CN107369159A - 基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法 - Google Patents

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Abstract

本发明基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法属于计算机视觉测量技术领域，涉及一种基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法。该方法建立多因素加权综合图像绘制二维灰度直方图，并使用交叉熵计算分割图像的阈值；首先建立基于邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三种因素的加权综合图像；进而结合灰度级图像，绘制灰度级‑综合因素级二维灰度直方图。然后采用迭代法求解前景类、背景类像素的灰度级均值；最后基于最小交叉熵计算最佳阈值，使用最佳阈值分割图像。该方法解决了现有二维灰度直方图丢失图像关键信息的问题，保证了数据的准确性和方法可靠性。提高了阈值的可信度和提高图像分割的效果。整个阈值分割算法适应性好，有效性高。

Description

基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法
技术领域
本发明属于计算机视觉测量技术领域，涉及一种基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法。
背景技术
阈值分割是图像分割中一类最早被研究和使用的方法，是目前各类图像分析、图像识别以及机器视觉系统中最常用的图像分割方法之一。阈值分割的目的是找到图像前景与背景的分割阈值，通过阈值可以将整幅图像或图像某一区域划分为前景和背景两个区域。图像的灰度级直方图很好地反映了一幅图像中的灰度分布信息，是阈值选取的重要参考依据。
现有阈值分割方法中采用的灰度级直方图主要有一维灰度级直方图和二维灰度直方图。一维灰度级直方图仅包含了图像灰度级信息，通过处理图像或熵算法即可计算阈值，但仅适用于图像前景和背景面积较大且灰度分布均匀时的情况。二维灰度直方图在一维灰度级直方图基础上增加了一个维度的数据，增加邻域平均灰度信息构成灰度级-邻域平均二维灰度直方图、增加灰度梯度信息构成灰度级-灰度梯度二维直方图、增加邻域X方向平均灰度信息构成灰度级-X邻域平均灰度级直方图、用梯度方向作为第二维构成2D-D直方图、将邻域中与中心像素灰度级相近的像素个数作为第二维构成GLSC直方图、用斐波那契数列将图像边缘梯度量化成9个量级作为直方图的第二维构成GLGM直方图等。在二维灰度直方图基础上，采用区域划分法或熵算法可以计算分割阈值，该方法以不同形式利用了空间信息，阈值分割效果好、鲁棒性高，但是利用空间的信息有限，无法完整反映图像信息，因此不同图像适应性差。Xiao Y等人发表的期刊《Entropic image thresholding basedon GLGM histogram》[J].Pattern Recognition Letters,2014,40:47-55，提出GLGM(灰度和梯度-幅度)直方图作为新的阈值分割图像直方图，GLGM直方图同时显示了灰度级发生概率和空间分布特征，使用斐波纳契量子化梯度幅度来有效地表征空间信息，采用最大熵计算图像阈值，实验证明了该阈值方法的有效性和鲁棒性，该方法需要测量大量的离散点，求解法矢量的精度较高，可靠性较好；霍凤财等人发明的专利号为CN201410172544.6的“二进制算法和二维直线交叉熵结合的图像分割方法”采用图像的灰度级-邻域平均二维灰度直方图，构建二维直线交叉熵，用垂直于主对角线的一条直线将图像分割成目标和背景两部分，其次以二进制对个体进行编码，二维直线交叉熵作为适应度函数，提出基于遗传机制的二进制蜂群算法自适应获取阈值，具有良好的收敛性能和快速、平稳、准确地获取分割阈值的能力，有利于推广使用。
发明内容
本发明要解决的技术难题是针对噪声多且复杂、前背景区分不鲜明的灰度图像，传统灰度直方图方法存在无法全面反映图像信息、阈值分割效果差等问题，发明了一种基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法。该方法针对复杂的灰度图像，提出结合邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三种因素的加权综合图像，然后基于该综合图像和灰度级图像绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图，采用迭代法求解该二维灰度直方图的统计信息，最后基于最小交叉熵计算最佳阈值，并使用最佳阈值分割图像。该方法通过绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图，可以分析图像灰度级、邻域平均灰度级、梯度强度级和梯度方向级等因素的影响，全面反映图像整体灰度、局部灰度、边界、方向等信息，大大提高了阈值的可信度，从而提高图像分割的效果。
本发明采用的技术方案是一种基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法，其特征是，该方法建立多因素加权综合图像绘制二维灰度直方图并使用交叉熵计算分割图像的阈值；首先建立基于邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三种因素的加权综合图像；进而结合灰度级图像，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图；然后采用迭代法求解前景类、背景类像素的灰度级均值；最后基于最小交叉熵计算最佳阈值，使用最佳阈值分割图像；方法具体步骤如下：
第一步建立多因素加权综合图像
对于一幅待分割的图像A，灰度级数为L，图像大小为M×N，可以表示为A＝I(x,y)，即像素坐标(x,y)处的灰度值为I(x,y)；
以3×3区域作为卷积核的大小；图像A的四个边界分别以“重复”的方式向外扩展1个像素，即扩展像素的灰度级等于边界像素的灰度级，构成扩展图像AEX，其图像大小为(M+2)×(N+2)；
用均值滤波计算图像AEX中每个像素3×3区域的平均灰度；利用均值滤波算子Gm，
计算图像AEX的邻域平均灰度级图像MA，公式为
MA＝GmAEX (2)
用Sobel算子检测图像AEX的边缘；利用边缘检测横向算子Gx和纵向算子Gy，
获取滤波后图像的横纵向梯度Sx和Sy，式(5)和(6)为求解公式；
Sx＝GxAEX (5)
Sy＝GyAEX (6)
然后利用式(7)获取边缘检测后的图像SA；
SA＝|Sx|+|Sy| (7)
根据式(8)求解像素坐标(x,y)的梯度方向θ(x,y)；
根据式(9)量化θ并取整，得到梯度方向图像θA；其中，INT(x)为取整函数；
计算上述三种图像MA、SA、θA的能量EM、ES、Eθ；
根据能量分配权系数w1、w2和w3；
根据式(12)求解邻域平均灰度-梯度强度-梯度方向级加权综合图像YA；
YA＝INT(w1MA+w2SA+w3θA) (12)
第二步绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图
以扩展图像AEX的灰度级作为x轴，加权综合图像YA的灰度级作为y轴，同时满足AEX灰度级和YA灰度级的像素格(不包括扩展部分)数量作为z轴，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图；
第三步迭代法求解二维灰度直方图的统计信息
根据上一步得到的灰度级-综合因素级二维灰度直方图，可以得到当AEX灰度级为i且YA灰度级为j时的像素格数量，记为hij；其中，i＝0,1,...,L-1，j＝0,1,...,L-1；相应的频率为
前景类像素出现的概率为wo(t,s)，背景类像素出现的概率为wb(t,s)；其中，t＝0,1,…,L-1，s＝0,1,...,L-1；由式(14)求迭代初值wo(0,0)、wo(0,1)和wo(1,0)；
根据式(15)采用迭代法计算wo(t,s)和wb(t,s)；
根据式(16)计算前景类和背景类像素的灰度级均值；
第四步基于最小交叉熵计算最佳阈值并分割图像
交叉熵的计算公式见式(17)；
根据式(18)计算最佳阈值t0和s0；其中，(x0,y0)＝argmin{f(x,y)}代表参数(x0,y0)满足f(x0,y0)为f(x,y)的最小值；
根据最佳阈值t0和s0，可将灰度级-综合因素级二维灰度直方图分成四个部分；记满足t＜t0且s＜s0的部分为背景，满足t＞t0且s＞s0的部分为前景，其他区域为噪声；
在扩展图像AEX上灰度值满足t＜t0，且同时在加权综合图像YA上灰度值满足s＜s0的像素为背景像素，所有背景像素的集合即为背景图像；AEX上灰度值满足t＞t0且YA上灰度值满足s＞s0的像素为前景像素，所有前景像素的集合即为前景图像；其他像素为噪声；即完成对原图像A的阈值分割。
本发明的有益效果是该方法通过绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图，将邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三个维度的图像信息降维，形成加权综合图像，成一个综合维度，结合灰度级维度，全面反映图像的整体灰度、局部灰度、边界、方向等信息，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图，从而保证了阈值的可信度和图像分割的有效性。解决了现有二维灰度直方图丢失图像关键信息的问题，进而保证了数据的准确性和方法可靠性。大大提高了阈值的可信度，从而提高图像分割的效果。整个阈值分割算法具有适应性好，有效性高等特点。
附图说明
图1为灰度级-综合因素级二维灰度直方图及阈值分割示意图。图中，x轴是扩展图像的灰度级，y轴是加权综合图像的灰度级，z轴是同时满足扩展图像灰度级和加权综合图像灰度级的像素格数量(不包括扩展部分)。根据计算得到的分割阈值(t0,s0)在图中画平面x＝t0和平面y＝s0，将直方图划分为四个区域：a区域代表背景图像区域，c区域代表前景图像区域，b和d区域代表图像噪声区域。
图2为基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法的流程图。
具体实施方式
以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。
本实施例中，被测物体表面为2.5m×3.0m的t800复合材料板，将波长460nm蓝紫线激光投射到复材板上。
本发明采用配置广角镜头的摄像机拍摄光条图像。摄像机型号为view works VC-12MC-M/C 65摄像机，分辨率：4096×3072，图像传感器：CMOS，帧率：全画幅，最高64.3fps，重量：420g。广角镜头型号为EF 16-35mm f/2.8L II USM，参数如下所示，镜头焦距：f＝16-35mm，APS焦距：25.5-52.5，光圈：F2.8，镜头尺寸：82×106。拍摄条件如下：图片像素为4096×3072，镜头焦距为25mm，物距为750mm，视场约为850mm×450mm。
附图2为基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法的流程图。根据该操作流程，整个阈值分割过程分为建立多因素加权综合图像、绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图、迭代法求解二维灰度直方图的统计信息、基于最小交叉熵计算最佳阈值并分割图像等四个步骤。
第一步建立多因素加权综合图像
对于上述拍摄得到的复合材料板激光光条图像A，灰度级数为256，图像大小为4096×3072，可以表示为A＝I(x,y)。
以3×3区域作为卷积核的大小，为了进行卷积运算，需要扩展图像A的边界，依次扩展上、左、下、右四个边界，令扩展边界中像素的灰度级等于原边界像素的灰度级。得到扩展图像AEX，其图像大小为4098×3074。
根据公式(1)和(2)计算图像AEX的邻域平均灰度级图像MA。根据公式(3)-(7)计算图像AEX的Sobel边缘检测图像SA。根据公式(8)和(9)计算图像AEX的梯度方向图像θA。根据公式(10)-(12)求解邻域平均灰度-梯度强度-梯度方向级加权综合图像YA。
第二步绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图
基于扩展图像AEX和加权综合图像YA，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图。
对于坐标为(x,y)的像素(不包括扩展部分)，在AEX中的灰度值为L1(L1＝0,1，...，255)，在YA中的灰度值为L2(L2＝0,1，...，255)，那在多因素二维灰度直方图中(x＝L1，y＝L2)坐标处的统计数量加1(即对应z加1)。遍历所有非扩展部分的像素，共计4096×3072个，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图。
第三步迭代法求解二维灰度直方图的统计信息
为了后续熵算法计算最佳分割阈值，计算必要的二维灰度直方图统计信息。根据第二步得到的灰度级-综合因素级二维灰度直方图，可以得到当AEX灰度级为i且YA灰度级为j时的像素格数量，记为hij。根据公式(13)计算相应的频率为pij。其中，i＝0,1,...,255，j＝0,1,...,255。根据公式(14)-(16)计算所有可能阈值条件下前景、背景像素出现的概率wo(t,s)和wb(t,s)，以及前景、背景像素的灰度级均值(μoi(t,s),μoj(t,s))和(μbi(t,s),μbj(t,s))。其中，t＝0,1,...,255，s＝0,1,...,255。
第四步基于最小交叉熵计算最佳阈值并分割图像
根据第三步得到的灰度级-综合因素级二维灰度直方图统计信息，由公式(17)、(18)计算使交叉熵η(t,s)最小的t0和s0，作为最佳阈值。
在扩展图像AEX上灰度值满足t＜t0，且同时在加权综合图像YA上灰度值满足s＜s0的像素为背景像素，所有背景像素的集合即为背景图像；AEX上灰度值满足t＞t0且YA上灰度值满足s＞s0的像素为前景像素，所有前景像素的集合即为前景图像；其他像素为噪声。即完成对原图像A的阈值分割。
本发明针对图像具有复杂噪声、前景背景难以区分，传统二维灰度直方图无法准确反映图像信息，无法准确计算阈值，分割图像效果差的需求，对原图像的邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三种信息图像进行降维，形成加权综合图像，可以绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图，解决了现有二维灰度直方图丢失图像关键信息的问题，进而保证了数据的准确性和方法可靠性。整个阈值分割算法具有适应性好，有效性高等特点。

Claims (1)

1.一种基于多因素二维灰度直方图的阈值分割方法，其特征是，该方法建立多因素加权综合图像绘制二维灰度直方图并使用交叉熵计算分割图像的阈值；首先建立基于邻域平均灰度、梯度强度和梯度方向级等三种因素的加权综合图像；进而结合灰度级图像，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图；然后采用迭代法求解前景类、背景类像素的灰度级均值；最后基于最小交叉熵计算最佳阈值，使用最佳阈值分割图像；方法具体步骤如下：
第一步 建立多因素加权综合图像
对于一幅待分割的图像A，灰度级数为L，图像大小为M×N，可以表示为A＝I(x,y)，即像素坐标(x,y)处的灰度值为I(x,y)；
以3×3区域作为卷积核的大小；图像A的四个边界分别以“重复”的方式向外扩展1个像素，即扩展像素的灰度级等于边界像素的灰度级，构成扩展图像AEX，其图像大小为(M+2)×(N+2)；
用均值滤波计算图像AEX中每个像素3×3区域的平均灰度；利用均值滤波算子Gm，
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计算图像AEX的邻域平均灰度级图像MA，公式为
MA＝GmAEX (2)
用Sobel算子检测图像AEX的边缘；利用边缘检测横向算子Gx和纵向算子Gy，
<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>2</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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获取滤波后图像的横纵向梯度Sx和Sy，式(5)和(6)为求解公式；
Sx＝GxAEX (5)
Sy＝GyAEX (6)
然后利用式(7)获取边缘检测后的图像SA；
SA＝|Sx|+|Sy| (7)
根据式(8)求解像素坐标(x,y)的梯度方向θ(x,y)；
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根据式(9)量化θ并取整，得到梯度方向图像θA；其中，INT(x)为取整函数；
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计算上述三种图像MA、SA、θA的能量；
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根据能量分配权系数w1、w2和w3；
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根据式(12)求解邻域平均灰度-梯度强度-梯度方向级加权综合图像YA；
YA＝INT(w1MA+w2SA+w3θA) (12)
第二步 绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图
以扩展图像AEX的灰度级作为x轴，加权综合图像YA的灰度级作为y轴，同时满足AEX灰度级和YA灰度级的像素格(不包括扩展部分)数量作为z轴，绘制灰度级-综合因素级二维灰度直方图；
第三步 迭代法求解二维灰度直方图的统计信息
根据上一步得到的灰度级-综合因素级二维灰度直方图，可以得到当AEX灰度级为i且YA灰度级为j时的像素格数量，记为hij；其中，i＝0,1,...,L-1，j＝0,1,...,L-1；相应的频率为
<mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>M</mi> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
前景类像素出现的概率为wo(t,s)，背景类像素出现的概率为wb(t,s)；其中，t＝0,1,...,L-1，s＝0,1,...,L-1；由式(14)求迭代初值wo(0,0)、wo(0,1)和wo(1,0)；
<mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>t</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>s</mi> </munderover> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据式(15)采用迭代法计算wo(t,s)和wb(t,s)；
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>w</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>o</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据式(16)计算前景类和背景类像素的灰度级均值；
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第四步 基于最小交叉熵计算最佳阈值并分割图像
交叉熵的计算公式见式(17)；
<mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>t</mi> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>s</mi> </munderover> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi> </mi> <mi>ln</mi> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi> </mi> <mi>ln</mi> <mfrac> <mi>j</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi> </mi> <mi>ln</mi> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi> </mi> <mi>ln</mi> <mfrac> <mi>j</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据式(18)计算最佳阈值t0和s0；其中，(x0,y0)＝argmin{f(x,y)}代表参数(x0,y0)满足f(x0,y0)为f(x,y)的最小值；
<mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>arg</mi> <mi> </mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mo>{</mo> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
根据最佳阈值t0和s0，可将灰度级-综合因素级二维灰度直方图分成四个部分；记满足t＜t0且s＜s0的部分为背景，满足t＞t0且s＞s0的部分为前景，其他区域为噪声；
在扩展图像AEX上灰度值满足t＜t0，且同时在加权综合图像YA上灰度值满足s＜s0的像素为背景像素，所有背景像素的集合即为背景图像；AEX上灰度值满足t＞t0且YA上灰度值满足s＞s0的像素为前景像素，所有前景像素的集合即为前景图像；其他像素为噪声；即完成对原图像A的阈值分割。
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