CN107436555A - 非零初始状态s型停止曲线速度规则及其在线求解方法 - Google Patents

非零初始状态s型停止曲线速度规则及其在线求解方法 Download PDF

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Abstract

本发明提出了一种非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，包括：建立S型停止轨迹模型；对所述步骤S1建立的S型停止轨迹模型，设置轨迹存在的可行条件；根据所述步骤S2中轨迹可行条件的设置，对所述步骤S1中的S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解；根据步骤S3中求解得到的轨迹参数，生成加速度轨迹、速度和位置轨迹。本发明将速度规划求解问题转换为一元非线性方程求解问题，简化求解难度。

Description

非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法
技术领域
本发明涉及工业机器人技术领域，特别涉及一种非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法。
背景技术
机器人运动过程中平滑性与快速性是衡量其运动规划控制能力的重要指标，为保证运动轨迹的平滑性，机器人运动轨迹通常采用S型速度规划或者更高阶的速度规划方法，但高阶的运动规划方法由于求解复杂，往往只应用于始、末状态(速度、加速度)为零的运动规划过程。而对于机器人从任意状态停止的运动过程，初始状态不为零且变动范围很大，为保证求解的可靠性往往采用较为简单的T型速度规划。但T型速度规划停止过程，由于加速度不连续，会在停止过程给机器人本体带来较大的冲击，从而引起结构振动。
发明内容
本发明的目的旨在至少解决所述技术缺陷之一。
为此，本发明的目的在于提出一种非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法。
为了实现上述目的，本发明的实施例提供一种非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，包括如下步骤：
步骤S1，建立S型停止轨迹模型，包括：建立7段S型速度规划轨迹为：
t∈[t0,t1]，匀加加速段，加速度从a0加加速至alim，速度持续增加；
t∈[t1,t2]，匀加速段，加速度保持为alim，速度持续增加；
t∈[t2,t3]，匀减加速段，加速度从alim减加速至0，速度增加至vlim；
t∈[t3,t4]，匀速段，加速度保持为0，速度保持在vlim；
t∈[t4,t5]，匀减加速段，加速度从0减加速至-alim，速度持续减少；
t∈[t5,t6]，匀减速段，加速度保持为-alim，速度持续减少；
t∈[t6,t7]，匀加加速段，加速度从-alim加加速至0，速度减少至0；
定义停止轨迹运动状态x(t),满足如下约束：
(1)起止条件约束：
x(t0)＝0
x(tf)＝d
(2)过程状态约束：
其中，vlim，alim，jlim分别为机器人速度、加速度、加加速度约束,；
步骤S2，对所述步骤S1建立的S型停止轨迹模型，设置轨迹存在的可行条件；
步骤S3，根据所述步骤S2中轨迹可行条件的设置，对所述步骤S1中的S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解；
步骤S4，根据步骤S3中求解得到的轨迹参数，生成加速度轨迹、速度和位置轨迹。
进一步，在所述步骤S1中，定义时间常数如下：
tj,a＝t1-tvirtual＝t3-t2
ta＝t2-t1
tv＝t4-t3
td＝t6-t5
tj,d＝tf-t6＝t5-t4
对于轨迹规划过程中，vlim或alim未达到的情况，加速段和减速段为三角形，速度为钟型，定义加速段达到的最大加速度为amax,a，减速段达到的最大负向加速度为amax,d，而加减速切换时的最大速度为vmax。
进一步，在所述步骤S2中，所述轨迹存在的可行条件，包括：
(1)基本可行条件：
-alim＜a0＜alim
0＜v0＜vlim
0＜d
(2)速度限制可行条件：
如果a0＞0,则且
如果a0＜0,则且
(3)距离限制可行条件：
如果a0＞0则：
如果a0＜0则：
其中，若表示加速度达到了最大加速度限制，此时轨迹减速时存在一段匀加速阶段，反之表示加速度达不到最大加速度限制，此时轨迹减速时加速度为梯形。
进一步，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
(1)加速段
若则最大加速度达到amax,a＝alim，有：
若则最大加速度未达到amax,a＜alim，有：
ta＝0；
(2)减速段
若则最大加速度达到-amax,d＝alim，且有：
若则最大加速度达到-amax,d＜alim，且有：
td＝0
对于以上情况，参数tv按照下式求取：
进一步，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大速度未达到，则轨迹不包含匀速段，即有tv＝0，且vmax＜vlim，此时时间参数{tj,a,ta,td,tj,d}满足以下方程：
最大加速度达到amax,a＝alim，且最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含正反两段梯形加速度，此时有
其中：
进一步，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含一段三角形加速度和一段梯形减速度，此时有
ta＝0,amax,a＝jlimtj,a
代入前述方程，得到的是一个四次方程求根(tj,a)问题
进一步，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度未达到-amax,d＜alim。轨迹包含正反两段三角形加速度。通过下式求解：
ta＝0,td＝0,amax,a＝jlimtj,a,amax,d＝jlimtj,d。
进一步，在所述步骤S4中，
加速度轨迹由解析计算式求得，速度和位置轨迹对加速度轨迹进行离散数值积分获得，并对时间圆整误差进行修正,S型停止曲线问题建模方法，是从任意初始状态停止过程的所有分支情况建模；
S型停止曲线规划问题求解方法，是将速度规划求解转换为规划过程时间划分求解问题，并通过一元非线性方程求解方法进行求解。
根据本发明实施例的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，针对任意非零初始状态的停止过程的S型速度规划方法，并且设计了相应求解方法。
本发明具有以下优点：
1)可满足初始条件(速度、加速度)不为零的状态S型速度规划停止过程；
2)提出S停止曲线速度规划包括了7段及其组合情况，可完整覆盖的S型加减速过程所有分支情况；
3)将速度规划求解问题转换为一元非线性方程求解问题，简化求解难度。
本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。
附图说明
本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：
图1为根据本发明实施例的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法的流程图；
图2为根据本发明实施例的S型速度轨迹规划的示意图；
图3为根据本发明实施例的具有三角形加速度情况的示意图；
图4为根据本发明实施例的参数求解过程的示意图。
具体实施方式
下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。
如图1所示，本发明实施例的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，包括如下步骤：
步骤S1，建立S型停止轨迹模型，包括：建立7段S型速度规划轨迹为：
以时间最优为目标，建立如图2所示7段S型速度规划轨迹：
a.t∈[t0,t1]，匀加加速段，加速度从a0加加速至alim，速度持续增加
b.t∈[t1,t2]，匀加速段，加速度保持为alim，速度持续增加
c.t∈[t2,t3]，匀减加速段，加速度从alim减加速至0，速度增加至vlim
d.t∈[t3,t4]，匀速段，加速度保持为0，速度保持在vlim
e.t∈[t4,t5]，匀减加速段，加速度从0减加速至-alim，速度持续减少
f.t∈[t5,t6]，匀减速段，加速度保持为-alim，速度持续减少
g.t∈[t6,t7]，匀加加速段，加速度从-alim加加速至0，速度减少至0
对于全初始速度为0的情况，见图1虚线所示，定义时间常数如下：
对于轨迹规划过程中，vlim或alim未达到的情况，加速段和减速段为三角形，速度为钟型，如图3所示，定义加速段达到的最大加速度为amax,a，减速段达到的最大负向加速度为amax,d(负数)，而加减速切换时的最大速度为vmax。
上述轨迹以运动加加速度(jerk)进行bang-bang切换，各切换时间参数唯一确定了轨迹运动过程。
同时，定义停止轨迹运动状态x(t),满足如下约束：
a.起止条件约束：
b.过程状态约束：
其中vlim，alim，jlim分别为机器人速度、加速度、加加速度约束。
通过以上建模过程，将任意初始状态的S型速度停止轨迹规划问题转换为求解满足(1)(2)约束的7段S规划时间问题，其算法过程如图4所示。
步骤S2，对所述步骤S1建立的S型停止轨迹模型，设置轨迹存在的可行条件。
对于1)步骤中建立的S停止曲线模型，错误的参数设置，会造成无解的情况，为避免该情况，给出轨迹存在的可行条件：
a.基本可行条件：
b.速度限制可行条件：
如果a0＞0,则且
如果a0＜0,则且
c.距离限制可行条件：
如果a0＞0则：
如果a0＜0则：
其中若表示加速度达到了最大加速度限制，此时轨迹减速时存在一段匀加速阶段，反之表示加速度达不到最大加速度限制，此时轨迹减速时加速度为梯形。
步骤S3，根据所述步骤S2中轨迹可行条件的设置，对所述步骤S1中的S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解。
1)轨迹参数求解
对于满足2)步骤中轨迹可行条件的规划过程，步骤1)中时间参数求解可分为以下情况计算：
Case1最大速度达到时vmax＝vlim：
Case1.1加速段：
Case1.1.1最大加速度达到时：amax,a＝alim
Case1.1.2最大加速度达到时：amax,a＜alim
Case1.2加速段：
Case1.2.1最大加速度达到时：-amax,d＝alim
Case1.2.2最大加速度达到时：-amax,d＜alim
Case2最大速度未达到vmax＜vlim：
Case2.1加速段：
Case2.1.1最大加速度达到时：amax,a＝alim
Case2.1.2最大加速度达到时：amax,a＜alim
Case2.2加速段：
Case2.2.1最大加速度达到时：-amax,d＝alim
Case2.2.2最大加速度达到时：-amax,d＜alim
具体分支选择判断及参数计算过程如下：
Case1：
加速段
●若则Case1.1.1成立，最大加速度达到amax,a＝alim，有：
●若则Case1.1.2成立，最大加速度未达到amax,a＜alim，有：
ta＝0
减速段
●若则Case1.2.1成立，最大加速度达到-amax,d＝alim，且有：
●若则Case1.2.2成立，最大加速度达到-amax,d＜alim，且有：
td＝0
对于以上情况，参数tv按照下式求取：
Case2：
最大速度未达到：
最大速度未达到，则轨迹不包含匀速段，即有tv＝0，且vmax＜vlim，此时时间参数{tj,a,ta,td,tj,d}满足以下方程：
Case 2.1.1成立+Case 2.2.1成立，最大加速度达到amax,a＝alim，且最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含正反两段梯形加速度。此时有
其中：
Case 2.1.2+Case 2.2.1成立时，最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含一段三角形加速度和一段梯形减速度。此时有
ta＝0,amax,a＝jlimtj,a
代入前述方程，得到的是一个四次方程求根(tj,a)问题
Case 2.1.2+Case 2.2.2成立，最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度未达到-amax,d＜alim。轨迹包含正反两段三角形加速度。通过下式求解：
ta＝0,td＝0,amax,a＝jlimtj,a,amax,d＝jlimtj,d (7)
对于以上(5)\(6)\(7)参数求解采用非线性方程求解方法，找到满足约束条件的解即为可行解。
步骤S4，根据步骤S3中求解得到的轨迹参数，生成加速度轨迹、速度和位置轨迹。
1)轨迹生成
加速度轨迹由解析计算式求得，速度和位置轨迹对加速度轨迹进行离散数值积分获得，并对时间圆整误差进行修正。S型停止曲线问题建模方法，特别是从任意初始状态停止过程的所有分支情况建模。
2)S型停止曲线规划问题求解方法，特别是将速度规划求解转换为规划过程时间划分求解问题，并通过一元非线性方程求解方法进行求解。
根据本发明实施例的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，针对任意非零初始状态的停止过程的S型速度规划方法，并且设计了相应求解方法。
本发明具有以下优点：
1)可满足初始条件(速度、加速度)不为零的状态S型速度规划停止过程；
2)提S停止曲线速度规划包括了7段及其组合情况，可完整覆盖的S型加减速过程所有分支情况；
3)将速度规划求解问题转换为一元非线性方程求解问题，简化求解难度。
在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。
尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。本发明的范围由所附权利要求及其等同限定。

Claims (8)

1.一种非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤S1，建立S型停止轨迹模型，包括：建立7段S型速度规划轨迹为：
t∈[t0,t1]，匀加加速段，加速度从a0加加速至alim，速度持续增加；
t∈[t1,t2]，匀加速段，加速度保持为alim，速度持续增加；
t∈[t2,t3]，匀减加速段，加速度从alim减加速至0，速度增加至vlim；
t∈[t3,t4]，匀速段，加速度保持为0，速度保持在vlim；
t∈[t4,t5]，匀减加速段，加速度从0减加速至-alim，速度持续减少；
t∈[t5,t6]，匀减速段，加速度保持为-alim，速度持续减少；
t∈[t6,t7]，匀加加速段，加速度从-alim加加速至0，速度减少至0；
定义停止轨迹运动状态x(t),满足如下约束：
(1)起止条件约束：
x(t0)＝0
x(tf)＝d
(2)过程状态约束：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow>
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<mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow>
其中，vlim，alim，jlim分别为机器人速度、加速度、加加速度约束；
步骤S2，对所述步骤S1建立的S型停止轨迹模型，设置轨迹存在的可行条件；
步骤S3，根据所述步骤S2中轨迹可行条件的设置，对所述步骤S1中的S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解；
步骤S4，根据步骤S3中求解得到的轨迹参数，生成加速度轨迹、速度和位置轨迹。
2.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S1中，定义时间常数如下：
tj,a＝t1-tvirtual＝t3-t2
ta＝t2-t1
tv＝t4-t3
td＝t6-t5
tj,d＝tf-t6＝t5-t4
对于轨迹规划过程中，vlim或alim未达到的情况，加速段和减速段为三角形，速度为钟型，定义加速段达到的最大加速度为amax,a，减速段达到的最大负向加速度为amax,d，而加减速切换时的最大速度为vmax。
3.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S2中，所述轨迹存在的可行条件，包括：
(1)基本可行条件：
-alim＜a0＜alim
0＜v0＜vlim
0＜d
(2)速度限制可行条件：
如果a0＞0,则且
如果a0＜0,则且
(3)距离限制可行条件：
如果a0＞0则：
<mrow> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>T</mi> <mo>&lt;</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
如果a0＜0则：
<mrow> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>T</mi> <mo>&lt;</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>T</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>T</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，若表示加速度达到了最大加速度限制，此时轨迹减速时存在一段匀加速阶段，反之表示加速度达不到最大加速度限制，此时轨迹减速时加速度为梯形。
4.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
(1)加速段
若则最大加速度达到amax,a＝alim，有：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow>
若则最大加速度未达到amax,a＜alim，有：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow>
(2)减速段
若则最大加速度达到-amax,d＝alim，且有：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> </mrow>
若则最大加速度达到-amax,d＜alim，且有：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </msqrt> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
对于以上情况，参数tv按照下式求取：
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>v</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>d</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>v</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>.</mo> </mrow>
5.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大速度未达到，则轨迹不包含匀速段，即有tv＝0，且vmax＜vlim，此时时间参数{tj,a,ta,td,tj,d}满足以下方程：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>max</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>max</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mi>max</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>A</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>v</mi> <mi>max</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
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最大加速度达到amax,a＝alim，且最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含正反两段梯形加速度，此时有
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <msqrt> <mi>&amp;Delta;</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msqrt> <mi>&amp;Delta;</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msqrt> <mi>&amp;Delta;</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>
其中：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>4</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <mi>B</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>4</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mn>3</mn> <msubsup> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>.</mo> </mrow> 3
6.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度达到-amax,d＝alim。则轨迹包含一段三角形加速度和一段梯形减速度，此时有
<mrow> <msub> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>max</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> </mrow>
代入前述方程，得到的是一个四次方程求根(tj,a)问题
<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>A</mi> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
7.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S3中，对S型停止轨迹模型中的轨迹参数进行求解，包括如下步骤：
最大加速度未达到amax,a＜alim，最大减速度未达到-amax,d＜alim。轨迹包含正反两段三角形加速度，通过下式求解：
<mrow> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>A</mi> <msub> <mi>j</mi> <mi>lim</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow>
ta＝0,td＝0,amax,a＝jlimtj,a,amax,d＝jlimtj,d。
8.如权利要求1所述的非零初始状态S型停止曲线速度规则及其在线求解方法，其特征在于，在所述步骤S4中，
加速度轨迹由解析计算式求得，速度和位置轨迹对加速度轨迹进行离散数值积分获得，并对时间圆整误差进行修正,S型停止曲线问题建模方法，是从任意初始状态停止过程的所有分支情况建模；
S型停止曲线规划问题求解方法，是将速度规划求解转换为规划过程时间划分求解问题，并通过一元非线性方程求解方法进行求解。
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