CN107391789B - 一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法 - Google Patents

一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，利用热传导方程的特征值问题对单晶炉二维轴对称晶体生长过程等径阶段硅熔体模型分析，计算得到特征值和对应的特征函数，利用阈值标量函数计算出各个特征函数对待还原区域的作用大小，并设定一个标量值作为选取特征函数的衡量标准，通过基于多种群遗传算法优化温度传感器测点的布设位置，最后利用这组优化位置组合的温度测量值与选取的特征函数计算得到反映硅熔体区域特性的权重因子，再与硅熔体内各点的特征函数做内积运算得到硅熔体的温度分布。该方法减小了复杂结构对布置温度传感器的影响，不受限于热传导物理问题，扩展性好。

Description

一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度 场重构方法
技术领域
本发明属于晶体生长设备技术领域，具体涉及一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法。
背景技术
在直拉法生长硅单晶的过程中，氧是硅单晶中最主要的杂质，熔硅温度场的分布及变化对晶体中氧的含量及分布有重要的影响。熔硅温度梯度大、流动速度快等都会导致晶体中氧含量的增加，当硅片中沉淀过量的氧就会导致加工过程中的翘曲，不利于硅材料和集成电路器件的电学性能。另一方面，作为硅熔体的一部分，合适的自由液面温度分布对生长出高品质的硅单晶具有至关重要的作用。因此，利用温度传感器的检测数据判断当前硅熔体温度场是否符合晶体生长工艺要求，进而及时诊断出单晶硅生产过程中出现的问题具有非常重要的研究意义。
目前直拉单晶炉内温度测量使用的温度传感器主要有三种：红外测温传感器、热像仪、热电偶。其中红外测温传感器被安装在炉口位置，它能获得自由液面上任意一点的温度，但是它不能反映整个自由液面的温度分布；热像仪被放置在观察窗口处，它能测量自由液面上一块区域的温度分布，但由于单晶炉结构限制不能获得整个自由液面上的温度分布且价格非常昂贵；热电偶被安装在下炉室的炉壁上，它只能测量到石墨加热器上某一点的温度且安装时需要在炉壁上开孔，非常容易破坏炉内高温真空的工作环境；分析以上三种测温传感器的特点可知，传统的测温方法只能做到针对某一点或者某一可观测区域的测量，而对处在高温真空环境下的硅熔体却无法通过有效测量手段得到其温度场；另一方面，对于目前一些单晶炉专业仿真软件来说，计算得到硅熔体的温度场非常耗时。因此，单晶炉硅熔体温度场的重构问题，目前仍是晶体生长领域的难题之一。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，解决现有硅熔体温度场无法有效重构的问题，从而提高硅单晶的品质和优化单晶炉的工艺参数。
一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，包括以下步骤：
步骤1：建立单晶炉二维轴对称硅熔体模型；针对晶体生长过程等径阶段硅熔体的温度分布进行建模，确定可布置温度传感器区域П，待还原温度分布区域Γ，求取所建模型的温度分布
Figure GDA0002161049760000021
其中x表示硅熔体内点的坐标；
步骤2：计算热传导方程的特征值问题；热传导方程的特征值问题作为Sturm-Liouville问题的一种特例，其表达式表示如下：
Figure GDA0002161049760000022
其中ρ(x),c(x),k(x)分别为硅熔体几何模型上的热密度、热容量和热传导率，T表示温度，t表示时间，x表示硅熔体内点的坐标，
Figure GDA0002161049760000023
表示偏微分算子，
Figure GDA0002161049760000024
表示研究对象的边界，n表示边界法向量，α,β为Dirichlet和Neumann边界条件的系数；在给定边界条件下，由于硅熔体内无热源即F＝0，将式(1)中的热传导方程进行变换得到线性空间算子L，即
Figure GDA0002161049760000025
则其相应的特征值问题如下式：
Figure GDA0002161049760000026
Figure GDA0002161049760000031
其中λk，k＝1,2,...，λk表示特征值，与之对应的特征函数为
Figure GDA0002161049760000032
求解式(4)可以得到无穷多个特征值及对应的特征函数；
步骤3：计算硅熔体模型的权重因子
Figure GDA0002161049760000033
选取模型上的所有网格点做为温度测量点，数量为P，坐标为xj，j＝1,2,...P，特征函数的数量为N，则温度表达式为下式：
Figure GDA0002161049760000034
其中
Figure GDA0002161049760000035
表示
Figure GDA0002161049760000036
时刻P个测量点的温度值，A是由P个测量点的特征函数值所组成的矩阵，此时P>N，则整体模型的权重因子
Figure GDA0002161049760000037
可以表示为下式：
Figure GDA0002161049760000038
步骤4：对特征函数及传感器数量的优化；步骤2中可以计算得到无穷多个特征函数但完全用于计算显然不符合实际，因此定义阈值标量σj,j＝1,2,...N,σj用来表示每一个特征函数对待重构区域的温度场影响大小，该值越大表示影响越大，同理，值越小影响越小；若设置的标量值为ε，大于ε的阈值标量σ有M个，则选择这M个特征函数；一般情况下，温度传感器的数量小于选择的特征函数数量；阈值标量的具体表示为下式：
Figure GDA0002161049760000039
其中
Figure GDA00021610497600000310
是步骤3中的反映整体模型特性的权重因子，
Figure GDA00021610497600000311
表示模型的温度分布，t是时间，x表示硅熔体内点的坐标，j＝1,2,…,N表示初始特征函数的序号，Γ是待插值重构的温度场区域，〈〉表示平均算子；
步骤5：计算硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000041
选取自由液面上的P个温度测量点，坐标为xj,j＝1,2,...P，特征函数的数量为步骤4中选取的M个，则温度测量点的表达式同式5相同，温度传感器监测点的数量P<M，则硅熔体区域的权重因子α的估算值
Figure GDA0002161049760000042
可以表示为下式：
Figure GDA0002161049760000043
步骤6：优化温度传感器测点位置；利用步骤5中硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000044
的误差表达式和步骤4选择得到的特征函数，确定优化算法的目标函数f(c)，其中c表示温度测量点的位置组合，根据实际情况结合步骤5中的最大传感器布置数量，确定使用传感器数量P，对这些传感器进行位置优化，令目标函数最小的位置组合即为最优布置监测点；
步骤7：重构硅熔体温度场的分布；结合步骤6中的优化测点位置组合，以步骤5的权重因子计算方法计算出反映硅熔体区域特性的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000045
进一步与熔体内各点选取的特征函数做内积，得到硅熔体内各点的温度值，从而获得硅熔体温度场分布
Figure GDA0002161049760000046
其中
Figure GDA0002161049760000047
表示步骤3中所研究单晶炉为基础创建的几何模型的坐标；
Figure GDA0002161049760000048
步骤1所述模型的温度分布是在COMSOL Multiphysics软件中通过建立的模型结合热方程计算得到的，并将硅熔体温度场的分布结果与单晶炉专业仿真软件FEMAG所得结果进行对比，确保所建模型的正确性。
步骤4所述的标量值为-30dB，选取的特征函数序号为1,2,3,4,6,16,17。
步骤5中硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000049
的误差表达式如下：
Figure GDA0002161049760000051
由于将温度传感器看做是理想传感器，因此不存在测量误差，故可以省略等式右侧的第三项，经过特征函数的选择，故可以省略等式右侧的第二项。
步骤6所述的优化算法为基于多种群遗传算法优化温度传感器测点位置。其目标函数是由步骤5中权重因子的误差和反映温度传感器数量的罚函数所组成，表达式如下：
min(f(c))＝L1(c)+L2(c)
Figure GDA0002161049760000052
Figure GDA0002161049760000053
式中c表示位置变量即温度测点位置，L1是评价分辨率项好坏的函数，其中，R＝AT(AAT)-1A,wij表示分辨率矩阵R与单位矩阵I中的第i行第j列元素偏差的权重，当i和j距离越远时该权重就越大；L2是判断是否达到传感器上限的罚函数，Δ1可以看做是一个比较大的数值，当输入的传感器数量M大于设定数值l时，f(c)为一个较大值，与设定的目标函数值比较后就会退出程序。
本发明的有益效果是：
1)本发明方法与传统插值方法来重构温度场相比，能够实现利用可观测区域温度测量值来重构待测区域温度场的分布，减小了研究对象的结构对插值重构温度场的影响。
2)本发明中的插值方法对于能够将物理问题表示为Sturm-Liouville特征值问题的模型都适用，比如可以求解波动方程中的未知区域的振幅分布等，极大地扩展了该插值重构方法的应用范围。
3)本发明方法在单晶炉等径阶段硅熔体温度场的重构中，能够用数量较少的温度传感器测点得到精度较高的重构硅熔体温度场的分布。
附图说明
图1是基于特征函数插值还原温度分布方法的原理图；
图2是基于多种群遗传算法的温度传感器测点优化布置程序流程图；
图3是TDR-120单晶炉等径阶段硅熔体特征函数参与度；
图4是TDR-120单晶炉等径阶段硅熔体重构温度场与仿真温度场的相对误差分布图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。
如图1所示，一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，具体按照以下步骤实施：
步骤1：建立TDR-120单晶炉二维轴对称硅熔体几何模型；针对晶体生长过程等径阶段硅熔体的温度场进行建模，自由液面为可布置温度传感器的区域П，硅熔体为待重构温度场区域Γ。利用COMSOL Multiphysics软件计算热方程得到硅熔体区域的温度分布
Figure GDA0002161049760000061
其中x表示硅熔体内点的坐标；并将结果与单晶炉专业仿真软件FEMAG所得结果进行对比，确保所建模型的正确性。
步骤2：计算热传导方程的特征值问题；热传导方程的特征值问题作为Sturm-Liouville问题的一种特例，其表达式表示如下：
Figure GDA0002161049760000062
其中ρ(x),c(x),k(x)分别为硅熔体几何模型上的热密度、热容量和热传导率,x表示硅熔体内点的坐标，
Figure GDA0002161049760000063
表示偏微分算子，
Figure GDA0002161049760000064
表示研究对象的边界，n表示边界法向量。α,β为Dirichlet和Neumann边界条件的系数。在给定边界条件下，由于硅熔体内无热源即F＝0，将式(1)中的热传导进行变换得到线性空间算子L，即
Figure GDA0002161049760000065
则其相应的特征值问题如下式：
Figure GDA0002161049760000071
Figure GDA0002161049760000072
其中λk，k＝1,2,...，λk表示特征值，与之对应的特征函数为
Figure GDA0002161049760000073
求解式(4)可以得到无穷多个特征值及对应的特征函数；
步骤3：计算整体模型的权重因子
Figure GDA0002161049760000074
选取模型上的所有网格点做为温度测量点，数量为P，坐标为xj，j＝1,2,...P，特征函数的数量为N，则温度表达式为下式：
Figure GDA0002161049760000075
其中
Figure GDA0002161049760000076
表示
Figure GDA0002161049760000077
时刻P个测量点的温度值，A是由P个测量点的特征函数值所组成的矩阵，此时P>N，则整体模型的权重因子α的估算值
Figure GDA0002161049760000078
可以表示为下式：
Figure GDA0002161049760000079
步骤4：对特征函数及传感器数量的优化；步骤2中可以计算出无穷多个特征函数但完全用于计算显然不科学，因此定义阈值标量σj,j＝1,2,...N,σj用来表示每一个特征函数对待重构硅熔体区域的温度场分布的影响大小，该值越大表示影响越大，同理，值越小影响越小。如图3所示，若设置的标量为-30dB，大于这个标量的σ有7个特征函数参与度曲线，则选择这7个特征函数。一般情况下，温度传感器的数量小于选择的特征函数数量。阈值标量具体表示为下式：
Figure GDA00021610497600000710
其中
Figure GDA00021610497600000711
是步骤3中的反映整体模型特性的权重因子，
Figure GDA00021610497600000712
表示模型的温度分布，t是时间，x表示硅熔体内点的坐标，j＝1,2,…,N表示初始特征函数的序号，Γ是待插值重构的温度场区域，<>表示平均算子；
步骤5：计算硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000081
选取自由液面上的P个温度测量点，坐标为xj,j＝1,2,...P，特征函数的数量为步骤4中选取的7个，则温度测量点的表达式同式5相同，温度传感器监测点的数量P<7，则硅熔体区域的权重因子α的估算值
Figure GDA0002161049760000082
可以表示为下式：
Figure GDA0002161049760000083
步骤6：优化温度传感器测点位置；利用步骤5中硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000084
的误差表达式和步骤4选择得到的特征函数，确定优化算法的目标函数f(c)，其中c表示位置变量的组合，根据实际情况结合步骤5中的最大传感器布置数量，确定使用传感器数量为4个，对这些传感器位置进行优化，令目标函数最小的位置组合即为最优布置监测点；硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000085
的误差表达式如下：
Figure GDA0002161049760000086
由于将温度传感器看做是理想传感器，因此不存在测量误差，故可以省略等式右侧的第三项，经过特征函数的选择，故可以省略等式右侧的第二项。
其中所述的优化算法为基于多种群遗传算法优化温度传感器测点位置；目标函数是由步骤5中权重因子的误差和反映温度传感器数量的罚函数所组成，表达式如下：
min(f(c))＝L1(c)+L2(c)
Figure GDA0002161049760000087
Figure GDA0002161049760000088
式中c表示位置变量即温度测点位置，L1是评价分辨率项好坏的函数，其中，R＝AT(AAT)-1A,wij表示分辨率矩阵R与单位矩阵I中的第i行第j列元素偏差的权重，当i和j距离越远时该权重就越大；L2是判断是否达到传感器上限的罚函数，Δ1可以看做是一个比较大的数值，当输入的传感器数量M大于设定数值l时，f(c)为一个较大值，与设定的目标函数值比较后就会退出程序。
步骤7：重构硅熔体温度场的分布；结合步骤6中的优化测点位置组合，以步骤5的权重因子计算方法计算出反映硅熔体区域特性的权重因子的估算值
Figure GDA0002161049760000091
如式9所示，与熔体内各点上被选取的特征函数做内积，得到硅熔体各个点的温度值，从而获得温度分布T
Figure GDA0002161049760000092
其中
Figure GDA0002161049760000093
表示硅熔体的坐标。
Figure GDA0002161049760000094
将本发明方法应用于TDR-120单晶炉中，为了验证本发明插值重构方法的有效性设计了对比实验，实验中将硅熔体作为待重构温度场区域，自由液面作为可布置温度传感器区域。对比插值重构温度分布与软件仿真温度分布。
图2是本发明方法应用的基于多种群遗传算法优化温度传感器测点位置的程序流程图，其中收敛条件为精华种群(每代种群最优解组成的集合)中最优个体最少保持的代数为10代。
图3是本发明通过阈值标量σ得到的各个特征函数的参与度曲线图，大于设定标量值的每条特征函数参与度曲线都有相应的序号标记。
图4是硅熔体内各样本点稳态时利用多种群遗传算法优化的温度传感器测点，并由此得到的重构温度值(K)与仿真温度值(K)之间的相对误差。
如表1所示，是稳态时温度传感器监测点均匀布置方式与利用多种群遗传算法所得到的优化布置方式的硅熔体重构温度场与仿真温度场的误差分析结果。
表1两种温度传感器布置方法重构硅熔体温度场结果比较
布置方式 最大相对误差 平均相对误差 均方根误差(K)
均匀布置 0.2543 0.0716 171.5
优化布置 0.0066 0.0024 5.3
通过误差分析对比实验表明，本发明方法对于热传导下的硅熔体温度场的重构具有较高的还原精度。
以上所述为本发明较佳实施例，对于本领域的普通技术人员而言，根据本发明的教导，在不脱离本发明的原理与精神的情况下，对实施方式所进行的改变、修改、替换和变型仍落入本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立单晶炉二维轴对称硅熔体模型；针对晶体生长过程等径阶段硅熔体的温度分布进行建模，确定可布置温度传感器区域П，待还原温度分布区域Γ，求取所建模型的温度分布
Figure FDA0002161049750000011
其中x表示硅熔体内点的坐标；
步骤2：计算热传导方程的特征值问题；热传导方程的特征值问题作为Sturm-Liouville问题的一种特例，其表达式表示如下：
Figure FDA0002161049750000012
其中ρ(x),c(x),k(x)分别为硅熔体几何模型上的热密度、热容量和热传导率，T表示温度，t表示时间，x表示硅熔体内点的坐标，▽表示偏微分算子，
Figure FDA0002161049750000013
表示研究对象的边界，n表示边界法向量，α,β为Dirichlet和Neumann边界条件的系数；在给定边界条件下，由于硅熔体内无热源即F＝0，将式(1)中的热传导方程进行变换得到线性空间算子L，即
Figure FDA0002161049750000014
则其相应的特征值问题如下式：
Figure FDA0002161049750000015
Figure FDA0002161049750000016
其中λk，k＝1,2,...，λk表示特征值，与之对应的特征函数为
Figure FDA0002161049750000017
求解式(4)可以得到无穷多个特征值及对应的特征函数；
步骤3：计算整体模型包括硅熔体、硅单晶、石英坩埚、石墨坩埚的权重因子
Figure FDA0002161049750000021
选取模型上的所有网格点做为温度测量点，数量为P，坐标为xj，j＝1,2,...P，特征函数的数量为N，则温度表达式为下式：
Figure FDA0002161049750000022
其中
Figure FDA0002161049750000023
表示
Figure FDA0002161049750000024
时刻P个测量点的温度值，A是由P个测量点的特征函数值所组成的矩阵，此时P>N，则整体模型的权重因子
Figure FDA0002161049750000025
可以表示为下式：
Figure FDA0002161049750000026
步骤4：对特征函数及传感器数量的优化；步骤2中可以计算得到无穷多个特征函数但完全用于计算显然不符合实际，因此定义阈值标量σj,j＝1,2,...N,σj用来表示每一个特征函数对待重构区域的温度场影响大小，该值越大表示影响越大，同理，值越小影响越小；若设置的标量值为ε，大于ε的阈值标量σ有M个，则选择这M个特征函数；一般情况下，温度传感器的数量小于选择的特征函数数量，阈值标量的具体表示为下式：
Figure FDA0002161049750000027
其中
Figure FDA0002161049750000028
是步骤3中的反映整体模型特性的权重因子，
Figure FDA0002161049750000029
表示模型的温度分布，t是时间，x表示硅熔体内点的坐标，j＝1,2,…,N表示初始特征函数的序号，Γ是待插值重构的温度场区域，<>表示平均算子；
步骤5：计算硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure FDA0002161049750000031
选取自由液面上的P个温度测量点，坐标为xj,j＝1,2,...P，特征函数的数量为步骤4中选取的M个，则温度测量点的表达式同式5相同，温度传感器监测点的数量P<M，则硅熔体区域的权重因子α的估算值
Figure FDA0002161049750000032
可以表示为下式：
Figure FDA0002161049750000033
步骤6：优化温度传感器测点位置；利用步骤5中硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure FDA0002161049750000034
的误差表达式和步骤4选择得到的特征函数，确定优化算法的目标函数f(c)，其中c表示温度测量点的位置组合，根据实际情况结合步骤5中的最大传感器布置数量，确定使用传感器数量P，对这些传感器进行位置优化，令目标函数最小的位置组合即为最优布置监测点；
步骤7：重构硅熔体温度场的分布；结合步骤6中的优化测点位置组合，以步骤5的权重因子计算方法计算出反映硅熔体区域特性的权重因子的估算值
Figure FDA0002161049750000035
进一步与熔体内各点选取的特征函数做内积，得到硅熔体内各点的温度值，从而获得硅熔体温度场分布
Figure FDA0002161049750000036
Figure FDA0002161049750000037
其中
Figure FDA0002161049750000038
Figure FDA0002161049750000039
表示步骤3中所研究单晶炉为基础创建的几何模型的坐标。
2.根据权利要求1所述的一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，步骤1所述模型的温度分布是在COMSOL Multiphysics软件中通过建立的模型结合热方程计算得到的，并将结果与单晶炉专业仿真软件FEMAG所得结果进行对比，确保所建模型的正确性。
3.根据权利要求1所述的一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，步骤4所述的标量值为-30dB，选取的特征函数序号为1,2,3,4,6,16,17。
4.根据权利要求1所述的一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，步骤6中硅熔体区域的权重因子的估算值
Figure FDA0002161049750000041
的误差表达式如下：
Figure FDA0002161049750000042
由于将温度传感器看做是理想传感器，因此不存在测量误差，故可以省略等式右侧的第三项，经过特征函数的选择，故可以省略等式右侧的第二项。
5.根据权利要求1所述的一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，步骤6所述的优化算法为基于多种群遗传算法优化温度传感器测点位置。
6.根据权利要求1所述的一种基于自由液面温度测量值和特征函数插值的硅熔体温度场重构方法，其特征在于，步骤6中的目标函数是由步骤5中权重因子的误差和反映温度传感器数量的罚函数所组成，表达式如下：
min(f(c))＝L1(c)+L2(c)
Figure FDA0002161049750000043
Figure FDA0002161049750000044
式中c表示位置变量即温度测点位置，L1是评价分辨率项好坏的函数，其中，R＝AT(AAT)- 1A,wij表示分辨率矩阵R与单位矩阵I中的第i行第j列元素偏差的权重，当i和j距离越远时该权重就越大；L2是判断是否达到传感器上限的罚函数，Δ1可以看做是一个比较大的数值，当输入的传感器数量M大于设定数值l时，f(c)为一个较大值，与设定的目标函数值比较后就会退出程序。
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