CN107357759B - 基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1.对研究对象的宏观几何特征进行准确测量，并建立相对应的几何特征描述方程；步骤2.研究研究对象的渗流系数分布特征，建立研究对象在研究区域的渗流系数分布方程；步骤3.研究研究对象的边界条件流量、水头特征，并建立相对应的边界条件流量、水头的表示方程；步骤4.选取水头的表示方程，使其满足相对应的运动微分方程、流量和水头的边界条件方程，并求解相对应的各常系数。该方法的提出将对大坝、边坡、路基、隧道、巷道、涵洞等各种营建构筑物和自然体的渗流运动研究和应用具有推动作用。

Description

基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法

技术领域

本发明属于渗流、土木工程和地质工程等与渗流和变形相关的技术领域，具体涉及一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法。

技术背景

现行渗流求解往往建立在有限单元等数值计算方法上，有限单元法采用的是以点代面(注：对于二维问题)或以点代体(注：对于三维问题))，因而不同大小的单元，其计算结果并不相同；再则，数值计算时采用的是用线性方法求解非线性问题，当然不同的收敛标准其结果也是不一样的。但是，对于一个形状固定的承压水和潜水研究对象，其流态应该是确定的，目前缺乏对其进行渗流求解的方法。

发明内容

本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，该方法基于一个形状固定的研究对象，其对应的流态也应是确定的事实，在假设水头满足运动微分方程和流量、水头的边界条件方程下，获得相对应的流量、水头理论解。这种方法将对现行渗流求解方法向前推进一大步。

本发明为了实现上述目的，采用了以下方案：

本发明提供一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1.对研究对象的宏观几何特征进行准确测量，并建立相对应的几何特征描述方程；步骤2.研究研究对象的渗流系数分布特征，建立研究对象在研究区域的渗流系数分布方程；步骤3.研究研究对象的边界条件流量、水头特征，并建立相对应的边界条件流量、水头的表示方程；步骤4.选取水头的表示方程，使其满足相对应的运动微分方程、流量和水头的边界条件方程，并求解相对应的各常系数。

本发明提供的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，还可以具有这样的特征：在步骤1中，在研究对象的边界为直线的情况下，该边界的几何特征描述方程为直线方程；在研究对象的边界为曲线的情况下，该边界的几何特征描述方程为曲线方程。

本发明提供的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，还可以具有这样的特征：在步骤3中，在研究对象为二维对象的情况下，边界条件流量、水头表达式为：

(I)第一类边界条件：如果在某一部分边界S₁上，各点在每一时刻的水头都是已知的，这部分边界称为第一类边界，相应的边界条件表示为：

式中，H：水头，

已知函数，x,y,z：坐标，t：时间；

(II)第二类边界条件：当知道某一部分边界S₂单位面积上流入的流量q₁时，这部分边界称为第二类边界，相应的边界条件表示为：

式中，n为S₂的外法线方向，q₁为已知函数，表示S₂的侧向补给量，K为渗透系数；

(III)第三类边界条件：某边界上H和

的线性组合是已知的，这部分边界称为第三类边界，相应的边界条件表示为：

式中，α，β为已知函数。

本发明提供的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，还可以具有这样的特征：在步骤3中，在进行流量、水头求解时，对于四面体、六面体在已知两个面、三个面的情况下求解，对于三角形、四边形、五边形在已知两个边、三个边的情况下求解，相对应的其它面或边的边界条件流量、水头按求解的特征加以计算。

本发明提供的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，还可以具有这样的特征：在步骤4中，针对二维稳定渗流研究对象：

假设水头表达式为：

H＝a₀+a₁x+a₂y+a₃x²+a₄xy+a₅y²+a₆x³+a₇x²y+a₈xy²+… (4)假设对应的渗透系数方程为：

K_xx＝b_1,0+b_1,1x+b_1,2y+b_1,3x²+b_1,4xy+b_1,5y²+b_1,6x³+b_1,7x²y+b_1,8xy²+… (5)

K_yy＝b_2,0+b_2,1x+b_2,2y+b_2,3x²+b_2,4xy+b_2,5y²+b_2,6x³+b_2,7x²y+b_2,8xy²+… (6)式中：a_i,b_1,i,b_2,i为常系数，i属于零和整数；

满足力的运动微分方程为：

在任意坐标条件下，运动微分方程满足的必要条件为相对应的各项系数为零，在假设渗透系数为常数情况下，由方程(7)可得一系列常系数方程，由此可以决定一定数量的常系数，进而可以获得研究对象的流量、水头理论解。

发明的作用与效果

本发明提出了一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，该方法针对现有承压水和潜水分析技术的缺陷，在假设研究对象流量、水头满足渗流边界和运动微分方程条件下，根据研究对象的几何特征，求解研究对象的流量、水头等分布，可以求解任意几何形状(如平面问题：三边形、四边形、五边形、六边形等，三维问题：四面体、六面体、八面体等)的流量、水头等分布；在研究对象的边界流量、水头与边界条件流量、水头不一致的条件下，可以获得水头不连续解。该方法的提出将对大坝、边坡、路基、隧道、巷道、涵洞等各种营建构筑物和自然体的渗流运动研究和应用具有推动作用。

附图说明

图1为本发明实施例所涉及的第i研究对象的边界流量、水头特征示意图。

图中，AB、BC、CO和OA为相应的边界，

为对应边界OA的水头条件；S₁,S₂分别为对应边界OA、BC。

具体实施方式

以下结合附图对本发明涉及的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法的具体实施方案进行详细地说明。

(1)在对研究对象准确测量研究的基础上，建立相对应的几何特征描述方程，如图1，相对应AO、AB、BC和CO的方程可以表征为：y＝kx+b(如是曲线等形式，则可以以曲线等方程加以表示)。

(2)在对研究对象的渗透分布特征研究的基础上，建立研究对象在研究区域的渗透系数分布方程，相对应的渗透系数为K_xx,K_yy；

(3)在对研究对象的边界条件流量、水头特征研究的基础上，并建立相对应的边界条件流量、水头方程；对于二维问题，在图1的基础上，边界条件流量、水头表达式为：

(1)第一类边界条件(Dirichlet条件)：如果在某一部分边界(见图1中AO边界)上，各点在每一时刻的水头都是已知的，则这部分边界就称为第一类边界或给定水头的边界，表示为:

式中：H：水头，

已知函数，x,y：坐标，t：时间。

(2)第二类边界条件(Neumam条件)：当知道某一部分边界(如图1中BC边界)单位面积(二维空间为单位宽度)上流入(流出时用负值)的流量q₁时，称为第二类边界或给定流量的边界。相应的边界条件表示为:

式中，n为边界BC的外法线方向。q₁则为已知函数，分别表示S₂上单位面积的侧向补给量。K为渗透系数。

(3)第三类边界条件：某边界上H和

的线性组合是已知的，即有：

又称混合边界条件，α，β为已知函数。

在流量、水头连续的条件下该表达式必须能描述相对应的全部边界条件流量和水头(如图1)；如果流量、水头不连续，则该表达式不成立。

对于边界条件流量、水头：在进行流量、水头求解时，可以在已知两个面、三个面等(对于四面体、六面体等)或两个边、三个边等(三角形和四边形、五边形等)边界条件流量、水头下，求解对应研究对象的流量、水头，相对应的其它面或边的边界条件流量、水头按求解解的特征加以计算。

(4)，选取水头的表示方程，使其满足相对应的运动微分方程、流量和水头的边界条件方程，并求解相对应的各常系数；针对二维稳定渗流问题，表述如下：

假设水头表达式(注：也可以取其它表示形式)为：

H＝a₀+a₁x+a₂y+a₃x²+a₄xy+a₅y²+a₆x³+a₇x²y+a₈xy²+… (4)

假设对应的渗透系数方程为：

K_xx＝b_1,0+b_1,1x+b_1,2y+b_1,3x²+b_1,4xy+b_1,5y²+b_1,6x³+b_1,7x²y+b_1,8xy²+… (5)

K_yy＝b_2,0+b_2,1x+b_2,2y+b_2,3x²+b_2,4xy+b_2,5y²+b_2,6x³+b_2,7x²y+b_2,8xy²+… (6)

式中：a_i,b_1,i,b_2,i为常系数，i：属于零和整数。

满足力的运动微分方程为：

在任意坐标条件下，运动微分方程满足的必要条件为相对应的各项系数为零，在假设渗透系数为常数(注：可以研究渗透系数满足方程(5、6)的情况)情况下，则有：

由方程(7)可得：

a₃K_xx+a₅K_yy＝0 (8)

3a₆K_xx+a₈K_yy＝0 (9)

a₇K_xx+3a₉K_yy＝0 (10)

……

对于第i研究对象(如图1)，在边界条件流量、水头作用下，在流量、水头连续条件下边界流量、水头和边界条件流量、水头必须相等，如存在部分水头不连续，则相对应的边界水头和边界条件水头不相等；但边界条件流量应该相等。

按照上述步骤，可以决定一定数量的常系数，因而可以获得研究对象的流量、水头理论解，当研究对象复杂时，可以将整个研究对象划分为几个不同的小对象加以求解，但解必须满足几个不同研究对象流量、水头等之间的关系。

按照上述步骤，可以获得整个研究对象流量、水头的理论解，并可以与研究对象的现场状态加以对比，从而修正理论的各种渗流参数。

以上事例仅为举证，而并非是对本发明的实施方式的限定。除上述事例外，本发明还有其他实施方式。凡采用等同替换或等效变换形成的技术方案，均落在本发明要求的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1.对研究对象的宏观几何特征进行准确测量，并建立相对应的几何特征描述方程；

步骤2.研究所述研究对象的渗流系数分布特征，建立所述研究对象在研究区域的渗流系数分布方程；

步骤3.研究所述研究对象的边界条件流量、水头特征，并建立相对应的边界条件流量、水头的表示方程；

边界条件流量、水头表达式为：

(I)第一类边界条件：如果在某一部分边界S₁上，各点在每一时刻的水头都是已知的，这部分边界称为第一类边界，相应的边界条件表示为：

式中，H：水头，

已知函数，x，y，z：坐标，t：时间；

(II)第二类边界条件：当知道某一部分边界S₂单位面积上流入的流量q₁时，这部分边界称为第二类边界，相应的边界条件表示为：

式中，n为边界S₂的外法线方向，q₁为已知函数，表示S₂的侧向补给量，K为渗透系数；

(III)第三类边界条件：某边界上H和

的线性组合是已知的，这部分边界称为第三类边界，相应的边界条件表示为：

式中，α，β为已知函数；步骤4.选取水头的表示方程，使其满足相对应的运动微分方程、流量和水头的边界条件方程，并求解相对应的各常系数；

针对二维稳定渗流研究对象：

假设水头表达式为：

H＝a₀+a₁x+a₂y+a₃x²+a₄xy+a₅y²+a₆x³+a₇x²y+a₈xy²+…(4)假设对应的渗透系数方程为：

K_xx＝b_1，0+b_1，1x+b_1，2y+b_1，3x²+b_1，4xy+b_1，5y²+b_1，6x³+b_1，7x²y+b_1，8xy²+…(5)

K_yy＝b_2，0+b_2，1x+b_2，2y+b_2，3x²+b_2，4xy+b_2，5y²+b_2，6x³+b_2，7x²y++b_2，8xy²+…(6)

式中：a_i，b_1，i，b_2，i为常系数，i属于零和整数；

满足力的运动微分方程为：

在任意坐标条件下，运动微分方程满足的必要条件为相对应的各项系数为零，在假设渗透系数为常数情况下，由方程(7)可得一系列常系数方程，由此可以决定一定数量的常系数，进而可以获得研究对象的流量、水头理论解。

2.根据权利要求1所述的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，其特征在于：

在所述步骤1中，在所述研究对象的边界为直线的情况下，该边界的几何特征描述方程为直线方程；在所述研究对象的边界为曲线的情况下，该边界的几何特征描述方程为曲线方程。

3.根据权利要求1所述的基于渗流边界和运动微分方程条件的渗流求解方法，其特征在于：

在所述步骤3中，在进行流量、水头求解时，对于四面体、六面体在已知两个面、三个面的情况下求解，对于三角形、四边形、五边形在已知两个边、三个边的情况下求解，相对应的其它面或边的边界条件流量、水头按求解的特征加以计算。

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