CN107436208B - 一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法 - Google Patents

一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法，使用的电容式壁面剪应力传感器探头，包括弹性梁(1)、浮动单元(2)、基底(3)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)、限位结构(6)和绝缘基底(7)，建模方法包括在电容式壁面剪应力传感器探头上施加剪应力，针对电容式壁面剪应力传感器的量程、固有频率、分辨率和非线性度进行全解析模型构建的步骤。本发明通过建立电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型，明确了传感器探头结构参数与传感器性能指标之间的关系，使设计人员可以根据用户对传感器性能的要求来确定合适的结构参数，能够更有针对性地获取传感器设计最优方案。

Description

一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法
技术领域
本发明属于传感器技术领域,涉及一种具有浮动单元的电容式壁面剪应力微型传感器的全解析模型建模方法。
背景技术
流体壁面剪应力(wall shear stress)又被称作为摩阻应力，其有效测量是精确掌握摩擦阻力的基础；同时，作为基本流动力学参量之一，其精确测量为判断边界层分离、转捩等流动状态等提供了重要参考依据，对于飞行器、发动机、航行器等设计优化以及减阻降噪有重要指导意义。
微传感器为流体壁面剪应力测量提供了重要手段。目前测量流体壁面剪应力的方法有直接法和间接法两种。由于间接法测量剪应力的过程受到影响因素较多，因此测量精度不高；直接法测量剪应力的传感器探头一般具有弹性梁和浮动单元等结构，其中浮动单元在剪应力作用下产生微小的线性位移，该位移大小可以直接反映被测剪应力值。直接法测量剪应力的受环境等影响较小，可能达到较高的测量精度。
直接法测量剪应力的传感器包括电容式、压阻式和光学式等，其中电容式剪应力传感器探头结构工艺简单、稳定性好，具有检测分辨率和灵敏度高等优点，应用前景广阔。电容式壁面剪应力传感器的测量原理是通过梳齿结构组成梳齿电容器，在剪应力的作用下，可动梳齿随浮动单元一起运动，使得相邻梳齿间距发生变化，由此引起梳齿电容值改变。通过检测电路可以将电容值的改变量转化为电压信号输出，该输出结果能够直接反映剪应力的大小。
1988年，Schmidt等人首先对电容式剪应力传感器进行研究，给出了传感器探头的设计原理和标定方法，并对其进行了测试。但是文中没有给出传感器探头具体结构的设计过程，也没有深入系统地分析性能指标与传感器探头特定结构尺寸的具体关系。
2011年，Vijay Chandrasekharan等人对电容式剪应力传感器探头的结构进行了更为详细的设计。由于考虑因素繁多，他们的设计过程非常复杂，很难系统地掌握传感器探头结构与传感器性能指标之间的相互关系。因此设计人员往往通过经验或者是试错的方法来确定传感器探头最终的设计结果。一方面对于设计人员专业知识和经验要求很高，另一方面也降低了传感器设计效率。
发明内容
针对上述问题，本发明建立了电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型，该解析模型明确了传感器探头结构参数与传感器性能指标之间的关系，使传感器探头的设计思路更加清晰，同时设计人员可以根据用户对传感器性能的要求来确定合适的结构参数，能够更有针对性地获取最优方案，提高了设计的效率。
考虑到现有技术的上述问题，根据本发明公开的一个方面，本发明采用以下技术方案：
一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法，使用的电容式壁面剪应力传感器探头，包括：弹性梁(1)、浮动单元(2)、基底(3)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)、限位结构(6)和绝缘基底(7)，其中，弹性梁(1)为4根，两根弹性梁(1)位于传感器探头两端，两根弹性梁(1)位于传感器探头中部，基底(3)位于绝缘基底(7)上部，环绕在传感器探头四周，浮动单元(2)位于基底(3)环绕的内部，位于传感器探头两端的两根弹性梁(1)将基底(3)分隔为三个部分，弹性梁(1)两侧分别固连于浮动单元(2)和基底(3)，可动梳齿(4)固连于浮动单元(2)外侧，固定梳齿(5)固连于基底(3)内侧，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)和限位结构(6)悬浮在绝缘基底(7)上方，由弹性梁(1)、基底(3)和绝缘基底(7)提供支撑；其特征在于，所述方法包括以下步骤：
1)将剪应力施加在电容式壁面剪应力传感器探头上；
流体流过传感器探头上表面时因其粘性会产生剪应力作用于浮动单元(2)，使得浮动单元(2)及其固连可动梳齿(4)相对于固连于基底(3)的固定梳齿(5)发生位移，导致固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，该电容值发生的变化量能通过检测电路测得，进而得到被测剪应力的大小；
当剪应力作用在传感器探头的上表面时，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)和固定梳齿(5)都将受到剪应力的作用，其中作用于弹性梁(1)上的剪应力过小，忽略不计，同时将作用于可动梳齿(4)上的剪应力等效作用到浮动单元(2)上，即增加浮动单元(2)的理论面积，假设浮动单元(2)整体是刚性的，最终传感器探头的受力情况等效为两根受到集中载荷的双端固支梁,作用点位于固支梁的中点；
2)分别针对电容式壁面剪应力传感器的量程、固有频率、分辨率和非线性度进行建模，完成全解析模型的构建；
2.1)基于传感器的量程建模；
设作用于浮动单元(2)的剪应力为τ，即传感器的量程，则单根双端固支梁受到的集中载荷为其中，Le为浮动单元的长度；We为浮动单元的宽度；
根据Euler-Bernoulli弯曲方程，弹性梁(1)的位移大小δ表示为：
其中，Lt：弹性梁的长度；Wt：弹性梁的宽度；E：传感器制造材料弹性模量；t：器件层的厚度；I为惯性矩；
将公式(1)变形得到剪应力τ与浮动单元(2)位移之间的关系，即基于传感器的量程建立的全解析模型为：
令表示弹性梁(1)的刚度，根据公式(2)，传感器探头所受到的剪应力τ大小与浮动单元(2)的位移呈线性关系，当浮动单元(2)的位移大小δ一定时，传感器能够测量的剪应力大小与浮动单元(2)的面积WeLe成反比，与弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt的三次方成正比；
2.2)基于传感器的固有频率建模；
根据固有频率计算公式得出传感器的固有频率f0，即基于传感器的固有频率建立的全解析模型为：
其中，ρ：传感器制造材料质量密度；
根据公式(3)可知，决定传感器探头的固有频率f0的因素为浮动单元(2)和弹性梁(1)，浮动单元(2)的面积WeLe越小、弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt越大，传感器的固有频率也就越大；
2.3)基于传感器的分辨率建模；
当浮动单元(2)在剪应力的作用下产生位移δ时，固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，根据电容检测原理，电容值变化量越大，越有利于提高传感器的分辨率，因此将梳齿电容以差动形式接入读取电路，同时将梳齿排布采取定比偏置的方式，通过这两种方式来增加电容值变化量：
当浮动单元(2)产生一定位移δ时，两对差动电容的电容值变化量分别为和此时传感器输出电容值的实际变化量ΔCreal为：
其中，ε：空气中介电常数；Lc：梳齿的重合长度；d：相邻梳齿间距；λ：偏置比；
当δ＜＜d，λ＞1时，得到ΔCreal的近似电容值变化量ΔC为：
公式(5)表示一对梳齿电容的电容值变化量，当梳齿电容排布空间一定时，偏置比不同会导致梳齿对数有所差异，故应考虑梳齿排布空间距离等于浮动单元(2)的长度Le，一对梳齿占据的空间长度2Wc+(1+λ)d，因此单排梳齿对数n表示为：
此时传感器探头总的电容值变化量ΔCtotal为：
在传感器探头结构参数一定的情况下，ΔCtotal变化曲线是一个存在最大值的单峰连续曲线，当
时梳齿电容的电容值变化量达到最大值，其中p＝-3，
结合公式(1)和(2)变形得出传感器分辨率τmin，即基于传感器的分辨率建立的全解析模型为：
分辨率τmin为传感器能够测量的最小剪应力值，该值越小，表示传感器的分辨率越高；由式(7)可以看出，传感器受到的剪应力与梳齿电容值变化量呈线性关系，当传感器探头的结构参数确定之后，检测电路能够检测到的最小电容值ΔCmin直接决定了传感器的分辨率τmin大小；
2.4)基于传感器的非线性度建模；
在计算电容值变化量时忽略了Taylor高阶无穷小量，此时计算剪应力时产生了截断误差，该截断误差引入的非线性度，即基于传感器的非线性度建立的全解析模型为：
影响传感器非线性度的因素主要包括梳齿初始间距d和浮动单元(2)的最大位移δmax，因此当传感器探头梳齿初始间距d一定时，对非线性度进行约束，能够得到浮动单元(2)的最大位移δmax，从而限制传感器的量程。
本发明从理论上建立传感器探头的全解析模型，从更深层次探索传感器探头结构参数对传感器性能指标的具体影响结果，使得设计人员根据用户对传感器性能指标的需求，能够快速、准确得出传感器探头结构的设计结果。
附图说明
图1是传感器探头的结构图；
图2(a)是传感器探头的俯视结构简图，(b)是传感器探头的力学模型；
图3是传感器探头的机电模型；
图4是梳齿电容的等效电路图；
图5是传感器性能指标与其探头具体结构的关系图。
具体实施方式
下面结合实施例对本发明作进一步地详细说明，但本发明的实施方式不限于此。
本发明所涉及的电容式剪应力传感器在全解析模型的建立过程中需要用到的符号及其说明:
Lt：弹性梁的长度；
d：相邻梳齿间距；
Wt：弹性梁的宽度；
λ：偏置比；
Le：浮动单元的长度；
We：浮动单元的宽度；
Lc：梳齿的重合长度；
Wc：梳齿的宽度；
t：器件层的厚度；
N：梳齿对数；
ε：空气中介电常数；
ρ：制造材料质量密度；
E：制造材料弹性模量。
所涉及的电容式剪应力传感器的性能指标及其含义说明：
量程/τmax：传感器能够测量剪应力值的范围，可以用传感器能够测量的最大剪应力值反映该指标大小；
固有频率/f0:传感器的固有属性，该指标能够反映传感器的动态测试性能，固有频率越高，表示传感器的动态测试性能越好；
分辨率/τmin:传感器能够测量的最小剪应力值，该值越小，表示传感器的分辨率越高；
非线性度/γ:传感器校准曲线与拟合直线间的最大偏差与满量程输出的百分比，该比值越小，说明传感器的非线性度越低，传感器测量的剪应力值越精确。
本发明使用的电容式壁面剪应力传感器探头，包括：弹性梁(1)、浮动单元(2)、基底(3)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)、限位结构(6)和绝缘基底(7)，参见附图1，其中，弹性梁(1)为4根，两根弹性梁(1)位于传感器探头两端，两根弹性梁(1)位于传感器探头中部，基底(3)位于绝缘基底(7)上部，环绕在传感器探头四周，浮动单元(2)位于基底(3)环绕的内部，位于传感器探头两端的两根弹性梁(1)将基底(3)分隔为三个部分，弹性梁(1)两侧分别固连于浮动单元(2)和基底(3)，可动梳齿(4)固连于浮动单元(2)外侧，固定梳齿(5)固连于基底(3)内侧，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)和限位结构(6)悬浮在绝缘基底(7)上方，由弹性梁(1)、基底(3)和绝缘基底(7)提供支撑。
一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法，包括以下步骤：
1)将剪应力施加在电容式壁面剪应力传感器探头上；
流体流过传感器探头上表面时因其粘性会产生剪应力作用于浮动单元(2)，使得浮动单元(2)及其固连可动梳齿(4)相对于固连于基底(3)的固定梳齿(5)发生位移，导致固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，该电容值发生的变化量能通过检测电路测得，进而得到被测剪应力的大小；
当剪应力作用在传感器探头的上表面时，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)和固定梳齿(5)都将受到剪应力的作用，其中作用于弹性梁(1)上的剪应力过小，忽略不计，同时将作用于可动梳齿(4)上的剪应力等效作用到浮动单元(2)上，即增加浮动单元(2)的理论面积，假设浮动单元(2)整体是刚性的，最终传感器探头的受力情况等效为两根受到集中载荷的双端固支梁,作用点位于固支梁的中点，如图2所示；
2)分别针对电容式壁面剪应力传感器的量程、固有频率、分辨率和非线性度进行建模，完成全解析模型的构建；
2.1)基于传感器的量程建模；
设作用于浮动单元(2)的剪应力为τ，即传感器的量程，则单根双端固支梁受到的集中载荷为其中，Le为浮动单元的长度；We为浮动单元的宽度；
根据Euler-Bernoulli弯曲方程，弹性梁(1)的位移大小δ表示为：
其中，Lt：弹性梁的长度；Wt：弹性梁的宽度；E：传感器制造材料弹性模量；t：器件层的厚度；I为惯性矩；
将公式(1)变形得到剪应力τ与浮动单元(2)位移之间的关系，即基于传感器的量程建立的全解析模型为：
令表示弹性梁(1)的刚度，根据公式(2)，传感器探头所受到的剪应力τ大小与浮动单元(2)的位移呈线性关系，当浮动单元(2)的位移大小δ一定时，传感器能够测量的剪应力大小与浮动单元(2)的面积WeLe成反比，与弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt的三次方成正比；
2.2)基于传感器的固有频率建模；
根据固有频率计算公式得出传感器的固有频率f0，即基于传感器的固有频率建立的全解析模型为：
其中，ρ：传感器制造材料质量密度；
根据公式(3)可知，决定传感器探头的固有频率f0的因素为浮动单元(2)和弹性梁(1)，浮动单元(2)的面积WeLe越小、弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt越大，传感器的固有频率也就越大；
2.3)基于传感器的分辨率建模；
当浮动单元(2)在剪应力的作用下产生位移δ时，固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，根据电容检测原理，电容值变化量越大，越有利于提高传感器的分辨率，因此将梳齿电容以差动形式接入读取电路，同时将梳齿排布采取定比偏置的方式，通过这两种方式来增加电容值变化量：
图3是传感器探头的机电模型，c1 +和c1 -、c2 +和c2 -分别组成一对差动电容，图4是差动电容等效电路图。
当浮动单元(2)产生一定位移δ时，两对差动电容的电容值变化量分别为和此时传感器输出电容值的实际变化量ΔCreal为：
其中，ε：空气中介电常数；Lc：梳齿的重合长度；d：相邻梳齿间距；λ：偏置比；
当δ＜＜d，λ＞1时，得到ΔCreal的近似电容值变化量ΔC为：
公式(5)表示一对梳齿电容的电容值变化量，当梳齿电容排布空间一定时，偏置比不同会导致梳齿对数有所差异，故应考虑梳齿排布空间距离等于浮动单元(2)的长度Le，一对梳齿占据的空间长度2Wc+(1+λ)d，因此单排梳齿对数n表示为：
此时传感器探头总的电容值变化量ΔCtotal为：
在传感器探头结构参数一定的情况下，ΔCtotal变化曲线是一个存在最大值的单峰连续曲线，当
时梳齿电容的电容值变化量达到最大值，其中p＝-3，
结合公式(1)和(2)变形得出传感器分辨率τmin，即基于传感器的分辨率建立的全解析模型为：
分辨率τmin为传感器能够测量的最小剪应力值，该值越小，表示传感器的分辨率越高；由式(7)可以看出，传感器受到的剪应力与梳齿电容值变化量呈线性关系，当传感器探头的结构参数确定之后，检测电路能够检测到的最小电容值ΔCmin直接决定了传感器的分辨率τmin大小；
2.4)基于传感器的非线性度建模；
在计算电容值变化量时忽略了Taylor高阶无穷小量，此时计算剪应力时产生了截断误差，该截断误差引入的非线性度，即基于传感器的非线性度建立的全解析模型为：
影响传感器非线性度的因素主要包括梳齿初始间距d和浮动单元(2)的最大位移δmax，因此当传感器探头梳齿初始间距d一定时，对非线性度进行约束，能够得到浮动单元(2)的最大位移δmax，从而限制传感器的量程。
下面通过实施例对本发明涉及的传感器探头进行设计：
本发明所涉及的电容式剪应力传感器的性能指标包括传感器的量程(公式(2))、固有频率(公式(3))、分辨率(公式(9))和非线性度(公式(10))等，这些性能指标与传感器特定结构参数之间的关系如图5所示,在进行具体结构设计时应当按照以下步骤进行：
确定基本参数：本发明选取硅(Si)作为制造传感器探头的材料，其弹性模量E＝130GPa，质量密度ρ＝2330kg/m3，空气中介电常数ε＝8.86×10-12F/m；考虑到MEMS器件的尺寸较小，可以设计传感器探头的浮动单元(2)尺寸为We×Le×t＝800μm×1000μm×30μm，考虑到实际加工能力(最小线宽2μm，深宽比15:1)，确定梳齿初始间距d＝2μm，梳齿的宽度Wc＝3μm，此时根据公式(8)可以计算出最佳偏置比λ＝2.492；当排布三排梳齿时，梳齿的总对数N＝3n，为了降低某些梳齿断裂对传感器性能造成影响，故梳齿对数设计值取N＝200，同时为了保证梳齿强度，确定梳齿重合长度Lc＝90μm；此外，检测电路能够检测的最小电容值变化量ΔCmin＝2×10-15F；
依据分辨率大小进行传感器结构设计：若用户需求的传感器分辨率优于0.3Pa，则公式(9)应当满足条件：
可以得到弹性梁(1)的宽长比此时根据公式(3)可以得到传感器的固有频率为f0≤10.5kHz；
对传感器综合性能进行优化设计，根据公式(2)和公式(10)可以看出，传感器的量程和非线性度均是与浮动单元(2)最大位移δmax相关的量，所以为了保证传感器具有较好的测量精度，可以约束γ≤1.5％，结合公式(10)计算得到δmax≤0.225μm，再结合公式(2)计算得到传感器的量程τ≤55.8Pa。
至此，只需要确定传感器探头的弹性梁(1)的宽度Wt和长度Lt即可完成传感器探头的结构设计。为了保证弹性梁(1)强度足够，一般取弹性梁(1)的宽度Wt≥7μm，此时根据上述推导过程中弹性梁(1)的宽长比计算得出弹性梁(1)的长度Lt≤223μm。上述等号可以同时成立，因此可以得到传感器探头的设计结构参数：
梳齿宽度：3μm
初始间距：2μm
梳齿对数：200
器件层厚度：30μm
偏置比：2.492
最大位移：0.225μm
梳齿重合长度：90μm
梳齿列数：3
浮动单元(2)的长度：1000μm
浮动单元(2)的宽度：800μm
弹性梁(1)的长度：223μm
弹性梁(1)的宽度：7μm
相应传感器性能指标：
量程：55.8Pa
固有频率：10.5kHz
非线性度：1.5％
分辨率：0.3Pa。

Claims (1)

1.一种电容式壁面剪应力传感器探头的全解析模型建模方法，使用的电容式壁面剪应力传感器探头，包括：弹性梁(1)、浮动单元(2)、基底(3)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)、限位结构(6)和绝缘基底(7)，其中，弹性梁(1)为4根，两根弹性梁(1)位于传感器探头两端，两根弹性梁(1)位于传感器探头中部，基底(3)位于绝缘基底(7)上部，环绕在传感器探头四周，浮动单元(2)位于基底(3)环绕的内部，位于传感器探头两端的两根弹性梁(1)将基底(3)分隔为三个部分，弹性梁(1)两侧分别固连于浮动单元(2)和基底(3)，可动梳齿(4)固连于浮动单元(2)外侧，固定梳齿(5)固连于基底(3)内侧，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)、固定梳齿(5)和限位结构(6)悬浮在绝缘基底(7)上方，由弹性梁(1)、基底(3)和绝缘基底(7)提供支撑；其特征在于，所述方法包括以下步骤：
1)将剪应力施加在电容式壁面剪应力传感器探头上；
流体流过传感器探头上表面时因其粘性会产生剪应力作用于浮动单元(2)，使得浮动单元(2)及其固连可动梳齿(4)相对于固连于基底(3)的固定梳齿(5)发生位移，导致固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，该电容值发生的变化量能通过检测电路测得，进而得到被测剪应力的大小；
当剪应力作用在传感器探头的上表面时，弹性梁(1)、浮动单元(2)、可动梳齿(4)和固定梳齿(5)都将受到剪应力的作用，其中作用于弹性梁(1)上的剪应力过小，忽略不计，同时将作用于可动梳齿(4)上的剪应力等效作用到浮动单元(2)上，即增加浮动单元(2)的理论面积，假设浮动单元(2)整体是刚性的，最终传感器探头的受力情况等效为两根受到集中载荷的双端固支梁,作用点位于固支梁的中点；
2)分别针对电容式壁面剪应力传感器的量程、固有频率、分辨率和非线性度进行建模，完成全解析模型的构建；
2.1)基于传感器的量程建模；
设作用于浮动单元(2)的剪应力为τ，即传感器的量程，则单根双端固支梁受到的集中载荷为其中，Le为浮动单元的长度；We为浮动单元的宽度；
根据Euler-Bernoulli弯曲方程，弹性梁(1)的位移大小δ表示为：
其中，Lt：弹性梁的长度；Wt：弹性梁的宽度；E：传感器制造材料弹性模量；t：器件层的厚度；I为惯性矩；
将公式(1)变形得到剪应力τ与浮动单元(2)位移之间的关系，即基于传感器的量程建立的全解析模型为：
令表示弹性梁(1)的刚度，根据公式(2)，传感器探头所受到的剪应力τ大小与浮动单元(2)的位移呈线性关系，当浮动单元(2)的位移大小δ一定时，传感器能够测量的剪应力大小与浮动单元(2)的面积WeLe成反比，与弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt的三次方成正比；
2.2)基于传感器的固有频率建模；
根据固有频率计算公式得出传感器的固有频率f0，即基于传感器的固有频率建立的全解析模型为：
其中，ρ：传感器制造材料质量密度；
根据公式(3)可知，决定传感器探头的固有频率f0的因素为浮动单元(2)和弹性梁(1)，浮动单元(2)的面积WeLe越小、弹性梁(1)的宽长比Wt/Lt越大，传感器的固有频率也就越大；
2.3)基于传感器的分辨率建模；
当浮动单元(2)在剪应力的作用下产生位移δ时，固定梳齿(5)和可动梳齿(4)间的电容值发生变化，根据电容检测原理，电容值变化量越大，越有利于提高传感器的分辨率，因此将梳齿电容以差动形式接入读取电路，同时将梳齿排布采取定比偏置的方式，通过这两种方式来增加电容值变化量：
当浮动单元(2)产生一定位移δ时，两对差动电容的电容值变化量分别为和此时传感器输出电容值的实际变化量ΔCreal为：
其中，ε：空气中介电常数；Lc：梳齿的重合长度；d：相邻梳齿间距；λ：偏置比；
当δ<<d，λ>1时，得到ΔCreal的近似电容值变化量ΔC为：
公式(5)表示一对梳齿电容的电容值变化量，当梳齿电容排布空间一定时，偏置比不同会导致梳齿对数有所差异，故应考虑梳齿排布空间距离等于浮动单元(2)的长度Le，一对梳齿占据的空间长度2Wc+(1+λ)d，因此单排梳齿对数n表示为：
此时传感器探头总的电容值变化量ΔCtotal为：
在传感器探头结构参数一定的情况下，ΔCtotal变化曲线是一个存在最大值的单峰连续曲线，当
时梳齿电容的电容值变化量达到最大值，其中p＝-3，
结合公式(1)和(2)变形得出传感器分辨率τmin，即基于传感器的分辨率建立的全解析模型为：
分辨率τmin为传感器能够测量的最小剪应力值，该值越小，表示传感器的分辨率越高；由式(7)可以看出，传感器受到的剪应力与梳齿电容值变化量呈线性关系，当传感器探头的结构参数确定之后，检测电路能够检测到的最小电容值ΔCmin直接决定了传感器的分辨率τmin大小；
2.4)基于传感器的非线性度建模；
在计算电容值变化量时忽略了Taylor高阶无穷小量，此时计算剪应力时产生了截断误差，该截断误差引入的非线性度，即基于传感器的非线性度建立的全解析模型为：
影响传感器非线性度的因素主要包括梳齿初始间距d和浮动单元(2)的最大位移δmax，因此当传感器探头梳齿初始间距d一定时，对非线性度进行约束，能够得到浮动单元(2)的最大位移δmax，从而限制传感器的量程。
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