叠加在同一频段上发送给每个MU。在MU端，使用SIC消除MU之间的相互干扰。以MUi、MUk和MUj为例说明SIC的工作原理，对于MUi，在接收数据中首先解码MUk(k>i，即特指MUk是排列在MUi后面)的数据，然后将解码后的数据从接收数据中删除(具体的操作顺序是j＝T,T-1,T-2,…,i+1)，同时将MUj(j<i，即特指MUj是排列在MUi前面)的数据信号视为噪声，根据以上的解码机制，由mBS到MUi的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pBi：mBS到MUi的发射功率；
RBi：mBS到MUi的吞吐量；
WB：mBS的总带宽；
nB：mBS的背景噪声。
相似的，在sAP端使用NOMA发送数据。因此由sAP到MUm的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pSm：sAP到MUi的发射功率；
RSm：sAP到MUi的吞吐量；
WS：sAP的总带宽；
nS：sAP的背景噪声。
(3)在本专利中我们考虑单个mBS和单个sAP使用不同频段信道进行数据分流的情形，因此在这两者之间不存在相互干扰。通过使用双连接技术，每个MU可以同时从mBS和sAP获得数据流量。为满足每个MU的数据流量需求设置如下的限制条件：
其中RSΦ(i)就是RSm，表示MUi的数据流量需求。
同时，考虑到sAP的回程容量限制，添加了如下的限制条件：
其中表示sAP的回程容量。
在无线网络中，mBS和sAP通过NOMA发送数据，并且应用SIC在mBS端和sAP端消除MUs共用信道而产生的部分干扰，在保证每个MU数据需求和不超过sAP回程容量的情况下最小化系统总功率消耗(Total Power Minimization,TPM)的优化问题描述为如下所示：
其中相关参数定义如下：
符合问题要求的系统功耗的最优值；
mBS的总功率；
sAP的总功率。
该问题是两端的功率分配问题，问题的最优解也就是在满足MU数据需求和不超过sAP回程容量的情况下系统功率消耗的最小值。
注：本专利参数符号中出现的上标“*”表示参数在优化问题中的最优值。
(4)问题(TPM)是一个非凸优化问题，等价转化为凸优化问题求解。我们引入βBi来表示mBS到MUi的信号与干扰加噪声比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)，即：
在此我们假设是给定的，通过以上公式就可以递归计算出mBS到MUi的最小发射功率，表示如下：
根据此式可获得mBS端最小总功率消耗表示如下：
其中假设gB0是一个足够大的值，因此
对于以上的结论，我们通过数学归纳法(forward-deduction)来证明，且有如下的证明过程。
步骤4.1：在T＝1时，由结论我们可以获得与mBS到MUi的最小发射功率表达式相符；
步骤4.2：接下来假设对于结论都是成立的；
步骤4.3：进一步添加第i+1个MU，同时保证gBT>gBT+1。当我们证明下式成立即可证明我们提出的结论正确。
步骤4.4：对步骤4.3的证明。
a.对于T+1有
b.因此可以获得
证明完毕。
相似的，sAP端也有相似的结论，即：
对于给定的也相似的给出sAP对MUm的最小发射功率：
故sAP端最小总功率消耗表示如下：
其中假设hS0是一个足够大的值，因此相关证明与mBS端一致。
(5)将与视为变量，同时应用mBS端和sAP端最小总功率表达式，便可以将TPM问题等价转化为如下的速率分配(Rate-Splitting,RS)问题：
RS问题表示如何合理分配MU对mBS和sAP的数据需求，为了更详细的反应该点，我们引入如下两个变量：
借助{xBi}和{ySm}对RS问题进行转化，转化后的问题记为RS-E：
考虑到和RS-E问题就是一个速率分配问题，也就是说，将MUi的数据需求划分为两部分(WBxBi,WSySΦ(i))来最小化mBS和sAP的总功率消耗。
(6)RS-E问题的目标函数是一个严格的凸函数，并且该问题中的两个限制条件：和 构成了一个凸可行域。因此，RS-E问题是一个严格的凸优化问题，故可以高效的求解该问题。将底层问题的解迭代回原问题，同样可以高效的求解原问题，详细步骤描述如下：
步骤6.1：利用RS-E问题的凸性求解该问题，获得最优解和
步骤6.2：利用xBi＝log2(1+βBi)和可获得
步骤6.3：利用和可获得
步骤6.4：同理，获得
按照以上步骤便完整的求解了原TPM问题。
(7)判断原TPM问题可行性。对RS-E问题做简单的修改，并通过求解修改后的问题来验证原TPM问题的可行性，修改后的问题表示如下，记为Fea-Check：
同样的与RS-E问题相似，Fea-Check问题的目标函数是一个严格的凸函数，同时限制条件：构成了一个凸可行域。因此，Fea-Check问题是一个严格的凸优化问题,可以高效的求解该问题获得V*。对于Fea-Check问题的最优解V*，如果有那么在给定的条件下，原TPM问题就是可行的，反之，则原TPM问题不可行。在ySm＝0,的情况下，Fea-Check问题总是可行的。
本实例中，图1是本专利考虑的无线网络中包含一个宏蜂窝基站(mBS)，一个辅助网络接入点(sAP)和T个移动用户(MU)的系统模型。在该系统中，主要考虑的技术要点包括以下部分：1)mBS与MU端，sAP与MU端都是通过NOMA发送数据；2)MU通过双连接获得来自mBS与sAP的数据流量；3)因为mBS是在同一频段上为所有MU发送数据，故引入SIC消除部分同频干扰，sAP同理；4)满足每个MU的数据流量需求；5)满足sAP的回程容量限制。根据以上技术要点，本专利提出了系统总功耗的优化问题，但这是一个非凸优化问题。为了克服该问题本发明分析了问题特性，对提出的优化问题进行了等价转化，转化后的问题是一个严格的凸优化问题，因此可以高效的求解。
本实例着眼于在同时满足移动用户(MU)数据流量需求和sAP回程容量限制的前提下，最小化系统总功耗，提升系统频谱效率，激励辅助网络接入点(sAP)为移动用户提供服务。我们的工作可以使得无线蜂窝网络中的移动用户获得较为优质且较为廉价的服务，进一步的能够实现整个系统的功率和频谱资源配置更优化，利用率更高。

Claims (1)

1.无线网络中基于双连接与非正交多址接入的能效优化方法，步骤如下：
(1)在宏蜂窝基站mBS的覆盖范围下总共有T个移动用户MU，同时部署了一个小蜂窝辅助网络接入点sAP通过“双连接”为移动用户MU提供数据分流服务；在该情况下，宏蜂窝基站mBS和小蜂窝辅助网络接入点sAP使用非正交多址接入技术发送数据；考虑到该技术特性，首先引入两个索引集从不同角度表示T个移动用户MU，从mBS角度引入索引集从sAP角度引入索引集
为了便于说明，对于专利中出现的专用名词有如下说明：
mBS：宏蜂窝基站；
sAP：小蜂窝辅助网络接入点；
MU：移动用户；
NOMA：非正交多址接入技术；
SIC：连续干扰消除机制；
考虑mBS至MU部分，由于SIC，对mBS到所有MU的信道增益按照从大到小进行排序，故有以下排序：
gB1>gB2>…>gBj>gBi>…>gBT (1)
其中gBi表示mBS到第i个MU的信道增益，在下文中提到的第i个MU或第j个MU均是在索引集中的；
然后考虑sAP至MU部分，同样由于SIC，对信道增益按照从大到小进行排序，有以下排序：
hS1>hS2>…>hSn>hSm>…>hST (2)
其中hSm表示sAP到第m个MU的信道增益，在接下来的说明中提到的第m个MU或第n个MU均是在索引集中的。
因为索引集和的存在，每个MU都有一个二维索引(i,m)，也就是说，某个特定的MU对于mBS来说是排列在第i个，而对于sAP来说是排列在第m个；因此，引入一个映射：m＝Φ(i)将i与m联系起来，mBS通过与sAP进行数据交互来计算获得Φ(i)，使用Φ(i)来确保每个MU通过双连接获得的总吞吐量满足它的需求；
(2)在mBS端，每个MU的信道增益都是已知的；基于NOMA，mBS会将所有的数据叠加在同一频段上发送给每个MU；在MU端，使用SIC消除部分同频干扰；对于MUi，在接收数据中首先解码MUk的数据，需要说明此处的k>i即特指MU是排列在MUi后面的，然后将解码后的数据从接收数据中删除，具体的操作顺序是k＝T,T-1,T-2,…,i+1；同时将MUj的数据信号视为干扰噪声，需要说明此处的j<i即特指MU是排序在MUi前面的，根据以上的解码机制，由mBS到MUi的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pBi：mBS到MUi的发射功率；
RBi：mBS到MUi的吞吐量；
WB：mBS的总带宽；
nB：mBS的背景噪声。
相似的，在sAP端使用NOMA发送数据。因此由sAP到MUm的吞吐量为：
其中相关参数定义如下：
pSm：sAP到MUi的发射功率；
RSm：sAP到MUi的吞吐量；
WS：sAP的总带宽；
nS：sAP的背景噪声；
(3)考虑单个mBS和单个sAP使用不同频段信道进行数据分流的情形，因此在这两者之间不存在相互干扰，通过使用双连接技术，每个MU可以同时从mBS和sAP获得数据流量；为满足每个MU的数据流量需求，设置了如下的限制条件：
其中RSΦ(i)就是RSm，表示MUi的数据流量需求；
同时，考虑到sAP的回程容量限制，添加了如下的限制条件：
其中表示sAP的回程容量；
在无线网络中，mBS和sAP通过NOMA发送数据，并且应用SIC在mBS端和sAP端消除MU共用信道而产生的部分干扰，在保证每个MU数据需求和不超过sAP回程容量的情况下最小化系统总功率消耗的优化问题，记为TPM，描述为如下所示的优化问题：
其中相关参数定义如下：
符合问题要求的系统功耗的最优值；
mBS的总功率；
sAP的总功率。
该问题是两端的功率分配问题，问题的最优解也就是在满足MU数据需求的情况下系统功率消耗的最小值。
参数符号中出现的上标“*”表示参数在优化问题中是最优值；
(4)问题TPM是一个非凸优化问题，等价转化为凸优化问题求解；引入βBi来表示mBS到MUi的信号与干扰加噪声比SINR，即：
在此假设是给定的，通过以上公式就可以递归计算出mBS到MUi的最小发射功率，表示如下：
根据此式可获得mBS端最小总功率消耗表示如下：
其中假设gB0是一个足够大的值，因此
对于以上的结论，通过数学归纳法来证明，且有如下的证明过程：
步骤4.1：在T＝1时，由结论可以获得与mBS到MUi的最小发射功率表达式相符；
步骤4.2：假设对于结论是成立的；
步骤4.3：进一步添加第i+1个MU，同时保证gBT>gBT+1，当证明以下等式成立，即可证明提出的结论正确；
步骤4.4：对步骤4.3的证明；
a.对于T+1有
b.因此可以获得
证明完毕；
相似的，sAP端也有相似的结论，即：
对于给定的也相似的给出sAP对MUm的最小发射功率：
故sAP端最小总功率消耗表示如下：
其中假设hS0是一个足够大的值，因此
以上推论的证明与mBS端一致；
(5)将与视为变量，同时应用mBS端和sAP端最小总功率表达式，便可以将TPM问题等价转化为如下的速率分配问题，记为RS：
RS问题表示如何合理分配MU对mBS和sAP的数据需求，为了更详细的反应该点，引入如下两个变量：
借助{xBi}和{ySm}可对RS问题进行转化，将转化后的问题记为RS-E：
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考虑到和RS-E问题就是一个速率分配问题，也就是说，将MUi的数据需求划分为两部分(WBxBi,WSySΦ(i))来最小化mBS和sAP的总功率消耗；
(6)RS-E问题的目标函数是一个严格的凸函数，并且该问题中的两个限制条件：和 构成了一个凸可行域；因此，RS-E问题是一个严格的凸优化问题；
因为RS-E问题是一个严格的凸优化问题，故可以高效的求解该问题，将底层问题的解迭代回原问题，同样可以高效的求解原问题，详细步骤描述如下：
步骤6.1：利用RS-E问题的凸性求解该问题，获得最优解和
步骤6.2：利用xBi＝log2(1+βBi)和可获得
步骤6.3：利用和可获得
步骤6.4：同理，获得
按照以上步骤便完整的求解了原TPM问题；
(7)判断原TPM问题可行性；对RS-E问题做简单的修改，并通过求解修改后的问题来验证原TPM问题的可行性，修改后的问题记为Fea-Check，且表示如下：
<mrow> <mo>(</mo> <mi>F</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mo>-</mo> <mi>C</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <msup> <mi>V</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mi>B</mi> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mi>B</mi> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <msubsup> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>B</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow>
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同样的与RS-E问题相似，Fea-Check问题的目标函数是一个严格的凸函数，同时限制条件：构成一个凸可行域；因此，Fea-Check问题是一个严格的凸优化问题；可以高效的求解该问题获得V*；对于Fea-Check问题的最优解V*，如果有 那么在给定的条件下，原TPM问题是可行的，反之，则原TPM问题不可行；在的情况下，Fea-Check问题总是可行的。
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