CN107415939A - 一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法 - Google Patents

一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，包括：步骤1：根据车速传感器和方向盘转角传感器检测的信号，状态观测模块通过计算，得到车辆行驶的纵向车速u和前轮转角δ；步骤2：根据步骤1得到纵向车速u和前轮转角δ，利用线性二自由度车辆动力学模型，得到车辆行驶时的参考横摆角速度ωrd；步骤3：利用陀螺仪检测到车辆的实际横摆角速度ωr；步骤4：根据参考横摆角速度ωrd和实际横摆角速度ωr设计转向稳定性控制器，得到车辆转向稳定控制所需的横摆力矩；步骤5：以最小轮胎利用率为优化目标，设计分配函数，得到四个轮毂电机的驱动力矩Ti。有效抑制系统“抖振”现象，增加鲁棒性，使分布式驱动电动汽车转向稳定性得到很好控制。

Description

一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法
技术领域
本发明涉及分布式驱动电动汽车转向稳定性控制，具体涉及一种基于自适应反演滑模的分布式驱动电动汽车横摆角速度控制方法。
背景技术
随着能源危机和环境污染问题的日趋严重，电动汽车越来越受到重视，特别是分布式驱动电动汽车因其结构简单，在进行稳定性控制时只需对四个轮毂电机的驱动力矩进行控制，使得控制更加方便。通常情况下，分布式驱动电动汽车在转向时，由于驾驶员的误操作以及外界的干扰，往往会造成侧滑、甩尾等危险情况，严重影响驾驶的安全性和舒适性。当车辆质心侧偏角较小时，横摆角速度与车辆稳定行驶工况有直接的关系，因此有必要保持汽车实际横摆角速度和参考横摆角速度之差在较小的值，以提高车辆的操纵稳定性。
目前，分布式驱动电动汽车的横摆角速度跟踪控制采用滑模控制、神经网络控制以及自适应控制等方法，都可以取得不错的效果。但由于车辆行驶工况的复杂性，车辆参数的不确定性，因此很难找到精确的模型来描述车辆运动时的动力学性能。所以，很有必要提高控制策略对参数摄动以及外界干扰的鲁棒性。
国家专利201510922607.X提出使用高阶滑模来抑制滑模变结构控制中“抖振”现象，但未考虑车辆在极限工况下，其不确定性是不满足匹配条件以及外界干扰边界无法确定。
国家专利201610532348.4提出使用模糊控制来获得使车辆转向稳定所需的附加横摆力矩，但未考虑车辆模型的参数摄动，以及外界扰动的不确定性。
滑模变结构控制往往被运用到非线性系统控制设计中，具有结构简单、控制精度高的特点，但传统变结构控制要求系统的不确定性满足匹配条件，但车辆在极限工况下转向时，由于各种不确定干扰的存在，其不确定性往往是不满足匹配条件的。自适应控制是一种能够修正自己特性以适应对象和扰动动态特性变化的一种控制方法，相对于神经网络控制方法而言，改善了神经网络控制离线学习的弊端，提高控制的鲁棒性。同时在一般滑模变结构控制中，控制率的设计通常要求系统的不确定性范围的界已知，但实际工程中往往是难以实现的，自适应滑模控制在此类系统中能够有良好的鲁棒性。反演法是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后为每个子系统设计控制函数，采用反复选择合适的状态空间函数作为控制输入，通过迭代、反推和Lyapunov函数优化，进而完成整个控制器的设计。由于反演法是与Lyapunov理论相结合，所设计的控制器的稳定性可直接用Lyapunov函数给出证明，同时可以解决非线性系统非匹配不确定性问题。滑模控制能够很好地对具有不确定模型参数的系统进行鲁棒控制，但会存在“抖振”问题。非线性自适应反演法，不需要确定边界，在设计过程中保留了系统中有用的非线性特性，具有良好的过渡过程品质。因此，将自适应反演控制和滑模控制进行结合，既可以简化反演控制的设计，减弱抖振，又可以增加系统对非匹配不确定性的鲁棒性，所以自适应反演滑模控制在具有参数误差、外界干扰等不确定性的控制系统中有着优越的表现。
发明内容
为了提高分布式驱动电动汽车转向时的稳定性，解决由于模型参数摄动、外部环境改变所引起的横摆角速度跟踪的误差，本发明提出来一种基于自适应反演滑模的分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，能够有效地提高控制系统的鲁棒性，提高分布式驱动电动汽车转向时的操纵稳定性。
本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：
一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，其方法包括如下步骤：
步骤一：根据车速传感器和方向盘转角传感器检测的信号，状态观测模块通过计算，得到车辆行驶的纵向车速u和前轮转角δ。
步骤二：根据步骤一得到的纵向车速u和前轮转角δ，利用线性二自由度车辆动力学模型，得到车辆行驶时的参考横摆角速度ωrd。
步骤三：利用陀螺仪检测到车辆的实际横摆角速度ωr。
步骤四：根据参考横摆角速度ωrd和实际横摆角速度ωr设计转向稳定性控制器，得到车辆转向稳定控制所需的横摆力矩。
步骤五：以最小轮胎利用率为优化目标，设计分配函数，得到四个轮毂电机的驱动力矩Ti。
本发明有益效果如下：
本发明基于自适应反演滑模的分布式驱动电动汽车转向稳定性控制，以实际运动横摆角速度与参考横摆角速度的差值作为输入量，基于自适应反演滑模方法，得出使分布式驱动转向时稳定控制所需的横摆力矩。解决了系统因为建模不准确、参数摄动以及外部环境变化时控制策略失效引起的车辆稳定性控制问题。提高了系统的鲁棒性并降低了滑模控制中固有的抖振问题，通过调节控制系统的相关参数，可以减少控制系统的收敛时间，提高分布式驱动电动汽车转向稳定控制的快速性和鲁棒性。
附图说明
图1是分布式驱动电动汽车转向稳定性控制原理图。
图2是自适应反演滑模控制算法流程图。
图3是分布式驱动电动汽车转向稳定性控制流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明。
如图1、图3所示，根据驾驶员的方向盘转角输入信号和车辆纵向车速信号，车辆模型模块计算出车辆参考横摆角速度ωrd。
本发明中所述的参考车辆模型为车辆二自由度线性模型，所述的二自由度为质心侧偏角和横摆角速度两个自由度，参考模型的状态方程为：
其中，β为车辆质心侧偏角，ωr为车辆横摆角速度，k1为前轴侧偏刚度，k2为后轴侧偏刚度，a为前轴到车辆质心距离，b为后轴到车辆质心距离，m为整车质量，u为车辆纵向车速，Iz为横摆惯量，δ为车辆前轮转角，Mz为维持车辆转向稳定控制所需横摆力矩。
根据式(1)可以求出，车辆参考横摆角速度ωrd。
根据车载陀螺仪可以测得车辆运动实际横摆角速度ωr。
根据前述方法获得的车辆参考横摆角速度ωrd和车辆运动实际横摆角速度ωr，设计车辆转向稳定性控制器，求解使得车辆实际运动状态跟踪参考运动状态所需的目标控制力矩。
所述的转向稳定性控制器，其具体滑模控制方法设计如下：
根据车辆线性二自由度模型，得到车辆转向时横摆角速度的数学模型为：
其中，Δ为干扰的不确定性。
考虑到系统的不确定性和外部干扰，将车辆转向时横摆角速度表示为：
其中，d(t)表示外加干扰。
进一步，可将式(2)改写为：
其中，F为总的不确定性，其表达式为：
F＝ΔAωr+ΔBu+d(t)
其中，ΔA和ΔB为系统参数不确定部分，假设参数不确定部分及外加干扰项变化缓慢，即
设计自适应反演滑模控制器，得到自适应反演滑模控制律，如图2所示，具体方法如下：
假设位置指令为ωrd，控制器设计步骤分以下三步。
(1)横摆角速度跟踪误差为z1＝ωr-ωrd，则
定义Lyapunov函数
定义其中c1为正的常数，z2为虚拟控制项，则且
定义滑模面为
σ＝k1z1+z2
其中，k1>0。
由于则
由于k1+c1>0，显然，如果σ＝0，则z1＝0，z2＝0且为此，需进行下一步设计，保证滑模面等于或趋近于零。
(2)定义Lyapunov函数
则
设计控制律为
其中，h和γ为正的常数。
将式(4)代入式(3)得
(3)考虑到系统参数不确定的未知性，根据自适应控制理论，定义Lyapunov函数
其中，为F的估计值，F的估计误差为μ为一个正的常数。则
设计自适应控制器为：
设计自适应律为：
将式(6)和式(7)带入式(5)得
取
由于
其中zT＝[z1 z2]。
则如果保证Q为正定矩阵，有
由于
通过取h、c1和k的值，可使|Q|>0，从而保证Q为正定矩阵，从而保证因此，σ可以从任意初始状态收敛至零，实现了系统的全局稳定性，能够使系统输出的横摆角速度跟踪误差在有限时间内收敛至零。
根据上述滑模控制方法，可以得到保持车辆转向稳定控制所需的横摆力矩，通过横摆力矩分配模块，以最小轮胎利用率为约束条件来设计目标函数，实现四轮轮毂电机驱动力矩最优分配，从而达到车辆转向稳定性实时闭环控制。
上文所列出的一系列的详细说明仅仅是针对本发明的可行性实施方式的具体说明，它们并非用以限制本发明的保护范围，凡未脱离本发明技艺精神所作的等效实施方式或变更均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：根据车速传感器和方向盘转角传感器检测的信号，状态观测模块通过计算，得到车辆行驶的纵向车速u和前轮转角δ；
步骤2：根据步骤1得到的纵向车速u和前轮转角δ，利用线性二自由度车辆动力学模型，得到车辆行驶时的参考横摆角速度ωrd；
步骤3：利用陀螺仪检测到车辆的实际横摆角速度ωr；
步骤4：根据参考横摆角速度ωrd和实际横摆角速度ωr设计转向稳定性控制器，得到车辆转向稳定控制所需的横摆力矩；
步骤5：以最小轮胎利用率为优化目标，设计分配函数，得到四个轮毂电机的驱动力矩Ti。
2.根据权利要求1所述的一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，其特征在于，所述步骤2所述的线性二自由度车辆动力学模型微分方程为：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bk</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>*</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>u</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bk</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>*</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>u</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
写成状态方程
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>u</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bk</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bk</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>mu</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>u</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;beta;</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mi>m</mi> <mi>u</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>&amp;delta;</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
其中，其中β为车辆质心侧偏角，ωr为车辆横摆角速度，k1为前轴侧偏刚度，k2为后轴侧偏刚度，a为前轴到车辆质心距离，b为后轴到车辆质心距离，m为整车质量，u为车辆纵向车速，Iz为横摆惯量，δ为车辆前轮转角，Mz为维持车辆转向稳定控制所需横摆力矩。
3.根据权利要求1所述的一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，其特征在于，步骤4所述的转向稳定性控制器的设计过程：
步骤4.1：建立车辆转向横摆角速度数学方程：
<mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>z</mi> </msub> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>bk</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> </mfrac> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>ak</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mrow>
其中，Δ为外部干扰；
步骤4.2：考虑到系统的不确定性和外部干扰，将车辆转向时横摆角速度表示为：
<mrow> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，d(t)表示外加干扰。
步骤4.3：将步骤4.2的式子改写为：
<mrow> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>A&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>F</mi> </mrow>
其中，F为总的不确定性，其表达式为：
F＝ΔAωr+ΔBu+d(t)
其中，ΔA和ΔB为系统参数不确定部分，假设参数不确定部分及外加干扰项变化缓慢，即
步骤4.4：设计自适应反演滑模控制器。
4.根据权利要求3所述的一种分布式驱动电动汽车转向稳定性控制方法，其特征在于，步骤4.4设计自适应反演滑模控制器的设计：假设位置指令为ωrd，所述自适应反演滑模控制器的设计步骤包括以下三步：
步骤4.4.1：定义横摆角速度跟踪误差为z1＝ωr-ωrd，则
定义Lyapunov函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
定义其中c1为正的常数，z2为虚拟控制项， 则且
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
定义滑模面为
σ＝k1z1+z2
其中，k1>0；
由得出
<mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow>
由k1+c1>0，得出：如果σ＝0，则z1＝0，z2＝0且则进行下一步设计；
步骤4.4.2：定义Lyapunov函数
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
得到表达式3：
设计控制律为表达式4：
<mfenced open='' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>rd</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>F</mi> <mo>-</mo> </mover> <mi>sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>rd</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mrow> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>+</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>&amp;gamma;sgn</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，h和γ为正的常数；
将表达式4代入表达式3得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>h&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mi>h&amp;gamma;</mi> <mo>|</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mi>F&amp;sigma;</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>F</mi> <mo>-</mo> </mover> <mo>|</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;le;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msup> <mi>h&amp;sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mi>h&amp;gamma;</mi> <mo>|</mo> <mi>&amp;sigma;</mi> <mo>|</mo> </mrow>
步骤4.4.3：考虑到系统参数不确定的未知性，根据自适应控制理论，定义Lyapunov函数
其中，为F的估计值，F的估计误差为μ为一个正的常数；则得到表达式5：
设计自适应控制律为表达式6：
设计自适应律为表达式7：
<mrow> <mover> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> </mrow>
将表达式6和表达式7带入表达式5得到：
取
<mrow> <mi>Q</mi> <mo>=</mo> <mfenced open='[' close=']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>hk</mi> <mn>2</mn> </msup> </mtd> <mtd> <mi>hk</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>hk</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mtd> <mtd> <mi>h</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
由于
其中zT＝[z1 z2]；
如果保证Q为正定矩阵，有
由于
通过取h、c1和k的值，可使|Q|>0，从而保证Q为正定矩阵，从而保证因此，σ可以从任意初始状态收敛至零，实现了系统的全局稳定性，能够使系统输出的横摆角速度跟踪误差在有限时间内收敛至零。
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